Post on 25-Apr-2019
Distribusi Tekanan pada Fluida Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition,
Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!1
Tekanan pada Fluida
• Tekanan fluida (fluid pressure): tegangan normal (gaya normal per satuan luas) yang bekerja pada suatu elemen fluida.
• Gradien tekanan spasial (bukan tekanan) dapat menimbulkan gaya pada permukaan elemen fluida
• Resultan gaya permukaan yang bekerja pada elemen fluida diam (fluid at rest) hanya dipengaruhi oleh gradien tekanan karena tidak ada tegangan geser yang bekerja.
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!2
Tekanan pada Fluida Diam
δx
δz
δs pn
px
pz
δW = ρg(½ δx δz δy)
θ 0
x
z
θ
Tebal elemen = δy ΣFx = 0pxδ yδz − pnδ yδssinθ = 0px = pn
• Tidak ada perubahan tekanan pada arah horizontal
Pada arah x
sin θ = δz/δs
cos θ = δx/δs
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!3
Tekanan pada Fluida Diam
δx
δz
δs pn
px
pz
δW = ρg(½ δx δz δy)
θ 0
x
z
θ
Tebal elemen = δy
• Perubahan tekanan arah vertikal dipengaruhi rapat massa, gravitasi, perubahan z
sin θ = δz/δs
cos θ = δx/δs
ΣFz = 0
pzδ yδx − pnδ yδscosθ −12ρgδ yδxδz = 0
pz = pn +12ρgδz
Pada arah z
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!4
Tekanan pada Fluida Diam
• Untuk elemen yang sangat kecil, sehingga menjadi sebuah titik (δx, δy, δz ≈ 0) maka:
• Kesimpulan: Tekanan (magnitude) pada suatu titik dalam fluida diam adalah sama ke segala arah
px = pz = pn = p
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!5
y
• Diambil sembarang elemen fluida yang sangat kecil
Gradien Tekanan pada Fluida
z
x
δx δy
δz
p− ∂p∂yδ y2
#
$%
&
'( δx δz
p = p(x, y, z,t)p+ ∂p
∂yδ y2
"
#$
%
&' δx δz
δFy = p− ∂p∂yδ y2
#
$%
&
'( δx δz − p+ ∂p
∂yδ y2
#
$%
&
'(δx δz = −∂p
∂yδx δ y δz
• Pada arah y
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!6
Gradien Tekanan pada Fluida
• Dengan cara yang sama, gaya pada arah x dan z adalah:
δFz = p− ∂p∂zδz2
#
$%
&
'( δ y δx − p+ ∂p
∂zδz2
#
$%
&
'(δ y δx = −∂p
∂zδx δ y δz
δFx = p− ∂p∂xδx2
#
$%
&
'( δ y δz − p+ ∂p
∂xδx2
#
$%
&
'(δ y δz = −∂p
∂xδx δ y δz
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!7
Gradien Tekanan pada Fluida
• Gaya yang bekerja pada elemen fluida akibat tekanan adalah:
• Jika f adalah gaya per satuan volume, maka:
δ!F = −
∂p∂x
!i − ∂p
∂y
!j − ∂p
∂z
!k
#
$%
&
'(δx δ y δz
!f p = −
!∇p !
∇ =∂∂x
!i + ∂
∂y!j + ∂
∂z
!k
#
$%
&
'(
!∇ = gradient operator
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!8
Keseimbangan Elemen Fluida
• Gaya-gaya yang bekerja pada fluida (per satuan volume) !f =!f p +!fg +!fvisc = −
!∇p+ ρ !g +
!fvisc = ρ
!a
δ!Fg =m
!g = ρg δx δ y δz
!fg = ρ
!g
δ!F =m
!a = ρa δx δ y δz
!f = ρ
!a
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!9
Distribusi Tekanan Hidrostatis
• Pada fluida statis, percepatan dan tegangan geser sama dengan nol (a = 0, fvisc = 0), sehingga:
• Arah gradien tekanan akan selalu tegak lurus permukaan bertekanan konstan.
• Arah gradien tekanan adalah searah gravitasi lokal
!∇p = ρ !g
!g = −g!k
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!10
Distribusi Tekanan Hidrostatis
• Komponen gradien tekanan :
• Gradien tekanan tidak terpengaruh x dan y, sehingga:
∂p∂x
= 0 ∂p∂y
= 0 ∂p∂z
= −ρg = −γ
p2
p1
z
x
y
h = z2 – z1
z1
z2
Permukaan fluida (tekanan = p0)
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!11
dpdz =−γ
p2 −p1 =− −γdzz1
z2∫
Fluida dalam Gerak Benda Tegar Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition,
Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!12
Benda Tegar
• Benda tegar (rigid body): suatu sistem partikel yang tidak mengalami deformasi, sehingga jarak antar partikel tidak berubah meskipun mendapat gaya luar (external force)
• Gerak benda tegar (rigid body motion)
• Gerak translasi • Gerak rotasi
• Kombinasi translasi dan rotasi
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!13
Fluida dalam Gerak Benda Tegar
• Fluida dalam gerak benda tegar: seluruh partikel fluida bergerak bersama-sama (percepatan sama) sehingga tidak ada gerakan relatif antar partikel.
• Fluida dalam keadaan ini dapat dianggap sebagai fluida statis (tidak mengalami tegangan dan regangan geser).
• Contoh: • Zat cair yang diangkut kapal/truk tangki • Zat cair dalam kontainer yang berputar cukup lama
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!14
• Keseimbangan gaya pada elemen fluida dalam gerak benda tegar (a ≠ 0, fvisc = 0)
Fluida dalam Translasi Benda Tegar
ax
az
ax
az p = p1
p2 p3
s
θ θ
Muka zat cair saat diam
!∇p = ρ( !g − !a)
!g
!a
−!a
!g − !a
z,!k
x,!i
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!15
Fluida dalam Translasi Benda Tegar
• Gradien tekanan bekerja pada arah
• Garis tekanan-konstan (serta permukaan zat cair, jika ada) adalah tegak lurus arah gradien tekanan dengan kemiringan:
!∇p = ρ( !g − !a)
θ = tan−1axg + az
!g − !a
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!16
dpds =ρG G = ax
2+ g+az( )2
Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan?
Isobar
p0
p1
p2
p3
p4
∆p
Isobar
p0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
∆p Isobar
p0 p1 p2 p3 p4 p5
p8
p6 p7
∆p
a = 0a a
pA pB > pA
pC < pA
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!17
Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan?
Isobar
p0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
∆p
Isobar
p0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
Isobar
p0
p1
p2
p3
p4
p5 p6
a = 0a a
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!18
Contoh Soal dan Penyelesaian
Kaleng cat diletakkan pada nampan dan diseret dengan percepatan 7 m/s2. Tinggi kaleng 10 cm, diameter 6 cm dan berisi cat sedalam 7 cm pada kondisi diam. Dengan asumsi bahwa cat dalam gerak benda tegar, (a) tentukan apakah cat akan tumpah, (b) hitung tekanan pada titik A jika rapat massa cat 1010 kg/m3.
A
3 cm
7 cm
3 cm 3 cm
ax = 7 m/s2
θ∆z
z
x
s
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!19
Contoh Soal dan Penyelesaian
• Penyelesaian (a): ditentukan kemiringan berdasarkan besar percepatan yang telah diketahui, lalu ditentukan tinggi kenaikan permukaan cat di tepi kaleng.
• Cat tidak tumpah dari kaleng. (Solusi ini mengabaikan goncangan pada saat awal bergerak)
θ = tan−1 axg + az
= tan−1 7.0 m/s2
9.81 m/s2 +0= 35.5°
∆ z = (3 cm)(tan35.5°) = 2.14 cm < 3 cm
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!20
Contoh Soal dan Penyelesaian
• Penyelesaian (b) Tekanan pada A saat diam:
Tekanan pada A saat bergerak
atau
pA (diam) = ρghrest = (1010 kg/m3)(9.81 m/s2 )(0.07 m) = 694 Pa
pA = ρG∆ s
= (1010 kg/m3)( (9.81)2 + (7.0)2 m/s2 )((0.07+0.0214)cos35.5°m)
= 906 Pa
pA = ρG(zsurf − zA)
= (1010 kg/m3)(9.81 m/s2 )((0.0214+0.07) m) = 906 Pa2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!21
Fluida dalam Rotasi Benda Tegar Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics, 7th edition,
Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!22
Ingat kembali…
• Percepatan sentripetal (ac) m
r
m
Vi
Vf
θ
Vi
Vf
V = |Vi| = |Vf|
V δtr
≈δVV
a = δVδt
=V 2
r= ac
∆V Segitiga sebangun
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!23
Ingat kembali…
• Gaya sentripetal (Fc )
Fc
Fc
V
V
Ω
m
r
Fc =mac
=mV2
r=mΩ 2r
V =Ωr
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!24
Fluida dalam rotasi benda tegar
Apa yang terjadi jika:
1. Piringan diputar
2. Kecepatan putar ditambah
https://www.youtube.com/watch?v=RdRnB3jz1Yw&t=9s
Piringan
Air
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!25
Gaya-gaya yang bekerja
2
1
Fnz
Fnx
Fn
Fg
Bagaimana gaya-gayanya? z,!iz
r,!ir
Ω
Fg = Fnz =mg
Fnx =mΩ2r
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!26
Distribusi Tekanan
p = p0
p = p1
p2
p3
sumbu rotasi
muka air saat diam
z,!iz
r,!ir
Ω
!g
!a = −rΩ 2!ir −!a
!g − !a!∇p = ρ( !g − !a)
Apa yang terjadi jika plat berisi fluida digeser, tetapi masih pada diameter piringan?
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!27
Distribusi Tekanan
• Vektor posisi, kecepatan sudut dan percepatan:
• Keseimbangan gaya:
• Maka: dan
!r0 = r "ir
!Ω =Ω
!iz
!Ω × (
!Ω ×!r0 ) = −rΩ
2!ir!∇p = ρ( !g − !a)∂p∂z!iz +
∂p∂r!ir = ρ(−g
!iz + rΩ
2!ir )
∂p∂r
= ρrΩ 2∂p∂z
= −ρg
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!28
• p diintegralkan terhadap r dengan menganggap z konstan
• Dengan menganggap r konstan:
• Sehingga
Distribusi Tekanan
p = 12ρr2Ω 2 + f (z)
∂p∂z
= 0+ f '(z) = −ρg f (z) = −ρgz +C
p = 12ρr2Ω 2 − ρgz +C
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!29
• Jika p = p0 pada (r, z) = (0, 0) maka C = p0, sehingga:
• Untuk menggambar garis tekanan-konstan:
Distribusi Tekanan
p = p0 − ρgz +12ρr2Ω 2
z = p0 − p1ρg
+r2Ω 2
2g= a+br2
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!30
• Pada silinder yang diputar pada sumbunya berlaku:
Distribusi Tekanan
h2=Ω 2R2
4g
muka air saat diam
Ω
h2h2
R R
h Volume = π
2R2h
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!31
Contoh soal
Kaleng dengan tinggi 10 cm dan diameter 6 cm berisi cat (ρ= 1010 kg/m3) dengan kedalaman 7 cm pada keadaan diam. Kaleng kemudian diputar pada sumbunya hingga tercapai kondisi benda tegar. Tentukan:
(a) kecepatan sudut yang akan menyebabkan cat mencapai bibir kaleng
(b) tekanan di titik A yang terletak di sudut bawah kaleng
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!32
Penyelesaian z
Ω
r
A
0
3 cm
7 cm
3 cm 3 cm
h2=Ω2R2
4g= 0.03 m
Ω2 =1308Ω = 36.2 rad/s = 345 rpm
A(r, z) = (3 cm,−4 cm)
pA = p0 − ρgz +12ρΩ2r2
= 0+396 N/m2 + 594 N/m2
= 990 Pa
(a)
(b)
2/21/17! Fisika untuk Teknik Sipil!33