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11

DREAMDREAMDREAMDREAM

PLANPLANPLANPLANIDEAIDEAIDEAIDEA

IMPLEMENTATIONIMPLEMENTATIONIMPLEMENTATIONIMPLEMENTATION

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22

Linear-Control-Systems

Present to:Amirkabir University of Technology (Tehran Polytechnic) &

Semnan University

Dr. Kourosh KianiEmail: kkiani2004@yahoo.com

Email: Kourosh.kiani@aut.ac.ir

Web: www.kouroshkiani.com

mailto:kkiani2004@yahoo.commailto:Kourosh.kiani@aut.ac.irmailto:Kourosh.kiani@aut.ac.commailto:Kourosh.kiani@aut.ac.commailto:Kourosh.kiani@aut.ac.irmailto:kkiani2004@yahoo.com

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33

Lectureecture 1111ectureecture 1111

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Transient and Steady-Stateransient and Steady-StateResponse Analysesesponse Analysesof

Second-order systems

Transient and Steady-Stateransient and Steady-StateResponse Analysesesponse AnalysesofSecond-order systems

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Time response of 2-order systems

What is a second-order system?

Second-order systems are described bysecond-order differential equations.

Example

2

2 2

2( ) ( ) ( ) ( )2 n n n

d dy t y t y t u t

dt dt

+ + =

A prototype second-order differential equation:

y(t)---output respon se of the system;

u(t)---input to the system

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Using Laplace transform and assuming zero initialconditions, we get:

2 2 2( ) ( ) ( ) ( )2 n n ns Y s sY s Y s U s + + =

Transfer function of a second-order system:

2

2 2( )( )( ) 2

n

n n

Y sG sU s s s

= =+ +

, will determine how fastthe system oscillates during any transient response

- undamped natural frequencyn

, will determine how much the systemoscillates as the response decays toward steady state.

- damping ratio

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Finding nand for a second-ordersystem

G(s) = n2

s2

+ 2ns+

n

2

n2

= 22

2n

= 2.2

n

= 2

= 2.33

s2+2

ns+

n

2=2

s2=

n+

n22

s2=

n

n22

G(s)=22

s2+2.2s+22

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Step responseStep response of second-order systemsof second-order systems

A 2-order system:

2

2 2( ) 2n

n nG s s s

= + +

Case 1: underdamp( ),2 ed < including =2unda( )mped

2( ) sin( ),2 nt

ny t e t

= +2

2

where = 2

=tan ( / )

Case : overdam2 d( )pe >

2 2/ /

2 2( ) 2 t ty t k e k e = + + ,22

2

2where

2n n

=

Case 3: critica(2 lly da )mped =

/ /

2 2( ) 2 t ty t k e k e = + + where 2 n =

Input :

( ) ( );2

2( )

u t t

U ss

=

=

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Step responseStep response of second-order systemsof second-order systems

A 2-order system:2

2 2( )

2

n

n n

G s

s s

=

+ +

Case 1: underdamp( ),2 ed

2 2/ /

2 2( ) 2 t ty t k e k e

= + +

Case 3: critically dam( )d2 pe =

/ /

2 2( ) 2 t ty t k e k e = + +

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1010

t0

1

y(t)The time response

of a control systemis usually dividedinto two parts:

Transient and steady-state response

( ) ( ) ( )t ss

y t y t y t= +

Transient response-- defined as the part of thetime response that goes tozero as time becomes very

large.

( )ty t

lim ( ) 2tt

y t

=

Steady-state response

-- the part of the timeresponse that remains afterthe transient has died out.

( )ss

y t

The steady-state response can still vary in a fixed pattern, such as a sine

wave, or a ramp function that increases with time.

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Time-domain SpecificationsTime-domain Specifications

. Maximum overshoot:

max;

p ssM y y=

4. Rise time: rt

5. Settling time: st

1. Steady-state value: ssy

Percent overshoot %222p

ss

M

y=

ssy

pt

3. Peak time: pt

st

error band

0.1

rt

0.9

pM

maxy

How to calculate ?pt

Is there overshoot inthe time response of afirst-order system?

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1212

In practical applications, the followingcriteria are often usedRise time : evaluate the response speed of thesystem quickness)

Overshoot: evaluate the damping of thesystem (smoothness)Settling time: reflect both response speedand damping

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1313

Relationship between the characteristic-equation roots and the step response

A second-order system:

2

2 2( ) 2n

n n

G ss s

= + +

Its characteristic equation: 2 2( ) 22n nD s s s = + + =

The value of determines the location of the roots of ( ) .2D s =

:3 3< < 2,22 2n ns j = underdamped

:2 = ,22 ns = critically damped

:2 > 2,22 2n ns = overdamped

:2 = ,22 ns j= undamped

:2 < 2,22 2n ns j = negatively damped

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1414

:2 >

overdamped

:2 =

critically damped

:2 2< num=[9];>> den=[1 9];

>> pzmap(num,den)>> axis([- -4 4]);>> grid on;>> step(num,den)

Underdamped

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5454

c(t)=2et(cos 2t+

2

2sin2t)

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55555555

2

2

2+s

ssR

2)( =

)(sG

)(sC

>> num=[9];>> den=[1 9];

>> pzmap(num,den)>> axis([- -4 4]);>> grid on;>> step(num,den)

Undamped

C(s)= 2s(s2+2)

c(t)=2cos2t

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Critically damped

C(s)=2

s(s2+2s+2)=2

s(s+2)2

c(t)=22te2te2t

22

2

2++ ss

ssR

2)( =

)(sG

)(sC

>> num=[9];>> den=[1 6 9];

>> pzmap(num,den)>> axis([- -4 4]);>> grid on;>> step(num,den)

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Step response for second ordersystemdamping cases

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Summary Overdampedverdamped

Poles: Two real at -Poles: Two real at - 11, -, - UnderdampednderdampedPoles: Two complex at -Poles: Two complex at - dd + j+ jdd, -, - dd - j- jdd Undampedndamped

Poles: Two imaginary at + jPoles: Two imaginary at + j11, - j, - j11 Criticallyritically dampedamped

Poles: Two real at -Poles: Two real at - 11,,

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6060

Constant real part

Constant imaginary part

Constant damping ratio

S ggestions ?

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6161

Suggestions ?

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