2010

UNIVERSIDAD TECNICA DE MACHALA

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

ESCUELA DE INFORMATICA

MATEMATICAS IV

INTEGRANTES

CHANGO NIEBLA CARLOS ALBERTO

YAGUANA LOPEZ CRISTHIAN ALBERTO

CURSO

4to QUIMESTRE “B”

PROFESOR

ING. CARLOS SANCHEZ

TEMA

ECUACIONES DIRENCIALES LINEALES DE PRIMER

ORDEN

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION ................................................................................................... 3

TUTORIAL PARA EL MANEJO DE SOFTWARE ............................................... 4

ECUACION 1 Y SU RESOLUCION ...................................................................... 7

GRAFICA DE CURVAS (ECUACION 1) ............................................................ 10

GRAFICO DE LA FAMILIA DE CURVAS (ECUACION 1) ................................ 14

ECUACION 2 Y SU RESOLUCION .................................................................... 15

GRAFICA DE CURVAS (ECUACION 2) ............................................................ 18

GRAFICO DE LA FAMILIA DE CURVAS (ECUACION 2) .............................. 222

INTRODUCCION

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la

forma: Y´ + P(x)y = Q(x) Donde P y Q son funciones continuas.

Es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunas derivadas de esa función. Si la función que interviene tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.). Si la función tiene varias variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales (E.D.P.). El orden de una ecuación diferencial viene determinado por la derivada de orden más alto que aparece en dicha ecuación.

EJEMPLO

Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir, en ella, y sus derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas.

TUTORIAL PARA LA GRAFICACION DE LA FAMILIA DE

CURVAS

Este programa se lo obtuvo del internet por medio de esta ruta: http://winplot.softonic.com/descargar#pathbar, este programa es compatible con los sistemas operativos “Windows XP y LINUX”. Una vez ejecutado el programa nos presentara una ventana de la cual debemos seleccionar “ventana”

De la lista escojemos la opción “2-dim” o presionamos F2, al escoger esta opción aparecerá lo siguiente

Una vez con el plano cartesiano en pantalla presionamos “F1” para poder dibujar la familia de curvas

2 4 0 -2 -4

Sabiendo que:

f(x)=3Θ +c Θ2 (resultados de las ecuaciones resueltas)

f(x)=3x +c x2 la constante c = (rangos o escala de las curvas)

Una vez colocado el resultado y la coordenada correspondiente presionamos “ok”

Y nos aparecerá la primera curva

Y si queremos ubicar otra curva en el mismo plano cartesiano solamente presionemos “dupl”

De lo cual presentara por pantalla una ventana que le volverá a pedir el resultado con la coordenada correspondiente.

Y así sucesivamente con el resto de coordenadas.

TUTORIAL DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIO 1

Primero identificamos P ^ Q, despejando dr/dΘ

Donde

^

Luego vemos que P ^ Q están en función de Θ, para resolver utilizamos a: r=u.z

Donde u ^ z están en función de Θ, entonces derivamos

r=u.z

Despejamos la ecuación diferencial

donde

Remplazamos

^

Luego remplazamos a:r=u.z

Colocamos las variables en un miembro y las constantes en el otro miembro

Factoramos z y nos queda

Tomamos los valores que se encuentran dentro del paréntesis y despejamos u

Se integra la ecuación obtenida

lnu = 2ln

Por propiedad logarítmica lo que multiplica al logaritmo natural pasa como exponente asi:

lnu = ln 2

Simplificamos el logaritmo natural (ln) y queda:

u = 2

Para despejar z utilizamos el valor de u= 2

Despejamos z

Luego integramos ambos términos

Subimos 2 para poder integrar

Por ley de signos:

Para encontrar el valor de r usamos los valore de u ^ z y despejamos r:

r = u.z

Luego simplificamos y nos queda

GRAFICA DE LA 1ra ECUACION

GRAFICA DE CURVAS

1.- y = 3Θ + C Θ2

CUANDO

C =2 y = 3Θ + (2) C Θ2

CUANDO

C =4 y = 3Θ + (4) C Θ2

CUANDO

C =6 y = 3Θ + (6) C Θ2

CUANDO

C =8 y = 3Θ + (8) C Θ2

CUANDO

C =10 y = 3Θ + (10) C Θ2

CUANDO

C =0 y = 3Θ + (0) C Θ2

CUANDO

C =-2 y = 3Θ + (-2) C Θ2

CUANDO

C =-4 y = 3Θ + (-4) C Θ2

CUANDO

C =-6 y = 3Θ + (-6) C Θ2

CUANDO

C =-8 y = 3Θ + (-8) C Θ2

CUANDO

C =-10 y = 3Θ + (-10) C Θ2

ECUACION 1 Y SU GRAFICO DE FAMILIA DE CURVAS

EJERCICIO 2

Primero identificamos P ^ Q, despejando dx/dy

Donde

^

Luego vemos que P ^ Q están en función de y, para resolver utilizamos y=u.z

Donde u ^ z están en función de y, entonces derivamos

y=u.z

Despejamos la ecuación diferencial

donde

Remplazamos

^

Luego remplazamos y=u.z

Colocamos las variables en un miembro y las constantes en el otro miembro

Factoramos z y nos queda

Tomamos los valores que se encuentran dentro del paréntesis y despejamos u

Se integra la ecuación obtenida

lnu = - ln

Por propiedad logarítmica el signo negativo cambia a y quedando x-1

lnu = ln x-1

Simplificamos el logaritmo natural (ln) y queda:

u =

Para despejar z utilizamos el valor de u=

Despejamos z

Simplificamos y quedándonos

Luego integramos ambos términos

Tenemos una integración por partes y nos queda:

Simplificamos términos semejantes quedando:

Para encontrar el valor de x usamos los valore de u ^ z y despejamos x:

y = u.z

Luego simplificamos quedándonos

GRAFICA DE LA 2da ECUACION

GRAFICA DE CURVAS

y = sen x + (c/x)

CUANDO

C =2 y = sen x + (2/x)

CUANDO

C =4 y = sen x + (4/x)

CUANDO

C =6 y = sen x + (6/x)

CUANDO

C =8 y = sen x + (8/x)

CUANDO

C =10 y = sen x + (10/x)

CUANDO

C =0 y = sen x + (0/x)

CUANDO

C =-2 y = sen x + (-2/x)

CUANDO

C =-4 y = sen x + (-4/x)

CUANDO

C =-6 y = sen x + (-6/x)

CUANDO

C =-8 y = sen x + (-8/x)

CUANDO

C =-10 y = sen x + (-10/x)

ECUACION 2 Y SU GRAFICO DE FAMILIA DE CURVAS