Invariante FlächensummenHans Walser

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20201105-07

rot = blau

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

rot = blau

Invariante Summe a2 + b2

rot = blau

Invariante Summe a2 + b2

„pythagoreisch“

„pythagoreisch“

„pythagoreisch“

„pythagoreisch“

„pythagoreisch“

„pythagoreisch“

„pythagoreisch“

„pythagoreisch“

„pythagoreisch“

„pythagoreisch“

„pythagoreisch“

Zerlegungsbeweis

Invariante Summe a2 + b2

Zerlegungsbeweis

Invariante Summe a2 + b2

Zerlegungsbeweis

Invariante Summe a2 + b2

Zerlegungsbeweis

Invariante Summe a2 + b2

Zerlegungsbeweis

Invariante Summe a2 + b2

Zerlegungsbeweis

Invariante Summe a2 + b2

Zerlegungsbeweis

Invariante Summe a2 + b2

Zerlegungsbeweis

Invariante Summe a2 + b2

Zerlegungsbeweis

Invariante Summe a2 + b2

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

Gelenkmodell

rot = blau

Invariante Summe a2 + b2

rot = blau

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Invariante Summe a2 + b2

Zerlegungsbeweis

rot = blau

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

!a!b

12!c

!s

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

!a!b

12!c

!s

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

!a!b

12!c

!s

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

!a!b

12!c

!s

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

!a!b

12!c

!s

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

Sonderfall

s = 1

2 c

rot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

Sonderfall

s = 1

2 c

Modellrot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

Sonderfall

s = 1

2 c

rot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

Satz von al-Sijzi

Parallelogramm: a2 + b2 + a2 + b2 = e2 + f 2

a

ab

bef

rot = blau

Satz von al-Sijzi

Parallelogramm:

rot = blau

Satz von al-Sijzi

Parallelogramm:

rot = blau

Satz von al-Sijzi

Parallelogramm: a2 + b2 + a2 + b2 = e2 + f 2

a

ab

bef

rot = blau

72 + 92 + 72 + 92

260! "## $## = 82 +142

260!"# $#

72 + 92 + 72 + 92

260! "## $## = 82 +142

260!"# $#

72 + 92 + 72 + 92

260! "## $## = 82 +142

260!"# $#

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

Satz von al-Sijzi

Satz von al-Sijzi

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi (Abu Said Ahmad ibn Muhammad ibn Abd al-Jalil al-Sijzi, 945-1020)

rot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi

rot = blau

!a = !s + 12!c ⇒ !a2 = !s 2 + !s!c + 1

4!c2

!b = !s − 1

2!c ⇒

!b2 = !s 2 − !s!c + 1

4!c2

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ a2 + b2 = 2s2 + 1

2 c2

Satz von al-Sijzi

rot = blau

Satz von al-Sijzi

rot = blau

Satz von al-Sijzi

rot = blau

Papillon

Schließungsfigur

rot = blau

rot/grün = blau/gelb

rot/grün = blau/gelb

62 + 72 = 22 + 92

36+ 49 = 4+81= 85

rot/grün = blau/gelb

62 + 72 = 22 + 92

36+ 49 = 4+81= 85

93 +103 = 13 +123

729+1000 = 1+1728

S.Ramanujan1887-1920

Papillon

rot = blau

Papillon

Umkreis

Papillon

GemeinsamerSchnittpunkt

Umkreis

Papillon

GemeinsamerSchnittpunkt

Umkreis

Papillon

Quadrat

Umkreis

Papillon

Papillon

Strecke mit Mittelpunkt

rot = blau

Papillon

Strecke mit MittelpunktStrecke mit Mittelpunkt

rot = blau

Papillon

Strecke mit MittelpunktStrecke mit Mittelpunkt

gleich langorthogonal

rot = blau

Papillon

Drei kollineare Punkte

Papillongleich lange schwarze Strecken 45°-Winkel

rot = 2 schwarzblau = 2 schwarz

Papillongleich lange schwarze Strecken 45°-Winkel

rot = 2 schwarzblau = 2 schwarz

Papillongleich lange schwarze Strecken 45°-Winkel

Papillon

Papillon

rot = blau

Papillon

Papillon

Optische Täuschung?

Papillon

Optische Täuschung?

Papillon

Optische Täuschung?

Papillon

Papillons

Optische Täuschung?

Papillonspirale

Papillonspirale

rot = ½ blau

Hypotenuse fest

Geozentrisches Weltbild

Hypotenuse fest

Geozentrisches Weltbild

Hypotenuse fest

Geozentrisches Weltbild

Hypotenuse fest

Geozentrisches Weltbild

Hypotenuse fest

Geozentrisches Weltbild

Hypotenuse fest

Geozentrisches Weltbild

Hypotenuse fest

Geozentrisches Weltbild

Die kopernikanische Wende

Heliozentrisches Weltbild

Nikolaus Kopernikus1473-1543

Pythagoras

Pythagoras

Hypotenuse dreht

Pythagoras

Hypotenuse dreht

Pythagoras

Hypotenuse dreht

Pythagoras

Hypotenuse dreht

Pythagoras / al-Sijzi

Hypotenuse dreht

Pythagoras / al-Sijzi

Hypotenuse dreht

Pythagoras / al-Sijzi

Hypotenuse dreht

Pythagoras / al-Sijzi

Hypotenuse dreht

Pythagoras / al-Sijzi

Hypotenuse dreht

a3

a2

a1

a3

a2

a1

Pythagoras / al-Sijzi

a12 + a2

2 + a32 invariant

a3

a2

a1

Pythagoras / al-Sijzi

a12 + a2

2 + a32 invariant

a3

a2

a1

Pythagoras / al-Sijzi

a12 + a2

2 + a32 invariant

a3

a2

a1

Pythagoras / al-Sijzi

a12 + a2

2 + a32 invariant

ak

2

k=1

n∑ invariant

a3

a4a5

a2

a1

Pythagoras / al-Sijzi

Pythagoras / al-Sijzi

ak

2

k=1

n∑ invariant

!r1!r2

!r3!r4

!r5

C p,0( )

Pythagoras / al-Sijzi

!rk =r cos k 2π

n +ϕ( )r sin k 2π

n +ϕ( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

ak

2

k=1

n∑ invariant

!r1!r2

!r3!r4

!r5

C p,0( )

Pythagoras / al-Sijzi

!r2

!r3!r4

!r5

!rkk=1

n∑ =

!0 ⇒

r cos k 2πn+ϕ( ) = 0

k=1

n∑

r sin k 2πn+ϕ( ) = 0

k=1

n∑

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

!rk =r cos k 2π

n +ϕ( )r sin k 2π

n +ϕ( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

ak

2

k=1

n∑ invariant

!r1!r2

!r3!r4

!r5

C p,0( )

Pythagoras / al-Sijzi

!r2

!r3!r4

!r5

!rkk=1

n∑ =

!0 ⇒

r cos k 2πn+ϕ( ) = 0

k=1

n∑

r sin k 2πn+ϕ( ) = 0

k=1

n∑

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

!rk =r cos k 2π

n +ϕ( )r sin k 2π

n +ϕ( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

ak

2

k=1

n∑ invariant

unabhängig von ϕ

!r1!r2

!r3!r4

!r5

C p,0( )

Pythagoras / al-Sijzi

!rk =r cos k 2π

n +ϕ( )r sin k 2π

n +ϕ( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

ak2 = r cos k 2π

n +ϕ( )− p( )2 + r sin k 2πn +ϕ( )( )2

= r2 cos2 k 2πn +ϕ( )− 2 pr cos k 2π

n +ϕ( ) + p2 + r2 sin2 k 2πn +ϕ( )

= r2 − 2 pr cos k 2πn +ϕ( ) + p2

a3

a4a5

a2

a1

ak

2

k=1

n∑ invariant

!r1!r2

!r3!r4

!r5

C p,0( )

Pythagoras / al-Sijzi

!rk =r cos k 2π

n +ϕ( )r sin k 2π

n +ϕ( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

ak2 = r cos k 2π

n +ϕ( )− p( )2 + r sin k 2πn +ϕ( )( )2

= r2 cos2 k 2πn +ϕ( )− 2 pr cos k 2π

n +ϕ( ) + p2 + r2 sin2 k 2πn +ϕ( )

= r2 − 2 pr cos k 2πn +ϕ( ) + p2

a3

a4a5

a2

a1

ak

2

k=1

n∑ invariant

!r1!r2

!r3!r4

!r5

C p,0( )

Pythagoras / al-Sijzi

!rk =r cos k 2π

n +ϕ( )r sin k 2π

n +ϕ( )⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

ak2 = r cos k 2π

n +ϕ( )− p( )2 + r sin k 2πn +ϕ( )( )2

= r2 cos2 k 2πn +ϕ( )− 2 pr cos k 2π

n +ϕ( ) + p2 + r2 sin2 k 2πn +ϕ( )

= r2 − 2 pr cos k 2πn +ϕ( ) + p2

a3

a4a5

a2

a1

ak

2

k=1

n∑ invariant

ak2

k=1

n∑ = r2 − 2prcos k 2π

n+ϕ( )+ p2( )

k=1

n∑

= nr2 − 2pr cos k 2πn+ϕ( )

k=1

n∑

0! "## $##

+ np2 = n r2 + p2( )

Pythagoras / al-Sijzi

ak2 = r cos k 2π

n +ϕ( )− p( )2 + r sin k 2πn +ϕ( )( )2

= r2 cos2 k 2πn +ϕ( )− 2 pr cos k 2π

n +ϕ( ) + p2 + r2 sin2 k 2πn +ϕ( )

= r2 − 2 pr cos k 2πn +ϕ( ) + p2

ak2

k=1

n∑ = r2 − 2prcos k 2π

n+ϕ( )+ p2( )

k=1

n∑

= nr2 − 2pr cos k 2πn+ϕ( )

k=1

n∑

0! "## $##

+ np2 = n r2 + p2( )

Pythagoras / al-Sijzi

unabhängig von ϕ

Pythagoras / al-Sijzi

ak2

k=1

n∑ = r2 − 2prcos k 2π

n+ϕ( )+ p2( )

k=1

n∑

= nr2 − 2pr cos k 2πn+ϕ( )

k=1

n∑

0! "## $##

+ np2 = n r2 + p2( )

Pythagoras / al-Sijzi

ak

2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

ak2

k=1

n∑ = r2 − 2prcos k 2π

n+ϕ( )+ p2( )

k=1

n∑

= nr2 − 2pr cos k 2πn+ϕ( )

k=1

n∑

0! "## $##

+ np2 = n r2 + p2( )

Pythagoras / al-Sijzi

ak2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

r

r2 + p2

C(p, 0, 0)(0, 0, 0)

(0, 0, –p)

Pythagoras / al-Sijzi

ak2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

n = 5

rot = blau

Pythagoras / al-Sijzi

ak2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

n = 5

rot = blau

Pythagoras / al-Sijzi

ak2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

n = 5

rot = blau

Pythagoras / al-Sijzi

ak2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

n = 5

rot = blau

Pythagoras / al-Sijzi

ak2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

n = 5

rot = blau

Pythagoras / al-Sijzi

ak2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

n = 5

rot = blau

Pythagoras / al-Sijzi

ak2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

n = 5

rot = blau

Pythagoras / al-Sijzi

ak2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

n = 5

rot = blau

Pythagoras / al-Sijzi

Sonderfall:

ak2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

p = r

180° / 90° 120° / 60° 90° / 45° 72° / 36°

n-Stern / n-Fächer

Pythagoras / al-Sijzi

Sonderfall:

ak2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

p = r

180° / 90° 120° / 60° 90° / 45° 72° / 36°

n-Stern / n-Fächer

⇒ ak

2

k=1

n∑ = 2nr2

Pythagoras / al-Sijzi

Sonderfall:

ak2

k=1

n∑ = n r2 + p2( )

p = r

180° / 90° 120° / 60° 90° / 45° 72° / 36°

n-teiliger Propeller / n-teiliger Fächer

⇒ ak

2

k=1

n∑ = 2nr2

Pythagoras

n = 3

rot = blau

⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Pythagoras

n = 3

rot = blau

⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Pythagoras

n = 3

rot = blau

⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Pythagoras

n = 3

rot = blau

⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Pythagoras

n = 3

rot = blau

⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Pythagoras

n = 3

rot = blau

⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Pythagoras

n = 3

rot = blau

⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Pythagoras

n = 3

rot = blau

⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Pythagoras

n = 3

rot = blau

⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Pythagoras

n = 3

rot = blau

⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Ganzzahlige Lösungen?

n = 3 ⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Ganzzahlige Lösungen?

n = 3 ⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Ganzzahlige Lösungen?

n = 3 ⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Ganzzahlige Lösungen?

n = 3 ⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Ganzzahlige Lösungen?

n = 3 ⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Ganzzahlige Lösungen?

n = 3 ⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

Ganzzahlige Lösungen?

n = 3 ⇒ ak

2

k=1

3∑ = 6r2

n = 10

Pythagoras

rot = blau

n = 10

Pythagoras

rot = blau

n = 10

Pythagoras

rot = blau

n = 10

Pythagoras

rot = blau

n = 10

Pythagoras

rot = blau

n = 10

Pythagoras

rot = blau

n = 10

Pythagoras

rot = blau

n = 10

Pythagoras

rot = blau

n = 10

Pythagoras

rot = blau

n = 10

Pythagoras

rot = blau

n = 10

Pythagoras

rot = blau

Pythagoras

n = 50

rot = blau

n = 50

rot = blau

Pythagoras

rot = blau

Risse

rot = blau

Risse

Parabel

Ansicht

rot = blau

Kegel

Zylinder

rot = blau

Kugel

Vivianische Kurve

Vincenzo Viviani 1622-1703

p = 2, n = 50

Pythagoras / al-Sijzi

Risse

p = 2, n = 50

Pythagoras / al-Sijzi

Risse

Parabel

p = 2, n = 50

Pythagoras / al-Sijzi

p = 0.5, n = 50

Pythagoras / al-Sijzi

Risse

p = 0.5, n = 50

Pythagoras / al-Sijzi

p = 0.5, n = 50

Pythagoras / al-Sijzi

Risse

Parabel

Danke

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20201105-07