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Institut für Technische Mechanik, KIT
Diplomarbeitvon
Daniel Tameling
Betreuer:Dipl.-Ing. Stephan WulfinghoffProf. Dr.-Ing. Thomas Böhlke
Bereich KontinuumsmechanikInstitut für Technische Mechanik
Algorithmen für nichtlokale Materialgesetzein der Gradienten-Einkristall-PlastizitätInhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
D. Tameling KIT Karlsruher Institut für Technologie 16. September 2011
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Institut für Technische Mechanik, KIT
• Einleitung
• Mathematische Grundlagen
• Vorstellung verschiedener Algorithmen
• Vergleich der Algorithmen anhand der Rechnung
• Zusammenfassung
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InhaltInhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Institut für Technische Mechanik, KIT
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Einleitung
Bei Abmessungen kleiner als ca. 10 µmzeigt sich eine Größenabhängigkeit
Fleck et al. (1994)
d1
d2 <d1
Widerspruch zuklassischer Theorie
NichtlineareVariations-
formulierung
Finite Elemente Methodemit
Newton-VerfahrenActive-set-search Methode
Gradiententheoriemit Verbindungzu Versetzungen
besonders bei inhomogener Belastung wie Torsion
Gewählte Lösung:
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
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Kinematik eines Einkristalls
Zerlegung des Deformationsgradienten
Kleine Deformationen beim Einkristall
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Rotation + Streckung Scherung
ein Gleitsystem:
Slip-Parameter
Gleitrichtung
Gleitebenen-normale
Schmid-Tensor
Elastischer Anteil desVerschiebungsgradienten
Gurtin, Needleman (2005)
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
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Motivation Versetzungsdichtetensor
Nach plastischerVerformung
Anfangs-platzierung
Gitter
Kontinuum
Burgers-Vektor:
VersetzungsdichteSatz vonStokes
Nye (1953)
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
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Freie Helmholtzenergie
Verfestigungsmodul
Isotroper Verfestigungsanteil
Elastischer Anteil
Insgesamt:
mit Versetzungsdichtetensor
Vesetzungsanteil
Konstante
Steifigkeitstensor
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Institut für Technische Mechanik, KIT
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Umsetzung
Nichtlineare Variationsformulierung
Newton-Verfahren
Linearisieren Diskretisieren
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Leistungsbilanz
Wie lösen?
Nichtlineare Finite Elemente Methode
LinearesGleichungssystem
Was sind die plastischaktiven Knoten?
Bestimmung der aktiven Knotenmit Active-set-search Methode
Für inaktive Knoten Gleichungenmit Slip-Parameter im linearenGleichungssystem entfernen
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Lineares GleichungssystemActive Set Search
Diskrete Nebenbedingungen
Passiver Knoten Aktiver Knoten
Wird passiv beiWird aktiv bei
Active-set-search:
Verschiedene Möglichkeiten der Kombinationvon Active-set-search und Newton-Verfahren
symmetrisch + positiv definit
Lineares Gleichungssystem:
Inhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung Algorithmen
Simulation
VergleichAlgorithmen
Zusammen-fassung
Active Set: Menge der aktiven Knoten
Miehe, Schröder (2001)
Ziel der Diplomarbeit:
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Ablauf der Algorithmen,die miteinander verglichen wurdenInhalt
Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Methode 3Methode 2Methode 1
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NetzeHexaeder Elemente
11x11x6=726 Knoten
26x26x14=9464 Knoten
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Rechengebiet
RandbedingungenUntere Fläche fest
Obere Flächewird verschoben
Rest spannungsfrei
Slip-Parameterverschwindet auf
dem Rand
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MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
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Simulation
Ausgangskonfigurationd.h. unverformt
10 Zeitschritte: letzter Zeitschritt
Anforderungen: Robuster und stabiler Algorithmus hohe Geschwindigkeit
Durchgeführte Simulationen
umax=0,03µm mit 10 Zeitschritten und feinem Netzumax=0,3µm mit 4 und 10 Zeitschritten und grobem und feinem Netz
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Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
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Simulation10 Zeitschritte, xz-Ebene
Verschiebung 20 fachüberzeichnet
Verschiebung 100 fachüberzeichnet
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Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
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Vergleich der Algorithmen
Zahl der Newton-Schrittebestimmt den Zeitaufwand
einer Methode
Methode 1 Methode 2 Methode 3
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Einleitung
MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Summe derZahl derNewton-Schritteaus allen
Simulationen
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Methode 1 ist am langsamsten
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Bei Methode 2 nur 51 mal LGS aufstellenstatt 101 wie bei Methode 3
Warum bestimmt Zahlder Newton-Schritteden Zeitaufwand?
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Vergleich der Algorithmen
Methode 1 Methode 2 Methode 3
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MathematischeGrundlagen
Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
Zusammen-fassung
Summe derZahl der
Änderungenam Active Set
aus allenSimulationen
Methode 2 ist die schnellste
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Aufstellen deslinearen
Gleichungssystemsist teuer
Bei Methode 2 nurerforderlich wennkeine Änderungam Active Set
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Zusammenfassung
Methode 1 Methode 2 Methode 3
Stabilität o o oZahl der Active Set Searches o o o
Zahl derNewton Schritte - + +Geschwindigkeit - + o
Fazit - + o
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Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
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Vielen Dankfür Ihre
Aufmerksamkeit
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Vorstellung derAlgorithmen
Vergleich derAlgorithmen
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