Diagrama de Nyquist

Funciones

de

Variable Compleja

( ) ( )s je e e cos je sen

Mapeo de contornos entre los planos s y F

Matlab grafica directamente los

puntos en el plano complejo¡¡¡

% Ejemplo de gráfica de un punto s=3+4i:

clear,clc,close all

s=3+4i;

hold on

plot(s,'+','MarkerSize',10,'lineWidth',2

,'MarkerFaceColor','k')

ejex=linspace(-6,6,1000);

plot(ejex,zeros(1,1000),'k');

plot(eps+ejex*1i,'k') %Eje imaginario

axis([-6 6 -6 6])

legend('Punto en el s=3+4i'

,'Location','NorthWest')

hold off

Graficar un punto en el plano complejo s

Graficar un punto en el plano complejo s

%Recorrido en el plano s

s=[linspace(0,1,100)+eps*1i

1+linspace(0,1,100)*1i

linspace(1,0,100)+1i

linspace(1,0,100)*1i];

hold on

plot(s,'--k','lineWidth',3)

ejex=linspace(-6,6,1000);

plot(ejex,zeros(1,1000),'k');

plot(eps+ejex*1i,'k') %Eje imaginario

axis([-.5 1.5 -.5 1.5])

legend('Recorrido en el plano s'

,'Location','NorthEast')

hold off

Graficar un recorrido en el plano complejo s

Graficar un recorrido en el plano complejo s

%Recorrido en los planos s y F clear,clc,close all

s=[linspace(0,1,100)+eps*1i 1+linspace(0,1,100)*1i

linspace(1,0,100)+1i linspace(1,0,100)*1i];

N=length(s);F=.5*exp(s); %Contorno en el plano S

subplot(1,2,1), hold on, plot(s,'-r','lineWidth',2)

plot(s(150)+eps*1i,'o','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','g')

plot(s(50)+eps*1i,'>','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','r')

plot(s(250)+eps*1i,'<','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','r')

ejex=linspace(-3*pi,3*pi,N); plot(ejex,zeros(1,N),'k');

plot(eps+ejex*1i,'k') %Eje imaginario

axis([-.1 1.5 -.1 1.5])

legend('Recorrido de s en el plano S','Punto del recorrido en el

plano S','Location','NorthEast')

hold off, subplot(1,2,2),hold on

plot(F(1:N),'-k','lineWidth',2);

plot(F(150)+eps*1i,'o','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','g')

plot(F(50)+eps*1i,'>','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','k')

plot(F(250)+eps*1i,'>','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','k')

ejex=linspace(-3*pi,3*pi,N); plot(ejex,zeros(1,N),'k');

plot(eps+ejex*1i,'k'); axis([-.1 1.5 -.1 1.5])

legend('Recorrido de F(s) en el plano F','Punto del recorrido en

el plano F' ,'Location','NorthEast')

hold off

Mapeo de contornos entre los planos s y F

i ó j unidad imaginaria

* real

* imag

* conj

* abs

* angle

* unwrap

Operaciones de Matlab con complejos

Ejemplo:

s=3+4i

real(s)=3

imag(s)=4

conj(s)=3-4i

abs(s)=5

angle(s)=0.9273 [radianes]

angle(s)*180/pi=53.1301 [grados]

angle(conj(s))=-0.9273

Operaciones de Matlab con complejos

( )( )

Re( ( )) Im( ( ))

:

( )

( ) ( ) ( )

s j j j

F sF s

F s F s

Ejemplo

F s e e e e e

F s cos j sen

Mapeo de contornos entre los planos s y F

clear,clc,close all

N=1000; rho=5; s=0+linspace(0,2*pi,N)*1i;

F=rho*exp(s); %Contorno en el plano S

hold on

plot(F(1)+eps*1i,'o','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','k')

plot(F,'-k','lineWidth',2); plot(s,'-r','lineWidth',2)

ejex=linspace(-3*pi,3*pi,N); plot(ejex,zeros(1,N),'k');

plot(eps+ejex*1i,'k') %Eje imaginario

axis([-1*2*pi 1.1*2*pi -1.1*2*pi 1.1*2*pi])

plot(F(400)+eps*1i,'>','MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','k')

plot(F(850)+eps*1i,'>','MarkerSize',10,'MarkerFaceColor','k')

plot(s(500)+eps*1i,'^','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','r')

plot(s(1)+eps*1i,'or','MarkerSize',2,'MarkerFaceColor','r')

plot(s(N)+eps*1i,'or','MarkerSize',2,'MarkerFaceColor','r')

legend('F(0)','F(jw), w variando de 0 a 2pi',...

's=jw variando entre 0 y 2pi' ,'Location','NorthEast')

( ) 5 jF s eEl siguiente script grafica para ω variando entre 0 y 2π

Mapeo de contornos entre los planos s y F

Es importante analizar la evolución de la fase de F(s) ( ) en dos situaciones: a) F(s) rodea el origen de el plano F (izquierda). b) F(s) NO rodea el origen de el plano F (derecha).

F(s) rodea el origen de el plano F

Si F(s) rodea el origen del plano F en sentido horario esto implica que el ángulo de F(s) ( ) a cambiado en -2π . La inversa es verdadera: Si el ángulo de F(s) cambia en -2π entonces F(s) rodea el origen del plano F en el sentido horario. Para sentido anti horario el cambio es de 2π.

Como F(s) rodea el origen en sentido antihorario su fase al final del recorrido cambia en 2π.

Variación de la fase cuando F(s) rodea el origen de el plano F

% Angulo que recorre F(s) clear,clc,close all

N=1000; rho=5;

s=0+linspace(0,2*pi,N)*1i;

F=rho*exp(s); %Contorno en el plano S

Angulo_F=angle(F);

subplot(2,1,1),hold

on,plot(linspace(0,2*pi,N),Angulo_F,'-b','lineWidth',2)

ejex=linspace(-3*pi,3*pi,N); plot(ejex,zeros(1,N),'k');

axis([0 2*pi -1.1*pi 1.1*pi])

legend('Angulo de F(s)','Location','NorthWest'), hold

off

subplot(2,1,2),hold

on,plot(linspace(0,2*pi,N),unwrap(Angulo_F),'-

b','lineWidth',2)

ejex=linspace(-3*pi,3*pi,N); plot(ejex,zeros(1,N),'k');

axis([0 2*pi 0 2*pi]),legend('Angulo de F(s)

"unwraped"','Location','NorthWest');hold off

Variación de la fase cuando F(s) rodea el origen de el plano F

Si F(s) NO rodea el origen del plano (como en la figura) la variación de la fase ( ) durante el recorrido ES CERO. Esto es, las fases al comienzo y al final del recorrido son las mismas

F(s) NO rodea el origen de el plano F

Como F(s) no rodea el origen su fase al final del recorrido es la misma que al comienzo.

Variación de la fase cuando F(s) rodea el origen de el plano F

Como F(s) no rodea el origen su fase al final del recorrido es la misma que al comienzo.

Variación de la fase cuando F(s) rodea el origen de el plano F

Otro Ejemplo:

Como F(s) no rodea el origen su fase al final del recorrido es la misma que al comienzo.

Variación de la fase cuando F(s) no rodea el origen de el plano F

a) Si F(s) rodea el origen de el plano en sentido horario la fase de F(s) cambia en -2π. Si lo rodea en el sentido antihorario cambia en 2π . b) F(s) NO rodea el origen de el plano F la fase al final del recorrido es la misma que al principio, NO CAMBIA LA FASE.

RESUMEN

Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales

1 2

1 2

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )m

n

s z s z s zF s

s p s p s p

De ahora en adelante solo consideraremos funciones complejas F(s) racionales (cociente de polinomios).

11

1 1

1( ) , ( ) , ( )

s zF s s z F s F s

s p s p

Empezaremos con casos particulares simples

Función de Transferencia (función racional)

2

1 1( )

( 1 2 )( 1 2 )2 5

s sF s

s j s js sEjemplo:

Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales

La fase de V(s) no cambia al recorrer todo el contorno A, entonces la de F(s) tampoco por lo que no rodea al origen.

1( ) ( )F s s z V s 1( ) ( )F s s z V s

1( ) ( ) ( )F s s z V s

Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales

La fase de V(s) no cambia al recorrer todo el contorno A, entonces la de F(s) tampoco por lo que no rodea al origen.

1 11( ) ( )F s s p V s 1( ) ( )F s s p V s

11 1( ) ( ) , ( ) ( )F s s p V s s p

Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales

La fase de V(s) cambia -2π, entonces la de F(s) cambiará también -2π por lo que rodea al origen en la dirección horaria.

1( ) ( )F s s z V s 1( ) ( )F s s z V s

1( ) ( ) ( )F s s z V s

Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales

La fase de V(s) cambia -2π, entonces la de F(s) cambiará 2π por lo que rodea al origen en la dirección antihoraria.

1 11( ) ( )F s s p V s 1( ) ( )F s s p V s

11 1( ) ( ) , ( ) ( )F s s p V s s p

La fase de F(s) no cambia ya que las fases del polo y del cero se cancelan, por lo tanto, F(s) no rodea al origen.

1 11 1 1 2( ) ( ) ( )F s s z s p V s V s

11 1 1 1 2 1( ) ( )( ) , ( ) ( ), ( ) ( )F s s z s p V s s z V s s p

1 1 1 2( ) ( ) ( ) 0F s s z s p V s V s

Representación vectorial de mapas

1

1

( ) ( )( ) 1 ( ) ( )

( ) ( )m

n

s z s zF s G s H s

s p s p

Contorno de Nyquist

La idea de Nyquist es realizar una trayectoria en el plano s que encierre todo el semi-plano derecho (SPD). Si hay polos o ceros de la función de transferencia F(s)=1+L(s) en el SPD entonces la trayectoria de F(s) en el plano F rodeará el origen.

¡ GRAN IDEA !

Contornos de Nyquist con polos o ceros en el eje jw

Contorno de Nyquist y Diagrama de Nyquist

Ejemplos de Diagrama de Nyquist para sistemas simples

( ) ( )( ) , ( )

( ) ( )G H

G H

N s N sG s H s

D s D s

Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales

1) Los polos de L(s) y F(s) son los mismos, son los polos de

lazo abierto del sistema.

2) Los ceros de F(s) son los polos de T(s), los polos de lazo

cerrado del sistema.

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )G H

G H

N s N sL s G s H s

D s D s

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( )

( ) ( )G H G H

G H

D s D s N s N sF s G s H s

D s D s

( ) ( )( )( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G H

G H G H

N s D sG sT s

G s H s D s D s N s N s

( ) ( )( ) , ( )

( ) ( )G H

G H

N s N sG s H s

D s D s

Mapeos entre los planos s y F de funciones racionales

1) Los polos de L(s) y F(s) son los mismos, son los polos de

lazo abierto del sistema.

2) Los ceros de F(s) son los polos de T(s), los polos de lazo

cerrado del sistema.

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )G H

G H

N s N sL s G s H s

D s D s

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( ) ( )

( ) ( )G H G H

G H

D s D s N s N sF s G s H s

D s D s

( ) ( )( ) ( )( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )G H

G H G H

N s N sG s H sT s

G s H s D s D s N s N s

1( ) ( )F s S s

Si el contorno de Nyquist en s que rodea a todo el SPD en el sentido

horario es mapeado a través de L(s)=G(s)H(s), entonces El número de

polos a lazo cerrado Z en el SPD (polos de T(s) que coincide con los

ceros de F(s)=1-L(s)) es igual al número de polos a lazo abierto en el

SPD, P menos el número de revoluciones del mapeo alrededor del

punto -1 en el sentido antihorario N, esto es,

Z = Nro. de ceros de L(s) en el SPD = Nro. de polos de T(s) en el SPD

P = Nro. de polos de L(s) y F(s) en el SPD (son los mismos polos)

N= Nro. de vueltas alrededor de -1

N>0 sentido antihorario

N<0 sentido horario

Criterio de estabilidad de Nyquist

Z P N

Observación importante El criterio de estabilidad de Nyquist se aplica al producto L(s)=C(s)P(s) por lo tanto se requiere una condición adicional para aplicarlo “que no se hayan realizado cancelaciones de polos inestables entre el controlador C(s) y el proceso P(s)”

Z=P-N

Z=0

P=0

N=0

Z=P-N

Z=2

P=0

N=-2

2

( 0.5)( 1.75)( )

1.5 0.8125

s sL s

s s

0.5( 0.5)( 1.75)( )

( 0.25)( 0.125)

s sT s

s s

2

2( 0.25)( 0.125)( ) 1 ( )

1.5 0.8125

s sF s L s

s s

Z=P-N

Z=1

P=0

N=-1

Ganancia Variable

Z=P-N

Z=0

P=2

N=2

Ganancia Variable

Podemos imaginar que el diagrama de Nyquist permanece estacionario y que es el punto crítico -1 el que se mueve a lo largo del eje real. Para ver esto, ajustamos K=1 dibujamos el diagrama de Nyquist y reemplazamos en el punto crítico -1 por -1/K. Entonces el punto crítico parece que se acerca al origen cuando se incrementa K.

500( )

( 1)( 3)( 10)L s

s s s

Criterio de estabilidad de Nyquist (Ejemplo)

2 3

500 500( )

( 1)( 3)( 10) ( 14 30) (43 )s j

L js s s j

2 3

2 2 3 2

( 14 30) (43 )( ) 500

( 14 30) (43 )

jL j

2

2 2 3 2

( 14 30)Re ( ) 500

( 14 30) (43 )L j

2

2 2 3 2

(43 )Im ( ) 500

( 14 30) (43 )L j

Criterio de estabilidad de Nyquist (Ejemplo)

Z=P-N

Z=0

P=0

N=0

500( )

( 1)( 3)( 10)L s

s s s

Fin