Curs 2009-2010

Geometria Cinemàtica de Mecanismes Robòtics(GCR)

Mòdul 2: EstàticaProblemes i qüestions curtes

P. Jiménez

Exercise 1. The rule of the parallelogram

Let f1 = (L1,M1,R1) and f2 = (L2,M2,R2) be two forces acting on a rigid lamina, such that S1 = (L1,M1) and S2 = (L2,M2) are not parallel. Prove that their resultant f = f1 + f2 is a line bound vector that meets the point of intersection of f1 and f2. (In other words, we ask to prove the result in Fig. 2.14, but for general skew forces, not necessarily applied to the origin.)

Ex. 1 La regla del paralelogram

X

Y

O

{L1, M1; R1}

{L2, M2; R2}

{L1+L2, M1+M2; R1+R2}

p

1) Calcular p2) Comprovar que es compleix

l’equació de la recta per a la resultant

Ex. 1 La regla del paralelogram

X

Y

O

{L1, M1; R1}

{L2, M2; R2}

p

22

11

22

11

22

11 ::1::ML

ML

RL

RL

RM

RMxy pp

1221

1221

MLML

RMRMy p

1221

1221

MLML

RLRLxp

Ex. 1 La regla del paralelogram

X

Y

O

{L1+L2, M1+M2; R1+R2}

p

Lyp –Mxp+ R=0

(L1+L2 )yp – (M1+M2 )xp+ R1+R2 =0

Ex. 1 La regla del paralelogram(L1+L2 )yp – (M1+M2 )xp+ R1+R2 =0

1221

1221

MLML

RMRMy p

1221

1221

MLML

RLRLxp

(L1+L2 )(M1R2–M2R1) – (M1+M2 )(L1R2–L2R1) + +(L1M2–L2M1)( R1+R2 )=0

L1M1R2+L2 M1R2–L1M2R1–L2M2R1 – M1L1R2 – M2 L1R2

+M1L2R1+M2L2R1 +L1M2 R1–L2M1R1+ L1M2 R2–L2M1R2 =0

Exercise 2. Test for concurrent lines

Prove the statement at the end of page 75 on Duffy's book. That is, prove that three lines , i = 1,2,3 are concurrent if, and only if,

0

333

222

111

RML

RML

RML

X

Y

O

{L1, M1; R1}{L2, M2; R2}

{L3, M3; R3}

0

333

222

111

RML

RML

RML

Ex. 2 Test de rectes concurrents

$1 $2

$3

feix de rectes: qualsevol d’elles és expressable com a combinació lineal de dues d’altres

L3= L1+L2 M3= M1+M2 R3= R1+R2

= 0

Ex. 2 Test de rectes concurrents

L1 M1 R1

L2 M2 R2

L3 M3 R3

= 0$1, $2, $3 concurrents

Ex. 2 Test de rectes concurrents

L1 M1 R1

L2 M2 R2

L3 M3 R3

=M1 R1

M2 R2

L3 –L1 R1

L2 R2

M3 +L1 M1

L2 M2

R3 = 0

3

L3 yp – M3 xp + R3 = 0

$1 $2

$3

p

L1 M1 R1

L2 M2 R2

L3 M3 R3

= 0$1, $2, $3 concurrents

Exercise 3. Leg force distribution along a trajectory Do exercise 2.4 of Duffy's book. You will need the help of some computer language (for example Matlab, or C) because an iterative calculation needs to be done. Please comment all steps of your solution to the problem.

Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

f[c, s, p]T ?

1.7

2.43.0

X

Y

Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

(x1n,y1n)

(x2n,y2n)

(x3n,y3n)l1n l2n

l3n

1 x1n y1n

1 x1b y1b

(x1b,y1b) (x2b,y2b) (x3b,y3b)

L1 : M1 : R1

c1 : s1 : p1

1/(L12 + M1

2)1/2 =1/l1

Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

= j -1 ŵ

j =c1

s1

p1

c2

s2

p2

c3

s3

p3

ff1

f2

f3

(aplicada)

(equilibrants)

(resultants)f3

f2

f1

f f

f11

f1n

f2n

f21

f31 f3n

Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

% Platform points (in initial position)x1p = 0; y1p = 3;x2p = 0.4*sqrt(2); y2p = 2.4;x3p = 0.95 * sqrt(2); y3p = 1.7;

% Base points (fixed)x1b = 0; y1b = 0;x2b = 3.5; y2b = 0;x3b = 5.0; y3b = 0;

% Unitized coordinates of the force ff=[1;0;-2.4];fprintf('f is:');printmat(f);

% Platform self-parallel displacementsstep = 0.01;M = [];pos = [];

Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

for i=1:500

% Platform point coordinates x1p = x1p + step; x2p = x2p + step; x3p = x3p + step; % Leg lengths for such coordinates l1 = sqrt((x1p-x1b)^2 + (y1p-y1b)^2); l2 = sqrt((x2p-x2b)^2 + (y2p-y2b)^2); l3 = sqrt((x3p-x3b)^2 + (y3p-y3b)^2); pos = [pos,x1p]; % Grassmann's point matrices (see page 44) G1 = [1,x1b,y1b; 1,x1p,y1p]; G2 = [1,x2b,y2b; 1,x2p,y2p];

G3 = [1,x3b,y3b; 1,x3p,y3p];

Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

for i=1:500

% Platform point coordinates % Leg lengths for such coordinates % Grassmann's point matrices (see page 44) % Unitized coordinates of leg 1 c1 = det(G1(:,[1,2])) / l1; s1 = det(G1(:,[1,3])) / l1; p1 = det(G1(:,[2,3])) / l1;

% Unitized coordinates of leg 2 c2 = det(G2(:,[1,2])) / l2; s2 = det(G2(:,[1,3])) / l2; p2 = det(G2(:,[2,3])) / l2; % Unitized coordinates of leg 3 c3 = det(G3(:,[1,2])) / l3; s3 = det(G3(:,[1,3])) / l3; p3 = det(G3(:,[2,3])) / l3;

Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

for i=1:500

% Jacobian matrix j = [c1, c2, c3; s1, s2, s3; p1, p2, p3];

% Vector of leg forces lambda = inv(j)*f; % We collect all results in a matrix M, in order to plot them later M = [M,lambda];

end

% Plot of the results: Red, green, and blue lines correspond to the % resultant forces on legs 1, 2, and 3, respectively.plot(pos, M(1,:),'r', pos, M(2,:),'g', pos, M(3,:),'b', 'LineWidth',2);

Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

Forces resultants als connectors. Les forces equilibrants són iguals però de signe contrari.

Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

Qüestions de test (estàtica)

45º 60º 90º

5N10Nm

4m

(0,0) (1,0) (2,0)

6. (4 puntos) La siguiente figura muestra un manipulador paralelo 3RPR en una determinada configuración y con una determinada fuerza y par ejercidos sobre su elemento terminal:

Señala la respuesta correcta:a) La pata 1 está en tensión, con valor de 5√2 N, las patas 2 y 3 en compresión, con valor de 5 N.b) Las patas 1 y 2 están en tensión, con valor de 5√2 N, y la 3 en compresión con valor de 5 N.c) La pata 1 está en tensión, con valor de 5√2 N, la pata 2 no trabaja, y la pata 3 está en compresión, con valor de 5 N.d) Todas las patas están en tensión.e) Variando la orientación y magnitud de la fuerza externa, se puede alcanzar una singularidad.

Trobar les forces als connectors

45º 60º 90º

5N10Nm

4m

(0,0) (1,0) (2,0)

50

-5·4+10ŵ =

50

-10= =

=c1

s1

p1

f1 + f2 + f3

c2

s2

p2

c3

s3

p3

p2 = √3/2

Trobar les forces als connectors

45º 60º 90º

5N10Nm

4m

(0,0) (1,0) (2,0)

50

-5·4+10ŵ =

50

-10= =

= f1 + f2 + f3

0 2

2

22

23

23

21

2

1

0

f1 = 5√2 f2 = 0 f3= −5

12

3

4

A- En aquesta configuració, hi ha forces que no poden ser equilibrades pels actuadors

B- En aquesta configuració, no cal aplicar-hi forces als actuadors per equilibrar la força exercida

C- La força que es mostra pot ser equilibrada actuant només una de les articulacions

D- Aquest mecanisme mai pot ser en una configuració singular

7. (2 puntos) Cada una de las afirmaciones A-D es aplicable exclusivamente a uno de los mecanismos,en las configuraciones que se muestran:

Señala la correspondencia correcta:a) A-2, B-1, C-3, D-4b) A-4, B-3, C-2, D-1c) A-2, B-4, C-1, D-3d) A-3, B-1, C-4, D-2e) A-1, B-3, C-2, D-4

lh

Ff1

f2

f3

8. (4 puntos) En el mecanismo de la figura se aplica una única fuerza, tal como se muestra:

Señala la respuesta correcta:

a) f1 = f3 = 0 y f2 = F

b) f1 = f2 = f3 = F/3

c) f1 = f2 = 0 y f3 = F

d) f2 = f3 = 0 y f1 = F cos(l/h)

e) f1 = F cos(l/h), f2 = Fp2/2 y f3 = Fp2/2

Questions sobre el mecanisme

lh

Ff1

f2

f3

0F0

= 1 0 -√2/2 0 1 √2/2-h 0 l

f1

f2

f3

X

Y

l

h

Ff1

f2

f3

l = h√2/2

45º

9. (3 puntos) El mecanismo del ejercicio anterior es modificado, manteniendo las orientaciones de las patas, hasta que l = h√2/2, como muestra la figura.

Questions sobre el mecanisme

l

h

Ff1

f2

f3

l = h√2/2

45º

Configuració singular?

Questions sobre el mecanisme

l

Ff1

f2

f3

Es pot equilibrar F?

h

Questions sobre el mecanisme

l

Ff1

f2

f3

Si l → h√2/2

què passa amb fi ?

h

Questions sobre el mecanisme

l

Ff1

f2

f3

Es pot equilibrar F?

h

Questions sobre el mecanisme

l

Tf1

f2

f3

Es pot equilibrar T?

h