Post on 06-Jun-2022
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COORDENADAS CILÍNDRICAS
Las superficies para las que
La coordenada es constante son cilindros cuyo eje es el eje Z
Las superficies para las que es constante son planos perpendiculares al eje Z
Las correspondientes a constante son planos que pasan por el eje Z y tienen a éste
como eje del haz de planos.
las variables independientes son
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Los vectores unitarios que forman la base en este sistema de coordenadas son
y se definen de manera que
es perpendicular en dicho punto a la superficie
cilíndrica de eje Z que pasa por ese punto;
es normal en dicho punto al plano que pasa por él
y se apoya en el eje Z;
es normal al plano perpendicular al eje que pasa
por el punto.
La representación de un campo
vectorial por sus componentes es:
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Las variables independientes son
COORDENADAS ESFÉRICAS
Las superficies que corresponden
a una coordenada constante
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Los vectores unitarios en cada punto son respectivamente normales a las superficies
cuya coordenada es constante, es decir:
es normal a la esfera de centro en O que pasa por dicho punto,
es normal a la superficie cónica y
al plano correspondiente.
La representación de un campo vectorial por sus componentes es:
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LONGITUD Y VOLUMEN ELEMENTAL
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
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Derivamos una relación útil entre una integral de superficie de un vector y la integral de
volumen de la divergencia de ese vector.
Asumimos que un vector F es regular, es decir él y sus derivadas de primer orden son
continuos en una región de simplemente conexa, V.
Entonces el teorema de Gauss establece que
TEOREMA DE GAUSS
V y S denotan
el volumen de interés
y
la superficie cerrada que lo limita
ds = n da
Normal
siempre
SALIENTE
n
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TEOREMA DE STOKES
Convención de la “mano derecha”
La integral de línea de un vector alrededor
de una curva cerrada C es igual al flujo de
su rotacional sobre cualquier superficie
limitada por la curva S
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𝐅 = 𝜑𝐂 , C = vector constante
𝐂 ∙ 𝛁𝜑 𝑑𝑉 = 𝐂 ∙ 𝜑 𝐧𝑑𝑎
Siendo C arbitrario, será
∴ 𝐂 ∙ 𝛁𝜑 𝑑𝑉 − 𝜑 𝐧𝑑𝑎 = 0
𝛁𝜑 𝑑𝑉 = 𝜑 𝐧𝑑𝑎 𝛁𝜑 𝑑𝑉 − 𝜑 𝐧𝑑𝑎 = 0
OTROS TEOREMAS DERIVADOS DE GAUSS Y STOKES
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𝐅 = 𝜑𝐂 , C = vector constante
𝛁𝜑 × 𝐂 ∙ 𝐧 𝑑𝑎 = 𝜑𝐂 ∙ 𝑑𝐥
− 𝐂 × 𝛁𝜑 ∙ 𝐧 𝑑𝑎 = − 𝐂 ∙ 𝛁𝜑 × 𝐧 𝑑𝑎 = 𝐂 ∙ 𝐧 × 𝛁𝜑 𝑑𝑎 = 𝐂 ∙ 𝜑𝑑𝐥
𝐂 ∙ 𝐧 × 𝛁𝜑 𝑑𝑎 − 𝜑𝑑𝐥 = 0
Siendo C arbitrario, será 𝐧 × 𝛁𝜑 𝑑𝑎 = 𝜑𝑑𝐥 𝐧 × 𝛁𝜑 𝑑𝑎 − 𝜑𝑑𝐥 = 0
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𝛁⨂𝛹 𝑑𝑉 = 𝛹⨂𝐧𝑑𝑎
𝛹 arbitraria: escalar o vector
⨂ compatible con 𝛹
En general serán
Siendo
𝛁𝜑 𝑑𝑉 = 𝜑 𝐧𝑑𝑎 ….
SISTEMA GENERALIZADO DE COORDENADAS ORTOGONALES
Un sistema generalizado de coordenadas ortogonales se define (análogamente a los
tratado anteriormente) mediante un origen y un sistema de ejes ortogonales
determinados por el conjunto de vectores que forman su base.
Las variables independientes son .
Los vectores unitarios ortogonales son , que cumplen las condiciones
de ortogonalidad , etc.
Las superficies cte , son ortogonales entre sí.
A un sistema definido de esta manera se le conoce como sistema curvilíneo
generalizado de coordenadas ortogonales.
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Un campo vectorial en este sistema se representa por
Las longitudes elementales en las direcciones
de los ejes de coordenadas son
Los términos son los
FACTORES DE ESCALA
y son distintos para cada sistema
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= FACTORES
DE ESCALA
La longitud elemental :
El volumen elemental :
Los términos son
los FACTORES DE ESCALA y
son distintos para cada sistema.
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GRADIENTE
V es una función
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GRADIENTE
V es una función
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DIVERGENCIA
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DIVERGENCIA
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
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DIVERGENCIA
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LAPLACIANO
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LAPLACIANO
Cilíndricas
Esféricas
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ROTACIONAL
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ROTACIONAL
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
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Para desarrollar aplicamos el teorema de Stokes
en una superficie pequeña cuya área tiende a cero.
Trabajando con una componente a la vez,
se considera un elemento de superficie
diferencial en la superficie curvilínea u1 = cte
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Trabajando con una componente a la vez,
consideramos un elemento de superficie diferencial
en la superficie curvilínea u1 = cte
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Trabajando con una componente a la vez,
consideramos un elemento de superficie diferencial
en la superficie curvilínea u1 = cte
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Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
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CILÍNDRICAS
ESFÉRICAS
EN RESUMEN
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IDENTIDADES DE GREEN
Primera
identidad de
Green
Ley de Gauss
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Segunda
identidad de
Green
Ley de Gauss
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FUNCIÓN DELTA DE DIRAC
Se define como:
La integral se extiende
a todo el espacio
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FUNCIÓN DELTA DE DIRAC
Se define como:
La integral se extiende
a todo el espacio
En una dimensión
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FUNCIÓN DELTA DE DIRAC
Se define como:
La integral se extiende
a todo el espacio
En una dimensión
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FUNCIÓN DELTA DE DIRAC
Propiedades de la función delta
Dada una
función
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FUNCIÓN DELTA DE DIRAC
Expresión de una carga puntual situada en el punto :
Propiedades de la función delta
Dada una
función
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RESUMEN
DE
ELEMENTOS
MATEMATICOS
ÚTILES
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ELEMENTOS DE LONGITUD Y VOLUMEN
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FÓRMULAS
DE
ANÁLISIS VECTORIAL
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TRASFORMACIÓN
DE
COMPONENTES
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