46Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas

INTERPOLACIÓN: LÁ FÓRMULA DE NEWTON

INTERPOLACIÓN: LÁ FÓRMULA DE NEWTON

Prof. Alfredo LProf. Alfredo Lóópez Benitopez BenitoProf. Carlos Conde LProf. Carlos Conde LáázarozaroProf. Arturo Hidalgo LProf. Arturo Hidalgo Lóópezpez

Marzo, 2007

47Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas

OBJETIVOSOBJETIVOS

1º. Conocer el concepto de diferencia dividida de orden k definidaen k puntos de un soporte.

2º. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange de una funciónutilizando la fórmula de Newton en diferencias divididas.

3º. Conocer las principales propiedades de las diferencias divididas.

4º. Particularizar la fórmula de Newton al caso de soportesequidistantes: Fórmulas en diferencias finitas.

48Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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NOTACIÓNNOTACIÓN

Soporte de interpolación formado por los (n+1) puntos distintos:{x0, x1, …, xn}

Valores de una función f(x) en los (n+1) puntos del soporte:{f0, f1, …, fn}

PROBLEMA

Calcular el polinomio p(x) que interpola en el sentido deLagrange a la función f(x) sobre el soporte {x0, …, xn}

1ª forma de resolverlo: Usando la fórmula de Lagrange

49Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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2ª forma de calcular el polinomio interpolador2ª forma de calcular el polinomio interpolador

Si se considera el polinomio escrito en la forma:

p(x) = a0 + a1·x + a2·x2 + …… + an·xn

Pueden obtenerse los coeficientes resolviendo el sistema:En (x0, f0): a0 + a1·(x0) + a2·(x0)2 + …… + an·(x0)n = f0

En (x1, f1): a0 + a1·(x1) + a2·(x1)2 + …… + an·(x1)n = f1

En (x2, f2): a0 + a1·(x2) + a2·(x2)2 + …… + an·(x2)n = f2

En (xn, fn): a0 + a1·(xn) + a2·(xn)2 + …… + an·(xn)n = fn

…………………………………………………………………………………………………….

50Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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3ª forma: El Método de Newton3ª forma: El Método de NewtonSi se considera el polinomio escrito en la forma:

p(x) = c0 + c1·(x-x0) + c2·(x – x0)·(x – x1) + …… +

pueden obtenerse los coeficientes resolviendo el sistema:En (x0, f0): c0 + = f0

En (x1, f1): c0 + c1·(x1-x0) = f1

En (x2, f2): c0 + c1·(x2-x0) + c2·(x2 –x0)·(x2-x1) = f2

En (xn, fn): c0 + = fn

…………………………………………………………………………………………………….( 1)

01· ( )

in

i n jji

c x x−

==

−∏∑

+ cn·(x – x0)·(x – x1)·….·(x-xn-1)

51Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas

Método de NewtonMétodo de Newton

Que conduce a: c0 = f0

c1 = (f1 – f0)(x1 – x0)

c2 =

(f2 – f1)(x2 – x1)

- (f1 – f0)(x1 – x0)

(x2 – x0)

……………..

Diferencia dividida f[x0]

Diferencia dividida f[x0, x1]

Diferencia dividida f[x0, x1, x2]

52Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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Cálculo de los coeficientes del polinomio Cálculo de los coeficientes del polinomio

{x0} p0(x) = c0 p0(x) = f0 = f[x0]

( )=01 0(xp ) f{x0, x1} p1(x) = c0 + c1·(x-x0) p1(x) = f[x0] + c1·(x-x0)

p0(x)

( )=11 1(xp ) f0

11 0

1 1x(xf p ( )c

x )−

=−

= f[x0, x1] p1(x) = f[x0] + f[x0, x1] ·(x-x0)

53Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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Cálculo de los coeficientes del polinomio Cálculo de los coeficientes del polinomio

( )=02 0(xp ) f

{x0, x1 , x2} p2(x) = c0 + c1·(x-x0) + c2·(x-x0)·(x-x1)

[ ] −= =

−1

0 11 0

01

1 p xx ,x(

)ax

(fx

f)

p2(x) = f[x0] + f[x0, x1] ·(x-x0) + c2·(x-x0)·(x-x1)

( )=12 1(xp ) fc0 = f0 = f[x0]

p2(x2) = f2

p1(x)

2

2 0 2

2

1

12

x(x x )·(x

p)

( )x

c f −=

− −

f[x0, x1, x2]p2(x) = f[x0] + f[x0, x1]·(x-x0) + f[x0, x1 , x2]·(x-x0)·(x-x1)

[ ] [ ] ( )−

= =

= + −∑ ∏(i 1)2

0 0 i ji 1 j 0

2 f fx x x ,...,x · x xp ( ) [ ]( )

−

=

−−=

−∏i i i

0 i (i 1)

i jj 0

1p (xx ,...,xx

ffx

)

54Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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Fórmula de interpolación de NewtonFórmula de interpolación de Newton

(i = 0, 1, ..., n-1)

{x0, x1 ,..., xn} pn(x) = c0 + c1·(x-x0) + .... + cn·(x-x0)·... ·(x-xn-1)

[ ] ii i0 i i

i jj

1i

0

xx ,..., p ( )x fc(x

fx )

−

=

−= =

−∏

pn(x) = f[x0] + ...+ f[x0,..., xn-1] ·(x-x0)·...·(x-xn-2) + cn·(x-x0)·...·(x-xn-1)

( )=in i(xp ) f

pn(xn) = fn

pn-1(x)

n n(n 1)

n jj 0

1nn

x

(xc f

x

)

)

p (−−

=

−=

−∏f[x0, x1,..., xn]

[ ] [ ] ( )−

= =

= + −∑ ∏(i 1)n

0 0 i ji 1 j 0

n f fx x x ,...,x · x xp ( )[ ]

( )−

=

−−=

−∏i i i

0 i (i 1)

i jj 0

1p (xx ,...,xx

ffx

)

Fórmula de interpolación de Newton

55Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas

Diferencias divididas: DefiniciónDiferencias divididas: DefiniciónDefiniciónSe denomina diferencia dividida de orden k de la función f(x)en los puntos {x0, x1, ..., xk} al valor:

[ ] −−

=

−=

−∏k

0k

k (k 1)

k jj 0

1k xfx ,...,x(x

p

)

(

xf )

donde fk = f(xk) y pk-1(x) es el polinomio interpolador deLagrange de f(x) sobre el soporte {x0, x1, ..., xk-1}.

56Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: Propiedades

Propiedad 1ª

{ }0 1 k0 i i i nx ,..,x ,...,x ,...,x ,...,x

{ }0 1 ki i ix ,x ,...,x...

{ }0 1 kj j jx ,x ,...,x

Extracción de (k+1) valores:

Soporte inicial:

Reordenación de los (k+1) puntos:

Siendo {i0, i1, ..., ik} un subconjunto de { 0, 1, ..., n} y deno-tando por {j0, j1, ..., jk} una permutación de {i0, i1, ..., ik} severifica que:

=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 1 k0 1 k j j ji i if f x ,x ,...x ,x ,..., ,xx

57Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas

Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: PropiedadesDemostración:Según la fórmula de Newton el polinomio interpolador de Lagrangesobre el soporte es:{ }0 1 ki i ix ,x ,...,x

( ) ( ) ( )− −= + − + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − +

0 0 k 1 0 k 20 0 1k i ii i i ii ix x x ,x · x .p ( ) x x... ,..., · x ·... xf x·xf f x

( ) ( ) ( )− − −+ − − −⎡ ⎤⎣ ⎦0 k 1 k 0 k 2 k 1i i i i i i· xx ,...,x ·...· x · x,x x x xf

Y sobre el soporte es:{ }0 1 kj j jx ,x ,...,x

( ) ( ) ( )− −= + − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ − − +⎦0 0 1 0 0 k 1 0 k 2k j j j j j j j jx , · x .... ,..., · x ·...· xq ( ) x x x x x x xfxf f

( ) ( ) ( )− − −⎡ ⎤⎦+ −⎣ − −

0 k 1 k 0 k 2 k 1j j j j j j,..., , · x ·...· x ·x xx x x x xf

Por la unicidad del polinomio interpolador: pk(x) = qk(x).

Identificando los coeficientes en xk: =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 1 k0 1 k j j ji i if f x ,x ,...x ,x ,..., ,xxc.q.d.

58Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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Propiedad 2ªSiendo {i0, i1, ..., ik} un subconjunto de { 0, 1, ..., n} se verifica que:

1 1 k 0 1 k 1

0 1 k 1 k

k 0

i i i i i ii i i i

i i

x ,x ,...,x x ,x ,...,xx ,x ,...,x ,x

f fx x

f −

−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎣−

−⎦ =

WxÅÉáàÜtv|™Ç ( ver las 2 diapositivas siguientes)

con: f[xj] = f(xj) = fj.

Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: Propiedades

59Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: PropiedadesSegún la fórmula de Newton el polinomio interpolador de Lagrange sobreel soporte es:{ }0 1 ki i ix ,x ,...,x

( ) ( ) ( )− −= + − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − − +

0 0 1 0 0 k 1 0 k 2i i i i i ik i ix x x ,x · x x .... x ,...,x · x x ·..p ( ) . x xf ·f f

( ) ( ) ( )− − −+ ⎡ ⎤ − −⎦ −⎣ 0 k 1 k 0 k 2 k 1i i i i i ix ,...,x ,x · x x ·...· x x · x xf

Y sobre el soporte es:{ }−k k 1 0i i ix ,x ,...,x

( ) ( ) ( )−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦= + − + + − −⎣ +⎦ ⎣ ⎦k k k 1 k k 1 k 2i i i i i i i ik x x x ,x · x x ...q . x ,...,x · x x ·...f · xf xf( )

( ) ( ) ( )+ − −⎡ ⎤⎣ ⎦ −k 1 0 k 2 1i i i i i ix ,...,x ,x · x x ·...· x x · x xf

Por la unicidad del polinomio interpolador: pk(x) = qk(x).

Identificando los coeficientes en xk-1 :

60Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: Propiedades

( )− − −− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ + ⎣ ⎦ =0 k 1 k 0 1 2 k 1 0 1 k 1i i i i i i i i i ix ,...,x ,x · x x x ... x x ,x ,...,xf f

( )− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − − + ⎣ ⎦⎣ ⎦k 1 0 k k 1 2 1 k k 1 1i i i i i i i i i ix ,...,x ,x · x x ... x x x ,x ...,xf f

Son iguales (ver propiedad 1ª)

( )− −− = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 k 1 k k 0 1 k 0 k 1i i i i i i i i ix ,...,x ,x · x x x ,...,x x ,...f ,xf f

( )−

−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦−

=−

1 k 0 k 1

0 k 1 k

k 0

i i i ii i i

i i

x ,...,x x ,...,xx ,...,x ,x

x

f

x

ff

c.q.d.

⎡ ⎤⎣ ⎦1 2 ki i ix ,x ,...,xf

61Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: Propiedades

Caso particular:

[ ] [ ] [ ]+ + − + + + −+ + − +

+

−=

−i 1 i k 1 i k i i 1 i k 1

i i 1 i k 1 i ki k i

f fx ,...,x ,x x ,x ,...,xx ,x ,...

xf ,x ,x

x

Denotando por: f[xi] = fi (i = 0, 1, ...., n)se verifica:

(i = 0, 1, ...., n-k)

62Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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Diferencias divididas: PropiedadesDiferencias divididas: Propiedades[ ] [ ] [ ]+ + − + + + −

+ + − ++

−=

−i 1 i k 1 i k i i 1 i k 1

i i 1 i k 1 i ki k i

f fx ,...,x ,x x ,x ,...,xx ,x ,...

xf ,x ,x

x

x0

x1

f0

f1

x2 f2

x3 f3

x4 f4

[ ]0 1f x ,x

[ ]1 2f x ,x

[ ]2 3f x ,x

[ ]3 4f x ,x

[ ]0 1 2x ,x ,xf

[ ]1 2 3x ,x ,xf

[ ]2 3 4x ,x ,xf

[ ]0 1 2 3x ,x ,x ,xf

[ ]0 1 2 3x ,x ,x ,xf

[ ]0 1 2 3 4x ,x ,x ,x ,xf

p4(x) = f0 + f[x0, x1]·(x-x0) + f[x0, x1 , x2]·(x-x0)·(x-x1) ++ f[x0, x1 , x2 , x3]·(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) +

+ f[x0, x1 , x2 , x3 , x4]·(x-x0)·(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)

63Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos

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Diferencias divididas: EjemploDiferencias divididas: EjemploObtener el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) = sen(x) sobre el soporte formado por los puntos: π π⎧ ⎫

⎨ ⎬⎩ ⎭0, ,

4 2Solución:

x0

x1

x2

f(x0)

f(x1)

f(x2)

f[x0, x1]

f[x1, x2]

f[x0, x1 , x2]0

π4

π2

0

12

1

f[x0, x1] =−−1

1

0

0

xf

xf −

=π−

1 0

4

2

0

π2· 2

f[x1, x2] =−−2

2

1

1

xf

xf −

=π π−

112

2 4

−π

2·(2 2)f[x0,x1 ,x2] =

[ ] [ ]−−

1 2 0 1

2 0

x ,x x ,xx

fxf

−π2

8·(1 2)

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Diferencias divididas: EjemploDiferencias divididas: Ejemplo

p2(x) = f(x0) + f [x0,x1]·(x - x0) + f [x0,x1, x2]·(x - x0)(x-x1)

0

π4

π2

0

12

1

π2· 2 −

π28·(1 2)

−π

2·(2 2)

=

= 0 +π

2· 2·( x – 0) + −

π28·(1 2) ·(x-0)·(x-π/4)

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Diferencias divididas: EjemploDiferencias divididas: Ejemplo

f(x) = sen(x)p2(x) |ε(x)| = |f(x) – p2(x)|

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Diferencias divididas: Ejemplo 2ºDiferencias divididas: Ejemplo 2ºObtener el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) = sen(x) sobre el soporte formado por los puntos: π π π π⎧ ⎫

⎨ ⎬⎩ ⎭0, , , ,

6 4 3 2

Tabladel

ejercicioanterior

0

π4

π2

0

12

1

π2· 2 −

π28·(1 2)

−π

2·(2 2)

0

π4

π2

0

0.707

1

0.90

0.373

−0.336

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Diferencias divididas: Ejemplo 2ºDiferencias divididas: Ejemplo 2º

f[x2,x3]

f[x3,x4]

f[x2,x3 ,x4]

f[x1,x2 ,x3]

x3 f(x3)

x4 f(x4)

0

π4

π2

0

0.707

1

0.90

0.373

−0.336 f[x0,x1,x2,x3]

f[x1,x2,x3,x4]

f[x0,x1,x2,x3 ,x4]

π6π3

0.5

0.867

0.477

0.699

-0.399

-0.423

-0.121

-0.091

0.0288

p4(x) = p2(x) +

+ f[x0,x1,x2,x3,x4]·(x-0)·(x-π/4)·(x-π/2)·(x-π/6)0.0288

+ f[x0,x1,x2,x3]·(x-0)·(x-p/4)·(x-p/2) +(-0.121)

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Diferencias divididas: Ejemplo 2ºDiferencias divididas: Ejemplo 2ºπ

+ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − −

π π π π π⋅ + − − −−

4 (x 0) (x 0) (x )4

x

x 0 0.90 0.336

0.121 0.0·(x - )·(x - ) ·x·(x )·(x )·(x )4 2 6 2

)

88

p (

62

|ε(x)| = | f(x) – p4(x)|

f(x) = sen(x)p2(x)

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