Introducción

Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria

Forma general de la ecuación de la circunferencia

Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas

Familias de circunferencias

Eje radical

Tangente a una curva

Tangente a una circunferencia

Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la circunferencia

La circunferencia es el lugar

geométrico del plano descrito por un

punto que se mueve a una distancia

constante de un punto fijo.

El punto fijo se llama centro de la

circunferencia y la distancia

constante se llama radio.

1. Escribir la ecuación de la

circunferencia de centro ( 3, 7 )

y radio 7.

C

2. Los extrem os de un diam etro

de una circunferencia son los puntos

(2, 3) y ( 4, 5 ).

H allar la ecuación de la curva.

A B

1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro ( 3, 7) y radio 7.C

-10 -8 -6 -4 -2 2 4

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

xy

2. Los extremos de un diametro de una circunferencia son los

puntos (2, 3) y ( 4, 5). Hallar la ecuación de la curva.A B

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

2 2 2

C orolario:

C uando el centro de la circunferencia

es el origen de coordenadas 0

la ecuación de la circunferencia

se expresa :

x r

h k

y

2 2 2 (2)x h y k r

2 2 2 (3)x y r

Una circunferencia tiene su centro

en el origen y un radio igual a 2 .

¿Cuál es su ecuación?

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

D esarrollando los cuadrados en la ecuación

tenem os

2 2

y agrupando todos los térm inos en el prim er

m iem bro :

2 2 0

x h y k r

x hx h y ky k r

x y h x k y h k r

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 , 2 ,

Son núm eros reales cualesquiera, por lo tanto podem os decir:

2

2

Sustituyendo en la ecuación

2 2 0

tenem os:

0

h k y h k r

D h

E k

F h k r

x y h x k y h k r

x y Dx Ey F

2 2 2 2 22 2 0x y h x k y h k r

2 2

La form a

0

es la form a general de la

ecuación de la circunferencia.

x y D x Ey F

2 2

Para corresponder a la ecuación de

una circunferencia, hacem os

14

2r D E F

2 2

2 2

2 2

Por lo que se presentan tres casos para  :

a) 4 0

b) 4 0

c) 4 0

D E F

D E F

D E F

2 2

2 2

a) 4 0

La ecuación corresponde a una circunfere ncia con centro en

,2 2

y radio

14

2

D E F

D EC

r D E F

2 2

2 2 2 2

0

4

2 2 4

x y Dx Ey F

D E D E Fx y

2 2b) 4 0

La ecuación corresponde a una circunfere ncia

de radio cero; es decir, un punto de coo rdenadas

,2 2

D E F

D EC

2 2

2 2 2 2

0

4

2 2 4

x y Dx Ey F

D E D E Fx y

2 2c) 4 0

La ecuación corresponde a una

circunferencia im aginaria y,

por lo tanto, no tiene

representación real.

D E F

2 2

2 2 2 2

0

4

2 2 4

x y Dx Ey F

D E D E Fx y

N O T A. S i se da la ecuacion de una circun ferencia

en la form a general, se aconseja no proceder

m ecanicam ente, usando las fórm ulas dadas en el

teorem a 2 para obtener el centro y el ra dio.

En vez de esto, es conveniente reducir la ecuación

a la form a ordinaria por el m étodo de co m pletar

cuadrados, tal com o se hizo en la deducc ion del

teorem a m ism o.

2 2Es la ecuación 3 3 12 24 15 0

la ecuación de una circunferencia.

En caso afirm ativo, encontrar dónde está su centro

y cuál es su radio

x y x y

2Es la ecuación 2 ² 2 28 6 188 0

la ecuación de una circunferencia.

En caso afirm ativo, encontrar dónde está su centro

y cuál es su radio.

x y x y

Ejemplo: H állese la ecuación de una circunferencia

pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4

y su centro está sobre la recta 3 2 23 0.  x y

Ahora considerarem os fam ilias o haces de

circunferencias de la m ism a m anera que

consideram os fam ilias de rectas.

Y a señalam os que una circunferencia y su

ecuación se determ inan cada una por tres

condicione

U na circunferencia que satisface m enos de

tres condiciones independient

s independientes.

es no es única.

La ecuación de una circunferencia que

satisface solam ente dos condiciones

contiene una constante arbitraria llam ad a

parám etro.

Se dice entonces que tal ec

fam ilia

uación r

de circu

eprese

nferen

n

c

ta

iuna as de un parám etro .

2 2 2

Por ejem plo , la fam ilia de todas las

circunferencias concéntricas cuyo centro

com ún es el punto (1, 2) tiene por ecuac ión

1 2

en donde el parám etro es cualquier

núm ero real positivo.

x y k

k

1 / 2

6

2

5

4

1

3k

k

k

k

k

k

k

1 2

Para entender lo que sucede con esta

fam ilia de circunferencias que estam os

por crear, debem os tener claro cuáles

son las posibilidades de intersección de

dos circunferencias dadas, com o la

C y C de la transparencia anterior y com o

determ inar dichas intersecciones.

H acem os, por lo tanto, un paréntesis para

estuciar la intersección de dos circunferencias.

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

Las dos circunferencias,

: 0

: 0

pueden:

a) Intersectarse en dos puntos

b) Intersectarse en un solo punto y

ser tangentes entre ellas

c) N o intersectarse

C x y D x E y F

C x y D x E y F

2

2

2 2

2 2

2 1

2

3

1 5

x y

x y

Se in tersectan

2

2

2 2

2 2

2 1

3

2

1 3

x y

x y

Son tangentes

22

2

2

2

2 71 3

10

12

2

x y

x y

N o se in tersectan

2

2

2 2

2

21 3

3

2

31

2x y

x y

N o se in tersectan

1 2

1 2

1 2

2 1

2 1

Si las circunferencias no se intersectan

Si las circunferencias son tangentes ex teriores

S i

las circunferencias se intersec tan en dos puntos

las

d r r

d r r

d r r

r r d

d r r

2 1

circunferencias no se intersectan

las circunferencias son tangentes interiores

d r r