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LA DISTRIBUCION NORMAL

Msc. Lácides Baleta

La distribución normal

Una variable aleatoria contínua

es aquella que puede asumir un

número infinito de valores

dentro de cierto rango específico.

Repasemos…

Ejemplos:

La presión ejercida por un

brazo robot en manufactura

El peso del equipaje en un avión

El tiempo transcurrido en

procesar una orden de compra

las características principales

de la distribución de probabilidad

normal

la distribución normal estándar

cómo se utiliza la distribución

normal para estimar

probabilidades binomiales

En esta unidad estudiaremos:

Psicología

Biología

Economía y finanzas

Astronomía

Ciencias de la nutrición

Ciencias sociales y

administrativas

La distribución normal se usa en:

La familia de las distribuciones

de probabilidad normal

Cada una de las distribuciones puede

tener una media distinta (u)

y desviación estándar distinta (ơ).

No existe una sola distribución

de probabilidad normal, sino más bien

se trata de toda una “familia” de ellas.

Por tanto, eI número de distribuciones

normales es ilimitado.

Al variar los parámetros μ and σ, obtenemos diferentes

distribuciones normales

La familia de las distribuciones

de probabilidad normal

LA FAMILIA DE LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD NORMAL

X

f(X)

μ

σ

Cambiando μ movemos la

distribución lhacia la izquierda

o derecha.

Cambiando σ aumentamos o

disminuímos su altura..

La curva normal

tiene forma de

campana y un

sólo pico en el

centro de la

distribución.

La distribución de probabilidad normal y

la curva normal que la acompaña tienen

las siguientes características:

El promedio aritmético, la mediana y la

moda de la distribución son iguales y se

ubican en el pico.

Características (cont.)

Características (cont.)

La mitad del

área bajo la

curva se

encuentra a la

derecha de este

punto central y

la otra mitad

está a la

izquierda de

dicho punto.

Características (cont.)

Es simétrica en torno a su

promedio. Si se corta Ia curva normal

de manera vertical por el valor central,

las dos mitades serán como imágenes

en un espejo.

Características (cont.)

La curva normal desciende suavemente en

ambas direcciones a partir del valor central.

Es asintótica, Ia curva se acerca cada vez

más al eje de X pero jamás llega a tocarlo. Es

decir, las “colas” de Ia curva se extienden de

manera indefinida en ambas direcciones.

Características (cont.)

La distribución de probabilidad

normal estándar

Sería físicamente imposible proporcionar

una tabla de probabilidades para cada

combinación de u y (como para Ia

distribución binomial o para Ia de Poisson) .

Es posible utilizar un sólo miembro de Ia

familia de distribuciones normales para

todos los problemas en los que se aplica

Ia distribución normal.

σ

La distribución de probabilidad

normal estándar

Tiene una media de 0 y una desviación

estándar de 1

Los valores mayores al promedio tienen

valores Z positivos y, valores menores al

promedio tendrán valores Z negativos.

Z

f(Z)

1

0

La distribución de probabilidad

normal estándar

Utilizando un valor z, se convertirá, o

estandarizará, Ia distribución real a una

distribución normal estándar.

Transformamos unidades X en unidades Z

Todas las distribuciones normales pueden

convertirse a “distribución normal estándar”

restando Ia media de cada observación y

dividiendo por Ia desviación estándar.

Un valor z es Ia distancia a partir de

Ia media, medida en las unidades de

desviación estándar.

El valor z

Valor z = Ia distancia entre un valor

seleccionado (x) y Ia media (u),

dividida por la desviación estándar (ơ).

El valor z

Límites sigma

Límites dos sigma

Límites tres sigma

Al determinar el valor z empleando Ia fórmula

anterior, es posible encontrar eI área de

probabilidad bajo cualquier curva normal

haciendo referencia a Ia distribución normal

estándar.

Tabla Areas debajo de la

curva normal

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

Ejemplo:

Supongamos que se calculó el valor z y el

resultado es 1.91.

¿CuáI es eI área bajo la curva normal entre

u y X?

Baja por Ia columna de la tabla

encabezada con Ia Ietra z hasta llegar

a 1.9.

Luego muévete en dirección

horizontal a la derecha y lee Ia

probabilidad en Ia columna con el

encabezado 0.01.

Es 0.4719.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

Tabla Areas debajo de la

curva normal

Esto signitica que 47.19 por

ciento del área bajo Ia curva se

encuentra entre u y eI valor

X,1.91 desviaciones estandar a

la derecha de Ia media.

Esta es Ia probabilidad de que

una observación esté entre 0 y

1.91 desviaciones estándar de Ia

media.

Valor z calculado

Ejercicios:

Area bajo Ia curva

2.84

1.00

0.49

.4977

.3413

.1879

Ahora calcularemos eI valor z dada:

Ia media de Ia población, u,

la desviación estándar de ésta, 𝝈,

y una X seleccionada.

Ejercicios:

Los ingresos semanales de los gerentes de

nivel intermedio tienen una distribución

aproximadamente normal con una media de

$1,000.00 y una desviación estándar de

$100.00.

¿Cuál es el valor z para un ingreso X de

$1,100.00?

Y, ¿para uno de $900.00?

Para X = $1,100:

1100 – 1000

100

= 1.00

Utilizando la fórmula:

Para X = $900:

900 - 1000

100

= - 1.00

La z de 1.00 indica que un ingreso semanal

de $1,100.00 para un gerente de nivel

intermedio está una desviación estándar a la

derecha de Ia media.

La z de -1.00 indica que un ingreso de

$900.00 está una desviación estándar a la

izquierda de Ia media.

Ambos ingresos ($1,100 y $900) están a Ia

misma distancia ($100) de Ia media.

900 1,100 1,000

La primera aplicación de Ia distribución

normal estándar es encontrar el área bajo Ia

curva normal entre una media y un valor

seleccionado, designado como X.

Utilizando Ia misma distribución que en eI

ejemplo anterior del ingreso semanal

(u = $1 000, ơ = $100)

¿CuáI es el área bajo Ia curva normal entre

$1,000 y $1,100?

La probabilidad asociada con el valor z de

1.00 se encuentra en la tabla.

Para ubicar el área, desciende por la

columna de Ia izquierda hasta 1.0. Luego

muévete a Ia derecha y lee el área bajo Ia

curva en Ia columna marcada 0.00.

Ya se calculó el valor z para $1,100

utilizando la fórmula: z = 1.00

Es 0.3413.

La media divide Ia curva normal en dos

mitades idénticas. El área bajo Ia mitad a Ia

izquierda de Ia media es 0.5 y eI área a Ia

derecha de Ia media es tambien 0.5.

0.5 0.5

Utilizando nuevamente el ingreso medio de

$1,000 al mes y Ia desviación estándar de

$100 al mes:

1.¿Cuál es Ia probabilidad de que un ingreso

semanal específico elegido aI azar esté

entre 790 y 1,000 dólares?

Ejercicios:

Calculamos eI valor z para $790 utilizando

Ia fórmula:

790 – 1000 = - 210 = -2.10

100 100

Pregunta 1

El signo negativo en 2.10 indica que el área

está a Ia izquierda de Ia media.

900 1,100 1,000 -2.10

El área bajo Ia curva normal entre u y X que

corresponde a un valor z de -2.10 es:

(tabla).

.4821

900 1,100 1,000 -2.10

.4821

|

|

|

2.¿CuáI es Ia probabilidad de que eI ingreso

sea menos de 790 dólares?

La media divide Ia curva normal en dos

mitades idénticas. El área bajo Ia mitad a Ia

izquierda de Ia media es 0.5 y eI área a Ia

derecha de Ia media es tambien 0.5.

0.5 0.5

Por tanto,

0.5000 - 0.4821 = 0.0179

900 1,100 1,000

|

.0179 |

|

.4821

|

|

|

-2.10

Una segunda aplicación de Ia distribución

normal estándar es:

combinar dos áreas:

- una a Ia derecha

- y Ia otra a Ia izquierda de Ia media.

Regresemos a Ia distribución de

ingresos semanales

(u = $1,000 ơ = $100)

¿CuáI es el área bajo Ia curva normal entre

$ 840 y $1,200?

Es necesario dividir Ia pregunta en dos partes.

Para el área entre $840 y Ia media de $1,000:

840 -1000 = -160 = 1.60

100 100

Para el área entre $1,200 y Ia media de $1,000:

1,200 -1000 = 200 = 2.00

100 100

El área bajo la curva para un valor z de -1.60

es:

El área bajo Ia curva para un valor z de 2.00

es

0.4452.

tabla

Sumando las dos áreas:

0.4452+ 0.4772 = 0.9224

0.4772.

Así, Ia probabilidad de seleccionar un

ingreso entre $840 y $1,200 es 0.9224.

En otras palabras, 92.24 por ciento de los

gerentes tienen ingresos semanales entre

$840 y $1,200.

840 1,200 1,000

|

|

|

|

|

|

|

0.4452. 0.4772.

Continuemos…

Otra aplicación de Ia distribución normal

estándar esi:

encontrar el área mayor o menor de

un valor específico.

Continuemos con Ia distribución de

ingresos semanales

(u = $1 000, 𝝈 = $100)

¿qué porcentaje de los ejecutivos recibe

ingresos semanales de $1,245 o más?

Para el área entre $1,245 y Ia media de $1,000:

1,245 -1000 = 245 = 2.45

100 100

El área bajo Ia curva para un valor z de 2.45

es

(Tabla).

Restando: 05000 - 0.4929 = 0.0071

0.4929.

Sólo el .71 por ciento de los gerentes tienen

ingresos semanales de $1,245 o más.

840 1,245 1,000

|

|

|

0.4929 0.0071

Otra aplicación de Ia distribución normal

estándar es:

determinar el área entre dos valores

en el mismo lado de la media.

Continuemos…

Sigamos con Ia distribución de

ingresos semanales

(u = $1 000, 𝝈 = $100)

¿CuáI es el área bajo Ia curva normal entre

$ 1,150 y $1,250?

Es necesario dividir Ia pregunta en dos partes.

Para el área entre $1,250 y Ia media de $1,000:

1,250 -1000 = 250 = 2.50

100 100

Para el área entre $1,150 y Ia media de $1,000:

1,150 -1000 = 150 = 1.50

100 100

El área bajo la curva para un valor z de 2.50

es:

El área bajo Ia curva para un valor z de 1.50

es

0.4938.

Restando las dos áreas:

0.4938 - 0.4332 = 0.0606

0.4332.

(Tabla).

Así, Ia probabilidad de seleccionar un

ingreso entre $1,150 y $1,250 es 0.0606.

En otras palabras, 6.06 por ciento de los

gerentes tienen ingresos semanales entre

$1,150 y $1,250.

1,150 1,250 1,000

|

|

|

|

|

|

0.0606.

Para resumir, existen cuatro situaciones en

las que pudiera ser posible encontrar el área

bajo Ia distribución normal estándar.

1. Para encontrar el área entre u y z,

entonces es posible buscar directamente el

valor en Ia tabla.

2. Para encontrar el área más alIá (mayor o

menor) de z, entonces localice Ia

probabilidad de z en Ia tabla y reste ese

valor de 0.5000.

3. Para encontrar eI área entre dos puntos a

diferentes lados de Ia media, determine los

valores z y sume las áreas

correspondientes.

4. Para encontrar el área entre dos puntos

en el mismo lado de Ia media, determine los

valores z y reste el área menor de Ia mayor.

Una última aplicación de Ia distribución normal

supone encontrar el valor de Ia observación X

cuando se conoce eI porcentaje por encima o

por debajo de Ia observación.

Un fabricante de goma de auto desea establecer una

garantía de millaje mínimo para su nueva goma

MX100. Las pruebas revelan que el millaje promedio

es de 47,900 millas, con una desviación estandar de

2,050 millas y una distribución normal.

Ejemplo:

El fabricante quiere establecer el millaje mínimo

garantizado de modo que no se deba reemplazar

más del 4 por ciento de las gomas.

¿Qué millaje minimo garantizado deberá anunciar el

fabricante?

Utilizando Ia fórmula, X representa el millaje

mínimo garantizado

Z = X – 47900

2050

Existen dos incógnitas, z y X.

Para encontrar z, observemos que el área

bajo Ia curva normal a Ia izquierda de u es

0.5000.

El area entre u y X es 0.4600,

que se encuentra restando 0.5000 - 0.0400.

X 47,900

|

|

|

|

4%

0.04

0.4600

El área más cercana a 0.4600 es:

Muévete a los márgenes de este valor y lee

el valor z. El valor es:

0.4599.

(Tabla).

1.75.

Debido a que el valor se encuentra a Ia

izquierda de Ia media, en realidad es

-1.75.

Sabiendo que Ia distancia entre u y X es

-1.75 ơ, ahora es posible determinar X (el

millaje minimo garantizado):

-1.75 = X – 47900

2050

-1.75 (2050) = X – 47900

X = 47900 – 1.75 (2050) = 44312

El fabricante puede anunciar que

reemplazará en forma gratuita cualquier

goma que se desgaste antes de recorrer

44,312 millas y Ia empresa sabe que, bajo

este plan, debe reemplazar sólo el 4 por

ciento de las gomas.

Conclusión:

Otra aplicación de Ia distribución

normal consiste en comparar dos o

más observaciones que están en

distintas escalas o unidades.

Es decir, ambas observaciones se

encuentran en distribuciones distintas.

Un estudio de los internos en una

institución correccional evalúa Ia

responsabilidad social de los internos

de Ia prisión y de sus perspectivas de

rehabilitación cuando se les Iibere.

Ejemplo:

Las puntuaciones tienen una

distribución normal, con una media de

100 y una desviación estándar de 20.

Para medir su responsabilidad social,

se administró a cada interno una

prueba

Los psicólogos de Ia prisión calificaron

a cada interno respecto de las

perspectivas de rehabilitación.

Las calificaciones tienen tambien una

distribución normal, con una media de

500 y una desviación estándar de 100.

La calificación de Tora Carney en Ia

prueba de responsabilidad social fue

146, y en rehabilitación obtuvo una

puntuación de 335.

¿Cómo se compara Tora con otros

miembros del grupo en cuanto a

responsabilidad social y a Ia

perspectiva de rehabilitación?

Convertimos Ia puntuación de Ia

prueba de responsabilidad social, 146,

a un valor z utilizando Ia fórmula:

Pasos a seguir:

Z = 146 – 100

20

Z = 2.30

Convertimos Ia puntuación de Ia

prueba de rehabilitaciónl, 335, a un

valor z utilizando Ia fórmula:

Pasos a seguir:

Z = 335 – 500

100

Z = - 1.65

Por lo tanto, en lo referente a

responsabilidad social, Tora Carney se

encuentra en el 1 por ciento más alto del

grupo.

Conclusión:

Sin embargo, al compararla con otras

internas, Tora se encuentra entre eI 5 por

ciento más bajo en cuanto a las

perspectivas de rehabilitación.

-1.65 2.30

|

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|

|

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|

|

0.4505 0.4893

0.0107 0.0495