Financial Engineering and Risk Management Course PREVI – BRASIL 2002 ALGO ACADEMY.

Financial

Engineering

Management

Course

PREVI – BRASIL

ALGO ACADEMY

Estrtura a Termo

Representa a relação, em determinado

instante, entre prazo para o vencimento e

taxa de retorno de títulos de renda fixa

oriundos da mesma classe de risco;

Sua construção baseia-se, normalmente, em

títulos ao par;

Fornece uma descrição dinâmica das

variações futuras nas taxas de juros

Taxas Forward

Podem ser usadas para se travarem taxas de

juro futuras

As taxas forward fornecem informações sobre

a sequência de taxas a vista de um ano no

futuro e sobre estruturas a termo futuras.

Taxas ForwardEx: título pós com vencimento em 3 anos e

valor de face igual a 1.

P = E[R0,1] / (1+R1) + E[R1,2] / (1+R2)2+ E[R2,3]

+1 / (1+R3)3

P = R1 / (1+R1) + F1,2 / (1+R2)2+ F2,3 +1 /

(1+R3)3

P = (R1 (1+F1,2)(1+F2,3) + F1,2(1+F2,3)+ F2,3

+1) / (1+R3)3

P = ((1+F2,3)(1+F1,2)(1+R1)) / (1+R3)3 =1

Taxas Forward

Da fórmula:

1+ F1,2 = (1+ r2 )2/252 /

( 1+r1 )1/252

r1 = 0.1787

r2 = 0.183336

1+ F1,2 = 1.00068382

Anualizando,

F1,2 = 0.187991

Modelos

Bootstrapping amostra de títulos que pagam cupons com vencimentos

igualmente espaçados

Interpolação de uma funçãoEstimativa empírica da estrutura a termo envolve a

construção de uma curva de taxa a vista que seja

suficientemente ”suave“, tomando como base uma ”função

de desconto“

O Market Server gera diariamente vários tipos de curvas tais como:

Curvas de Juros

Long Term IRBRL – Projeção de taxas de juros pré-fixadas para instrumentos

denominados em real

Long Term IRSPOT – Projeção de cupom cambial limpo para instrumentos denominados

em real, mas indexados a variação da cotação de câmbio

Curvas Históricas

Índices Históricos (SELIC, CDI,..)

Inflação (IGP-M, IGP-DI,..)

Curvas de Expectativa

Indíces

Inflação

Características

EX : IRBRL e IRSPOT

Estas duas curvas de juros são padrão

reserva e apresentam taxas anualizadas

para o prazo de 252 dias úteis, mas com

termos apresentados em dias corridos.

Curvas de Expectativa também seguem

este padrão. (IGP-M, IGP-DI)

Interpolação

Tipos - Constante

- Linear

- Cúbica

- Exponencial

- Log-Linear (Money Market)

Interpolação O método de interpolação mais utilizada pelo mercado é o Log-Linear

ft é o fator de correção do termo t

du1 é o prazo em dias úteis do vértice anterior a t

tx1 é a taxa relativa ao termo prazo du1

du2 é o prazo em dias úteis do vértice posterior a t

Interpolação

Método Log-Linear

termos taxa dias úteis

32 0.189471002 2261 0.212654895 43

45 1.203199156 31

Extrapolação

Tipos - Constante

- Linear

- Nelson-Siegel

Extrapolação O método de Nelson-Siegel é uma extensão do modelo de Hull-White.

O modelo :

• Adequação de um polinômio de terceiro grau aos pontos amostrais da curva

• Baseado nas taxas forwards obtidas a partir da análise de preços de ativos negociados no Mercado

• fazendo uso de recursos de programação quadrática, determina a equação que melhor define o comportamento da taxa de juros

ft é o fator de correção do termo t

du1 é o prazo em dias úteis do vértice anterior a t

du2 é o prazo em dias úteis do vértice posterior a t

Extrapolação

Construção

Instrumentos que podem ser utilizados:

Taxa Média Selic

Taxa Média CDI

Contratos Futuro de DI

Contratos Termo de DI

Contratos Swap Pré x CDI

Construção

Taxa Média SELIC

É a taxa média de operação compromissadas de 1dia útil, registradas no

sistema Selic. Seu valor é muito próximo da meta Selic, definida pelas

reuniões do COPOM.Uma vez que essa taxa é publicada no formato

anual, com capitalização diária em dias úteis, não é preciso fazer

nenhuma transformação para utilizá-la.

Construção

Taxa Média CDI

É a taxa média dos depósitos interbancários de um dia registrados no Cetip e publicada pela ANDIMA.

Onde IRBRL2 é o vértice de dois dias úteis na curva

Para transformar em uma taxa padrão reserva deve-se compor essa taxa forward com a taxa média Selic de 1 dia

Construção

Contrato Futuro de DI “A taxa de juro efetiva até o vencimento do contrato, definida para esse efeito

pela acumulação das taxas diárias de DI no período compreendido entre a data

de negociação, inclusive, e o último dia de negociação do contrato, inclusive”.

Apesar desse contrato ser cotado diretamente na base de taxa necessária para

montar a curva IRBRL, o valor capturado para montar a curva é o PU relativo à

taxa considerada. Dado o PU, e sabendo que no vencimento é definido que o

contrato vale R$100.000,00, a taxa é data por:

Onde IRBRLt é o vértice de t dias úteis na curva

Construção

Contrato Termo de DI

Apresenta o mesmo objeto de negociação do contrato de Futuro de DI e,

assim como ele, é cotado em taxa efetiva para o prazo de 252 dias úteis.

Construção

Contrato Swap Pré x CDI

Swaps são contratos a termo de troca de rentabilidade entre duas partes, representado por duas pontas (uma ativa e uma passiva) que iniciam com o mesmo valor mas evoluem segundo regras diferentes. A liquidação financeira no vencimento se dá pela transferência do valor liquido positivo das duas pontas para a contraparte cuja ponta tem o maior valor.

Na construção da curva Long Term IRBRL sÃo usados Swaps onde uma ponta é valorizada com juros pré-fixados e a outra é indexada a 100% do CDI acumulado até o vencimento.

A cotação publicada é em taxa anualizada para o período do contrato.

Construção

Exemplo:

Construção

Importante

Com o novo Sistema de Pagamento Brasileiro (SPB), não haverá mais a

necessidade de se ajustar em um dia de Selic os outros instrumentos

que compoem a curva.

Instrumentos de Renda Fixa

Este módulo tem como objetivo apresentar os

principais produtos de investimento e de

financiamento do mercado financeiro.

Daremos ênfase ao regime de capitalização, ao

processo de cálculo e aos detalhes específicos de

cada instrumento

Taxas de juros

A taxa de juros de uma operação pode ser entendida,

num dado intervalo de tempo, como a remuneração

da unidade de capital inicial.

J = juros

P = capital inicial

i = taxa de juros

J = P. i

Regimes de Capitalização Simples

F1 = P(1+ n.i)

Composta

F2 = P(1+i)n

n = prazo

P = capital inicial

i = taxa de juros

F = capital final

Regimes de Capitalização Contínua

F = P. e I .T

T = tempo

P = capital inicial

I = taxa de juros

F = capital final

Tipos de Instrumentos

Pré-fixados

BBC Pós-fixados

NTN’s

CDB/RDB

Títulos emitidos por bancos, registrados na CETIP (em

sua grande maioria) para captação de recursos junto

aos investidores;

Emitidos com prazo mínimo de 30 dias corridos; os

pós-fixados com prazo mínimo de 120 dias corridos;

Podem ser pré ou pós-fixados (indexados a CDI ou

CDB/RDB pré-fixado

Este papel é regido pelo regime de captalização composta.

Atualmente utiliza a base 252 (du). Porém, ainda existem

algumas instituições que operam tomando como base 360 dias

corridos.

F = P(1+i)n

MtM = F / (1+IRBRL) (du / 252 )

CDB/RDB pré-fixado

Exemplo: Um investidor aplica R$100.000,00 num CDB pré, à taxa de

21.50% aa (base 252), por um período de 46 dias corridos (32 du). Qual

o valor de mercado (MtM) para este CDB? Assumir que a estrutura a

termo para as taxas de juros é a seguinte:

32 0.189471002 2261 0.212654895 43

45 1.203199156 31

CDB/RDB indexado a CDI CDI

Spread (multiplicativo ou aditivo) aplicado sobre o indexador

F = P x (1+CDIo . S) . [(1 + i)( du / 252 ) . S]

MTMt = F / (1+IRBRL)(du / 252 )

F = valor de resgate

P = valor inicial da operação

i = taxa

CDIo = CDI acumulado desde a emissão

S = Spread

CDB/RDB indexado à CDI Exemplo: Um investidor aplica R$100.000,00 num CDB pagando 101%

de CDI, por um período de 3 dias corridos (3 du). Supondo que o papel

vença amanhã, qual o valor de mercado (MtM) para este CDB?

Alguns dados:

Taxa de Desconto 1.190405519Taxa Dia 1.000691882Taxa Efetiva 1.000698801Dias úteis até vencimento 1Notional 1000Valor Acumulado 1001.398727400250

Spread CDI Histórico Taxa Efetiva Fator Acumulado101% 19.0500000% 1.000699119 1.000699119

19.0500000% 1.000699119 1.001398727

Cash Flow 1002.098506THEO Value 1001.405651

CDB/RDB indexado a TR TR

Regime de capitalização composta

Principal atualizado pelo indexador

F = P x (1+TRo) x (1 + i)( dc / 360 )

MTMt = F / (1+IRBRL)(du / 252 )

i = taxa

TRo = coupon de TR acumulado desde a emissão até o primeiro aniversário

após o instante t

CDI Títulos de emissão dos bancos que servem de lastro para operações

interbancárias no mercado financeiro.

Aplica-se um spread (multiplicativo ou aditivo) sobre o indexador

F = P x (1+CDIo . S) . [(1 + i)( du / 252 ) . S]

MTMt = F / (1+IRBRL)(du / 252 )

i = taxa

CDIo = CDI acumulado desde a emissão

S = Spread

Títulos Públicos

Os títulos públicos são lançados no mercado pela primeira vez através de leilões

realizados pelo BACEN. É o que se convencionou chamar de “mercado primário”

Os títulos públicos adquiridos no mercado primário não são carregados necessariamente pelas instituições até o vencimento. Podem ser negociados com outras instituições no open-market. Trata-se do “mercado secundário””

Os principais títulos públicos negociados

Título emitido pelo Tesouro Nacional para cobrir défict

orçamentário e para realizar operações de crédito por

antecipação de receitas orçamentárias;

Título pré-fixado, com prazo mínimo de 28 dias,resgatado

no vencimento pelo valor nominal. O valor nominal é

múltiplo de R$1000,00;

LTN/BBC

Estes papéis são regidos pelo regime de captalização

composta. A colocação junto às instituições é feita através de

um desconto em relação ao valor nominal.

F = 1000

MtM = F / (1+IRBRL) (du / 252 )

Exemplo: Uma instituição adquiriu num leilão uma LTN pelo PU de R$

978,35 pelo prazo de 45 dias corridos. Qual é a taxa efetiva (base 252)

gerada pelo título no período? Qual é o MtM deste papel? Foi uma boa

compra? Assumir que a estrutura a termo para as taxas de juros é a

seguinte: termos taxa dias úteis

32 0.189471002 2261 0.212654895 43

45 1.203199156 31

Título emitido pelo BACEN para fins de política monetária;

Título pré-fixado, com prazo mínimo de 28 dias (os demais

prazos são múltiplos de 7 dias),resgatado no vencimento

pelo valor nominal. O valor nominal é múltiplo de R$1000,00;

Exemplo: Uma instituição pretende entrar num leilão de BBC. O prazo

do papel é de 56 dias corridos e 38 dias úteis. A que PU mínimo a

instituição deve entrar no negócio? Assumir que a estrutura a termo

para as taxas de juros é a seguinte:

32 0.189471002 2261 0.212654895 43

56 1.209432466 38

Título emitido pelo Tesouro Nacional para cobrir défict orçamentário e

para realizar operações de crédito por antecipação de receitas

orçamentárias;

Título pós-fixado, regido pela capitalização composta. Existem diversas

séries de NTN, cada uma delas com uma utilização específica. As séries

mais ofertadas atualmente são:

Prazo mínimo de 3 meses;

Acompanha a variação cambial;

Pagam juros semestraias (variando de 6 a 12%aa);

Resgate em parcela única na data de vencimento;

Valor Nominal igual a R$ 1000,00.

Estes papéis são regidos pelo regime de captalização

composta. A colocação junto às instituições é feita através de

leilão ao valor nominal de R$ 1000,00.

J = P . % cambial . [(1+i)1/2 -1]

F = P. % cambial + J

MtM = (P. % cambial.(1+i)1/2 ) / (1+IRBRL(du / 252 ) ) + F /

(1+IRBRL(du / 252 ) )

Exemplo: Uma instituição adquiriu num leilão uma NTN-D com

vencimento em 12 meses. O papel paga juros semestrais de 6% aa.

Qual o fluxo de caixa da instituição compradora? Qual o MtM do papel?

O dolar na data de emissão estava cotado a R$2.95. Assumir a

estrutura a termo para as taxas de juros e que o dolar projetado

abaixo: termos taxa dias úteis Dolar Projetado

180 0.189471002 126 3.21360 0.212654895 252 3.62

Prazo mínimo de 1 ano;

Acompanha a variação do IGP-M;

Pagam juros semestraias de 6% aa;

Resgate em parcela única na data de vencimento;

Valor Nominal igual a R$ 1000,00.

Exemplo: Uma instituição possui em carteira uma NTN-C emitida a 10

meses e com vencimento em 2 meses. Qual o MtM do papel?

Considerar que o IGP-M acumulado nos 10 meses foi de 1.06899.

Assumir a estrutura a termo para as taxas de juros e o IGM-P

projetado abaixo:

termos taxa dias úteis IGP-M Projetado

30 0.189471002 22 1.70%60 0.212654895 42 1.80%

LFT Prazo determinado no ato de sua emissão;

Rendimento definido pela taxa média ajustada dos financiamentos no SELIC para títulos federais;

Valor Nominal igual a R$ 1000,00;

Podem ser de dois tipos:

Spread aditivo (SELIC + 0.0245% am)

Amortização em 180 parcelas

Pouco negociada

Spread multiplicativo (100 % de SELIC)

Retorna o principal corrigido no vencimento

Muito negociada

LFT Títulos de emissão do Governo Federal com o objetivo de

prover recursos necessários à cobertura de défict orçamentário.

F = P x (1+SELICo . S) . [(1 + i)( du / 252 ) . S]

MTMt = F / (1+IRBRL)(du / 252 )

i = taxa

SELICo = SELIC acumulado desde a emissão

S = Spread

Exemplo: Um investidor compra R$1.000.000,00 em LFT’s com

vencimento em 1 ano. Qual é o fluxo de caixa esperado para aquela

data assumindo as expectativas que o mercado possui hoje com

relação ao comportamento da taxa de juros? Assumir a estrutar a

termo abaixo:

330 0.229471002 232361 0.231265490 252

Sensibilidades – Renda FixaAnálise de Sensibilidades é uma excelente ferramenta para se avaliar o

comportamento de uma carteira.

As principais análises feitas para a Renda Fixa são:

Duration

Monetary Duration

Modified Duration

Convexity

Mostra a variação no valor do ativo (MtM) caso as taxas de juros subam

1 basis point (0,01%).

PV01 = MtM’ – MtM

MtM’ = Valor marcado a mercado variando a taxa de juros em 0.01%

MtM = Valor marcado a mercado

Exemplo: Um investidor aplica R$ 120.550,00 num CDB que vence em 30 dias

(22 du). Este CDB paga 20.50% aa base 252. A taxa prevista pelo mercado hoje

para a data de vencimento é 20.38%. Calcular o MtM e PV01 para este papel?

Duration Reflete o tempo médio de um fluxo de caixa, ponderado pelas razões entre o

valor presente de cada fluxo dividido pela soma dos valores presentes de todos os fluxos. A Duration tem um significado econômico, mostrando a sensibilidade do preço de um título em relação à mudança da taxa de juros, ou seja, quanto maior a Duration, mais exposto se apresenta o título diante de alterações nas taxas de juros.

C = fluxos de caixa esperados

y = taxa de juros

Modified Duration A Modified Duration mede a relação linear entre o retorno do título e as

mudanças nas taxas de retorno.

D = Duration

r = taxa de juros

Monetary DurationA Monetary Duration mede a variação do preço de um ativo caso a taxa

de juros (Yield) se altere em 1%.

MD = Modified Duration

P = Valor presente do papel

ConvexityDuration mensura bem as variações de preço para oscilações na taxa de

juro de até um basis point (0,01%). Para grandes aumentos da taxa de

juros o Modelo de Duration superestima a queda de preço enquanto que

para grandes quedas da taxa o modelo subestima o aumento de preço.

Convexidade é a propriedade que captura estas distorções do Modelo

de Duration e mensura a taxa de mudança da Duration em relação às

mudanças de Yield.

Duration e o Risco A Duration pode ser usada para transformar a volatilidade da taxa de retorno em

volatilidade de preço. Geralmente acredita-se que a volatilidade da taxa de

retorno seja mais estável que a de preço;

A partir de Modified Duration deriva-se a mudança relativa nos preços como

função da mudança na taxa de retorno.

Duration e o VaR A Duration está diretamente ligada ao valor no risco.

O VaR captura a exposição de uma carteira a um fator de risco (duration), bem

como a probabilidade de uma oscilação adversa.

Propriedades Válida apenas como medida de exposição a deslocamentos pequenos e

“paralelos”nas taxas de juros;

Quanto mais longo o instrumento, maior a convexidade;

Quanto maior o cupom, menor a convexidade para instrumentos de mesmo

vencimento;

Quanto maior o cupom, maior a convexidade para instrumentos de mesma

Duration;

Yield e convexidade são inversamente relacionados.

Renda Variável

• Ações de Empresas

• Ativos Reais (ex: Imóveis)

• Dívida de Empresas

• Recebíveis

De forma Genérica :

Ativos cujos rendimentos estejam atrelados a performance de alguma atividade econômica .

AtivosAtivos Cujos Rendimentos são Incertos Cujos Rendimentos são Incertos

Renda Variável

Hipótese da Teoria :

Aversão ao Risco

Os indivíduos são basicamente aversos ao

risco, ou seja, entre dois ativos de mesmo

retorno irão escolher o de menor risco.

Evidência : Títulos com maior grau de risco

requerem maior retorno ( exemplo : rating de

corporate bonds)

A taxa de retorno esperada de um ativo

individual de renda variável com um conjunto

de retornos potenciais é a média destes

retornos ponderada pelas probabilidades de

cada retorno se realizar.

Retornos Esperados

Retorno Esperado de um Ativo de RiscoProbabilidade Retorno Retorno Esperado

0.25 0.08 0.020.25 0.1 0.0250.25 0.12 0.030.25 0.14 0.035

Um analista avaliou um Ativo que tem as seguintes Características :

5% de probabilidade do retorno ser de – 7 %

20 % de probabilidade do retorno ser de 2,5 %

35 % de probabilidade do retorno ser de 9 %

Qual é o Retorno Esperado do Ativo ?

Retornos Esperados

A taxa de retorno esperada de um portfolio

de ativos de renda variável é a média dos

retornos dos ativos ponderada pela proporção

do valor investido em cada ativo.

Retorno Esperado de um PortfolioPeso (%) Retorno Retorno Esperado

0.2 0.1 0.020.3 0.11 0.0330.3 0.12 0.0360.2 0.13 0.026

Um portfolio manager selecionou os seguintes ativos

Petrobras, Gerdau, Aracruz, Celpe, cujos retornos

Esperados são 12 %, 8 %, 20 % e 25 %

respectivamente. Se os montantes investidos são R$

30 M, R$ 25 M, R$ 18M e R$ 7 M respectivamente,

qual é o retorno esperado deste Portfolio ?

Retornos Esperados

Variância

A Variância, ou desvio-padrão, é a medida de

variação de possíveis taxas de retorno, Ri, a

partir da taxa de retorno esperada [ E(Ri) ].

Variância (σ²) = Σ [ Ri – E (Ri) ] ² Pi

Retorno Retorno Esperado(Ri) E (Ri) Ri - E (Ri) [Ri - E(Ri) ]² Pi Ri - E(Ri)² Pi0.08 0.11 -0.03 0.0009 0.25 0.0002250.10 0.11 -0.01 0.0001 0.25 0.0000250.12 0.11 0.01 0.0001 0.25 0.0000250.14 0.11 0.03 0.0009 0.25 0.000225

0.000500

Covariância

A covariância é a medida do grau com que

duas variáveis “se movem em conjunto”

relativamente aos seus valores médios

individuais ao longo do tempo.

COV ij = E { [Ri – E (Ri) ] [ Rj – E(Rj) ] }

Se as taxas de retorno de dois ativos em um dado período estão

acima (abaixo) da média dos seus respectivos retornos, o

produtos destes desvios da média será positivo (negativo).

Covariância TNLP4 PETR4

Fechamento Fechamento

22/07/2002 0.02439 41

23/07/2002 0.02361 -0.03198 40 -0.02439

24/07/2002 0.02385 0.01017 41.99 0.04975

25/07/2002 0.02320 -0.02725 40.65 -0.03191

26/07/2002 0.02150 -0.07328 38.96 -0.04157

29/07/2002 0.02185 0.01628 38.5 -0.01181

30/07/2002 0.02240 0.02517 39.1 0.01558

31/07/2002 0.02380 0.06250 40.91 0.04629

1/8/2002 0.02430 0.02101 41.9 0.02420

2/8/2002 0.02430 0.00000 43.3 0.03341

5/8/2002 0.02246 -0.07572 41.23 -0.04781

6/8/2002 0.02430 0.08192 41.3 0.00170

7/8/2002 0.02479 0.02016 41.4 0.00242

8/8/2002 0.02598 0.04800 44.1 0.06522

9/8/2002 0.02470 -0.04927 45 0.02041

12/8/2002 0.02363 -0.04332 43.13 -0.04156

13/08/2002 0.02311 -0.02201 40.69 -0.05657

14/08/2002 0.02345 0.01471 40.4 -0.00713

15/08/2002 0.02270 -0.03198 40.85 0.01114

16/08/2002 0.02349 0.03480 40.75 -0.00245

19/08/2002 0.02325 -0.01022 39.9 -0.02086

20/08/2002 0.02267 -0.02495 39.4 -0.01253

21/08/2002 0.02306 0.01720 40 0.01523

22/08/2002 0.02439 0.05768 41.11 0.02775

23/08/2002 0.02440 0.00041 41.3 0.00462

Datas Retorno Retorno

CovariânciaTNLP4 PETR4 TNLP4 PETR4 Ri - E [ R ] X

retorno retorno Ri - E [ R ] Rj - E [ R ] Rj - E [ R ]

22/07/2002

23/07/2002 -3.20 -2.44 -3.28 -2.52 8.27

24/07/2002 1.02 4.98 0.93 4.90 4.57

25/07/2002 -2.73 -3.19 -2.81 -3.27 9.19

26/07/2002 -7.33 -4.16 -7.41 -4.24 31.40

29/07/2002 1.63 -1.18 1.54 -1.26 -1.95

30/07/2002 2.52 1.56 2.43 1.48 3.60

31/07/2002 6.25 4.63 6.17 4.55 28.05

1/8/2002 2.10 2.42 2.02 2.34 4.72

2/8/2002 0.00 3.34 -0.08 3.26 -0.27

5/8/2002 -7.57 -4.78 -7.66 -4.86 37.21

6/8/2002 8.19 0.17 8.11 0.09 0.73

7/8/2002 2.02 0.24 1.93 0.16 0.31

8/8/2002 4.80 6.52 4.72 6.44 30.39

9/8/2002 -4.93 2.04 -5.01 1.96 -9.83

12/8/2002 -4.33 -4.16 -4.42 -4.24 18.70

13/08/2002 -2.20 -5.66 -2.28 -5.74 13.10

14/08/2002 1.47 -0.71 1.39 -0.79 -1.10

15/08/2002 -3.20 1.11 -3.28 1.03 -3.39

16/08/2002 3.48 -0.24 3.40 -0.32 -1.10

19/08/2002 -1.02 -2.09 -1.11 -2.17 2.39

20/08/2002 -2.49 -1.25 -2.58 -1.33 3.44

21/08/2002 1.72 1.52 1.64 1.44 2.36

22/08/2002 5.77 2.77 5.68 2.70 15.32

23/08/2002 0.04 0.46 -0.04 0.38 -0.02

media 0.084 0.080 Soma = 196

COV = 8.17

Correlação

É uma “normalização” da medida de covariância.

σi σj ρ =

O coeficiente de correlação varia entre –1 e + 1.

Alterando a formulação, temos que :

COVij = ρ x σi σj

Correlação TNLP4 PETR4 TNLP4 PETR4 Ri - E [ R ] X

retorno retorno Ri - E [ R ] Rj - E [ R ] Rj - E [ R ]

22/07/2002

23/07/2002 -3.20 -2.44 -7.33 -5.65 41.40

24/07/2002 1.02 4.98 -3.11 4.98 -15.48

25/07/2002 -2.73 -3.19 -6.85 -3.87 26.54

26/07/2002 -7.33 -4.16 -11.46 -4.16 47.63

29/07/2002 1.63 -1.18 -2.50 -1.18 2.95

30/07/2002 2.52 1.56 -1.61 1.56 -2.51

31/07/2002 6.25 4.63 2.12 4.63 9.82

1/8/2002 2.10 2.42 -2.03 2.42 -4.91

2/8/2002 0.00 3.34 -4.13 3.34 -13.80

5/8/2002 -7.57 -4.78 -11.70 -4.78 55.94

6/8/2002 8.19 0.17 4.06 0.17 0.69

7/8/2002 2.02 0.24 -2.11 0.24 -0.51

8/8/2002 4.80 6.52 0.67 6.52 4.38

9/8/2002 -4.93 2.04 -9.06 2.04 -18.48

12/8/2002 -4.33 -4.16 -8.46 -4.16 35.16

13/08/2002 -2.20 -5.66 -6.33 -5.66 35.81

14/08/2002 1.47 -0.71 -2.66 -0.71 1.89

15/08/2002 -3.20 1.11 -7.33 1.11 -8.16

16/08/2002 3.48 -0.24 -0.65 -0.24 0.16

19/08/2002 -1.02 -2.09 -5.15 -2.09 10.74

20/08/2002 -2.49 -1.25 -6.62 -1.25 8.30

21/08/2002 1.72 1.52 -2.41 1.52 -3.67

22/08/2002 5.77 2.77 1.64 2.77 4.55

23/08/2002 0.04 0.46 -4.09 0.46 -1.89

desvpad 4.129 3.211 Soma = 216.54

CORRELAÇÃO = 0.680 COV = 9.02

Risco e Retorno - Exercício A seguinte tabela apresenta retornos mensais

para Embraer e CVRD.

0.020.056

-0.06-0.025

0.150.124

-0.10-0.073

-0.020.062

0.07-0.041

CVRDEmbraerMês

Calcule :

A – Retorno Mensal Esperado

B – Desvio-Padrão

C – Covariância entre as taxas de retorno

D – A correlação entre as taxas de retorno

Risco e Retorno - Exercício

Risco do Portfolio

iport Covwww

σ port = Desvio-padrão do Portfolio

w I = Pesos dos ativos individuais no portfolio, aonde os pesos são determinados pela proporção de valor no portfolio

σ² = Variância das taxas de retorno para o ativo i

Cov ij = Covariância entre os ativos i e j.

Risco do Portfolio

E (R1) = 0.20 E (σ1) = 0.10

E (R2) = 0.20 E (σ2) = 0.10

Exemplo – Portfolio com 2 ativos :

COV ij = rij σi σj w1 = 0.5 w2 = 0.5

Retorno Esperado Portfolio = (0.5) 0.20 + (0.5) 0.20 = 0.20

Risco do Portfolio [ Correlação = 1]

a) r12 = 1.00 ; Cov 12 = (1.0) x (0.10) x (0.10)

Risco do Portfolio

iport Covwww

2112212

1 2 rwwwwport

)01.0)(5.0)(5.0(2)10.0()5.0()10.0()5.0( 2222 port

Caso de 2 ativos :

Exemplo :

)01.0()25.0(2)0025.0()0025.0( port

10.0001.0 port

Caso de N ativos :

a) r12 = 0.50 ;

b) r12 = 0.0 ;

c) r12 = - 0.50 ;

d) r12 = - 1.00 ;

Risco do Portfolio

Calcule o Retorno e o Risco do Portfolio nos Seguintes Casos :

E(Ra) = 0.10 E(Rb) = 0.20 Wa = 0.4 Wb = 0.6

σa = 0.1 σb = 0.15

Risco e Retorno para diferentes Composições da Carteira

0 0.05 0.1 0.15 0.2

r = 0.5

r = -0.5

Retorno e Risco do Portfolio

Risco do PortfolioRespostas :

Retorno = 0.16, Risco =

a) 0.1153

b) 0.0984

c) 0.0781

d) 0.05

Risco do Portfolio

Problemas na Estimação :

Quanto maior o número de ativos que compõe o portfolio, maior será a necessidade de estimativas de correlação entre estes ativos. Para um portfolio de 100 ativos, o número de correlações envolvido no cálculo é de 4.950.

É possível reduzir o número de coeficientes de correlação se assumirmos que os retornos dos ativos podem ser descritos por um único índice de mercado :

R = a + b Rm + E

Risco do Portfolio

Se todos os ativos são relacionados ao índice, e um coeficiente b é estimado para cada um, pode ser mostrado que o coeficiente de correlação entre os dois ativos é :

mjiij bbr

2m = variância dos retornos do mercado

A Fronteira Eficiente

A Curva envelope que contém todas as melhores combinações possíveis para os ativos no portfolio é chamada de fronteira eficiente.

A domina C

B domina C

U1 U2 A Fronteira Eficiente e a Maximização da

Utilidade do Investidor.

A teoria de mercado de capitais extende a teoria do portfolio e desenvolve um modelo para precificar todos os ativos de risco. O produto final do modelo, o Capital Asset Pricing Model (CAPM), determinará a taxa de retorno requerida para qualquer ativo de risco.

Asset Pricing ModelsAsset Pricing Models

DOIS PARADIGMAS :

Estrutura, Limitações e Alternativas

A teoria começa aonde termina a discussão da

fronteira eficiente de Markowitz.

A teoria do mercado de capitais extende a teoria do

portfolio e desenvolve um modelo de precificação de

todos os ativos de risco.

A existência de um ativo livre de risco tem grandes

implicações para os riscos e retornos potenciais e

combinações alternativas de risco e retorno.

Teoria do Mercado de Capitais

Premissas da Teoria do Mercado de Capitais

• Todos os investidores são eficientes no sentido de Markowitz, ou seja, buscam portfolios target na fronteira eficiente.

• Investidores podem tomar empréstimos e aplicar capital à taxa livre de risco.

• Todos os investidores possuem expectativas homogêneas.

• Todos os investidores tem o mesmo horizonte de investimentos.

• Todos os ativos são infinitamente divisíveis.

• Não existem impostos ou custos de transação.

• Não há inflação

• O mercado de capitais está em equilíbrio.

O relaxamento de muitas destas premissas teria

uma influência pequena sobre o modelo, e não

modificaria suas principais conclusões.

Uma teoria nunca deve ser julgada em base de

suas premissas, e sim em sua capacidade de

explicar e nos ajudar a prever o comportamento no

mundo real.

Premissas da Teoria do Mercado de Capitais

O modelo

A premissa da existência de um ativo livre de

risco na economia, ou seja, um ativo de Variância

Zero, é crítica para o modelo. Esta premissa nos

permite derivar uma teoria geral de precificação

de ativos de capital sob as condições de incerteza

da teoria de portfolio de Markowitz.

Por seu desenvolvimento William Sharpe recebeu

o prêmio Nobel.

Relembrando a covariância entre dois

ativos :

Covariância com um ativo sem Risco

nRERRERCov

ijjiiij

1)]()][([

Como os retornos de renda fixa são “certos” , seu desvio-padrão é zero, o que significa dizer que R = E(R) em todos os períodos. Portanto, R – E(R) será zero, e o produto desta expressão com qualquer outra será zero. Consequentemente a covariância e a correlação do ativo sem risco com qualquer outro ativo de risco será zero.

Ativo sem Risco em um Portfolio com Risco

Retorno Esperado :

)()1()()( irfrfp REwTxSemRiscowRE

Desvio-Padrão :

2222 )1(2)1( rfrfrfrfrfrfrfport rwwww

irfport wE )1()(

O desvio-Padrão de qualquer ativo que combine uma ativo sem risco com ativos arriscados é uma proporção linear do desvio-padrão do portfolio com risco.

Risco e Retorno

Portfolio eficiente – Problema de Maximização

Aplicar RF

Tomar RF

Risco e Retorno

Nova Fronteira Eficiente

Market Portfolio

Portfolio de Mercado

• Como o Portfolio M está no ponto de tangência, ele possui o número máximo de possibilidades de construção de portfolios. Portanto, todos irão querer possuir combinações entre a renda fixa e o portfolio M, e se posicionar em algum ponto ao longo da CML.

• Este portfolio deve incluir todos os ativos de risco, incluídos em proporção de seu valor de mercado.

• Este portfolio é chamado de Portfolio de Mercado, e inclui todos os ativos de risco, incluindo ações domésticas e estrangeiras, opções, imóveis, moedas, selos, arte e antiquidades.

• Como o portfolio contém todos os ativos de risco, ele é completamente diversificado.

• Somente o risco sistemático permanece no portfolio.

Market Portfolio

• Como todos os ativos de risco são parte do portfolio M, pode-se descrever suas taxas de retorno em relação aos retornos do portfolio M como :

R = a + b Rm + E

R = retorno do ativo no período t

a = termo constante

b = inclinação

Rm = retorno do mercado durante o período t

E = Erro randômico

Capital Asset Pricing Model

2 imCov

A equação da reta de risco-retorno é :

)()( ,2 mi

mi Cov

RFRRFRE

)()( 2, RFR

CovRFRE m

Definindo

miCov)()( RFRRFRE mii

Capital Asset Pricing ModelO Beta pode ser visto como uma medida padronizada de risco sistemático. Como resultado, o portfolio de mercado tem Beta = 1.

Capital Asset Pricing ModelO modelo nos diz que o retorno esperado de um ativo de risco é determinado pela Taxa sem Risco mais um prêmio de risco pelo ativo individual.

O prêmio de risco é determinado pelo risco sistemático do ativo (Beta) e pelo Prêmio de risco do Mercado (Rm-RF)

Exemplo :

Assuma a taxa de Renda Fixa da Economia em 6 % e o retorno sobre o Portfolio de Mercado em 12 %. Portanto, o prêmio de risco do mercado é de (12% - 6%) = 6 %.

Assuma as seguintes ações :

Ação Beta

B 1.00

C 1.15

D 1.40

E - 0.30

Quais são as taxas de retorno esperado para estas ações ?

)()( RFRRFRE mii

E(Ra) = 0.06 + 0.70 (0.12 – 0.06) = 0.102 = 10.2 %

E(Rb) = 0.06 + 1.00 (0.12 – 0.06) = 0.12 = 12 %

E(Rc) = 0.06 + 1.15 (0.12 – 0.06) = 0.129 = 12.9 %

E(Rd) = 0.06 + 1.40 (0.12 – 0.06) = 0.144 = 14.4 %

E(Re) = 0.06 + (- 0.30) (0.12 – 0.06) = 0.042 = 4.2%

Setores BetaAlimentos 0.315 Bancário 0.649 Celulose 0.148 Energia 1.149 Metalurgia 0.084 Mineração 0.273 Outros 0.297 Petróleo 0.859 Siderurgia 1.111 Tel. Celular 0.578 Tecnologia 0.876 Textil 0.395 Tel. Fixa 1.280

Em equilíbrio, todos os ativos e todos os portfolios de ativos devem estar posicionados ao longo da SML.

SMLFora do

Equilíbrio.

Caros ou Baratos ?

Questão 1 (CFA-1999)

Explique se os investiores devem esperar um maior retorno do portfolio A versus o portfolio B conforme o CAPM. Assuma que todos os portfolios são totalmente diversificados.

BaixoAltoRisco Específico

de cada ativo

1.01.0Risco Sist. (Beta)

Portfolio BPortfolio A

Questão 2 (CFA - 1998)

14 %0.8B

16 %1.2A

Retorno Estimado

pelo AnalistaBetaAção

Um analista espera a taxa sem risco em 4.5 %, o retorno de mercado em 14.5 % e os retornos dos ativos A e B como descritos abaixo.

Aonde os ativos A e B estariam posicionados na SML se estivessem justamente precificados pelo CAPM , e aonde eles estão atualmente posicionados de acordo com a tabela.

Qual é a interpretação desta análise ?

Questão 3 (CFA-2000)

14-113

S&P500FordAno

Calcule a correlação, os desvios-padrão e o Beta para a Ford Motors no período analisado.

O Risco em Mercados Emergentes

• Prêmio Extra de Risco ?

Primeira AbordagemPrimeira Abordagem

Computar um Beta para o País, considerando a Bovespa como um ativo da NYSE.

CAPM :CAPM :

Ri = RF usa + Beta (usa) x Beta (br) x Prêmio de Risco (usa)

O Risco em Mercados Emergentes

Segunda AbordagemSegunda Abordagem

O Benchmark de taxa sem risco é a taxa paga pelos títulos do país no mercado secundário.

CAPMCAPM :

R = RF (c-bond) + Beta (empresa) x Prêmio de Risco (usa)

VALUATION

RF (c-bond) = 11 %

Beta empresa = 1.3

Prêmio de mercado = 6 %

Fluxos de Caixa para o Acionista :

Ano1 R$ 120 M Ano 2 R$ 170 M Ano 3 + Perp R$ 400 M

Calcule o Valor dos Tïtulos Patrimoniais desta Empresa.

VALUATION

Utilizando a mesma abordagem, como podemos calcular o risco,

retorno esperado e retorno requerido de um ativo imobiliário ?

Arbitrage Pricing Theory

Dadas as restrições do modelo CAPM, a comunidade acadêmica considerou uma teoria alternativa que requer poucas premissas : o APT.

As Premissas :

1 – Os mercados de Capitais são Imperfeitos

2 – Os investidores preferem mais riqueza a menos riqueza, na ausência de incerteza.

3 – O processo estocástico que gera os retornos dos ativos pode ser representado por um modelo de K fatores.

Premissas não necessárias no APT :

1 – O investidor possui uma função de utilidade quadrática

2 – Os retornos são normalmente distribuídos

3 – Existe um portfolio de mercado que contém todos os ativos e é eficiente em termos de média-variância.

O Modelo K Fatorial :

ikikiiii bbbER ...2211

Os fatores que impactam o retorno dos ativos não são especificados, e podem incluir Inflação, Crescimento do PIB, Fatores Políticos, Variações nas taxas de juros, etc.

O APT contrasta com o CAPM, cuja única variável explicativa relevante dos retornos é a covariância do ativo com o portfolio de mercado, ou seja, o coeficiente Beta.

Exemplo :

Os fatores considerados no modelo foram a taxa de inflação e o crescimento do PIB.

Prêmio para a taxa de Inflação : 1 % (para cada variação de 1% na taxa de inflação)

Prêmio para o cresc. do PIB : 2 % (para cada variação de 1% na taxa de inflação)

ATIVO A :

Resposta a variações na taxa de Inflação = 0.5

Resposta a variações no cresc. do PIB = 1.5

ATIVO B :

Resposta a variações na taxa de Inflação = 2.0

Resposta a variações no cresc. do PIB = 1.75

Mercado de Opções Se desenvolveu a partir de 1973, com a criação da CBOE;

Formador de preços;

Negociadas em bolsa;

Existem contratos para 4 categorias básicas:

Commodities agrícolas

Metais

Recursos naturais

Instrumentos financeiros

Através deste mercado, podemos usufruir de um mecanismo simples, eficiente e

barato para minimizar os riscos associados às flutuações de preço;

Transfere o risco da variação de preços dos hedgers para os especuladores.

O papel da bolsa

Estabelecer todas as regras de negociação, sempre à luz

das resoluções baixadas pelas instituições responsáveis;

Disseminar informações do mercado;

Atender as necessidades do mercado, através do

desenvolvimento de contratos e da adequação dos

existentes.

Participantes

Hedger

Pode ser pessoa física ou jurídica que compra ou vende

determinada commodity ou instrumento financeiro consubstanciado

num contrato de opções (Ex : commodities agrícolas e fazendeiros)

Buscam proteção contra a flutuação de preço

Tomam uma posição no mercado de opções contrária a do mercado

a vista

Buscam manter o lucro esperado

Participantes

Especulador

Pode ser pessoa física ou jurídica

Buscam obter ganhos nos mercados voláteis

Assumem o risco dos hedgers

Normalmente não vendem e nem compram a commodity

física ou ativo financeiro objeto da opção

Participantes

Arbitrador

Aproveitam-se das distorções de preços entre

determinados produtos ou mercados

Operam no curtíssimo prazo

A estratégia depende da tendêcia do mercado

O que é uma opção?

Uma opção é o direito de comprar ou vender uma

quantidade específica de um bem ou ativo a um preço

determinado para exercê-lo numa data prefixada ou num

prazo determinado até a data de vencimento ou expiração;

O comprador de uma opção tem a escolha ou oportunidade

de comprar ou vender o ativo-objeto da opção;

O vendedor proporciona ao comprador esta oportunidade.

Tipos de opções

O comprador adquire o direito de comprar do vendedor o ativo-

objeto da opção

Para adquirir esse direito, o comprador desembolsa uma quantia,

que é chamada de prêmio

O comprador adquire o direito de vender para o vendedor o ativo-

objeto da opção

Para adquirir esse direito, o comprador desembolsa uma quantia,

que é chamada de prêmio

Classificação quanto ao Exercício

Americana

O comprador pode exercer o seu direito a qualquer momento,

desde a data em que foi lançada a opção até sua data de expiração

propriamente dita.

Européia

Contém cláusula para efeito de prazo de exercício do direito do

comprador, onde tal direito somente poderá ser realizado na data de

vencimento ou expiração do contrato de opção

Situações Básicas

Long Call (compra de uma opção de compra)

Short Call (venda de uma opção de compra)

Long Put (compra de uma opção de venda)

Short Put (venda de uma opção de venda)

O prêmio O prêmio de uma opção respoderá à variação dada no preço do ativo-objeto da

opção;

O prêmio de uma call é positivamente relacionado com o preço do ativo-objeto da

opção.

Preço do ativo objeto baixa Baixa prêmio da Call

O prêmio de uma put é inversamente relacionado com o preço do ativo-objeto da

opção.

Preço do ativo objeto baixa Sobe o prêmio da Put

O prêmio

O objetivo básico de quem negocia uma opção é vendê-la por um

prêmio maior do que o prêmio pago, ou alternativamente, obter lucro

exercendo a opção.O prêmio de uma put é inversamente relacionado

com o preço do ativo-objeto da opção. Para acompanhar isto, o

investidor deve entender como as variações no preço do ativo-objeto

influenciam os prêmios das opções de compra e de venda.

O investidor

Comprador ou titular de uma call

Vendedor ou lançador de uma call

Comprador ou titular de uma put

Vendedor ou lançador de uma put

Titular de uma call O titular de uma call espera que

o preço do ativo-objeto da opção

aumente

Não há limite superior absoluto

para o ganho líquido que pode

realizar um comprador de uma

A perda máxima do titular está

limitado ao prêmio pago ao

lançador no momento da

abertura de posição

Lançador de uma call O lançador de uma call espera que o preço do ativo-objeto da opção baixe

O lançador tem a melhor possibilidade de obter resultado quando a opção não dá exercício

O ganho máximo do lançador está limitado ao valor líquido recebido pelo prêmio no momento da abertura de posição

A perda máxima é teoricamente ilimitada. Isso porque um aumento no preço do ativo-objeto da opção, faz com que o prêmio sofra também um acréscimo.

Titular de uma put O titular de uma put espera que o

preço do ativo-objeto da opção baixe

Teoricamente não há limite

superior absoluto para o ganho

líquido que pode realizar um

comprador de uma put

A perda máxima do titular está

limitado ao prêmio pago ao lançador

no momento da abertura de posição.

Isto acontece quando a opção”vira

pó“

Lançador de uma put O lançador de uma put espera que o preço do ativo-objeto da opção aumente. Na prática, ele tem uma visão neutra a ligeiramente bullish (de alta)

O lançador tem a melhor possibilidade de obter resultado quando a opção não dá exercício

O ganho máximo do lançador está limitado ao valor líquido recebido pelo prêmio no momento da abertura de posição

A perda máxima é teoricamente ilimitada. Isso porque uma grande baixa no preço do ativo-objeto da opção, faz com que o prêmio sofra também um decréscimo. Além disso, a opção pode dar exercício.

Conceito de posição

Assim como nos mercados futuros, uma posição no mercado de opções

é o saldo líquidos das operações realizadas por um mesmo cliente, em

uma mesma série. Este saldo líquido pode resultar numa posição

compradora ou vendedora

O exercício da posição também diminui o saldo ou encerra a própria

posição

Operações “descobertas” no mercado de opções são bastante

arriscadas. É uma posição que eventualmente envolve ilimitadas perdas

e um potencial relativamente pequeno de ganho.

Posição “descoberta”

É uma posição em que um especulador lança (vende) opções sobre um

determinado ativo-objeto que ele não possui no momento da operação.

Tomar posições de opções a descoberto é frequentemente descrito

como o equivalente a vender apólices de seguro. O ganho máximo que

um vendedor pode obter é o prêmio recebido do comprador.A perda

máxima equivale ao valor exigido para ressarcir o comprador por inteiro.

Variáveis básicas de uma opçãoTempo até o Vencimento ou Exercício ( T )

Preço de Exercício ou Strike ( X )

Preço do ativo-objeto ( S )

Taxas de juros ( r )

Volatilidade ( )

Prêmio

Volatilidade

Os mercados de opções jogam com a incerteza em relação ao nível de

preço de mercado do ativo-objeto para uma determinada data no futuro.

Esta incerteza é medida pelo grau de volatilidade do preço de mercado

Quanto maior a incerteza sobre o futuro, maior a probabilidade da opção

ser exercida.

A volatilidade pode ser:

Histórica

Implícita

Volatilidade Histórica A volatilidade histórica é um indicador de nossa incerteza quanto aos retornos

proporcionados por um ativo tomando como base os retornos passados (históricos) deste ativo.

N = número de observações Xt = log ( Yt/ Yt-1)

Yt = observação no período t Xt = média aritmética de Xt

Cálculo da Volatilidade Procedimento

Escolher a série de preços do ativo para o período escolhido;

Calcula-se a variação diária dos preços, através da divisão do preço de fechamento do

dia pelo preço de fechamento do dia anterior (caso se queira a taxa de retorno composta

continuamente deve-se aplicar o log-neperiano (ln) a esta divisão);

Calcula-se a média das variações através da soma de todas as variações e a posterior

divisão deste resultado pelo número de observações em que se realizou o cálculo;

Calcula-se a diferença entre cada variação e a variação média;

Cada resultado anterior deverá ser elevado ao quadrado, somados e depois divididos

pelo número de observações que compuseram o cálculo subtraídos de uma unidade (no

caso de uma amostra);

Do valor obtido acima deverá ser extraída a raiz quadrada, dando assim o desvio padrão

das variações de preço, ou seja, o quanto a variação de preço pode sair do valor

esperado, representando um risco para o investidor.

Cálculo da Volatilidade Algumas fórmulas:

Cálculo da Volatilidade

Exemplo: Calcule a volatilidade da ação XPTO. Utilize os dados abaixo:

Cálculo de Volatilidade da Ação XPTO

Série Histórica

Obs. Diária Preço Retorno Média dos Retornos1 271.00 - -0.00345312 273.00 0.00743 274.00 0.0037 Desvio Padrão4 270.00 -0.0147 0.0213355965 272.00 0.00746 271.00 -0.00377 281.50 0.0380 Volatilidade Anual8 275.00 -0.0234 33.8692%9 276.00 0.003610 277.00 0.003611 270.00 -0.025612 258.00 -0.045513 260.00 0.0077

Volatilidade Implícita O cálculo da volatilidade implícita toma como base o prêmio da opção mais

líquida do mercado (At the money), a taxa de juros e o preço do ativo. A partir

destas informações é possível se obter o nível de volatilidade implícita que

carrega o preço de mercado da opção objeto de estudo. A volatilidade ímplicita

pode ser então comparada com a que o investidor considera apropriada, e esta

comparação é usada como guia para a negociação da opção

Podemos dizer que a volatilidade implícita é o desvio padrão que torna o preço

justo da opção, calculado pelo modelo Black-Scholes, igual ao prêmio da opção

negociada pelo mercado

Pode ser estimada através do método de Newton-Raphson

Modelos de Avaliação de preço

Modelo Binomial

Determina o preço justo de uma opção baseado na variação do

preço do ativo-objeto.

O preço justo pode assumir dois valores:

Valor acima do preço anterior

cu = c (1+u)

• u = probabilidade de subida

Valor abaixo do preço anterior

cd = c (1+d)

• d = probabilidade de descida

Modelo Binomial Valor do ativo-objeto no início da análise

S = $ 100

Comportamento do Ativo-objeto

u = 5%

d = 5%

No instante t1

S11 = S (1 + 0.05)

S12 = S (1 - 0.05)

No instante t4

S41 = S31 (1 + 0.05)

S42 = S31 (1 - 0.05)

t0 t1 t2 t3 t4

121.55 (S41)

Ativo-objeto 115.76110.25 109.97 (S42)

105 (S11) 104.74100 99.75 99.5

95 (S12) 94.7690.25 90.02

85.7481.45

Modelo Binomial Preço de Exercício

X = $ 95

No intante t4

C41 = máx(S41 – X ; 0)

C42 = máx(S42 – X ; 0)

No intante t3

C31 = C41 x 50% + C42 x

No intante t0

C = C11 x 50% + C12 x 50%

t0 t1 t2 t3 t4

26.55 (C41)

Call 20.7615.25 14.97 (C42)

10.63 (C11) 9.746.82 6 4.5

3 (C12) 2.250 0

Modelo Binomial

Podemos afirmar que o modelo utilizado no exemplo anterior

está completo ??

Sim ou Não?? E por quê??

Modelo Binomial O modelo não considerou dois fatores importantes para se determinar o prêmio

de uma opção. São eles:

Volatilidade do ativo-objeto (****)

Custo de oportunidade do dinheiro livre de risco

O modelo precisa ser ajustado por:

Ativo-objeto Prêmio

Modelo Binomial O modelo ajustado :

= volatilidade

dias = dias corridos no mês

n = prazo em períodos

i = taxa de juros

du = dias úteis no ano

Modelos de Avaliação de preço

Modelo de Black-Scholes

Precursor das teorias de valoração para determinar o preço ou

prêmio de opções de compra e venda européias sobre ações

sem dividendo.

Pode medir tanto o valor como o risco de uma opção

Pode ser usado para a construção ótima de carteira que

contenha tanto opções como outros títulos.

Modelo Black-Scholes

Modelo de Black-Scholes c = prêmio da call

p = prêmio da put

S = preço do ativo-objeto

X = preço de exercício

T = Prazo para exercício

= volatilidade

N(.) = função de distribuição normal

r = taxa de juro livre de risco

Xe-rT = valor presente do preço de exercício

Modelo Black-Scholes Função de distribuição Normal N(x)

Podem ser obtidas a partir de tabelas encontradas em livros de estatística

Calculada através de uma aproximação polinomial

N(x) = 1 - (a1k + a2k2 + a3k3) N’(x)

k = 1/ (1 + x)

• quando x > 0; N’(x) = (1/2)e-(x2)/2

• quando x = 0; N’(x) = ½

• quando x < 0; N’(x) = 1 – N(-x)

a1 = 0.4361836

a2 = -0.1201676

a3 = 0.9372980

= 0.33267

Modelo Black-Scholes Exercício – Vamos supor as seguintes informações: Preço a vista (S) da ação ZZZZ a

R$136.50, preço de exercício(X) da opção ZZZZH a R$ 120.00, prazo para o

vencimento (T) de 26 dias, volatilidade anual de 57.96% e taxa DI over de 5.69% a.m.

Qual o preço justo para a opção?

As gregas - SensibilidadesAlgumas relações podem ser derivadas a partir do modelo de Balck-

Scholes:

Delta Mede a variação percentual que se produz no preço da opção ao variar o preço do ativo-objeto (S).

Conhecido também como a proporção de cobertura ou taxa de hedge necessária para uma carteira combinando ações e opções.

= prêmio / S

O delta de uma posição composta por n ativos é a igual a soma dos deltas de cada um dos ativos que a compõe.

= n11 + n22 + n33 + ….

Para uma call

0 < <= 1

Para uma put

0 > <= -1

Posição x Delta

Delta Negativo Posição de Baixa

Delta Zero Posição Neutra

Delta Positivo Posição de Alta

Delta Exemplo : Um investidor vende 2000 contratos de opções de Telemar (TNLP4),

que corresponde a 2.000.000 ações. O prêmio da opção de compra TNLPL30 é

de R$ 1.20, o preço da ação à vista é de R$ 28.50 e o delta da opção é 0.55. O

investidor deseja fazer um hedge da sua posição.

A Estratégia será adquirir 0.55 x 2.000.000 = 1.100.000 ações de Telemar. Com

o passar do tempo, o preço da opção de compra tende a mudar em 55% do

preço da ação e o lucro da call será eliminado pelo prejuízo da ação à vista. A

medida que se aproxima o vencimento, o delta mudará e o investidor deverá

realizar um ajuste na posição da ação à vista. Assim, se o delta aumentar para

0.63, o investidor deverá comprar mais 0.08 x 2.000.000 = 160.000 de ações

para manter o hedge de sua carteira.

Gama Mede o quanto varia o delta da opção ao variar o preço do ativo-objeto.

Pode ser definido como a segunda derivada parcial do preço da opção em relação ao preço do ativo-objeto.

= prêmio / S = 2premio / S2

O gama de uma posição composta por n ativos é a igual a soma dos gamas de cada um dos ativos que a compõe.

= n1 1 + n2 2 + n3 3 + ….

Podemos dizer, ainda, que o gama mede o grau de ajuste que tem que ser feito no hedge para que ele permaneça perfeito

Posição x Gama

Gama Negativo Posição top (Alta)

Gama Zero Posição Neutra

Gama Positivo Posição bottom (Baixa)

Teta Mede o quanto varia o prêmio da opção ao se aproximar a data de exercício.

Pode ser definido como a segunda derivada parcial do preço da opção em relação ao seu prazo de exercício (T).

= 2 prêmio / t2

O teta de uma posição composta por n ativos é a igual a soma dos tetas de cada um dos ativos que a compõe.

= n1 1 + n2 2 + n3 3 + ….

No caso do preço do ativo-objeto permanecer inalterado

Prazo diminui e o prêmio aumenta => expectativa temporal positiva

Prazo diminui e o prêmio diminui => expectativa temporal negativa

Posição x Teta

Teta Negativo influência negativa do tempo na posição

Teta Zero influência neutra do tempo na posição

Teta Positivo influência positiva do tempo na posição

Mede o quanto varia o prêmio da opção em relação à taxa de juro livre

de risco ( r ).

= prêmio / r

O rô de uma posição composta por n ativos é a igual a soma dos rôs de

cada um dos ativos que a compõe.

= n1 1 + n2 2 + n3 3 + ….

Mede o quanto varia o prêmio da opção em relação à volatilidade do

preço do ativo-objeto.

= prêmio /

O vega de uma posição composta por n ativos é a igual a soma dos

vegas de cada um dos ativos que a compõe.

= n1 1 + n2 2 + n3 3 + ….

Contrato Futuro

Contrato a termo padronizado (o bem, volume, data de

liquidação, data de entrega estabelecidas pela bolsa);

As partes não se relacionam ( a câmara de compensação

da Bolsa assume a parte oposta);

Maior liquidez;

Instrumento de transferência de risco;

Liquidação por diferença na grande maioria dos casos.

Mercados Futuros

Mercados organizados onde podem ser assumidos

compromissos padronizados de compra ou venda de

contratos de uma determinada mercadoria, ativo financeiro

ou índice econômico, para liquidação numa data futura

preestabelecida

Mercados Futuros

Participantes

Hedgers

Procuram se defender de oscilações imprevistas de preços de

seus produtos ou ativos.

Especuladores

Compram o risco dos hedgers

Formação dos preços Um conceito importante para o entendimento da formação dos preços no mercado futuro é

o conceito de “base”, que é a diferença entre o preço futuro para um determinado vencimento e o preço à vista de uma mercadoria, ativo financeiro ou índice.

o preço futuro e o preço à vista tendem a se mover na mesma direção, embora não necessariamente na mesma magnitude e ao mesmo tempo, pois as expectativas podem afetar diferentemente cada um dos preços;

a base tende a zero à medida que se esgota o prazo para o vencimento do contrato – o preço futuro converge para o pre;co à vista, pois na data de vencimento o contrato futuro deve ser liquidado, possuindo as mesmas características do produto no mercado à vista naquela data;

a base corresponde em valor ao custo de se manter a posse da mercadoria física até a época de vencimento do contrato.

Função Econômica Tranferência de Riscos

Maximizar lucros

Risco de preços

Visibilidade de preços

Obter preço à vista tomando como base o preço futuro

Os preços futuros refletem a expectativa presente sobre o futuro

por parte dos agentes econômicos

Operações de financiamentoou Arbitragem

O financiamento do carregamento de estoques ou de ativos

Aumento da integração entre os mercados futuros e disponível,

com inegável contribuição para justeza de preços

Funcionamento Mecanismos Básicos garantidos das Liuquidações

Ajuste Diário

Manutenção dos valores das posições compradas e vendidas nos níveis de

mercado

Todas as posições são ajustadas diariamente com base no preço de fechamento

Calculado para cada contrato e pago em dinheiro

Margem Inicial

Garantir o pagamento, se for o caso, de pelo menos alguns ajustes diários

negativos

Constitui-se num depósito de boa-fé

Não precisa ser em dinheiro necessariamente. Sendo um garantia, pode ser

prestada em títulos ou carta de fiança

Pode ser aumentada ou reduzida dependendo das condições de mercado

Contratos Futuros

DolarCupom Cambial (DDI)

Ibovespa

Contratos Futuros

DolarCupom Cambial (DDI)

Ibovespa

Futuro de Taxa de Juros - DIA introdução dos mercados futuros de taxas de juros foi feita

baseada em ativos financeiros , tais como LTN e CDB’s;

A idéia é que o custo do dinheiro pode ser visto da mesma

forma que outra commodity qualquer;

O preço do dinheiro ( taxa de juros) é influenciado pela lei da

oferta e procura;

Concebido para oferecer melhor cobertura específica ao

risco de oscilação da taxa de juros.

Futuro de Taxa de Juros - DIUma transação envolvendo taxa de juros é altamente

sensível e é função direta de fatores macroeconômicos e

das características da operação realizada

Inflação

Política monetária e fiscal

Desempenho econômico

Natureza da operação

Prazo contratado

Futuro de Taxa de Juros - DICaracterísticas

Não existe a entrega, no vencimento, de nenhum ativo físico;

Cotados na forma de PU;

A flutuação do PU reflte a variação na taxa de juros esperada para um

período futuro;

Juros elevam PU cai

Juros baixam PU sobe

O contrato de DI vale no seu vencimento, obrigatoriamente,

R$100.000,00;

Posições em aberto ao final de cada pregão são ajustadas com base no

ajuste do preço do dia;

Futuro de Taxa de Juros - DI O contrato de DI futuro equivale a um título de renda fixa do tipo “Zero Coupon Bond”.

O valor de vencimento (Notional) é de R$100000,00.

O valor do PU na data “0” é igual ao valor do contrato no momento da abertura da posição. (daytrade)

Para contratos abertos por mais de um dia, o PU passa a ser o Ajuste corrigido por 1 dia de CDI.

Futuro de Taxa de Juros - DICálculo da Posição

Posição $ = (Preço Inicial – AjusteD0) x N

Posição $ = (Preço Corrigido – AjusteD1) x N

Preço Corrigido = AjusteD0 x (1+CDI%)1/252

Posição $ = (Preço Corrigido – AjusteD2) x N

Preço Corrigido = AjusteD1 x (1+CDI%)1/252

** Ajuste A BMF calcula o seu valor baseado na média ponderada dos valores negociados nos últimos 30 minutos de pregão.

Futuro de Taxa de Juros - DIExercício

Calcular o resultado financeiro da posição para D0, D1 e D2.

Venda de 300 contratos de DI Dez02 a 96000

Ajuste = 95924.95

Ajuste = 96818.75

CDI = 17.88%

Ajuste = 96427.37

CDI = 17.95%

Futuro de Taxa de Juros - DIExercício (Crise Real)

Faça hedge em 22.01.99 para fundo de renda fixa DI que

possui R$10 M em títulos pré a 4.17% efetiva, com

vencimento em 01.03.99. Dados: PU do DI MAR9 é igual a

96000. Assumir que o CDI acumulado de 22.01 à 01.03 é

Futuro de Taxa de Juros - DIExercício (Crise Real)

Fazer um hedge para uma instituição que captou R$ 20M

pré e emprestou os mesmos R$ 20M recebendo 100% CDI.

em 22/01/99. O vencimento ocorre em 01/03/99. Assumir

que o CDI acumulado no período será de 3.5% e que o PU

do DI Mar9 é igual a 96000.

Dólar Futuro Objeto de Negociação

A taxa de câmbio de reais por dólar dos Estados Unidos, para entrega pronta,

contratada nos termos da Resolução 1690/90

Cotação

Reais por US$ 1.000

Unidade do contrato

US$ 50.000

Meses de vencimento

Todos os meses

Liquidação no vencimento

Na data de vencimento, as posições em aberto, serão liquidadas

financeiramente pela Bolsa, mediante o registro de operação de natureza

inversa (compra ou venda) à da posição, na mesma quantidade de contratos.

Dolar Futuro Uma operação com dólar futuro funciona exatamente como sendo uma operação

de swap Dol x Pré.

No caso de um investidor estar “comprado” num contrato de dólar futuro o efeito

é o mesmo se ele tivesse em carteira uma operação de swap Dol x Pré, aonde

ele estaria “ativo” na perna “Dol” e “passivo” na perna “Pré”

Os fatores de risco para esta posição são:

Taxa de Juros

Taxa de Câmbio

Cupom Cambial

Dolar Futuro

Características

Cotação em R$/US$1.000,00;

Posições em aberto ao final de cada pregão são ajustadas com

base no ajuste do preço do dia;

A liquidação ocorre quando assumimos no mercado uma

posição contrária a inicial ( mesma quantidade e mesmo ativo).

Quando isso ocorre dizemos que “zeramos” nossa posição.

Dolar Futuro

Cálculo da Posição

Posição $ = (Preço Inicial – AjusteD0) x N x 50

Posição $ = (AjusteD0 – AjusteD1) x N x 50

** Normalmente o mercado trabalha com o Ajuste dividido por 1000.

Desta maneira teríamos:

Posição $ = (AjusteD1’ – AjusteD2’) x N x 50.000

Dolar Futuro

Exercício

Venda de 100 contratos de Dol Dez02 a 3.69

Ajuste = 3.685

Ajuste = 3.77

“Zero” posição comprando 100 contratos de Dol Dez02 a 3.81

Dolar Futuro Exercício

Um investidor está preocupado com uma possível alta do dólar. Sabe-se que ele

possui um vencimento para o final do mês de novembro no valor de US$ 5.000.000.

Faça um hedge para esta posição usando contratos de dólar futuro.

Suponha que o vencimento da operação e do contrato ocorre no mesmo dia e que a

cotação do dólar para este dia será de R$ 3.35. Usar a tabela abaixo.

Dolar Futuro

É importante salientar que no exercício anterior, as operações estavam

casadas, ou seja, o vencimento tanto da operação quanto do contrato

futuro ocorria no mesmo dia.

Neste caso, o número de contratos adquiridos ou vendidos é igual a

posição financeira (Ativo ou Passivo) dividido pelo tamanho do

contrato (50.000)

Dolar FuturoNa prática isso não é muito comum. Desta maneira, precisamos fazer um

ajuste na ‘fórmula que nos dá o número de contratos futuros que precisam ser negociados.

N = número de contratos

n1= dias úteis para o vencimento da operação

n2= dias úteis para o vencimento do contrato futuro

P = Valor financeiro a ser “hedgeado”

C0= cotação do dólar à vista

r = desvalorização cambial

Dolar Futuro

Arbitragem

Operação Tomar emprestado US$1 à taxa de juros externa i*

Transformar US$1 em R$ pela taxa de câmbio do dia C0

Aplicar na renda fixa R$ C0 à taxa de juros interna i

Comprar US$1 (1+ i*) à R$ F0 (mercado futuro)

*** Os custos para se manter este tipo de operação podem ser altos

Ibovespa Futuro Objeto de Negociação

Índice de ações da Bolsa de Valores de São Paulo (Ibovespa).

Cotação

Pontos do índice, sendo cada ponto equivalente ao valor em reais

estabelecido pela BM&F. Atualmente, cada ponto equivale a R$ 3,00.

Meses de vencimento

Meses pares. A BM&F poderá, ao seu critério, quando as condições do

mercado assim exigirem, autorizar a negociação para vencimento em meses

ímpares.

Data de vencimento

Quarta-feira mais próxima do dia 15 do mês de vencimento

Ibovespa Futuro No vencimento do contrato futuro, a cotação futura e a cotação àvista terão o

mesmo valor. De uma forma geral, a diferença entre as duas cotações vai

diminuindo a medida que o vencimento se aproxima. Esta diferença equivale

normalmente ao CDI projetado no mercado futuro.

Ibovespa Futuro

Quando usado para se “hedgiar” uma carteira de ações, pode

transformar uma carteira de renda variável em um fundo de randa fixa;

O momento ideal de se usar o hedge é exatamente quando já atingimos

a meta desejada e gostaríamos de travar nossos lucros a partir daquele

instante, passando a render CDI;

Instrumento muito utilizado em operações de arbitragem.

Ibovespa Futuro

Características

Cotação em R$ 3,00 / ponto do índice;

Posições em aberto ao final de cada pregão são ajustadas com

base no ajuste do preço do dia;

A liquidação ocorre quando assumimos no mercado uma

posição contrária a inicial ( mesma quantidade e mesmo ativo).

Quando isso ocorre dizemos que “zeramos” nossa posição.

Ibovespa Futuro

Cálculo da Posição

Posição $ = (Preço Inicial – AjusteD0) x N x 3

Ibovespa Futuro

Exercício

Venda de 10 contratos de Ibov Out02 a 8.610

Ajuste = 8.655

Ajuste = 8.370

“Zero” posição comprando 10 contratos de Ibov Out02 a 8.700

Ibovespa Futuro

Cálculo do Número de contratos

IBov0 = cotação do Ibovespa à vista

carteira = relação linear entre a carteira e o índice

P = valor presente da carteira

É importante salientar que o número de contratos envolvidos numa operação de

hedge depende diretamente do cálculo do da carteira de ações que se quer

“hedgiar”. Assim sendo, caso este cálculo não esteja correto, o número de

contratos negociado pode desbalancear o hedge.

Ibovespa Futuro Exercício

Fazer hedge para um fundo de pensão que possui 100 milhões de TNLP4 a

R$ 22,00/M e acha que a bolsa vai cair. Assumir que o da ação é 1.096 e

que o Ibovespa à vista está cotado a 8622 pontos. No vencimento do

contrato futuro, assumir que o índice estará a 7800 pontos.

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