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8/22/2019 Fractal Antennae and Coherence
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F r a c t a l A n t e n n a e a n d C o h e r e n c e
J u a n A . V a l d i v i a
C o d e 6 9 2 ,
N a s a G o d d a r d S p a c e F l i g h t C e n t e r
G r e e n b e l t , M D 2 0 7 7 1
a l e j o @ r o s e l o t t . g s f c . n a s a . g o v
3 0 1 2 8 6 - 3 5 4 5
D e c e m b e r 1 6 , 1 9 9 7
A b s t r a c t
F r a c t a l a n t e n n a e h a v e v e r y s p e c i a l p r o p e r t i e s :
1 T h e y a r e b r o a d b a n d a n t e n n a e , i . e . t h e y r a d i a t e , a n d d e t e c t , v e r y
e c i e n t l y f o r a w i d e r a n g e o f f r e q u e n c i e s . T h e f r e q u e n c y r a n g e i s s p e c i e d
b y t h e s m a l l e s t a n d l a r g e s t s i z e p r e s e n t i n t h e a n t e n n a . T h e r a d i a t i o n ,
a n d h e n c e t h e d e t e c t i o n , e c i e n c y d e p e n d s s l o w l y o n f r e q u e n c y b e t w e e n
t h e s e t w o l i m i t s .
2 T h e y c a n d i s p l a y c o n s i d e r a b l e g a i n o v e r n o r m a l d i p o l e t y p e o f a n -
t e n n a e a n d t h i s g a i n d e p e n d s s l o w l y o n f r e q u e n c y o v e r a l a r g e f r e q u e n c y
r a n g e . T h i s a n t e n n a g a i n c a n b e r e l a t e d t o t h e s p a t i o - t e m p o r a l s t r u c t u r e
o f t h e r a d i a t i o n p a t t e r n .
3 T h e y c a n d i s p l a y s p a t i a l s t r u c t u r e . T h e s p a t i a l s t r u c t u r e i s a l s o
r e l a t e d t o t h e a n t e n n a g a i n , a s t h e a n t e n n a c o n c e n t r a t e r a d i a t e d p o w e r
i n c e r t a i n p o s t i o n s a n d n o w i n o t h e r s . T h i s s p a t i a l s t r u c t u r e c a n b e v e r y
u s e f u l w h e n d i r e c t i o n a l i t y i s r e q u i r e d .
1 F r a c t a l A n t e n n a e a n d C o h e r e n c e
F o r t h e p u r p o s e s o f t h i s w o r k , w e a s s u m e t h a t a f r a c t a l a n t e n n a c a n b e f o r m e d
a s a n a r r a y o f " s m a l l " l i n e e l e m e n t s h a v i n g a f r a c t a l d i s t r i b u t i o n i n s p a c e . S u c h
d e s c r i p t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h o u r u n d e r s t a n d i n g o f f r a c t a l d i s c h a r g e s a n d l i g h t -
n i n g o b s e r v a t i o n s a s d i s c u s s e d b y L e V i n e a n d M e n e g h i n i 1 9 7 8 , N i e m e y e r e t
a l 1 9 8 4 , S a n d e r 1 9 8 6 , W i l l i a m s 1 9 8 8 , a n d L y o n s 1 9 9 4 . A p p e n d i x A d e -
v e l o p s t h e t h e o r y f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e e l d s p r o d u c e d b y a f r a c t a l a n t e n n a
c o m p o s e d o f s m a l l l i n e e l e m e n t s a n d f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e a r r a y f a c t o r i n
t h e f a r e l d o f t h e f r a c t a l .
1
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F r a c t a l s a r e c h a r a c t e r i z e d b y t h e i r d i m e n s i o n . I t i s t h e k e y s t r u c t u r a l p a -
r a m e t e r d e s c r i b i n g t h e f r a c t a l a n d i s d e n e d b y p a r t i t i o n i n g t h e v o l u m e w h e r e
t h e f r a c t a l l i e s i n t o b o x e s o f s i d e " . W e h o p e t h a t o v e r a f e w d e c a d e s i n " , t h e
n u m b e r o f b o x e s t h a t c o n t a i n a t l e a s t o n e o f t h e d i s c h a r g e e l e m e n t s w i l l s c a l e a s
N " "
D
. I t i s e a s y t o v e r i f y t h a t a p o i n t w i l l h a v e D = 0 , a l i n e w i l l h a v e
D = 1 a n d a c o m p a c t s u r f a c e w i l l h a v e D = 2 . T h e b o x c o u n t i n g d i m e n s i o n
O t t , 1 9 9 3 i s t h e n d e n e d b y
D '
l n N "
l n
1
"
1
F o r a r e a l d i s c h a r g e t h e r e i s o n l y a n i t e r a n g e o v e r w h i c h t h e a b o v e s c a l i n g l a w
w i l l a p p l y . I f " i s t o o s m a l l , t h e n t h e e l e m e n t s o f t h e d i s c h a r g e w i l l l o o k l i k e
o n e - d i m e n s i o n a l l i n e e l e m e n t s . S i m i l a r l y , i f " i s t o o l a r g e , t h e n t h e d i s c h a r g e w i l l
a p p e a r a s a s i n g l e p o i n t . I t i s , t h e r e f o r e , i m p o r t a n t t o c o m p u t e D o n l y i n t h e
s c a l i n g r a n g e , w h i c h i s h o p e f u l l y o v e r a f e w d e c a d e s i n " . T h e f r a c t a l d i m e n s i o n
w i l l b e a n i m p o r t a n t p a r a m e t r i z a t i o n f o r t h e f r a c t a l d i s c h a r g e m o d e l s t h a t w e
w i l l e x p l o r e l a t e r , a n d w i l l i m p a c t s i g n i c a n t l y t h e i n t e n s i t y a n d s p a t i a l s t r u c t u r e
o f t h e r a d i a t e d p a t t e r n .
W e c o n s i d e r a f r a c t a l a n t e n n a a s a n o n u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o f r a d i a t i n g
e l e m e n t s F i g . 1 . E a c h o f t h e e l e m e n t s c o n t r i b u t e s t o t h e t o t a l r a d i a t e d p o w e r
d e n s i t y a t a g i v e n p o i n t w i t h a v e c t o r i a l a m p l i t u d e a n d p h a s e , i . e .
E E
N
X
n = 1
A
n
e
i
n
N
X
m = 1
A
n
e
i
m
=
X
n m
A
n
A
m
e
i
n
m
2
T h e v e c t o r a m p l i t u d e s A
n
r e p r e s e n t t h e s t r e n g t h a n d o r i e n t a t i o n o f e a c h o f t h e
i n d i v i d u a l e l e m e n t s , w h i l e t h e p h a s e s
n
a r e i n g e n e r a l r e l a t e d t o t h e s p a t i a l
d i s t r i b u t i o n o f t h e i n d i v i d u a l e l e m e n t s o v e r t h e f r a c t a l , e . g . f o r a n o s c i l l a t i n g
c u r r e n t o f t h e f o r m e
i ! t
t h e p h a s e s v a r y a s k r w h e r e k =
!
c
a n d r i s t h e
p o s i t i o n o f t h e e l e m e n t i n t h e f r a c t a l .
I n t h e s e n s e o f s t a t i s t i c a l o p t i c s , w e c a n c o n s i d e r t h e e n s e m b l e a v e r a g e o f E q .
2 , u s i n g a n e r g o d i c p r i n c i p l e , o v e r t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n P
1
2
3
: : : ; A
1
A
2
A
3
; : : :
o f t h e f r a c t a l e l e m e n t s G o o d m a n , 1 9 8 5 . F o r s i m p l i c i t y w e a s s u m e t h a t t h e d i s -
t r i b u t i o n s f o r e a c h o f t h e e l e m e n t s a r e i n d e p e n d e n t , a n d a l s o t h e s a m e , h e n c e
G =
N
X
n m
D
A
n
A
m
e
i
n
m
E
= N
2
D
A
2
E
N
+
N , 1
N
h A i
2
e
i
2
B y r e q u i r i n g t h a t
D
A
2
E
= h A i
2
= 1 w e o b t a i n t h a t t h e e n s e m b l e a v e r a g e
i s
h E E
i G = N
2
1
N
+
N , 1
N
e
i
2
I f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e p h a s e s i s u n i f o r m e . g . r a n d o m t h e n e
i
= 0 a n d
G = 1 = N . O n t h e o t h e r h a n d , i f t h e r e i s p e r f e c t c o h e r e n c e w e h a v e e
i
= 1
2
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F i g u r e 1 : A s p a t i a l l y n o n u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o f r a d i a t o r s , e a c h c o n t r i b u t i o n g
t o t h e t o t a l r a d i a t i o n e l d w i t h a g i v e n p h a s e .
a n d G = 1 . I n g e n e r a l , a f r a c t a l a n t e n n a w i l l d i s p l a y a p o w e r l a w d i s t r i b u t i o n
i n t h e p h a s e s P
m u l t i p l i e d b y t h e f a c t o r 1 , e
s o i t i s n i t e
a t t h e o r i g i n , w h e r e = 0 c o r r e s p o n d s t o t h e u n i f o r m d i s t r i b u t i o n c a s e a n d
! 1 c o r r e s p o n d s t o p e r f e c t c o h e r e n c e . F i g u r e 2 s h o w s t h e p l o t o f
e
i
a s a f u n c t i o n o f I t c a n b e s e e n t h a t a p o w e r l a w d i s t r i b u t i o n o f p h a s e s , o r
s i m i l a r l y a p o w e r l a w i n t h e s p a t i a l s t r u c t u r e , g i v e s r i s e t o p a r t i a l c o h e r e n c e .
I f t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e v e c t o r a m p l i t u d e s d o e s n o t s a t i s f y t h e a b o v e r e -
l a t i o n s , e . g . t h e r a d i a t o r s a r e o r i e n t e d i n a r b i t r a r y d i r e c t i o n s , t h e n t h e p o w e r
d e n s i t y w i l l b e l e s s c o h e r e n t d u e t o
D
A
2
E
h A i
2
. A s i m i l a r r e s u l t c a n b e
a c h i e v e d b y h a v i n g a p o w e r l a w d i s t r i b u t i o n i n t h e a m p l i t u d e s . I n c o n c l u s i o n ,
t h e r a d i a t i o n e l d f r o m a p o w e r l a w d i s t r i b u t i o n o f p h a s e s w i l l h a v e a p o i n t
w h e r e t h e p h a s e s f r o m t h e r a d i a t o r s w i l l a d d u p a l m o s t p a r t i a l l y c o h e r e n t l y
s h o w i n g a s i g n i c a n t g a i n o v e r a r a n d o m d i s t r i b u t i o n o f p h a s e s . H e n c e t h e
c o n c e p t o f a f r a c t a l a n t e n n a .
T h e p a r t i a l c o h e r e n c e o f t h e r a d i a t o r s d e p e n d s o n t h e s p a t i a l p o w e r l a w
d i s t r i b u t i o n . S u c h a p o w e r l a w d i s t r i b u t i o n o f p h a s e s c a n b e v i s u a l i z e d w i t h
t h e h e l p o f C a n t o r s e t s O t t , 1 9 9 3 . A f a m i l y o f C a n t o r s e t s i s c o n s t r u c t e d b y
s u c c e s s i v e l y r e m o v i n g t h e m i d d l e 1 f r a c t i o n f r o m a n i n t e r v a l , t a k e n a s 0 , 1 ,
a n d r e p e a t i n g t h e p r o c e d u r e t o t h e r e m a i n i n g i n t e r v a l s s e e F i g . 3 . A t t h e n
t h
s t e p , a r a d i a t o r i s p l a c e d a t t h e m i d - p o i n t o f e a c h o f t h e r e m a i n i n g i n t e r v a l s .
N o t e t h a t f o r = 0 w e o b t a i n a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o f e l e m e n t s , b u t f o r 6=
0 t h e r a d i a t o r s a r e n o n - u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d , a n d i n f a c t t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n
f o l l o w s a p o w e r l a w t h a t c a n b e d e s c r i b e d b y i t s f r a c t a l d i m e n s i o n . S u p p o s e t h a t
f o r " w e r e q u i r e N " i n t e r v a l s t o c o v e r t h e f r a c t a l , t h e n i t i s c l e a r t h a t w i t h
" !
"
2
1 , w e w o u l d r e q u i r e 2 N " i n t e r v a l s t o c o v e r t h e f r a c t a l . B u t t h e
3
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2 4 6 8 10a
0.2
0.4
0.6
0.8
1
< E >2
N 2
F i g u r e 2 : A p l o t o f
e
i
2
a s a f u n c t i o n o f
f r a c t a l i s t h e s a m e , t h e r e f o r e , N " = 2 N " . F r o m t h e s c a l i n g N " "
D
w e
o b t a i n t h a t t h e d i m e n s i o n i s g i v e n b y
D = ,
l n 2
l n
1
2
W e c a n g o f u r t h e r , a n d w r i t e a f o r m u l a f o r t h e r a d i a t i o n e l d d u e t o t h e
, C a n t o r s e t o f r a d i a t o r s . N o t e t h a t i f a t t h e n
t h
s t e p w e h a v e t h e r a d i a t o r s
p l a c e d a t t h e s e q u e n c e o f p o i n t s S
n
= f x
i
i = 1 ; : : : ; 2
n 1
g t h e n a t t h e n
t h
+ 1 s t e p
e a c h r a d i a t o r a t x
i
w i l l b e r e p l a c e d b y t w o r a d i a t o r s a t x
i
1
2
n + 1
1 ,
n 1
1 +
g e n e r a t i n g t h e s e q u e n c e S
n + 1
= f x
i
i = 1 ; : : : ; 2
n
g . S i n c e w e s t a r t w i t h S
1
= f
1
2
g
t h e s e q u e n c e s S
n
a t t h e n
t h
s t e p a r e t r i v i a l l y c o n s t r u c t e d . T h e r a d i a t i o n e l d
s e e E q . 1 f r o m t h i s , C a n t o r s e t a t t h e n
t h
s t e p c a n t h e n b e w r i t t e n a s
E =
n
X
m = 1
, 1
m
m
e
i k L a x
m
+ i
m
3
w h e r e k =
!
c
, L i s t h e s p a t i a l e x t e n t o f t h e f r a c t a l , a =
b
x
b
r i s t h e a n g u l a r
p o s i t i o n o f t h e d e t e c t o r , a n d
m
t a k e n a s z e r o i s t h e p h a s e o f t h e m
t h
e l e m e n t .
T h e r a d i a t o r s a r e g i v e n a s t r e n g t h p r o p o r t i o n a l t o t h e m e a s u r e
i
o r l e n g t h
o f t h e s e g m e n t w h i c h d e n e s i t .
T h e s p a c e d e p e n d e n c e o f t h e r a d i a t i o n e l d s i s p l o t t e d i n F i g . 4 a - b f o r
= 1 = 3 D = 0 6 3 a n d = 0 D = 1 r e s p e c t i v e l y , w h e r e t h e s e t s h a v e b e e n
t a k e n t o t h e 5
t h
l e v e l . T h e m o s t r e l e v a n t i s s u e f o r o u r p u r p o s e s i s t h e f a c t t h a t
t h e r e i s a d i r e c t i o n a t w h i c h p h a s e s a d d c o h e r e n t l y p a r t i a l l y f o r = 1 = 3 w h i l e
t h i s d o e s n o t h a p p e n f o r t h e h o m o g e n e o u s c a s e = 0
4
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AND SO ON
F i g u r e 3 : T h e c o n s t r u c t i o n o f t h e f r a c t a l d i s t r i b u t i o n o f t h e r a d i a t o r s f r o m t h e
, C a n t o r s e t .
-6 -4 -2 2 4 62pkLa
0.5
1
1.5
2
2.5
3
E2
h=16 D=0.63
-6 -4 -2 2 4 62pkLa
0.5
1
1.5
2
2.5
3
E2
h=0 D=1
F i g u r e 4 : T h e s p a t i a l d e p e n d e n c e o f t h e r a d i a t i o n e l d s f o r a = 1 = 3 D =
0 6 3 a n d b = 0 D = 1
T h e r e f o r e , p a r t i a l c o h e r e n c e o c c u r s n a t u r a l l y i n s y s t e m s t h a t h a v e p o w e r -
l a w s p a t i a l d i s t r i b u t i o n s . W e a r e n o w r e a d y t o t u r n t o t h e p r o p e r t i e s o f f r a c t a l
a n t e n n a e w i t h p r o p a g a t i n g c u r r e n t s . S p e c i c a l l y , h o w t o r t u o s i t y a n d b r a n c h i n g
c a n i n c r e a s e t h e r a d i a t e d e l d i n t e n s i t y i n s o m e l o c a t i o n s a s c o m p a r e d w i t h
s i n g l e d i p o l e a n t e n n a e .
2 R a d i a t i o n a n d S i m p l e F r a c t a l M o d e l s
T o i l l u s t r a t e t h e p r o p e r t i e s o f f r a c t a l a n t e n n a e c o m p a r e d t o t h o s e o f s i m p l e
d i p o l e r a d i a t o r s , w e t a k e t h e f r a c t a l a n t e n n a a s c o m p o s e d o f s m a l l l i n e e l e m e n t s
a n d c o m p u t e i t s f a r e l d r a d i a t i o n p a t t e r n . F o r a n o s c i l l a t i n g c u r r e n t I t =
I
o
e
i ! t
t h a t p r o p a g a t e s w i t h s p e e d = v c a l o n g t h e a n t e n n a , t h e c o n t r i b u t i o n
5
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f r o m e a c h l i n e e l e m e n t t o t h e t o t a l r a d i a t i o n e l d i s f r o m E q . 1
c r E
n
r t
I
o
= e
i ! t
e
i k r
b
L
n
1 , a
n
e
i k p
n
b
n
e
i
k s
n
e
i k L
n
a
n
e
i
k L
n
, 1 4
w h e r e a
n
=
b
L
n
b
r p
n
i s t h e p o s i t i o n o f t h e b e g i n n i n g o f t h e l i n e e l e m e n t f r o m t h e
o r i g i n , a n d b
n
=
b
p
n
b
r . R a d i a t i o n o c c u r s w h e n t h e r e i s a c h a n g e i n t h e d i r e c t i o n
o f t h e p r o p a g a t i n g c u r r e n t . A l s o n o t e t h a t m a t h e m a t i c a l l y w e c a n d e s c r i b e a
r a d i a t o r w i t h a n o n p r o p a g a t i n g c u r r e n t i n t h e n o n - p h y s i c a l l i m i t ! 1
I n g e n e r a l , t h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f a n a n t e n n a c a n b e e e c t i v e l y e x c i t e d ,
o n l y b y c e r t a i n f r e q u e n c i e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h s c a l e s o f
t h e a n t e n n a , e . g . k L 1 s e e E q . 4 . T h e r e f o r e , i f t h e r e i s n o c h a r a c t e r i s t i c
s i z e , a s i n t h e c a s e o f a p o w e r l a w s t r u c t u r e , t h e n t h e a n t e n n a w i l l g e n e r a t e
a n e e c t i v e r a d i a t i o n p a t t e r n f o r a w h o l e r a n g e o f f r e q u e n c i e s c o n t r o l l e d b y t h e
s m a l l e r a n d l a r g e s t s p a t i a l s c a l e . S u c h a n t e n n a i s c a l l e d a b r o a d b a n d a n t e n n a ,
a n d t h a t i s w h y f r a c t a l a n t e n n a e a r e s o i m p o r t a n t i n m a n y a p p l i c a t i o n s .
B y s p a t i a l l y s u p e r p o s i n g t h e s e l i n e r a d i a t o r s w e c a n s t u d y t h e p r o p e r t i e s
o f s i m p l e f r a c t a l a n t e n n a e . O f s p e c i a l i n t e r e s t , t o o u r h i g h a l t i t u d e l i g h t n i n g
w o r k , i s t o c o m p a r e t h e r a d i a t i o n p a t t e r n o f t h e s e f r a c t a l m o d e l s w i t h a s i m p l e
m e a n i n g o n e l i n e e l e m e n t d i p o l e a n t e n n a .
2 . 1 G a i n D u e t o T o r t u o s i t y
T h e r s t e l e m e n t i n u n d e r s t a n d i n g f r a c t a l a n t e n n a e i s t h e c o n c e p t o f t o r t u o s i t y
i n w h i c h t h e p a t h l e n g t h b e t w e e n t w o p o i n t s i s i n c r e a s e d b y r e q u i r i n g t h a t t h e
s m a l l l i n e e l e m e n t s a r e n o l o n g e r c o l i n e a r . A s i m p l e t o r t u o u s m o d e l i s d i s p l a y e d
i n F i g . 5 , w h e r e t h e p a r a m e t e r " r e p r e s e n t s t h e v a r i a t i o n f r o m t h e s i m p l e d i p o l e
m o d e l l i n e r a d i a t o r , i . e . t h e d i p o l e i s r e c o v e r e d a s " ! 0
E x c e p t f o r t h e p r o p a g a t i o n e e c t , w e c a n o b s e r v e t h a t t h i s a n t e n n a F i g . 5
c a n b e c o n s i d e r e d a s t h e c o n t r i b u t i o n f r o m a l o n g l i n e e l e m e n t a d i p o l e p l u s t h e
c o n t r i b u t i o n f r o m a C a n t o r s e t o f r a d i a t o r s a s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n
s e e E q . 3 . T h e r e f o r e , t h e t o r t u o s i t y n a t u r a l l y i n c r e a s e s t h e r a d i a t i o n e l d
i n t e n s i t y , a t l e a s t i n s o m e d i r e c t i o n , a s c o m p a r e d w i t h t h e s i n g l e d i p o l e e l e m e n t .
T h e e l d c a n b e w r i t t e n f o r t h e s t r u c t u r e o f 5 , w i t h t h e h e l p o f E q . 4 , a s
t h e s u p e r p o s i t i o n o f t h e 2 N l i n e e l e m e n t s , a n d i s g i v e n b y t h e n o r m a l i z e d e l d
E " =
e
i k l a
x
e
i
k
, 1
1 , a
x
b
x +
e
i k l a
x
e
i
k
e
i k " a
y
e
i
" k
, 1
1 , a
y
b
y + 5
w h e r e l =
L
N
i s t h e l e n g t h o f t h e s m a l l s e g m e n t s c o m p o s i n g t h e t o r t u o u s p a t h ,
a n d a
x
=
b
x
b
r a n d a
y
=
b
y
b
r . I t i s c l e a r t h a t i n t h e l i m i t " ! 0 w e r e c o v e r t h e
s i n g l e d i p o l e r a d i a t i o n p a t t e r n . T h e e e c t o f t h e t o r t u o s i t y c a n n o w b e p o s e d
a s t h e b e h a v i o r o f t h e n o r m a l i z e d P " = E " E
" f o r " 6= 0 . I n g e n e r a l t h e
a n a l y s i s c a n b e s i m p l i e d i n t h e l i m i t f o r s m a l l " , i . e . P " ' P 0 + P 0 " +
O f c o u r s e P 0 i s t h e d i p o l e c o n t r i b u t i o n , a n d P 0 " i s t h e c h a n g e i n t h e r a d i a t e d
p o w e r d e n s i t y d u e t o t o r t u o s i t y . T h e d i p o l e h a s a m a x i m u m i n t h e r a d i a t e d
6
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F i g u r e 5 : A s i m p l e t o r t u o u s v a r i a t i o n o f a l i n e r a d i a t o r . N o t e t h a t t h e a n t e n n a
w i l l r a d i a t e e v e r y t i m e t h e r e i s a c h a n g e i n d i r e c t i o n .
p o w e r d e n s i t y P 0 '
4
2
1 a
x
2
, w h i l e t h e t o r t u o u s c o n t r i b u t i o n g o e s a s P 0 " '
4 k L "
1 a
x
2
f a
x
a
y
; k L ; ; N . T h e f u n c t i o n f d e p e n d s o n t h e g i v e n p a r a m e t e r s ,
b u t i t s m a x i m u m i s o f t h e o r d e r f 1 w i t h c l e a r r e g i o n s i n a
x
a
y
w h e r e i t i s
p o s i t i v e .
F o r o u r p u r p o s e s , t h e m o s t i m p o r t a n t c o n t r i b u t i o n c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t
P 0 " i s e s s e n t i a l l y i n d e p e n d e n t o f N a n d i t s c a l e s a s P k s = k L " ;
w h i c h c o r r e s p o n d s t o t h e i n c r e a s e i n t h e p a t h l e n g t h o f t h e a n t e n n a d u e t o t h e
t o r t u o s i t y . S u c h t e c h n i q u e c a n b e a p p l i e d t o o t h e r g e o m e t r i e s , g i v i n g e s s e n t i a l l y
t h e s a m e s c a l i n g P k s r e s u l t . T h i s f a c t w i l l b e e x t r e m e l y r e l e v a n t i n o u r
a n a l y s i s s i n c e l i g h t n i n g h a s n a t u r a l l y a t o r t u o u s p a t h .
2 . 2 F r a c t a l T o r t u o u s W a l k
M o r e g e n e r a l l y , a f r a c t a l t o r t u o u s p a t h c a n a l s o b e c o n s t r u c t e d i n t e r m s o f a
r a n d o m w a l k b e t w e e n t w o e n d p o i n t s V e c c h i , e t a l . , 1 9 9 4 . W e s t a r t w i t h a
s t r a i g h t l i n e o f l e n g t h L , t o w h i c h t h e m i d p o i n t i s d i s p l a c e d u s i n g a G a u s s i a n
r a n d o m g e n e r a t o r w i t h z e r o a v e r a g e a n d d e v i a t i o n u s u a l l y = 0 5 L
i
. T h e
p r o c e d u r e i s t h e n r e p e a t e d t o e a c h o f t h e s t r a i g h t s e g m e n t s N t i m e s . T h e r e i s a
c l e a r r e p e t i t i o n i n s u c c e s s i v e h a l v i n g o f t h e s t r u c t u r e a s w e g o t o s m a l l e r s c a l e s ,
m a k i n g t h i s a n t e n n a b r o a d b a n d . F i g u r e 6 a s h o w s a t y p i c a l t o r t u o u s f r a c t a l
w h e r e t h e d i v i s i o n h a s b e e n t a k e n t o t h e N = 8 l e v e l a n d i n w h i c h t h e p a t h l e n g t h
s h a s i n c r e a s e d 5 t i m e s , i . e . s = 5 L . W e c a n e s t i m a t e t h e f r a c t a l d i m e n s i o n b y
r e a l i z i n g t h a t t h e t o t a l l e n g t h s h o u l d g o a s L
t o t
L
s
h ` i
D 1
, w h e r e h ` i i s t h e
7
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a v e r a g e s e g m e n t s i z e . T h i s f o r m u l a t i o n i s c o m p l e t e l y e q u i v a l e n t t o E q . 1 .
W e l e t a n o s c i l l a t i n g c u r r e n t , e . g . I
o
e
i ! t
p r o p a g a t e a l o n g t h e f r a c t a l , b u t i n
r e a l a p p l i c a t i o n s w e c a n i m a g i n e t h e o s c i l l a t i n g c u r r e n t l a s t i n g f o r o n l y a n i t e
t i m e 1 = . I n o r d e r t o h a v e a n i t e c u r r e n t p u l s e p r o p a g a t i n g t h r o u g h t h e f r a c t a l
r a n d o m w a l k , w e l e t I t = I
o
e
t
, e
t
1 + c o s ! t t w i t h ! = 2 n
f
a n d
t a s t h e s t e p f u n c t i o n . H e r e n
f
r e p r e s e n t t h e n u m b e r o f o s c i l l a t i o n s d u r i n g
t h e d e c a y t i m e s c a l e 1 . W e c h o s e t h e d e c a y p a r a m e t e r s a s = 1 0
3
s
1
a n d
= 2 1 0
5
s
1
, h e n c e = = 2 0 0 , w h i c h c o r r e s p o n d t o r e a l i s t i c p a r a m e t e r s
f o r l i g h t n i n g U m a n , 1 9 8 7 . T h e r a d i a t e d p o w e r d e n s i t y i s t h e n c o m p u t e d u s i n g
E q . 1 2 a n d i s s h o w n i n F i g . 6 b f o r n
f
= 5 a n d = 0 1 a t t h e p o s i t i o n a
x
= 0
a
y
= 0 r = 6 0 k m . T h e d i p o l e e q u i v a l e n t i s g i v e n b y t h e d a s h e d l i n e s i n a l l 3
p a n e l s . T h e p e a k i n t h e r a d i a t e d p o w e r d e n s i t y i s a b o u t 1 0 t i m e s l a r g e r t h a n f o r
t h e d i p o l e c a s e , w h i c h a g r e e s w e l l w i t h t h e r e s u l t s
P 0 "
P 0
2 s
c
n
f
1 0 e v e n
t h o u g h t h e e e c t f r o m t h e t o r t u o s i t y i s n o t s m a l l . T h e l a r g e r p a t h l e n g t h o f
t h e t o r t u o u s d i s c h a r g e p r o d u c e s a n i n c r e a s e i n t h e r a d i a t i o n a s c o m p a r e d w i t h
a d i p o l e r a d i a t o r . O f c o u r s e t h e r e i s a l i m i t d u e t o e n e r g y c o n s e r v a t i o n , b u t i n
p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s w e a r e w e l l u n d e r i t . T h e i n c r e a s e i n t h e h i g h f r e q u e n c y
c o m p o n e n t s o f t h e r a d i a t e d e l d p o w e r s p e c t r u m F i g . 6 c , a s c o m p a r e d w i t h
t h e d i p o l e a n t e n n a , w i l l b e r e s p o n s i b l e f o r t h e s p a t i a l l y s t r u c t u r e d r a d i a t i o n
p a t t e r n .
F i g u r e 6 : T h e f r a c t a l r a n d o m w a l k a a n d i t s i n s t a n t a n e o u s r a d i a t e d p o w e r
d e n s i t y b a s w e l l a s i t s p o w e r s p e c t r u m c . T h e d a s h e d l i n e s r e p r e s e n t t h e
b e h a v i o r o f t h e s i n g l e d i p o l e .
T h e f a r e l d a r r a y f a c t o r R =
R
d t E
2
d e n e d i n A p p e n d i x A a n d t h e
8
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p e a k p o w e r d e n s i t y d e p e n d o n t h e p a t h l e n g t h , o r e q u i v a l e n t l y o n t h e n u m b e r
N o f d i v i s i o n s o f t h e f r a c t a l . F i g u r e 7 b s h o w s t h e a r r a y f a c t o r a s a f u n c t i o n o f
t h e p a t h l e n g t h f o r t h e f r a c t a l s h o w n i n F i g . 7 a . H e r e n
f
= 5 s o t h a t t h e p e a k
o f t h e a r r a y f a c t o r i s a t a
x
= 0 a n d a
y
= 0 . T h e r e i s a c l e a r i n c r e a s e i n t h e a r r a y
f a c t o r f r o m t h e t o r t u o u s f r a c t a l a s c o m p a r e d w i t h t h e s i n g l e d i p o l e .
F i g u r e 7 : a T h e t o r t u o u s d i s c h a r g e . b T h e a r r a y f a c t o r d e p e n d e n c e , n o r -
m a l i z e d t o t h e d i p o l e , o n t h e p a t h l e n g t h .
T h e r e f o r e , t h e e e c t o f t o r t u o s i t y c a n i n c r e a s e t h e r a d i a t e d p o w e r d e n s i t y a t
c e r t a i n l o c a t i o n s a s c o m p a r e d t o a s i n g l e d i p o l e a n t e n n a .
A n o t h e r i m p o r t a n t c o n c e p t r e l a t e d t o f r a c t a l a n t e n n a e i s t h e s p a t i a l s t r u c -
t u r e o f t h e r a d i a t i o n e l d . W e c a n s e e f r o m t h e a r r a y f a c t o r , E q . 1 3 , t h a t
f o r l a r g e n
f
f ' e
2 + c o s . T h e s p a t i a l d e p e n d e n c e o f t h e a r r a y
f a c t o r w i l l b e d e t e r m i n e d b y t h e f a c t o r
r
c
o v e r t h e f r a c t a l . C o n s e q u e n t l y , t h e
r a d i a t i o n p a t t e r n w i l l h a v e s p a t i a l s t r u c t u r e w h e n
r
c
2 w h i c h t r a n s l a t e
i n t o n
f
5 0 . F i g u r e 8 b s h o w s t h e a r r a y f a c t o r a t t h e h e i g h t h = 6 0 k m f o r t h e
d i s c h a r g e s t r u c t u r e s h o w n i n F i g . 8 a w i t h n
f
= 2 0 0 . T h e r e f o r e , s u c h a t o r t u -
o u s f r a c t a l c a n a l s o d i s p l a y a s p a t i a l s t r u c t u r e i n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n . B u t i t
i s m o r e n a t u r a l f o r t h e s p a t i a l s t r u c t u r e t o b e g e n e r a t e d t h r o u g h a b r a n c h i n g
p r o c e s s a s w e w i l l s e e i n t h e n e x t s e c t i o n .
T h e r e i s a n e n e r g y c o n s t r a i n t t h a t l i m i t s t h e d e g r e e o f t o r t u o s i t y o f a f r a c t a l
l i g h t n i n g d i s c h a r g e s i n c e w e c a n n o t r a d i a t e m o r e e n e r g y t h a n w h a t i s i n i t i a l l y
s t o r e d a s s e p a r a t e d c h a r g e . A l s o , i f t h e l i n e e l e m e n t s o f t h e a n t e n n a g i v e n b y F i g .
5 g e t t o o c l o s e t o g e t h e r , t h e n t h e i r c o n t r i b u t i o n t o t h e r a d i a t e d e l d w i l l t e n d
t o c a n c e l e a c h o t h e r . T h e r e f o r e , t h e r e i s a n o p t i m a l n u m b e r o f e l e m e n t s f o r m i n g
9
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F i g u r e 8 : T h e f r a c t a l s t r u c t u r e a a n d i t s a r r a y f a c t o r b s h o w i n g c l e a r s p a t i a l
s t r u c t u r e i n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n .
a n a n t e n n a , a n d t h i s o p t i m a l n u m b e r t r a n s l a t e s i n t o a n o p t i m a l d i m e n s i o n o f
t h e f r a c t a l , m o r e o n t h i s l a t e r .
2 . 3 B r a n c h i n g a n d S p a t i a l S t r u c t u r e
A n o t h e r e l e m e n t i n u n d e r s t a n d i n g f r a c t a l a n t e n n a e i s t h e c o n c e p t o f b r a n c h i n g .
T a k e t h e s i m p l e b r a n c h i n g e l e m e n t s h o w n i n F i g . 9 w h e r e t h e c u r r e n t i s d i v i d e d
b e t w e e n t h e t w o b r a n c h i n g e l e m e n t s . W e c a n c o m p u t e t h e r a d i a t i o n e l d , f o r a
p r o p a g a t i n g c u r r e n t I
o
e
i ! t
a s
E " =
b
x
e
i k ` a
x
e
i
k `
, 1
1 , a
x
+
b
y
e
i k ` a
x
e
i
k `
1 , a
y
1
2
f e
i k ` " a
y
e
i
" k `
, 1 , e
i k ` " a
y
e
i
" k `
, 1 g
6
w h e r e ` = L = 2 a n d " i s t h e v a r i a t i o n f r o m t h e s i n g l e d i p o l e , i . e . w e r e c o v e r t h e
d i p o l e a s " ! 0
A g a i n , t h e a n a l y s i s c a n b e s i m p l i e d i n t h e l i m i t f o r s m a l l " , i . e . P " '
P 0 + P 0 " + . O f c o u r s e P 0 i s t h e d i p o l e c o n t r i b u t i o n , a n d P 0 "
1 0
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F i g u r e 9 : A s i m p l e b r a n c h i n g s i t u a t i o n i n w h i c h w e d i s t r i b u t e t h e c u r r e n t a m o n g
t h e b r a n c h i n g e l e m e n t s .
i s t h e c h a n g e i n t h e r a d i a t e d p o w e r d e n s i t y d u e t o t h e l i n e b r a n c h i n g . T h e
d i p o l e h a s a m a x i m u m i n t h e r a d i a t e d p o w e r d e n s i t y P 0 '
4
2
1 a
x
2
, w h i l e
t h e b r a n c h i n g c o n t r i b u t i o n g o e s a s P 0 " '
k L "
1 a
x
2
f a
x
a
y
; k L ; ; N . T h e
f u n c t i o n f d e p e n d s o n t h e g i v e n p a r a m e t e r s , b u t i t s m a x i m u m i s o f t h e o r d e r
f 1 w i t h c l e a r r e g i o n s i n a
x
a
y
w h e r e i t i s p o s i t i v e . T h e r e f o r e , t h e b r a n c h i n g
p r o c e s s c a n g i v e r i s e t o a n i n c r e a s e i n t h e r a d i a t e d p o w e r d e n s i t y a t c e r t a i n
p o s i t i o n . O f c o u r s e t h i s i n c r e a s e i s d u e t o t h e i n c r e a s e i n t h e p a t h l e n g t h .
T h i s e e c t w i l l s a t u r a t e a s " i s i n c r e a s e d p a s s e d o n e , s i n c e t h e n t h e s t r o n g e s t
c o n t r i b u t i o n w i l l c o m e f r o m t h e d i p o l e r a d i a t o r g i v e n b y 2 " L
A i n t e r e s t i n g a n d m a n a g e a b l e b r o a d b a n d a n t e n n a c a n b e d e s c r i b e d i n t e r m s
o f t h e W e i e r s t r a s s f u n c t i o n s W e r n e r a n d W e r n e r , 1 9 9 5 . W e t a k e s u c c e s s i v e
b r a n c h i n g e l e m e n t s , a s s h o w n i n F i g . 1 0 a , w h e r e w e d i s t r i b u t e t h e c u r r e n t a t
e a c h b r a n c h i n g p o i n t s o t h a t t h e b r a n c h i n g e l e m e n t k e e p s a f r a c t i o n o f t h e
c u r r e n t . T h e n
t h
b r a n c h i n g e l e m e n t i s d i s p l a c e d b y a f a c t o r "
n
w i t h r e s p e c t t o
t h e o r i g i n . I f w e c o n c e n t r a t e o n l y o n t h e c o n t r i b u t i o n f r o m t h e l a s t b r a n c h i n g
s e t , a s s h o w n i n F i g . 1 0 a , w e c a n w r i t e t h e e l d a s
E
x
N
X
n = 1
"
n d
o
2
c o s k l "
n
a
y
+
n
n
=
k l
"
n 1
2 + "
w h e r e w e h a v e r e d e n e d = "
d
o
2
a n d a
y
= c o s . I n t h e l i m i t ! 1 a n d N !
1 w e o b t a i n t h e W e i e r s t r a s s f u n c t i o n t h a t i s c o n t i n u o u s b u t n o t d i e r e n t i a b l e ,
i . e . i s a f r a c t a l , a n d f u r t h e r m o r e , i t s d i m e n s i o n i n t h e s e n s e g i v e n b y E q . 1
i s d
o
. F o r t h e p u r p o s e o f i l l u s t r a t i o n w e t r u n c a t e t h e a b o v e s u m t o N = 8 . I n
F i g . 1 0 b , w e s h o w t h e d e p e n d e n c e o f t h e e l d a s a f u n c t i o n o f a
y
, 1 1 w i t h
a
x
= 0 f o r ! 1 . T h e p a r a m e t e r s v a l u e s a r e s h o w n i n t h e g u r e c a p t i o n .
1 1
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F i g u r e 1 0 c s h o w s t h e g a i n f a c t o r g i v e n b y
G =
m a x E
2
1
2
R
d a
y
E
2
a s a f u n c t i o n o f t h e d i m e n s i o n d
o
0 1 . W e c h o s e t h i s r a n g e s i n c e t h e f r a c t a l
a l r e a d y h a s a d i m e n s i o n 1 i n t h e p e r p e n d i c u l a r d i r e c t i o n s , i . e . D = 1 + d
o
F i g u r e 1 0 : T h e b r a n c h i n g p r o c e s s t o p r o d u c e a W e i e r s t r a s s r a d i a t i o n p a t t e r n .
a T h e b r u n c h i n g p r o c e s s w i t h t h e b r a n c h i n g l e n g t h i n c r e a s i n g a s "
n
L a n d t h e
c u r r e n t d e c r e a s i n g a s
n
I
o
. b t h e r a d i a t i o n p a t t e r n w i t h ! 1 g i v e n p e r f e c t
c o h e r e n c e . c T h e g a i n v s t h e d i m e n s i o n . I t a l s o c o n t a i n s t h e p a r a m e t e r s u s e d
i n a l l 3 g u r e s . d P a t i a l c o h e r e n c e f o r = 0 1
N o t e t h e i n c r e a s e i n t h e g a i n a s a f u n c t i o n o f d i m e n s i o n . I n g e n e r a l , t h e r e i s
a n o p t i m a l v a l u e o f D t h a t g e n e r a t e s t h e h i g h e s t p o w e r d e n s i t y a n d t h a t d o e s
n o t n e c e s s a r i l y h a s t o b e f o r D = 2 . I n F i g . 1 0 b a l l t h e e l e m e n t s f r o m t h e
a n t e n n a a d d u p c o h e r e n t l y a t a
y
= 0 , h e n c e p r o v i d i n g p e r f e c t c o h e r e n c e . F o r
a n i t e 1 t h e p r o p a g a t i o n b r i n g s a d i e r e n t p h a s e s h i f t a t e a c h e l e m e n t .
F i g u r e 1 0 d s h o w s t h e e e c t f o r = 0 1 a s a f u n c t i o n o f . N o t e t h a t a t n o p o i n t
t h e r e i s p e r f e c t c o h e r e n c e , b u t t h e r e i s c l e a r p a r t i a l c o h e r e n c e . T h e p e a k v a l u e
o f E
2
i s a c t u a l l y s e n s i t i v e t o
1 2
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E v e n t h o u g h f r a c t a l a n t e n n a e n a t u r a l l y l e a d t o t h e c o n c e p t o f a n i n c r e a s e
i n t h e p e a k r a d i a t e d p o w e r , i t a l s o h a s a s e c o n d i m p o r t a n t c o n s e q u e n c e d u e
t o b r a n c h i n g . A s w e h a v e s e e n i n t h e c a s e o f t h e W i e r t r a u s s f u n c t i o n , f r a c t a l
a n t e n n a e n a t u r a l l y r e s u l t i n t h e g e n e r a t i o n o f a s p a t i a l s t r u c t u r e i n t h e r a d i a t e d
p o w e r d e n s i t y . T h i s i n t e r p l a y b e t w e e n t h e s p a t i a l s t r u c t u r e a n d t h e i n c r e a s e i n
t h e p e a k r a d i a t e d p o w e r a r e t h e e s s e n t i a l i n g r e d i e n t s o f f r a c t a l a n t e n n a e a n d
w h y t h e y a r e s o i m p o r t a n t . A c l e a r e x a m p l e c a n b e i l l u s t r a t e d i n F i g . 1 0 d
w h e r e t h e r e a r e m u l t i p l e r e l e v a n t p e a k s o f t h e r a d i a t e d p o w e r i n s p a c e .
3 M o d e l i n g L i g h t n i n g a s a F r a c t a l A n t e n n a
T h e h y p o t h e s i s o f t h i s w o r k i s t h a t t h e s t r u c t u r e o f t h e r e d s p r i t e s c a n b e
a t t r i b u t e d t o t h e f a c t t h a t t h e p o w e r d e n s i t y g e n e r a t e d b y l i g h t n i n g d o e s n o t
h a v e t h e s m o o t h c h a r a c t e r i s t i c s e x p e c t e d f r o m t h e d i p o l e m o d e l o f E q . 7 , b u t
t h e s t r u c t u r e d f o r m e x p e c t e d f r o m a f r a c t a l a n t e n n a K i m a n d J a g g a r d , 1 9 8 6 ;
W e r n e r e t a l . , 1 9 9 5 . P r e v i o u s s t u d i e s o f l i g h t n i n g a s s u m e d t h a t t h e R F e l d s
c a u s i n g t h e a t m o s p h e r i c h e a t i n g a n d e m i s s i o n s , w e r e p r o d u c e d b y a n h o r i z o n t a l
d i p o l e c l o u d d i s c h a r g e m o m e n t M t h a t g e n e r a t e s a n e l e c t r i c e l d a t t h e h e i g h t
z , g i v e n b y
E =
M
4
o
z
3
+
1
4
o
c z
2
d M
d t
+
1
4
o
c
2
z
d
2
M
d t
2
7
w h e r e c i s t h e v e l o c i t y o f l i g h t a n d
o
i s t h e p e r m i t i v i t y o f f r e e s p a c e . I t i s i m -
p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t a l i g h t n i n g d i s c h a r g e m u s t b e h o r i z o n t a l , a s i n i n t r a c l o u d
l i g h t n i n g , t o p r o j e c t t h e e n e r g y u p w a r d s i n t o t h e l o w e r i o n o s p h e r e . A v e r t i c a l
d i s c h a r g e , a s i n c l o u d - t o - g r o u n d l i g h t n i n g , w i l l r a d i a t e i t s e n e r g y h o r i z o n t a l l y
a s a v e r t i c a l a n t e n n a .
I t i s o b v i o u s t h a t s u c h a h o r i z o n t a l d i p o l e r e s u l t s i n e l e c t r i c e l d s t h a t v a r y
s m o o t h l y w i t h d i s t a n c e . H o w e v e r , i t i s w e l l k n o w n t h a t l i g h t n i n g d i s c h a r g e s
f o l l o w a t o r t u o u s p a t h L e V i n e a n d M e n e g h i n i , 1 9 7 8 . I t w a s s h o w n W i l l i a m s
1 9 8 8 t h a t i n t r a c l o u d d i s c h a r g e s r e s e m b l e t h e w e l l k n o w n L i c h t e n b e r g p a t t e r n s
o b s e r v e d i n d i e l e c t r i c b r e a k d o w n . I n f a c t a t i m e - i n t e g r a t e d p h o t o g r a p h o f a s u r -
f a c e l e a d e r d i s c h a r g e i s i l l u s t r a t e d b y F i g u r e 1 1 . T h e s e p a t t e r n s h a v e b e e n r e -
c e n t l y i d e n t i e d a s f r a c t a l s t r u c t u r e s o f t h e D i u s i o n L i m i t e d A g g r e g a t e D L A
t y p e w i t h a f r a c t a l d i m e n s i o n D 1 6 S a n d e r , 1 9 8 6 ; N i e m e y e r e t a l . , 1 9 8 4 .
A s n o t e d p r e v i o u s l y , t h e t o r t u o u s p a t h i n c r e a s e t h e e e c t i v e d i p o l e m o m e n t ,
s i n c e n o w t h e p a t h l e n g t h a l o n g t h e d i s c h a r g e i s l o n g e r t h a t t h e E u c l i d e a n d i s -
t a n c e . T o u n d e r s t a n d t h i s a n a l o g y , w e c o n s t r u c t a t o r t u o u s w a l k b e t w e e n t w o
p o i n t s s e p a r a t e d b y a d i s t a n c e R a s s h o w n i n F i g 1 2 . T a k e t h e t o r t u o u s p a t h
a s N s m a l l s t e p s o f a v e r a g e d s t e p l e n g t h L
o
R , t h e n t h e t o t a l p a t h l e n g t h S
a l o n g t h e t o r t u o u s d i s c h a r g e i s
S N L
o
R
L
o
D 1
R
w h e r e t h e n u m b e r o f s m a l l s t e p s i s N
R
L
o
D
w i t h D a s t h e b o x c o u n t i n g
d i m e n s i o n O t t , 1 9 9 3 . A s w e h a v e s e e n b e f o r e , t h e c h a n g e i n t h e p a t h l e n g t h
1 3
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F i g u r e 1 1 : T i m e - i n t e g r a t e d p h o t o g r a p h o f a s u r f a c e l e a d e r d i s c h a r g e L i c h t e n -
b e r g p a t t e r n N i e m e y e r e t a l . , 1 9 8 4
i n c r e a s e s t h e r a d i a t e d p o w e r d e n s i t y a s E
2
= E
2
o
+ k S , R w h e r e E
2
o
2
T h e r e f o r e , f o r R 1 0 k m t y p i c a l f o r a n i n t r a c l o u d d i s c h a r g e , L
o
5 0 m ,
= 0 1 , a n d D 1 6 , w i t h o b t a i n
E
2
E
2
o
1 +
k R
R
L
o
D 1
, 1 1 + 5 f k H z
w h e r e f i s t h e f r e q u e n c y o f t h e c u r r e n t .
T h i s i s o n l y a n a n a l o g y , b u t i t g i v e s u s g o o d i n t u i t i o n t h a t a f r a c t a l l i g h t n i n g
d i s c h a r g e w i l l p r o d u c e a n i n c r e a s e i n t h e r a d i a t e d e l d i n t e n s i t y , a t l e a s t l o c a l l y ,
a s c o m p a r e d w i t h a d i p o l e m o d e l a n d a s p a t i a l l y s t r u c t u r e d r a d i a t i o n p a t t e r n .
A f r a c t a l d i e l e c t r i c d i s c h a r g e o f s i z e R c a n b e m o d e l e d a s a s e t o f n o n - u n i f o r m l y
d i s t r i b u t e d s m a l l c u r r e n t l i n e e l e m e n t s N i e m e y e r e t a l . , 1 9 8 4 t h a t r e p r e s e n t
t h e s t e p s o f t h e d i s c h a r g e b r e a k d o w n a s i t p r o p a g a t e s d u r i n g a n i n t r a c l o u d
l i g h t n i n g d i s c h a r g e . T h e s i z e o f t h e e l e m e n t a r y c u r r e n t s t e p s i s a b o u t L
o
5 0
m U m a n , 1 9 8 7 . A s a c u r r e n t p u l s e p r o p a g a t e s a l o n g t h i s h o r i z o n t a l f r a c t a l
d i s c h a r g e p a t t e r n i t r a d i a t e s e n e r g y u p w a r d s s e e A p p e n d i x A o n h o w t h e e l d s
a r e c a l c u l a t e d a s w e l l a s d o w n w a r d .
T o d e t e r m i n e t h e e x t e n t o v e r w h i c h t h e n o n - u n i f o r m i t y o f t h e l i g h t n i n g d i s -
c h a r g e c u r r e n t a e c t s t h e p o w e r d e n s i t y s t r u c t u r e p r o j e c t e d i n t h e l o w e r i o n o -
s p h e r e , w e w i l l n o w c o n s t r u c t a s i m p l e f r a c t a l m o d e l o f t h e l i g h t n i n g d i s c h a r g e
t h a t w i l l y i e l d a s p a t i o - t e m p o r a l r a d i a t i o n p a t t e r n a t t h e r e l e v a n t h e i g h t s .
3 . 1 F r a c t a l L i g h t n i n g : S t o c h a s t i c M o d e l
W e w a n t t o g e n e r a t e a f r a c t a l m o d e l t h a t c a n b e p a r a m e t r i z e d b y i t s f r a c t a l d i -
m e n s i o n . F o r t h i s p u r p o s e , w e f o l l o w N i e m e y e r e t a l . 1 9 8 4 w h o p r o p o s e d a t w o
1 4
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F i g u r e 1 2 : T o r t u o u s p a t h b e t w e e n t w o p o i n t .
d i m e n s i o n a l s t o c h a s t i c d i e l e c t r i c d i s c h a r g e m o d e l t h a t n a t u r a l l y l e a d s t o f r a c t a l
s t r u c t u r e s . I n t h i s m o d e l t h e f r a c t a l d i m e n s i o n D c a n b e e a s i l y p a r a m e t r i z e d
b y a p a r a m e t e r . F e m i a e t a l . 1 9 9 3 f o u n d e x p e r i m e n t a l l y t h a t t h e p r o p a -
g a t i n g s t o c h a s t i c L i c h t e n b e r g p a t t e r n i s a p p r o x i m a t e l y a n e q u i p o t e n t i a l . T h e n ,
t h e i d e a i s t o c r e a t e a d i s c r e t e d i s c h a r g e p a t t e r n t h a t g r o w s s t e p w i s e b y a d d i n g
a n a d j a c e n t g r i d p o i n t t o t h e d i s c h a r g e p a t t e r n g e n e r a t i n g a n e w b o n d . T h e
n e w g r i d p o i n t , b e i n g p a r t o f t h e d i s c h a r g e s t r u c t u r e , w i l l h a v e t h e s a m e p o t e n -
t i a l a s t h e d i s c h a r g e p a t t e r n . S u c h l o c a l c h a n g e w i l l a e c t t h e g l o b a l p o t e n t i a l
c o n g u r a t i o n , s e e F i g . 1 3 .
T h e p o t e n t i a l f o r t h e p o i n t s n o t o n t h e d i s c h a r g e s t r u c t u r e i s c a l c u l a t e d b y
i t e r a t i n g t h e d i s c r e t e t w o d i m e n s i o n a l L a p l a c e ' s e q u a t i o n
r
2
= 0
i j
=
1
4
i + 1 j
+
i 1 j
+
i j + 1
+
i j 1
u n t i l i t c o n v e r g e s . T h i s m e t h o d r e p r o d u c e s t h e g l o b a l i n u e n c e o f a g i v e n d i s -
c h a r g e p a t t e r n a s i t e x p a n d s . T h e d i s c h a r g e p a t t e r n e v o l v e s b y a d d i n g a n a d -
a c e n t g r i d p o i n t T h e m a i n a s s u m p t i o n h e r e i s t h a t a n a d a c e n t g r i d p o i n t
d e n o t e d b y l , m h a s a p r o b a b i l i t y o f b e c o m i n g p a r t o f t h e d i s c h a r g e p a t t e r n
p r o p o r t i o n a l t o t h e p o w e r o f t h e l o c a l e l e c t r i c e l d , w h i c h t r a n s l a t e s t o
p i j =
i j
P
m
m
i n t e r m s o f t h e l o c a l p o t e n t i a l . H e r e w e h a v e a s s u m e d t h a t t h e p o t e n t i a l a t
t h e d i s c h a r g e i s z e r o . T h e s t r u c t u r e g e n e r a t e d f o r = 1 , c o r r e s p o n d i n g t o a
L i c h t e n b e r g p a t t e r n , i s s h o w n i n F i g . 1 4 .
1 5
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16/36
0 00 00 01 11 11 10 00 00 01 11 11 10 00 00 01 11 11 1 0001110001110001110 00 00 01 11 11 1 000111 0001110001110001110 00 00 01 11 11 10 00 00 01 11 11 1F i g u r e 1 3 : D i a g r a m o f t h e d i s c r e t e d i s c h a r g e m o d e l .
T h e c o l o r c o d i n g c o r r e s p o n d s t o t h e p o t e n t i a l . F i g u r e 1 5 s h o w s a p l o t o f
N " v s . L o g " f o r t h e f r a c t a l d i s c h a r g e o f F i g . 1 4 , i . e . = 1 0 . A g a i n
t h e s c a l i n g b e h a v i o r o n l y o c c u r s o v e r a f e w d e c a d e s , b u t i t i s v e r y c l e a r . T h e
d i m e n s i o n o f t h i s s t r u c t u r e i s D ' 1 6
N o t e t h a t t h i s m o d e l , a n d a l s o t h e d i m e n s i o n o f t h e d i s c h a r g e , i s p a r a m e t r i z e d
b y . I n t u i t i v e l y w e e x p e c t t h a t w h e n = 0 t h e d i s c h a r g e w i l l h a v e t h e s a m e
p r o b a b i l i t y o f p r o p a g a t i n g i n a n y d i r e c t i o n , t h e r e f o r e , t h e d i s c h a r g e w i l l b e a
c o m p a c t s t r u c t u r e w i t h a d i m e n s i o n D = 2 . I f ! 1 t h e n t h e d i s c h a r g e w i l l
g o i n o n l y o n e d i r e c t i o n , h e n c e D = 1 . B e t w e e n t h e s e t w o l i m i t s , t h e d i m e n s i o n
w i l l b e t h e f u n c t i o n D s h o w n i n F i g 1 6 . A s a n e x a m p l e t h e c o r r e s p o n d i n g
s t r u c t u r e g e n e r a t e d f o r = 3 F i g 1 7 h a s a d i m e n s i o n o f D = 1 2
T o c o m p u t e t h e r a d i a t e d e l d s , w e m u s t d e s c r i b e t h e c u r r e n t a l o n g e a c h o f
t h e s e g m e n t s o f t h e f r a c t a l d i s c h a r g e . W e s t a r t w i t h a c h a r g e Q
o
a t t h e c e n t e r
o f t h e d i s c h a r g e . T h e c u r r e n t i s t h e n d i s c h a r g e d a l o n g e a c h o f t h e d e n d r i t i c
a r m s . A t e a c h b r a n c h i n g p o i n t w e c h o s e t o e n s u r e c o n s e r v a t i o n o f c u r r e n t , b u t
i n t u i t i v e l y w e k n o w t h a t a l a r g e r f r a c t i o n o f t h e c u r r e n t w i l l p r o p a g a t e a l o n g
t h e l o n g e s t a r m . S u p p o s e t h a t a c u r r e n t I
o
a r r i v e s a t a b r a n c h i n g p o i n t , a n d
i f L
i
i s t h e l o n g e s t d i s t a n c e a l o n g t h e i
t h
b r a n c h i n g a r m , w e i n t u i t i v e l y e x p e c t
t h a t t h e c u r r e n t o n t h e i
t h
a r m s h o u l d b e p r o p o r t i o n a l t o L
i
. T h e r e f o r e , w e
s a t i s f y c h a r g e o r c u r r e n t c o n s e r v a t i o n i f t h e c u r r e n t a l o n g t h e i
t h
b r a n c h i n g
a r m i s
I
i
=
L
i
P
j
L
j
1 6
8/22/2019 Fractal Antennae and Coherence
17/36
F i g u r e 1 4 : F r a c t a l d i s c h a r g e g e n e r a t e d w i t h = 1
3 . 2 C o m p u t i n g t h e F i e l d s f r o m t h e F r a c t a l S t r u c t u r e
A c u r r e n t p u l s e p r o p a g a t e s a l o n g t h e h o r i z o n t a l i n t h e x - y p l a n e 2 d i m e n s i o n a l
f r a c t a l d i s c h a r g e s t r u c t u r e , e . g . I x t = I t ,
s
v
g e n e r a t i n g r a d i a t i o n e l d s .
T h e r a d i a t i o n e l d i s t h e s u p e r p o s i t i o n , w i t h t h e r e s p e c t i v e p h a s e s , o f t h e s m a l l
l i n e c u r r e n t e l e m e n t s . T h e i n t r a c l o u d c u r r e n t p u l s e i s t a k e n a s a s e r i e s o f t r a i n
p u l s e s t h a t p r o p a g a t e a l o n g t h e a r m s o f t h e a n t e n n a
I t = I
o
e
t
, e
t
1 + c o s ! t t
w i t h ! = 2 n
f
a n d t a s t h e s t e p f u n c t i o n . H e r e n
f
r e p r e s e n t t h e n u m b e r
o f o s c i l l a t i o n s d u r i n g t h e d e c a y t i m e s c a l e 1 . W e c h o s e t h e d e c a y p a r a m e t e r s
a s = 1 0
3
s
1
a n d = 2 1 0
5
s
1
, h e n c e = = 2 0 0 , w h i c h c o r r e s p o n d t o
r e a l i s t i c p a r a m e t e r s f o r l i g h t n i n g U m a n , 1 9 8 7 . T h e t o t a l c h a r g e d i s c h a r g e d i s
t h e n Q = I
o
= , w h i c h f o r I
o
= 1 0 0 k A g i v e s Q 1 0 0 C . A s w e h a v e s e e n b e f o r e ,
w e r e q u i r e n
f
1 0 0 t o c r e a t e t h e s p a t i a l s t r u c t u r e s s o t h a t t h e e x p o n e n t i a l
d e c a y e
t
c a n b e c o n s i d e r e d a s t h e e n v e l o p e o f t h e o s c i l l a t i n g p a r t .
O n a g i v e n p o s i t i o n t h e t i m e d e p e n d e n c e o f t h e e l d i n t e n s i t y E
2
h a s a
f r a c t a l s t r u c t u r e , a s i t i s s h o w n i n F i g . 1 8 a f o r t h e s t o c h a s t i c d i s c h a r g e m o d e l
w i t h = 3 . T h e f r e q u e n c y s p e c t r u m o f t h e e l e c t r i c e l d i s s h o w n i n F i g .
1 8 b . I t i s v e r y i m p o r t a n t t o r e a l i z e t h a t t h e r e l e v a n t f r e q u e n c i e s a r e b e l o w a
f e w h u n d r e d k H z . B y r e s t r i c t i n g t h e e l d f r e q u e n c i e s t o b e l o w a f e w h u n d r e d
k H z , t h e a n a l y s i s i s g r e a t l y s i m p l i e d , s i n c e t h e n t h e c o n d u c t i v i t y a n d d i e l e c t r i c
t e n s o r s c a n b e c o n s i d e r e d a s i n d e p e n d e n t o f t i m e i n t h e l o w e r i o n o s p h e r e s e e
A p p e n d i x B .
T h e l a r g e c o n d u c t i v i t y o f t h e g r o u n d a t t h e s e f r e q u e n c i e s c a n b e i n c l u d e d b y
a s s u m i n g t o r s t o r d e r a n i m a g e d i s c h a r g e o f o p p o s i t e c u r r e n t b e l o w a p e r f e c t l y
1 7
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F i g u r e 1 5 : T h e p l o t o f l n N v s
1
f o r = 1
c o n d u c t i v e p l a n e . T h e p r i m a r y d i s c h a r g e i s t a k e n t o b e a t z
o
= 5 k m a b o v e t h e
g r o u n d . T h i s p a r a m e t e r i s n o t v e r y r e l e v a n t , s i n c e w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e e l d
a t h e i g h t s o f a b o u t h 8 0 k m , t h e r e f o r e , m o v i n g t h e d i s c h a r g e f r o m 5 t o 1 0 k m
w i l l o n l y c h a n g e t h e e l d s t r e n g t h b y a m a r g i n a l 1 0 .
3 . 3 H o w d o e s t h e F r a c t a l D i m e n s i o n A e c t t h e F i e l d P a t -
t e r n ?
F o r a 2 - d i m e n s i o n a l f r a c t a l s t r u c t u r e , w e e x p e c t t h a t t h e s t r e n g t h o f t h e r a d i a t e d
p o w e r d e n s i t y d e p e n d s o n t h e f r a c t a l s t r u c t u r e , i . e . i t s f r a c t a l d i m e n s i o n . I f t h e
s t r e n g t h o f t h e k F o u r i e r c o m p o n e n t i s A
k
t h e n t h e e l d i n t h e f a r e l d J a c k s o n
1 9 7 5 a t r a l o n g t h e a x i s o f t h e f r a c t a l w i l l b e g i v e n b y
E
Z
d k A
k
Z
d R s i n k
w h e r e d t h e f r a c t a l m e a s u r e i s t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e f r a c t a l f r o m a g i v e n
p o l a r p o s i t i o n R i s t h e p h a s e c o n t r i b u t i o n f r o m t h e e l e m e n t s o f t h e
f r a c t a l a t p o s i t i o n a n d i n t h e f a r e l d s h o u l d b e p r o p o r t i o n a l t o t h e d i r e c -
t i o n o f t h e l o c a l c u r r e n t . N o t e t h a t a r a d i a l l y p r o p a g a t i n g u n i f o r m 2 d i m e n s i o n a l
c u r r e n t s t r u c t u r e w i l l g e n e r a t e n o e l d a t t h e a x i s s i n c e c o n t r i b u t i o n s t o R
f r o m d i e r e n t p a r t s o f t h e f r a c t a l w i l l c a n c e l e a c h o t h e r .
T h e c r o s s s e c t i o n o f t h e f r a c t a l a t a g i v e n r a d i u s w i l l r e s e m b l e a C a n t o r s e t
i n 0 2 , a n d t h e p h a s e c o n t r i b u t i o n w i l l b e g i v e n b y S =
R
d R
w h i c h w i l l b e n i t e f o r a n a s y m m e t r i c a l f r a c t a l . T h e i n t e g r a t i o n c a n b e c a r r i e d a s
a L e b e s g u e i n t e g r a l o r a s a R i e m a n n - S t i e l t j e s i n t e g r a l o v e r t h i s p s e u d o - C a n t o r
1 8
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F i g u r e 1 6 : T h e d i m e n s i o n o f t h e s t o c h a s t i c m o d e l a s a f u n c t i o n o f w i t h t h e
e s t i m a t e d e r r o r b a r s .
s e t R o y d e n , 1 9 6 3 . N o t e t h a t i f t h e f r a c t a l i s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d a l o n g
c o r r e s p o n d i n g t o D = 2 , t h e n S = 0 . S i m i l a r l y , f o r a d e l t a f u n c t i o n a t =
o
c o r r e s p o n d i n g t o D = 1 , S g i v e s a p o s i t i v e c o n t r i b u t i o n . S i s a v e r y
c o m p l i c a t e d f u n c t i o n t h a t d e p e n d s o n t h e d e t a i l s o f t h e c u r r e n t d i s t r i b u t i o n
a l o n g t h e f r a c t a l . I n a n a v e r a g e s e n s e w e c a n s u p p o s e t h a t S f D w h e r e
f D = 1 = 1 a n d f D = 2 = 0 b u t f c a n b e g r e a t e r t h a n o n e f o r o t h e r v a l u e s
a s h a s b e e n i n v e s t i g a t e d i n p r e v i o u s s e c t i o n s w h e n b r a n c h i n g a n d p r o p a g a t i o n
o c c u r s . T h e r e f o r e ,
E f D
Z
d k A
k
Z
d m I s i n k
w h e r e d m r e p r e s e n t s t h e a m o u n t o f t h e f r a c t a l b e t w e e n a n d + d a n d
I i s t h e a v e r a g e d c u r r e n t o v e r a t r a d i u s . A f r a c t a l w i l l h a v e a m a s s u p
t o a r a d i u s g i v e n b y m =
L
o
D
b y n o t i n g t h a t a 2 d i m e n s i o n a l a n t e n n a
w i l l h a v e m o r e e l e m e n t s t h a n a o n e d i m e n s i o n a l f r a c t a l . I n g e n e r a l , d u e t o t h e
b r a n c h i n g p r o c e s s , s o m e o f t h e c u r r e n t d o e s n o t r e a c h t h e r a d i u s R . B u t f o r
s i m p l i c i t y , i f a l l o f t h e c u r r e n t r e a c h e s t h e e n d o f t h e f r a c t a l a t r a d i u s R , t h e n
d m I = d . I n s u c h c a s e , t h e a b o v e i n t e g r a l g i v e s
E f D
Z
d k k
1
A
k
1 , c o s k R
1 9
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20/36
N o t e t h a t " =
`
R
i n s o m e s e n s e s e l e c t s t h e F o u r i e r c o m p o n e n t k =
2
" R
w h i c h
h a s a s t r e n g t h A
k
N " "
D
. T h e i n t e g r a l o v e r k g i v e s g D '
L o
R
D 1
t h e r e f o r e , t h e e l d i s g i v e n b y
E f D g D 8
w h i c h s h o w s t h a t t h e e l d h a s a m a x i m u m v a l u e a t a s p e c i c v a l u e o f D 1 2
s i n c e f D d e c r e a s e s a n d g D i n c r e a s e s w i t h D r e s p e c t i v e l y .
O n t h e o t h e r h a n d , t h e R a y l e i g h l e n g t h , t h e d i s t a n c e b e y o n d w h i c h t h e e l d
s t a r t d e c a y i n g t o t h e i r f a r e l d v a l u e s , b e h a v e s a s R
L
"
" R
2
f o r a g i v e n "
R e d s p r i t e s o c c u r a t a h e i g h t z 8 0 k m , t h e r e f o r e , f o r z R
L
" e l e m e n t s
w i t h s i z e s s m a l l e r t h a n " d o n o t c o n t r i b u t e t o t h e e l d , i . e . a s w e i n c r e a s e z w e
w a s h o u t t h e i n f o r m a t i o n o f i n c r e a s i n g l y l a r g e r s p a t i a l s c a l e s o f t h e f r a c t a l . I t i s
t h e p o w e r l a w d e p e n d e n c e , a s s p e c i e d b y t h e f r a c t a l d i m e n s i o n , t h a t d e t e r m i n e
t h e e l d p a t t e r n .
E v e n t h o u g h , t h e r a d i a t i o n p a t t e r n w i l l d e p e n d o n t h e d e t a i l s o f t h e f r a c t a l
s t r u c t u r e , w e e x p e c t t h a t t h e m o s t r e l e v a n t p a r a m e t e r i n d e t e r m i n i n g t h e r a -
d i a t i o n p a t t e r n w i l l b e t h e f r a c t a l d i m e n s i o n , a s f o u n d b y M y e r s e t a l . 1 9 9 0
f o r s i m p l e f r a c t a l s . T h e r e i s a n i n t e r p l a y b e t w e e n t h e d i m e n s i o n a n d t h e s p a t i a l
s t r u c t u r e o f t h e r a d i a t i o n p a t t e r n . F o r a d i m e n s i o n c l o s e t o D 1 o r D 2
t h e r e w i l l b e n o s i g n i c a n t s p a t i a l s t r u c t u r e . W h i l e a n i n t e r m e d i a t e d i m e n s i o n
c a n p r o d u c e a s i g n i c a n t s p a t i a l s t r u c t u r e .
3 . 4 F i e l d s f r o m t h e S t o c h a s t i c M o d e l
F i r s t w e s t a r t b y c o m p u t i n g t h e a r r a y f a c t o r b a s e d o n t h e f a r e l d a p p r o x i m a t i o n
s e e A p p e n d i x A . W e t a k e n
f
2 0 0 a n d = 0 1 a n d c o m p u t e t h e a r r a y f a c t o r
a t a h e i g h t z = 6 0 k m . F i g u r e 1 9 s h o w s t h e a r r a y f a c t o r f o r t h e d i s c h a r g e
s t r u c t u r e s h o w n i n F i g . 1 7 w i t h = 3
T h e l e n g t h o f t h e e l e m e n t a r y c u r r e n t e l e m e n t s i s a b o u t 1 0 0 m . T h e a r r a y
f a c t o r s h o w s c l e a r s t r u c t u r e . A c r o s s - s e c t i o n o f t h e n o r m a l i z e d a r r a y f a c t o r a r e
s h o w n i n F i g . 2 0 a n d F i g . 2 1 f o r = 1 a n d = 2 r e s p e c t i v e l y .
S i m i l a r l y , t h e a r r a y f a c t o r a t x = 1 0 k m , y = 1 0 k m , z = 6 0 k m i s s h o w n a s
a f u n c t i o n o f t h e f r a c t a l d i m e n s i o n o f t h e d i s c h a r g e s f o r = 0 0 5 a n d = 0 0 2 5
i n F i g . 2 2 a f o r n
f
= 0 a n d F i g . 2 2 b f o r n
f
= 2 0 0 .
T h e f r a c t a l d i m e n s i o n d e p e n d e n c e o f t h e a r r a y f a c t o r i s v e r y i n t r i g u i n g , b u t i s
o f c l e a r s i g n i c a n c e f o r o u r l i g h t n i n g s t u d i e s . W h a t a b o u t t h e t i m e d e p e n d e n c e
o f t h e r a d i a t i o n s e l d s ? F i g u r e 2 3 s h o w s t h e t i m e d e p e n d e n c e o f t h e r a d i a t i o n
e l d s f o r = 1 2 3 5 1 0 w i t h n
f
= 2 0 0 5 0 1 w h e r e e a c h g u r e i s c a r e f u l l y
l a b e l e d . A g a i n t h e r e l e v a n c e o f t h e = 3 c a s e i s v e r y s t r i k i n g . E a c h c o l u m n
o f g r a p h s r e p r e s e n t t h e t i m e d e p e n d e n c e f o r n
f
= 2 0 0 5 0 1 r e s p e c t i v e l y , w h e r e
t h e r o w s r e p r e s e n t t h e c a s e f o r = 1 2 3 5 1 0 . T h e a m p l i t u d e o f t h e e l d h a s
b e e n m u l t i p l i e d b y t h e f a c t o r d i s p l a y e d n e x t t o t h e g r a p h .
W e t a k e t h e c a s e f o r = 3 a n d w e s t u d y t h e d e p e n d e n c e o f t h e a r r a y f a c t o r
a s a f u n c t i o n o f t h e c u r r e n t f r e q u e n c y a s p a r a m e t r i z e d b y n
f
F i g u r e 2 4 s h o w s
t h e f r e q u e n c y d e p e n d e n c e o f t h e a r r a y f a c t o r a t t h i s l o c a t i o n x = 1 0 k m , y = 1 0
2 0
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21/36
k m z = 6 0 k m . I n i t i a l l y t h e a r r a y f a c t o r i n c r e a s e s l i n e a r l y w i t h n
f
a s e x p e c t e d
b u t t h e n i t s t a r t s t o o s c i l l a t e a s t h e s p a t i a l v a r i a t i o n o f t h e e l d p a t t e r n b e c o m e s
r e l e v a n t .
I n c o n c l u s i o n , t h e f r a c t a l n a t u r e o f t h e d i s c h a r g e s , b e i n g a s i m p l e r a n d o m
w a l k o r a s t o c h a s t i c d i s c h a r g e m o d e l , l e a d s n a t u r a l l y t o a n i n c r e a s e i n t h e p e a k
p o w e r d e n s i t y a s c o m p a r e d w i t h t h e d i p o l e m o d e l . T h i s i n c r e a s e i s r e l a t e d t o t h e
i n c r e a s e i n t h e a n t e n n a p a t h l e n g t h , o r t o r t u o s i t y , a n d o n t h e b r a n c h i n g p r o c e s s .
I t w i l l b e s h o w n l a t e r t h a t t h i s g a i n i n p e a k p o w e r d e n s i t y l e a d s t o a s i g n i c a n t
r e d u c t i o n s i n t h e d i s c h a r g e p r o p e r t i e s e . g . c h a r g e , p e a k c u r r e n t r e q u i r e d t o
p r o d u c e t h e o b s e r v e d s p r i t e e m i s s i o n s . F u r t h e r m o r e , i f t h e d i s c h a r g e h a s a h i g h
f r e q u e n c y c o m p o n e n t , a s e x p e c t e d f r o m a n a c c e l e r a t i o n a n d d e c e l e r a t i o n p r o c e s s
i n e a c h o f t h e s i n g l e s t e p s , t h e n t h e r a d i a t i o n p a t t e r n c a n s h o w s p a t i a l s t r u c t u r e .
T h i s s p a t i a l s t r u c t u r e o f t h e l i g h t n i n g i n d u c e d r a d i a t i o n p a t t e r n w i l l b e r e l a t e d
t o t h e s p a t i a l s t r u c t u r e o f t h e r e d s p r i t e s i n t h e n e x t c h a p t e r .
4 A p p e n d i x A : F i e l d s f r o m a F r a c t a l S t r u c t u r e
T h e e l d s f r o m a l i n e e l e m e n t c a n b e s o l v e w i t h t h e h e l p o f t h e H e r t z V e c t o r
M a r i o n a n d H e a l d , 1 9 8 0 . I n o r d e r t o s o l v e M a x w e l l ' s e q u a t i o n s w e d e n e , i n
e m p t y s p a c e , t h e v e c t o r f u n c t i o n Q M a r i o n a n d H e a l d , 1 9 8 0 t h a t i s r e l a t e d
t o t h e c u r r e n t d e n s i t y J a n d t h e c h a r g e d e n s i t y a s
J = ,
@ Q
@ t
= r Q
N o t e t h a t Q s o l v e s t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n t r i v i a l l y , a n d f u r t h e r m o r e , i t c a n b e
u s e d t o d e n e a n o t h e r v e c t o r f u n c t i o n , n a m e l y t h e H e r t z v e c t o r x t a s
r
2
,
1
c
2
@
2
@ t
2
= , 4 Q
w h e r e t h e e l d s a r e t h e n d e n e d a s
B x t =
1
c
r
@ x t
@ t
E x t = r r x t
T h e t i m e - F o u r i e r t r a n s f o r m e d M a x w e l l ' s e q u a t i o n s , w i t h Q x ! =
i
!
J x !
a n d J x ! =
b
L I l ! c a n b e s o l v e d w i t h t h e h e l p o f t h e H e r t z v e c t o r
x ! =
i
!
Z
L
0
J l !
e
i k
x
b
L
x , l
b
L
d l 9
w h e r e t h e l i n e e l e m e n t h a s o r i e n t a t i o n L a n d l e n g t h L , a n d i s p a r a m e t r i z e d b y
l 0 L . V a l u e s w i t h t h e h a t b i n d i c a t e u n i t v e c t o r s , v a r i a b l e s i n b o l d i n d i c a t e
v e c t o r s , ! i s t h e f r e q u e n c y , k =
!
c
. T h e t i m e d e p e n d e n c e c a n b e f o u n d b y
i n v e r t i n g t h e a b o v e e q u a t i o n .
2 1
8/22/2019 Fractal Antennae and Coherence
22/36
4 . 1 F i e l d s f r o m a F r a c t a l A n t e n n a e
A c u r r e n t p u l s e p r o p a g a t e s w i t h s p e e d =
v
c
a l o n g a f r a c t a l s t r u c t u r e . A t t h e
n
t h
l i n e e l e m e n t w i t h o r i e n t a t i o n L
n
a n d l e n g t h L
n
, w h i c h i s p a r a m e t r i z e d b y
l 0 L
n
, t h e c u r r e n t i s g i v e n b y I l s
n
t = I
o
t ,
s
n
+
v
w h e r e s
n
i s t h e p a t h
l e n g t h a l o n g t h e f r a c t a l o r i f y o u p r e f e r a p h a s e s h i f t . T h e r a d i a t i o n e l d i s
t h e s u p e r p o s i t i o n , w i t h t h e r e s p e c t i v e p h a s e s , o f t h e s m a l l l i n e c u r r e n t e l e m e n t s
t h a t f o r m t h e f r a c t a l . F o r a s e t f r
n
L
n
I s
n
t n = 0 ; : : : ; N g o f l i n e e l e m e n t s ,
s u c h a s s h o w n i n t h e e x a m p l e d i a g r a m o f F i g . 2 5 , t h e H e r t z v e c t o r i s g i v e n b y
x ! =
X
f n g
b
L
n
i
!
Z
L
n
0
I
o
! e
i
!
v
s
n
+
e
i k k r
n
b
L
n
k
k r
n
, l
b
L
n
k
d l 1 0
w h e r e r
n
i s t h e v e c t o r f r o m t h e b e g i n n i n g o f t h e n
t h
l i n e e l e m e n t t o t h e e l d
p o s i t i o n x ! i s t h e f r e q u e n c y a n d k =
!
c
W e m u s t r e a l i z e t h a t i n g e n e r a l E q . 1 0 f o r i s v e r y c o m p l i c a t e d , b u t w e
a r e i n t e r e s t e d i n t h e f a r e l d o f t h e s m a l l l i n e e l e m e n t s r
n
L . T h e r e f o r e ,
w e c a n t a k e t h e f a r e l d a p p r o x i m a t i o n o f t h e s m a l l l i n e e l e m e n t s t o o b t a i n a
c l o s e d f o r m s o l u t i o n f o r t h e F o u r i e r t r a n s f o r m e d e l d s a s
B x ! = ,
X
f n g
k
2
e
i k r
n
r
n
f s
n
; ! ; r
n
1 +
i
k r
n
b
L
n
b
r
n
E x ! = ,
P
f n g
k
2
e
i k r
n
r
n
f s
n
; ! ; r
n
1 +
i
k r
n
+
i
2
k r
n
2
c
L
n
,
b
r
n
b
L
n
b
r
n
1 +
3 i
k r
n
+
3 i
2
k r
n
2
w h e r e t h e g e o m e t r i c f a c t o r i s g i v e n b y
f s
n
; ! ; r
n
=
i
!
Z
L
n
0
I
o
s
n
; l ; ! e
i
b
L
n
b r
n
k
d l =
i e
i
c
v
s
n
!
I
o
!
Z
L
n
0
e
i
c
v
b
L
n
b r
n
k
d l
f s
n
; ! ; r
n
=
I
o
! e
i
!
v
s
n
c k
2
1 ,
b
L
n
b
r
n
1 , e
i
c
v
b
L
n
b r
n
k L
n
N o t e t h a t e v e n t h o u g h w e a r e i n t h e f a r e l d o f t h e s m a l l l i n e e l e m e n t s , w e
c a n b e i n f a c t i n t h e i n t e r m e d i a t e e l d w i t h r e s p e c t t o t h e g l o b a l f r a c t a l s t r u c -
t u r e . T h e r e f o r e , p h a s e c o r r e l a t i o n s o v e r t h e f r a c t a l c a n b e e x t r e m e l y r e l e v a n t ,
a n d p r o d u c e s p a t i a l l y n o n u n i f o r m r a d i a t i o n e l d s . W e t h e n i n v e r t t h e F o u r i e r
t r a n s f o r m o f t h e e l d t o r e a l t i m e a n d o b t a i n t h e s p a t i o - t e m p o r a l r a d i a t i o n
p a t t e r n d u e t o t h e f r a c t a l d i s c h a r g e s t r u c t u r e
B x t =
X
f n g
,
b
L
n
b
r
n
c r
n
c
v
,
b
L
n
b
r
n
I
o
t
1
t
2
+
c
r
n
I
1
t
1
t
2
E x t =
P
f n g
1
c r
n
c
v
b
L
n
b r
n
I
o
t
1
t
2
+
c
r
n
I
1
t
1
t
2
+
c
2
r
2
n
I
2
t
1
t
2
b
L
n
,
b
r
n
b
L
n
b
r
n
I
o
t
1
t
2
+
3 c
r
n
I
1
t
1
t
2
+
3 c
2
r
2
n
I
2
t
1
t
2
1 1
2 2
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23/36
w h e r e
I
1
t =
Z
t
1
d I
o
I
2
t =
Z
t
1
d
Z
1
d I
o
c a n b e c a l c u l a t e d e x a c t l y f o r t h e c u r r e n t d e s c r i b e d a b o v e , a n d w h e r e
1
=
r
n
c
+
s
n
v
2
=
r
n
+
b
L
n
b
r
n
L
n
c
+
s
n
+ L
n
v
+
b
L
n
b
r
n
L
n
c
T h e v a l u e o f
1
a n d
2
c o r r e s p o n d t o t h e c a u s a l t i m e d e l a y s f r o m t h e t w o e n d
p o i n t s o f t h e l i n e e l e m e n t .
B e f o r e n i s h i n g t h i s s e c t i o n w e w a n t t o m e n t i o n t h a t t h e r e i s a n i n h e r e n t
s y m m e t r y i n t h e r a d i a t i o n e l d s . I n g e n e r a l w e w i l l a s s u m e t h a t t h e c u r r e n t i s
g i v e n b y I t = I
o
e
t
1 , c o s 2 n t t w h e r e t i s t h e s t e p f u n c t i o n , a n d
n 1 . N o t e t h a t t h e t o t a l c h a r g e d i s c h a r g e d b y t h i s c u r r e n t i s Q = I
o
= w h e r e
1 = i s t h e d e c a y t i m e o f t h e c u r r e n t . B u t s i n c e t h e c u r r e n t p r o p a g a t e s a l o n g t h e
f r a c t a l , t h e r a d i a t i o n e l d s a t a g i v e n p o s i t i o n i n s p a c e w i l l l a s t f o r a t i m e g i v e n
b y =
s
v
+ w h e r e s i s t h e l a r g e s t p a t h l e n g t h a l o n g t h e f r a c t a l . T h e e l d s
a r e i n v a r i a n t a s l o n g a s t
L
v
a n d r a r e k e p t c o n s t a n t i n t h e t r a n s f o r m a t i o n .
S u c h s c a l i n g c a n b e c o m e r e l e v a n t i n s t u d y i n g t h e p r o p e r t i e s o f r a d i a t i o n e l d s
f r o m f r a c t a l a n t e n n a e .
I n g e n e r a l w e w i l l u s e t h e p o w e r d e n s i t y S W = m
2
= c "
o
E
2
V = m w h e r e
1 c "
o
i s t h e i m p e d a n c e o f f r e e s p a c e , a s a n a t u r a l d e s c r i p t i o n f o r t h e a m o u n t o f
p o w e r r a d i a t e d t h r o u g h a c r o s s - s e c t i o n a l a r e a .
4 . 2 T h e F a r e l d
T h e f a r e l d i s a p p r o x i m a t e l y g i v e n b y
E x t =
X
f n g
I
o
t
1
t
2
c r
n
1 ,
b
L
n
b
r
n
1 2
I n g e n e r a l w e a r e g o i n g t o u s e a c u r r e n t p u l s e d e n e d a s I t = I
o
e
t
,
e
t
1 + c o s ! t t w i t h ! = 2 n
f
a n d t a s t h e s t e p f u n c t i o n . H e r e n
f
r e p r e s e n t t h e n u m b e r o f o s c i l l a t i o n s d u r i n g t h e d e c a y t i m e s c a l e 1 . W e c h o s e
t h e d e c a y p a r a m e t e r s a s = 1 0
3
s
1
a n d = 2 1 0
5
s
1
, h e n c e = = 2 0 0 ,
w h i c h c o r r e s p o n d t o r e a l i s t i c p a r a m e t e r s f o r l i g h t n i n g U m a n , 1 9 8 7 .
A s a m e a s u r e o f t h e a m o u n t o f e n e r g y r a d i a t e d t o a g i v e n p o i n t i n t h e f a r
e l d , w e c a n d e n e a n a r r a y f a c t o r a s R x ; y ; z
R
E
2
d t F r o m E q . 1 2 w e
c a n w r i t e t h i s a r r a y f a c t o r a s
R '
2
2
4 4 + 5
2
+
4
X
n m
b
L
n
b
L
m
I
n
I
m
1 , a
n
1 , a
m
r
n
r
m
f f
f
n
,
f
m
+
2 3
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24/36
f
i
n
,
i
m
, f
f
n
,
i
m
, f
i
n
,
f
m
g 1 3
f = e
2 + 2
2
+
2
, 2 c o s + 3 s i n
w h e r e
i
n
=
r
n
c
+
s
n
v
c o r r e s p o n d s t o t h e p a r a m e t e r s f r o m t h e b e g i n n i n g i
o f t h e l i n e e l e m e n t , a n d s i m i l a r l y f o r t h e e n d p o i n t f . A l s o = 2 n
f
a n d I
n
i s
t h e c u r r e n t s t r e n g t h o f t h e n
t h
e l e m e n t . T h e a r r a y f a c t o r c a n b e n o r m a l i z e d b y
m a x i m u m i n t h e a r r a y f a c t o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e s i n g l e d i p o l e , i . e . ,
R
o
'
2
I
2
o
A
4 1 , a
2
h
2
w h e r e A = f
3
4
2
f
1
v
r L
2 4 + 5
2
+
4
g ' 1 w i t h r ' L
b
x
b
r a s t h e d i e r e n c e i n
d i s t a n c e b e t w e e n t h e b e g i n n i n g a n d e n d p o i n t s o f t h e d i p o l e t o t h e d e t e c t o r
p o s i t i o n . h i s t h e h e i g h t o f t h e d e t e c t o r .
R e f e r e n c e s
1 A t t e n , P . , A . S a k e r , I E E E T r a n s . E l e c t r . I n s u l a t i o n , 2 8 , 2 3 0 , 1 9 9 3 .
2 B e l l , T . F . , V . P . P a s k o , a n d U . S . I n a n , R u n a w a y e l e c t r o n s a s a s o u r c e o f
R e d S p r i t e s i n t h e m e s o s p h e r e , G e o p h y s . R e s . L e t t . , 2 2 , 2 1 2 7 2 1 3 0 , 1 9 9 5 .
3 B e t h e , H . A . , a n d J . A s h k i n , P a s s a g e o f r a d i a t i o n s t h r o u g h m a t t e r , i n
E x p e r i m e n t a l N u c l e a r P h y s i c s e d . E . S e g r e W i l e y , N e w Y o r k 1 9 5 3 , p p .
1 6 6 3 5 7 .
4 B o e c k , W . L . , O . H . V a u g h a n , J r . , R . B l a k e s l e e , B . V o n n e g u t , a n d M .
B r o o k , L i g h t n i n g i n d u c e d b r i g h t e n i n g i n t h e a i r g l o w l a y e r , G e o p h y s . R e s .
L e t t s . , 1 9 2 , 9 9 1 0 2 , 1 9 9 2 .
5 B o s s i p i o , D . J . , E . R . W i l l i a m s , S . H e c k m a n , W . A . L i o n s , I . T . B a k e r , a n d
R . B o l d i , S p r i t e s , E L F t r a n s i e n t s , a n d p o s i t i v e g r o u n d s t r o k e s , S c i e n c e
2 6 9 , 1 0 8 8 1 0 9 1 , 1 9 9 5 .
6 B r a s s e u r , G . , a n d S . S o l o m o n , A e r o n o m y o f t h e M i d d l e A t m o s p h e r e , D .
R e i d e l , N o r w e l l , M a s s . , 1 9 8 4 .
7 C a r t w r i g h t , D . C , T o t a l C r o s s S e c t i o n s f o r t h e E x c i t a t i o n o f t h e T r i p l e t
S t a t e s i n M o l e c u l a r N i t r o g e n , P h y s . R e v . , A 2 , 1 3 3 1 1 3 4 7 , 1 9 7 0 .
8 C a r t w r i g h t , D . C , S . T r a j a m a r , A . C h u t j i a n , a n d W . W i l l i a m s , E l e c t r o n
i m p a c t e x c i t a t i o n o f t h e e l e c t r o n i c s t a t e s o f N 2 . I I . I n t e g r a l c r o s s s e c t i o n s
a t i n c i d e n t e n e r g i e s f r o m 1 0 t o 5 0 e V , P h y s . R e v . , A 1 6 , 1 0 4 1 1 0 5 1 , 1 9 7 7 .
9 C a r t w r i g h t , D . C . , V i b r a t i o n a l P o p u l a t i o n s o f t h e E x c i t e d S t a t e s o f N 2
U n d e r A u r o r a l C o n d i t i o n s , J . G e o p h y s . R e s . , A 8 3 , 5 1 7 5 3 1 , 1 9 7 8 .
2 4
8/22/2019 Fractal Antennae and Coherence
25/36
1 0 C o n n o r , J . W . , a n d R . J . H a s t i e , R e l a t i v i s t i c l i m i t a t i o n o n r u n a w a y e l e c -
t r o n s , N u c l . F u s i o n , 1 5 , 4 1 5 4 2 4 , 1 9 7 5 .
1 1 D a n i e l , R . R . , a n d S . A . S t e p h e n s , C o s m i c - r a y - p r o d u c e d e l e c t r o n s a n d
g a m m a r a y s i n t h e a t m o s p h e r e , R e v . G e o p h y s . S p a c e S c i . , 1 2 , 2 3 3 2 5 8 ,
1 9 7 4 .
1 2 D r e i c e r , H . , E l e c t r o n a n d i o n r u n a w a y i n a f u l l y i o n i z e d g a s . I I , P h y s . R e v .
1 1 7 , 3 2 9 3 4 2 , 1 9 6 0 .
1 3 F a r r e l , W . M . , a n d M . D . D e s c h , C l o u d - t o - s t r a t o s p h e r e l i g h t n i n g d i s -
c h a r g e s : a r a d i o e m i s s i o n m o d e l , G e o p h y s . R e s . L e t t . , 1 9 7 , 6 6 5 6 6 8 , 1 9 9 2 .
1 4 F a r r e l , W . M . , a n d M . D . D e s c h , R e p l y t o c o m m e n t o n " C l o u d - t o -
s t r a t o s p h e r e l i g h t n i n g d i s c h a r g e s : a r a d i o e m i s s i o n m o d e l " , G e o p h y s . R e s .
L e t t . , 2 0 8 , 7 6 3 7 6 4 , 1 9 9 3 .
1 5 F e m i a , H . , L . N i e m e y e r , V . T u c c i , F r a c t a l C h a r a c t e r i s t i c s o f e l e c t r i c a l d i s -
c h a r g e s : e x p e r i m e n t s a n d s i m u l a t i o n s , J . P h y s . D : A p p l . P h y s . , 2 6 , p . 6 1 9 ,
1 9 9 3 .
1 6 F i s h m a n , G . J . , P . N . B h a t , R . M a l l o z z i , e t a l . , D i s c o v e r y o f i n t e n s e g a m m a -
r a y a s h e s o f a t m o s p h e r i c o r i g i n , S c i e n c e , 2 6 4 , 1 3 1 3 1 3 1 6 , 1 9 9 4 .
1 7 F r a n z , R . C . , R . J . M e m z e k , a n d J . R . W i n c k l e r , T e l e v i s i o n i m a g e o f a
l a r g e u p w a r d e l e c t r i c a l d i s c h a r g e a b o v e a t h u n d e r s t o r m s y s t e m , S c i e n c e
2 4 9 , 4 8 5 1 , 1 9 9 0 .
1 8 F r e u n d , R . S . , E l e c t r o n I m p a c t a n d E x c i t a t i o n F u n c t i o n s f o r t h e a n d S t a t e s
o f N 2 , J . C h e m . P h y s . , 5 4 , 1 4 0 7 - 1 4 0 9 , 1 9 7 1 .
1 9 G i l m o r e , F . R . , R . R . L a h e r , a n d P . J . E s p y , F r a n c k - C o n d o n f a c t o r s , r -
c e n t r o i d s , e l e c t r o n i c t r a n s i t i o n m o m e n t s , a n d E i n s t e i n c o e c i e n t s f o r m a n y
n i t r o g e n a n d o x y g e n s y s t e m s , J . P h y s . C h e m . R e f . D a t a , 2 1 , 1 0 0 5 1 0 6 7 ,
1 9 9 2 .
2 0 G o o d m a n , J . W . , S t a t i s t i c a l O p t i c s , W i l e y - i n t e r s c i e n c e , 1 9 8 5 .
2 1 G r e e n b l a t t , G . D . , J . J . O r l a n d o , J . B . B u r k h o l d e r a n d A . R . R a v i s h a n k a r a ,
A b s o r p t i o n M e a s u r e m e n t s o f O x y g e n b e t w e e n 3 3 0 a n d 1 1 4 0 n m , J . G e o -
p h y s . R e s . , 9 5 , 1 8 , 5 7 7 1 8 , 5 8 2 , 1 9 9 0 .
2 2 G u r e v i c h , O n t h e t h e o r y o f r u n a w a y e l e c t r o n s , J E T P , 3 9 , 1 9 9 6 2 0 0 2 , 1 9 6 0 ;
S o v . P h y s . J E T P , 1 2 , 9 0 4 9 1 2 , 1 9 6 1 .
2 3 G u r e v i c h , A . V . , N o n l i n e a r p h e n o m e n a i n t h e I o n o s p h e r e , S p r i n g e r , 1 9 7 8
2 4 G u r e v i c h A . V . , G . M . M i l i k h , a n d R . R o u s s e l - D u p r e , R u n a w a y e l e c t r o n s
m e c h a n i s m o f t h e a i r b r e a k d o w n a n d p r e c o n d i t i o n i n g d u r i n g t h u n d e r s t o r m ,
P h y s . L e t t . A , 1 6 5 , 4 6 3 , 1 9 9 2 .
2 5
8/22/2019 Fractal Antennae and Coherence
26/36
2 5 G u r e v i c h A . V . , G . M . M i l i k h , a n d R . R o u s s e l - D u p r e , N o n u n i f o r m r u n a w a y
b r e a k d o w n , P h y s . L e t t . A , 1 8 7 , 1 9 7 , 1 9 9 4 .
2 6 G u r e v i c h , A . V . , J . A . V a l d i v i a , G . M . M i l i k h , K . P a p a d o p o u l o s , R u n -
a w a y e l e c t r o n s i n t h e a t m o s p h e r e i n t h e p r e s e n c e o f a m a n g e t i c e l d , R a d i o
S c i e n c e , 3 1 , 6 , p . 1 5 4 1 , 1 9 9 6 .
2 7 H a l e , L . C . , a n d M . E . B a g i n s k i , C u r r e n t t o t h e i o n o s p h e r e f o l l o w i n g a
l i g h t n i n g s t r o k e , N a t u r e , 3 2 9 , 8 1 4 8 1 6 , 1 9 8 7 .
2 8 H a m p t o n , D . L . , M . J . H e a v n e r , E . M . W e s c o t t , a n d D . D . S e n t m a n , O p t i c a l
s p e c t r a l c h a r a c t e r i s t i c s o f s p r i t e s , G e o p h y s . R e s . L e t t . , 2 3 , 8 9 9 2 , 1 9 9 6 .
2 9 H a n d b o o k o f C h e m i s t r y a n d P h y s i c s , 6 4 t h E d i t i o n , E d . R . C . W e a s t , C R C
P r e s s , B o c a R a t o n , F l o r i d a , 1 9 8 3 1 9 8 4 .
3 0 H a n d b o o k o f G e o p h y s i c s a n d S p a c e E n v i r o n m e n t , 6 4 t h E d i t i o n , E d . A . S .
J u r s a , A i r F o r c e G e o p h y s i c s L a b o r a t o r y , U S A i r F o r c e , 1 9 8 5 .
3 1 H u a n g , K . , S t a t i s t i c a l M e c h a n i c s , W i l e y , 1 9 8 7 .
3 2 J a c k s o n , J . D . , C l a s s i c a l E l e c t r o d y n a m i c s , W i l e y , 1 9 7 5 .
3 3 J a g g a r d , D . L . , O n f r a c t a l e l e c t r o d y n a m i c s , I n R e c e n t A d v a n c e m e n t s i n
E l e c t r o m a g n e t i c T h e o r y , e d i t e d b y H . N . K r i t i k o s a n d D . L . J a g g a r d , p .
1 8 3 , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 9 0 .
3 4 K e r r , R . A . , A t m o s p h e r i c s c i e n t i s t s p u z z l e o v e r h i g h - a l t i t u d e a s h e s , S c i -
e n c e , 2 6 4 , 1 2 5 0 1 2 5 1 , 1 9 9 4 .
3 5 K i m , Y . , a n d D . L . J a g g a r d ,