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第5章 静磁場
5.1 磁石と磁場
5.2 磁気双極子と磁化
5.3 磁束密度
5.4 電流と磁場
5.5 アンペールの法則
5.6 磁化電流とアンペールの法則
5.1 磁石と磁場
鉄を引き付ける棒磁石にはN極とS極があるが,
電気双極子と対比させて,
大きさの等しい正負の電荷に対応する
正負の磁荷というものを仮想的に導入し,
それらがわずかに隔たり対峙する磁気双極子を導入しよう.
真空中の磁荷間には電荷間のクーロンの法則と同様の力が
働くことが実験的にわかっている.
位置r, r′にそれぞれ磁荷qm, q′mがあるとき次のようになる.
F =qmq′m4πµ0
r − r′
|r − r′|3
定数µ0をµ0 = 4π × 10−7と定めることで
磁気量の単位が定まる.この単位をウェーバ (Wb)といい,
1Wb = 1J/A が成り立つ.定数µ0を真空の透磁率という.
電荷間のクーロン力よりも電場を基本とみなす立場で
磁気的な力より基本的な磁場 Hを導入する.
ϵ0 → µ0
q → qm
E → H
の対応から,磁荷間に働く力を磁場を用いて書き直す.
F = qmH, H =q′m
4πµ0
r − r′
|r − r′|3
ここで,Hは位置r′の点に磁荷q′mがあるときの
位置rにおける磁場を表す.
磁場の大きさの単位:N/Wb = N · A/J = A/m
教科書213頁 付録3の表で電磁気の諸量の単位を
m, kg, s,Aの組み合わせで表してある.(MKSA単位系)
丸暗記する必要はないが,導出方法を確認しておくこと.
定期試験の出題範囲に加える.
磁力線:電気力線の対応物
磁位:磁荷による磁場の場合は電位の対応物として導入できる.
電流による磁場の場合は一義的に定まらない.(後述)
5.2 磁気双極子と磁化
磁荷±qmが微小距離 lだけ隔たり対峙する磁気双極子の
磁気双極子モーメントmの大きさはm = |m| = qml
この磁気双極子が原点にあるとき,位置rでの磁位
Vm(r) =m · r
4πµ0r3
磁気双極子モーメントの大きさの単位:Wb · m磁場は以下の通り.
H(r) = −gradVm(r) =1
4πµ0r3
3r(m · r)r2
− m
磁場中の磁気双極子が持つ位置エネルギー:U = −m · H
物質の磁気的性質に着目するとき,この物質を磁性体という.
誘電分極
誘電体に電場Eを作用 → 内部に電気双極子piが誘起
電気分極(分極ベクトル)P
単位体積中の電気双極子モーメントの和P =∑
i pi
磁気分極
磁性体に磁場Hを作用 → 内部に磁気双極子miが誘起
磁化
単位体積中の磁気双極子モーメントの和M =∑
i mi
電気感受率χe (> 0)は電気分極Pと電場Eの比例関係を与える.
P = χeϵ0E
電束密度Dとの関係:D = ϵ0E + P
磁気感受率(磁化率)χmは
磁化Mと磁場Hの比例関係を与える.
M = χmµ0H
磁束密度Bの導入:B = µ0H + M
常磁性体:χm > 0の物質.アルミニウム,マンガン,硫酸銅.
反磁性体:χm < 0の物質.ビスマス.
強磁性体:
鉄,コバルト,ニッケルのように外部磁場がなくても磁化が生じ
ているような物質.この磁化を自発磁化という.
磁場と磁化が線形関係になく,ヒステリシスを呈する.
磁化の生じていない強磁性体に磁場を加え,その強度を上げて
いくとある磁場の強度で飽和に達する.その後,強度を弱めて
磁場を0にしても,磁化が残る.これを残留磁化という.磁化
を0にするためには,保磁力という逆向きの磁場を加えなけれ
ばならない.
5.3 磁束密度
B = µ0H + M = µ0H + χmµ0H = µ0(1 + χm)H
透磁率:µ = µ0(1 + χm)
比透磁率:km = 1 + χm =µ
µ0B = µH
電束密度についてのガウスの法則の磁束密度の場合の対応物
(マクスウェル方程式の中のひとつ)∫S
B · dS = 0, divB = 0
磁荷が存在しないことに注意.
磁場に対する境界条件
二種類の磁性体が境界面で接するとき
境界面の法線成分については,電束密度と同様に,
B1n = B2n
境界面の接線成分については,磁位が定義できる場合に,
H1t = H2t
磁位が定義できない場合は後述.
5.4 電流と磁場
電流が磁場から受ける力
磁場中の導線に電流Iを流す.
導線は電流と磁場の両方に垂直な力を受ける.
導線上の長さdsの微小部分に働く力:F
大きさdsで電流と同じ向きを持つベクトル:ds
磁束密度Bとdsのなす角:θ
F = I ds × B
F = |F| = IB sin θ ds
磁束密度の次元
[F ] = [I][B][ds]
[B] =[F ]
[I][ds]=
kg · m · s−2
A · m= kg · s−2 · A−1
教科書の付録3を参照のこと.電磁気の諸量の単位を
m, kg, s,Aの組み合わせで表してある.(MKSA単位系)
このように基本法則から表の導出ができる.
この導出を定期試験の出題範囲に加える.
ローレンツ力:磁場中を運動する荷電粒子に働く力
電荷Qと電流Iの関係式:I =dQ
dt時間dtの間に移動した電荷の総量がdQ
点電荷qが時間dtに速度vでds(= v dt)だけ移動するときの
電流:I
q = I dt → qv = I v dt = I ds → qv = I ds
F = I ds × B → F = qv × B
磁場のほかに電場がある場合 F = q(E + v × B)
サイクロトロン運動:定磁場中の荷電粒子の螺旋運動
z方向を向く一様な磁束密度:B = (0,0, B)
q v × B = q (vyBz − vzBy, vzBx − vxBz, vxBy − vyBx)
= qB (vy,−vx,0)
= m (vx, vy, vz)
mvx = qBvy = −(qB)2
mvx → vx = −ω2
c vx (ωc =qB
m)
z軸方向には等速直線運動を行う.
単振動の運動方程式の解
vx = −ω2c vx
vx = a sin(ωct) + b cos(ωct)
vy =m
qBvx =
m
qBωc(a cos(ωct) − b sin(ωct))
= a cos(ωct) − b sin(ωct)
初期条件:t = 0でのvx, vyの値vx(0), vy(0)を用いて
a, bを書き直すと
vx(t) = vy(0) sin(ωct) + vx(0) cos(ωct)
vy(t) = vy(0) cos(ωct) − vx(0) sin(ωct)
vx(t) = vy(0) sin(ωct) + vx(0) cos(ωct)
vy(t) = vy(0) cos(ωct) − vx(0) sin(ωct)
時間について積分する.
x(t) = −vy(0)
ωccos(ωct) +
vx(0)
ωcsin(ωct) + c
y(t) =vy(0)
ωcsin(ωct) +
vx(0)
ωccos(ωct) + d
初期条件:t = 0でのx, yの値x(0), y(0)を用いて
c, dを書き直すと
x(t) =vy(0)
ωc[1 − cos(ωct)] +
vx(0)
ωcsin(ωct) + x(0)
y(t) =vy(0)
ωcsin(ωct) +
vx(0)
ωc[cos(ωct) − 1] + y(0)
x(t) − x(0) −vy(0)
ωc=
vx(0)
ωcsin(ωct) −
vy(0)
ωccos(ωct)
y(t) − y(0) +vx(0)
ωc=
vy(0)
ωcsin(ωct) +
vx(0)
ωccos(ωct)
A sin(ωct − ϕ) = A sin(ωct) cosϕ − A cos(ωct) sinϕ
A cos(ωct − ϕ) = A cos(ωct) cosϕ + A sin(ωct) sinϕ
A =√
v2x(0) + v2
y(0)/ωc, ϕ = arctan [vy(0)/vx(0)]
x(t) − x(0) −vy(0)
ωc= A sin(ωct − ϕ)
y(t) − y(0) +vx(0)
ωc= A cos(ωct − ϕ)
A =√
v2x(0) + v2
y(0)/ωc, ϕ = arctan [vy(0)/vx(0)]
両辺を自乗して足し合わせて時刻tを消去し,軌道を求める.x(t) − x(0) −vy(0)
ωc
2+y(t) − y(0) +
vx(0)
ωc
2 =v2x(0) + v2
y(0)
ω2c
円軌道,角振動数ωcの単振動:サイクロトロン運動
上の角振動数:サイクロトロン角振動数
電流の作る磁場
教科書の図5.12の点P(位置r)に磁荷qmがあるとき
導線上の位置r′には磁場H =qm(r′ − r)
4πµ0|r′ − r|3が生じる.
真空中では磁束密度はB = µ0H =qm(r′ − r)
4π|r′ − r|3となる.
導線上の位置r′にあるdsに働く力は
F = I ds × B = I ds ×qm(r′ − r)
4π|r′ − r|3これを磁荷qmがdsに及ぼす力(作用)とみなせば,
反作用としてdsが磁荷qmに
F = qmI ds × (r − r′)
4π|r − r′|3という力を及ぼす.
(Newtonの運動の第3法則,作用反作用の法則)
これを,電流によって生じる磁場dHの中におかれた磁荷qmに
及ぼされる磁気的なクーロン力qm dHとみなすと次式を得る.
dH =I ds × (r − r′)
4π|r − r′|3, dH =
I ds sin θ
4π|r − r′|2
これをビオ・サバールの法則という.(dsとr − r′のなす角:θ)
導線全体からの寄与は上式を積分すればよい.
考える空間内に磁性体がある場合は教科書5.6節で扱う.
直線電流の作る磁場
無限に長い直線の導体に電流Iが流れている.この直線から
距離rだけ離れた位置での磁場の大きさHを求める.
直線はz軸上にあるものとする.教科書の図5.13のように
z座標がzであるようなxy平面上に
z軸を中心とする半径rの円Cを考える.
円C上の各点の磁場の方向はその点での円Cの接線方向となる.
dH =I dz
4π(r2 + z2)sin θ =
I dz
4π(r2 + z2)
r
(r2 + z2)1/2
dH =I r dz
4π(r2 + z2)3/2
H =Ir
4π
∫ ∞−∞
dz
(r2 + z2)3/2=
I
2π r
[H] = m−1 · A
H · 2π r =∮C
H ds = I
これは次節で現れるアンペールの法則の具体例である.
小さな長方形回路の作る磁場
導出は割愛するが,教科書の図5.15の微小矩形回路を流れる
電流Iによる磁場Hは次のようになる.
(面積∆Sの矩形がxy平面上にあり,その中心が原点と一致)
H(x, y, z) =I
4π
∆S
r3
3xz
r2,3yz
r2,3z2
r2− 1
, r =√
x2 + y2 + z2
これを磁気双極子m = (0,0, m)による磁場(教科書の式(5.13))
H(x, y, z) =m
4πµ0r3
3xz
r2,3yz
r2,3z2
r2− 1
と比較すると m = µ0I∆S
5.5 アンペールの法則
電流と磁気モーメント
矩形の外向き単位法線ベクトルをnとすると m = µ0I∆S n
微小閉回路によって生じる磁場は,上の対応により,
磁気双極子によって生じる磁場と等価となる.
この磁気双極子によって生じる位置rでの磁位
∆Vm =m · r
4πµ0r3=
I
4π
∆S cos θ
r2=
I
4πΩP
ΩPは位置rで微小矩形を見込む立体角
単位磁荷が磁場中で点Aから点Bまで移動するとき
磁気的なクーロン力がなす仕事
∫ B
AH · ds = Vm(A) − Vm(B) =
I
4π(ΩA − ΩB)
教科書の図5.20(a)のように微小閉回路を貫かないような
閉曲線Cに沿った磁場の線積分は0となる.
∮C
H · ds = 0
アンペールの法則
教科書の図5.20(b)のように微小閉回路を
その外向き法線方向に貫くような閉曲線Cに沿った
磁場の線積分を考えよう.
点Aを閉回路の僅かに表側,点Bを僅かに裏側にとると
ΩA = 2π, ΩB = −2πとなるから∮C
H·ds =∫ B
AH·ds =
I
4π(ΩA−ΩB) =
I
4π(2π−(−2π)) = I
閉曲線Cが閉回路を逆向きに貫くと ∮C
H · ds = −I
閉曲線Cが閉回路を貫かなければ ∮C
H · ds = 0
5.6 磁化電流とアンペールの法則
前節では微小閉曲線を流れる電流を
磁気双極子モーメントに置き換え,
アンペールの法則を導出したが,
逆に,磁性体中の磁気双極子モーメントを
電流に置き換えることもできる.
この立場で電流と磁性体が共存する場合を扱おう.
教科書の図5.27のように磁性体を貫く閉曲線Cを考え,
その閉曲線Cを電流Iが貫通するものとする.
磁性体内の閉曲線に沿って,断面積∆S,
高さ∆sの微小円筒を考える.
この部分の磁性体の磁化をMとし,
これと閉曲線(円筒の軸)のなす角をθとする.
磁化Mは単位体積あたりの磁気双極子モーメントmだから,
その大きさは m = M cos θ∆S∆sとなる.
一方,囲む面積が∆Sとなる微小閉曲線を流れる電流∆Imは
大きさが m = µ0∆Im∆Sの磁気双極子モーメントと
等価だから ∆Im =M cos θ
µ0=
M · ∆s
µ0 を得る.ここで,
∆sは大きさ∆sで閉曲線と同じ向きを持つベクトルである.
これを閉曲線全体で積分すると Im =∮C
M · dsµ0
となるが,
磁性体外では磁化は0だから,これは磁性体の磁化を電流で置
き換えたものに等しい.これを磁化電流という.
閉曲線Cを貫通する電流が作る磁場はアンペールの法則により∮C
H · ds = I これに磁化電流を加えると
I + Im =∮C(H +
M
µ0) · ds = I 従って,磁束密度について
µ0(I + Im) =∮C(µ0H + M) · ds =
∮C
B · ds
が成り立つが,磁性体があろうがなかろうが,磁場については
∮C
H · ds = I
が成り立つ.
このように磁束密度についてのアンペールの法則では,
真電流と磁化電流の両者が現れ,
磁場についてのアンペールの法則では,真電流のみが現れる.
誘電体のガウスの法則の場合と比較せよ.
∮C
H · ds = I ⇔∫S
D · dS = q∮C
B · ds = µ0(I + Im) ⇔ ϵ0
∫S
E · dS = q + q′
第6章 時間変化する電磁場
6.1 電磁誘導とファラデーの法則
6.2 相互誘導と自己誘導
6.3 交流回路 I(LR回路)
6.4 交流回路 II(LCR回路)
6.5 磁場のエネルギー
6.6 マクスウェル・アンペールの法則
※ 電磁誘導・交流・変位電流
6.1 電磁誘導とファラデーの法則
電磁誘導:磁石をコイルに近づけたり遠ざけたりすると,コイル
中に電流が誘起される現象(1831年にファラデーが発見)
※ 電気容量の単位(F, Farad),「ろうそくの科学」の著者,
電気分解についての「ファラデーの法則」
磁束:教科書の図6.3のような閉曲線Cを縁とする任意の曲面S
に対する磁束密度 Bの表面積分 Φ =∫sB · dS
(単位 Wb, ウェーバ)
誘導起電力とローレンツ力
教科書の図6.2のような状況下で導線ABが速度vで移動する
と,導線中の荷電粒子にはローレンツ力が働き,荷電粒子は移
動し電流が流れる.この電流を生じさせる起電力を誘導起電力
という.
閉曲線ABEDを貫く磁束が増大するとき,正の電荷はAからB
に移動し,電流は時計周りに流れる.この電流によって生じる磁
場は磁束密度Bとは逆向きであることがわかる.
ファラデーの法則
教科書の図6.2の閉曲線ABEDA(これをCで表す)や図6.3
の閉曲線Cに沿った線積分で誘導起電力V を定義する.
V =∮C
E · ds
ファラデーの法則は誘導起電力と磁束の時間変化を次のように
与える.V = −dΦ
dt 従って,
∮C
E · ds = −dΦ
dt= −
d
dt
∫S
B · dS
交流発電機の原理
教科書の図6.4のようにPQを軸として,長方形回路が角速度ω
で回転するとき,長方形回路を貫く磁束はΦ = SB cosωt
(長方形の面積:S,t = 0で長方形の面は磁束密度と直交)
誘導起電力:V = −dΦ
dt= −
d
dtSB cosωt = SBω sinωt
磁束の性質
閉曲線Cを縁とする曲面Sを貫く磁束は,曲面Sの選び方に依
存せず,閉曲線Cのみに依存する.これは磁場についてのガウ
スの法則を用いて説明できる.(詳細は教科書を見よ.)
6.2 相互誘導と自己誘導
相互誘導:教科書の図6.6のように二つのコイルC1とC2を固
定し,前者に時間的に変化する電流I1が流れるとき,電磁誘導
によりコイルC2に誘導起電力が生じる現象.
C2を貫く磁束をΦ2とすると,Φ2 = M21I1が成り立つ.
M21をC1からC2への相互インダクタンスという.
C2を流れる電流I2によって生じるC1を貫く磁束をΦ1とする
と,Φ1 = M12I2となり,M12 = M21が成り立つ.
これを相反定理という.
自己誘導:コイル内の電流変化によりそれ自身の内部に誘導起電
力が生じる現象
C1を流れる電流I1がC1自身を貫く磁束はL1I1で与えられる.
この比例定数L1を自己インダクタンス,あるいは単に,
インダクタンスという.
インダクタンスの単位:ヘンリー (H)
※ MKSA単位系でどのように表されるか?
変圧機の原理
教科書の図6.9のように矩形の鉄心に
巻き数N1の一次コイルと巻き数N2の二次コイルを巻きつける.
それぞれのコイルの両端の電圧をV1, V2とする.
一次コイルの両端に交流電圧を加えると
コイルひと巻きを貫く磁束はΦ = Φ0 cosωtのように変化す
る.各コイルを貫く磁束はそれぞれの巻き数倍になるから,
V1 = −N1dΦ
dt= N1Φ0ω sinωt
V2 = −N2dΦ
dt= N2Φ0ω sinωt
これより,V2
V1=
N2
N1となり,電圧の比は巻き数の比に等しい.
これを利用して,電圧の値を変えるのが変圧器の原理である.
線形振動を扱うための数学的準備
線形微分方程式
関数yとその導関数y′ =dy
dx, y′′ =
d2y
dx2についての1次方
程式
y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = R(x)
を2階線形微分方程式という.
R(x) = 0: 同次微分方程式
R(x) = 0: 非同次微分方程式
自由課題 以下の定理を証明せよ.
1. u1(x)とu2(x)が微分方程式y′′+P (x)y′+Q(x)y = 0
の解ならば,y = c1u1(x) + c2u2(x)もその解である.
(c1, c2は任意定数).
2. 2階線形同次微分方程式y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = 0の
解u1(x)とu2(x)が1次独立ならば,y = c1u1(x) +
c2u2(x)はその一般解である.(c1, c2は任意定数).
3. 2階線形非同次微分方程式y′′+P (x)y′+Q(x)y = R(x)
の1つの特殊解をY0(x), 対応する同次微分方程式y′′ +
P (x)y′ + Q(x)y = 0の一般解をu(x, c1, c2)とすれば
y = u(x, c1, c2) + Y0(x)
はy′′ + P (x)y′ + Q(x)y = R(x)の一般解である.
4. X0(x)とY0(x)がそれぞれ線形微分方程式
y′′+P (x)y′+Q(x)y = R(x), y′′+P (x)y′+Q(x)y = S(x)
の解であれば,X0(x)+ Y0(x)は以下の線形微分方程式
の解である.
y′′ + P (x)y′ + Q(x)y = R(x) + S(x)
線形微分方程式の解法
n階線形非同次微分方程式
y(n)+P1(x)y(n−1)+· · ·+Pn−1(x)y
′+Pn(x)y = R(x)
の一般解の求め方
1. 非同次方程式の1つの特殊解Y0(x)を求める.
2. 同次方程式の一般解u(x, c1, c2, · · · , cn)を求める.
3. y = u(x, c1, c2, · · · , cn)+Y0(x)が求める一般解である.
微分演算子 D ≡d
dxf(t), g(t): 文字tの多項式
f(D), g(D): 微分演算子
自由課題 微分演算子について以下の定理を示せ.
1. f(D)g(D) = g(D)f(D)
2. f(D)eαx = f(α)eαx
3. f(D)[eαxF (x)] = eαxf(D + α)F (x)
定数係数線形微分方程式
y(n) + a1y(n−1) + · · · + an−1y′ + any = R(x)
で左辺の係数a1, · · · , anがすべて定数であるとき
これを定数係数線形微分方程式という.微分演算子
f(D) = Dn + a1Dn−1 + · · · + an−1D + an
を導入すると,上記の微分方程式は
f(D)y = R(x)
と表すことができる.
定数係数線形同次微分方程式の解法
(D − α)ny = 0の一般解は
y = (c1 + c2x + · · · + cnxn−1)eαx
(D2 + aD + b)ny = 0 (a2 − 4b < 0)の一般解は
y = (b1 + b2x + · · · + bnxn−1)eλx cosµx
+ (c1 + c2x + · · · + cnxn−1)eλx sinµx
ただし,λ± iµは2次方程式t2+at+ b = 0の2根である.
自由課題 このことを示せ.
ヒント 前出の定理f(D)[eαxF (x)] = eαxf(D+α)F (x)
を用いて,(D − α)ny = eαxDn[e−αxy]と変形せよ.
後半では,オイラーの公式 eiµx = cosµx + i sinµxを用
いよ.
定数係数線形同次微分方程式の一般解
微分演算子f(D) = Dn + a1Dn−1 + · · · + an−1D + an
に対して
代数方程式f(t) = tn + a1tn−1 + · · · + an−1t + anを
特性方程式という.
微分方程式Dl(D−α)m(D2+aD+ b)ny = 0の一般解は
y = a1 + a2x + · · · + alxl−1 + (b1 + b2x + · · · + bmxm−1)eαx
+ (c1 + c2x + · · · + cnxn−1)eλx cosµx
+ (d1 + d2x + · · · + dnxn−1)eλx sinµx
である.ここで,λ± iµは2次方程式t2 + at + b = 0の2
根である.
任意の実数係数の代数方程式は tl∏i,j
(t − αi)m(t2 + ajt +
bj)n の形に因数分解できることに注意せよ.
2階定数係数線形同次微分方程式の一般解
微分方程式 y′′ + ay′ + by = 0 の一般解は
特性方程式 t2 + at + b = 0 の根が
1. 実根α, β (α = β)の場合 y = c1eαx + c2eβx
2. 実根α(重根)の場合 y = (c1 + c2x)eαx
3. 虚根λ ± iµの場合 y = eλx(c1 cosµx + c2 sinµx)
定数係数線形非同次微分方程式の特殊解 f(D)y = R(x)
1. R(x) = keαxの場合
f(α) = 0ならばy =k
f(α)eαx
f(α) = 0の場合,f(D) = (D −α)pg(α) (g(α) = 0)
とすれば
y = Axpeαxの形の解がある.
2. R(x)が多項式の場合
f(D) = Dn + a1Dn−1 + · · · + an−mDmならば
y = xm(A0xl + A1xl−1 + · · · + Al−1x + Al)の形の
解を持つ.
3. R(x) = k sin(ax + b)またはk cos(ax + b)の場合
f(t) = 0の根がt = iaであれば,
y = A sin(ax + b) + B cos(ax + b)の形の解がある.
f(t) = 0の根がt = ia (m重根)であれば,
y = xm[A sin(ax + b) + B cos(ax + b)]の形の解が
ある.
2階定数係数線形同次微分方程式の一般解
微分方程式 y′′ + ay′ + by = 0 の一般解は
特性方程式 t2 + at + b = 0 の根が
1. 実根α, β (α = β)の場合 y = c1eαx + c2eβx
2. 実根α(重根)の場合 y = (c1 + c2x)eαx
3. 虚根λ ± iµの場合 y = eλx(c1 cosµx + c2 sinµx)
時定数(LR直列+直流電源)
教科書の図6.11の回路において
電池の起電力:V コイルの誘導起電力:−LdI
dt抵抗による電圧降下:RI
V − LdI
dt= RI →
dI
dt+
R
LI =
V
L
同次微分方程式 dI
dt+
R
LI = 0 の解
I(t) = A exp(−t/τ), τ = L/R (時定数)
A: 積分定数(初期条件を与えると定まる)
非同次微分方程式の解を求めるために,恒等式
D[eαtF (t)] = eαt(D + α)F (t) を利用しよう.(D = ddt)
e−αtD[eαtF (t)] = (D + α)F (t)
(D + α)−1e−αtD[eαtF (t)] = F (t)
G(t) = e−αtD[eαtF (t)]とおくと
F (t) = e−αtD−1[eαtG(t)] = e−αt∫ t
0eαt′G(t′) dt′
(D + α)−1G(t) = e−αt∫ t
0eαt′G(t′) dt′ これを用いて
(D + α)x(t) = G(t) を満たす一つの解(特殊解)は
次のようになる.
x(t) = e−αt∫ t
0eαt′G(t′) dt′
[(D + α)I(t) = V/Lの解] =
[同次方程式(D + α)I(t) = 0の一般解] +
[非同次方程式(D + α)I(t) = V/Lの特殊解]
= A exp(−αt) + e−αt∫ t
0eαt′V/L dt′
I(t) = A exp(−αt) +V
Lα= A exp(−
R
Lt) +
V
R
初期条件 I(0) = 0 を満たすためには A = −V
R
I(t) =V
R
(1 − exp(−
R
Lt)
)
6.3 交流回路 I (LR回路)
先の回路で直流電源を交流電源に置き換えよう.
電流Iの満たす方程式は次のようになる.
V0 cosωt − LdI
dt= RI →
dI
dt+
R
LI =
V0
Lcosωt
I(t) = A exp(−αt) + e−αt∫ t
0eαt′V0
Lcosωt′ dt′
= A exp(−αt) +V0
Le−αtα eα t cos (ω t) + ω eα t sin (ω t) − α
α2 + ω2
= (A −V0
L)
α
α2 + ω2exp(−αt)
+V0
L
α cos (ω t) + ω sin (ω t)
α2 + ω2
ここで,定数Aは初期条件I(0)を与えれば定まるが,
十分時間が経った後の解に着目すると,第1項は無視できる.
交流電源 V (t) = V0 cosωt に対して
I(t) =V0
L
α cos (ω t) + ω sin (ω t)
α2 + ω2
=V0
L√
α2 + ω2
α√α2 + ω2
cosωt+ω√
α2 + ω2sinωt
=
V0
L√
α2 + ω2
(cosωt cosϕ + sinωt sinϕ
)
=V0
L√
α2 + ω2cos(ωt − ϕ) = I0 cos(ωt − ϕ)
インピーダンス:Z = V0/I0 = L√
α2 + ω2 =√
R2 + (Lω)2
位相の遅れ:ϕ, 力率:cosϕ = R/√
R2 + (Lω)2
複素数表示
定数係数線形微分方程式の非同次項が三角関数の場合は
求める関数をいったん複素関数に拡張した上で特殊解を求め,
最後にその実部をとるという解法がある.
過渡状態に関心がなければ,この解法で十分である.つまり,
この解法では非同次方程式の特殊解のみを求めることになる.
具体例として先ほど扱ったLR回路を取り上げる.
オイラーの公式 (eiθ = cos θ + i sin θ)を用いて
LdI
dt+ RI = V0 cosωt をL
dI
dt+ RI = V0eiωt と書き換え
Iも複素数とみなす.
I = Ieiω tとおいて,時間に依らない複素振幅 Iを導入する.
LdI
dt+ RI = (R + iω L)Ieiω t = V0eiωt
(R + iω L)I = V0
Z = R + iω Lをこの回路の複素インピーダンスという.
交流回路ではコイルも抵抗のように働き,抵抗Rに対応する量
として iω Lを考える.LR直列回路では抵抗の直列接続の合成
則と同様に複素インピーダンスの合成則が成り立つ.コイルと
抵抗を並列に接続する場合も,抵抗の並列接続の合成則と同様
の複素インピーダンスの合成則が成り立つ.
(教科書pp.141-142の例題6と例題7を参照のこと)
Z = R + iω L = Zeiϕ = Z(cosϕ + i sinϕ) とおくと
(Z = |Z|)
Z =√
R2 + (ωL)2(R√
R2 + (ωL)2+ i
ωL√R2 + (ωL)2
) より
インピーダンスがZ =√
R2 + (ωL)2,
cosϕ =R√
R2 + (ωL)2, sinϕ =
ωL√R2 + (ωL)2
,
tanϕ =ωL
Rとなることがわかる.
これが複素インピーダンスの実部と虚部の比になっていること
に注意せよ.これは任意の交流回路で成り立つ.
複素電流振幅は複素インピーダンスを用いて
I =V0
Z=
V0
Ze−iϕ とかける.
複素電流はI = Ieiωt =V0
Ze−iϕeiωt =
V0
Zei(ωt−ϕ) となり,
その実部から,求める電流の時間変化V0
Zcos(ωt − ϕ) を得る.
ϕは電圧から見た電流の位相の遅れを表していることがわかる.
交流回路を流れる電流の時間変動を
複素数表示を用いて求める手順
回路に応じて複素インピーダンスを合成
合成インピーダンスの絶対値(インピーダンス)と
位相(位相の遅れ)を求める
6.4 交流回路 II (LCR回路)
コイル(自己インダクタンスL)
コンデンサ(電気容量C)
電気抵抗(抵抗値R)
が直列に接続されている交流回路では
力学で現れる減衰振動と同様の振動が現れる.
このような振動現象は2003年度後期の
質点系と振動の力学で扱う予定なのでここでは割愛する.
コンデンサの複素インピーダンスが1
iωCとなることに注意せよ.
6.5 磁場のエネルギー
教科書p.87の4.5「電場のエネルギー」の節で
平行平板コンデンサーの電場のエネルギー密度が
ue =ϵE2
2=
E · D2
となり,これが一般の場合にも成り立つことを指摘したが,
ソレノイドの磁場のエネルギー密度が
um =B2
2µ=
H · B2
となり,これもまた一般の場合に成り立つ.各自で確かめよ.
6.6 マクスウェル・アンペールの法則
定常電流の場合に成立するアンペールの法則
∮C
H · ds = I
を時間変動する電磁場に拡張すると矛盾が生じる.
教科書p.150の図6.22のようなコンデンサに直流電源を繋ぎ,
充電がなされる過渡現象を考えよう.
同一の閉曲線Cを縁とする二つの曲面S1とS2を考える.
前者は導線を貫き,後者は貫かない.
それぞれにアンペールの法則を適用すると
∮C
H · ds = I,∮C
H · ds = 0
となり, 同一の閉曲線Cを考えているにもかかわらず矛盾する
結果を得る.そこで,コンデンサの極板間の電束密度Dを
電流Iを用いて表すことを考えよう.
極板間の電場は教科書p.57にある通り,E =σ
ϵ=
Q
Sϵとなる.
但し,Qは極板の面積で,ϵは極板間の誘電率である.
従って,D = ϵE =Q
S.
両辺を時間で微分して∂D
∂t=
1
S
∂Q
∂t=
I
S.
これよりS∂D
∂t= I. 左辺は電荷の移動による電流ではないが,
この量が電流と同じ次元を持ち,
導線を流れる電流と同じ値を持つことを意味する.
この量を変位電流という.
この変位電流の表式S∂D
∂t= Iは電束密度の次元を
MKSA単位系で表す際に役立つ.[D] =[I]
[S][t]より
[D] = m−2 · kg0 · s1 · A1 となることがわかる.
マクスウェルはアンペールの法則を時間に依存する電磁場の場
合に拡張するために,アンペールの法則の右辺に現れる電流を
真の電流と変位電流の和に改めた.
これをマクスウェル・アンペールの法則という.
前述の導線を貫く閉曲面S1では,真の電流がIで変位電流は0,
導線を貫かない閉曲面S2では,真の電流が0で変位電流がIと
なり,矛盾が解消する.
マクスウェル・アンペールの法則は電流密度jを用いて∮C
H · ds =∫S(j +
∂D
∂t) · dS と表せる.
ストークスの定理 ∮C
H · ds =∫SrotH · dS を用いると
微分形の表式
rotH −∂D
∂t= j
を得る.これで電磁場の基本法則(マクスウェルの方程式)が
すべて出揃ったことになる.