Homework 4 (총 8문제, 제출: 4월 10일 금요일 18시)

[2020년 수학연습 1]

* 답안지에 학번과 이름을 쓰시오. 답안 작성시 풀이과정을 명시하시오.

1. 시컨트함수 secx의 거듭제곱급수전개는

secx = 1 +x2

2+

5

24x4 +

61

720x6 + · · ·

임을 보이라.

2. 다음 극한값을 구하라.

(a) limx→0

sin 2x− 2x

x3(b) lim

x→0

sin 6x− 6x+ 36x3

x5

(c) limx→0

cosx− 1 + x2/2

x2(d) lim

x→0

sinx2 − cosx+ 1

x2

3. cos1

3과 sin

1

3이 모두 무리수임을 보이라.

4. 다음 등식을 보이라.

sinh(x+ y) = sinhx cosh y + coshx sinh y

cosh(x+ y) = cosh x cosh y + sinhx sinh y

tanh(x+ y) =tanhx+ tanh y

1 + tanhx tanh y

cosh2 x =1

2(cosh 2x+ 1)

sinh2 x =1

2(cosh 2x− 1)

5. 사인 함수 sinx의 정의역을 구간 [−π/2, π/2]에 제한하면, sinx는 순증가 함수이고, 따라서 역함수를 가진다. 이 역함수를 역사인함수라고부르고, arcsin 또는 sin−1로 나타낸다. 물론 arcsin의 정의역은 [−1, 1]이다. −1 < y < 1일 때

1

d

dy(arcsin y) =

1√1− y2

임을 보이라. 또

arcsin y =π

2− arccos y (−1 ≤ y ≤ 1)

임을 밝히라.

6. −1 < x < 1일 때에 다음을 밝히라.

arccosx =π

2−∞∑n=0

(2n− 1)!!

2n n! (2n+ 1)x2n+1 =

π

2− x− 1

6x3 − 3

40x5 − · · ·

( 단,1√1− x

=∞∑n=0

(2n− 1)!!

2n n!xn 임을 증명없이 사용해도 됨. 교과서 75

페이지 2장 3절 연습문제 4. 참고)

7. 함수 f(x) = 5x + sinπx는 모든 실수 y에 대하여 역함수 g(y)가 정의됨을 설명하고, 이때 미분계수 g′(5)과 g′′(5)을 구하라.

8. 함수 y = tanhx의 역함수를 x = tanh−1 y로 두었을 때,

tanh−1 y =1

2log

1 + y

1− y= y +

y3

3+y5

5+ · · · (|y| < 1)

임을 보이라. 이 식에서

d

dy(tanh−1 y) =

1

1− y2(1)

임을 보이라. 또d

dxtanh x = 1− tanh2 x

을 이용하여 (1)을 보이라.

2