Post on 02-Jul-2015
Baroo“Técnlos niñespecpp. 33
ody, Arthurnicas para cños. Un macial, Genís 3-47, 87-10
r J. (1997)contar” y “Darco evolutiSánchez B
06 y 107-14
), “MatemáDesarrollo divo para maBarberán (t48.
ática informel número”aestros de trad.), 3ª.ed
mal: el pas”, en El penpreescolard., Madrid,
so intermesamiento m, ciclo iniciaVisor (Apr
dio esencimatemáticoal y educacrendizaje, 4
al”, de
ción 42),
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1 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza
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El Alis
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ISTORIA Dretos
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que tienen lo constituyla instruccartir básicaene que losigación cogmayoría d
r, el númermal actúa compartidas es llegan hda en este ortancia de nto matemá
DE LA MAT
o. El ser hudo numérico de un elemn pequeña ción. Esta as pero no otra de nue
contar. Ptepasados
o preescol
supuesto das que pu, de algunacolares carsta E. L. Táticamente n aritmética
hay mucho198). Ademos niños cu
ye un obstáión formal
amente dess niños no llgnitiva demde los niñro y la aritmomo fundamen la escuelasta la épconocimieeste elemeático en el t
TEMÁTICA
umano, comco primitivomento y unay otra granpercepciónen otras,
eve.
Para llevar prehistórico
lar
de que los neden escr
as técnicas recen de té
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os datos armás, la teoruando se ináculo para, la adquisde cero. egan a la e
muestra quños adquiemética. Ademento parala. En pocapoca preesnto aprend
ento básico,transcurso
mo algunaso. Podemoa colección nde. Podemn directa como en e
la cuentaos idearon
niños lleganribirse direde contar a
écnicas mat1922) cons
que afirmegundo curritméticos qría de la abncorporan a llegar al dsición del
escuela come, antes d
ere unos cemás, este a la compreas palabrasscolar y edido de man examinarede la histor
s otras espos percibir
de muchosmos ver si spuede ser
el caso de
a del tiemmétodos b
n a la escuectamente aprendidas temáticas.
sideraba aaba: «Parerso por mucue se puedsorción ind
a la escueladominio deconocimie
mo pizarrase empezarconocimienconocimie
ensión y el d, las raícesl éxito de nera informemos cómoria humana
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s elementosse añade or muy útil distinguir u
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muesca en ualencia creonjunto de comprobar
spondenciaalo para con
estos del puméricas. Pa, dúo, dobrse usado cíficos: un pmisma ma
ud, masa, de dos o tre. Inicialmen
bjeto determ
ás allá de lomedida quentarias basaplo, las estaonsecuenciameración yado los sisación avanros diez de
sus diez dedñado a contanstrumento, o rudimentarollo del númro progreso
la correspoías transcuche hasta q
uenta de unun palo o una una corremuescas pr si todavía biunívocantar.
pasado. NuPor ejemploble, día da,para desig
par de ojos,anera, los dbanda, ma
es elementonte, el núm
minado (Chu
o puramene las sociedadas en la aciones) y la, también
y medición bstemas numnzada. A suedos. Dantz
dos articuladar y, en cons
la aptitud nario del númmero y, en cmaterial e in
ondencia burridos, por que la luna lna colección hueso porespondencipor cada eleía estaban), éstas pod
uestras len, en castella etc. En ép
gnar una p una pareja
diversos téranada) desos (por ejemero no era urchill, 196
nte concretades cazadagricultura as posesiofue en aum
basados enmérico y au vez, el dezig (1954, p
dos debe e! hsecuencia, a numérica delmero. y es consecuencntelectual, se
biunívoca. ejemplo, d
llena volvien de pielesr cada piel aa biunívocaemento de todas lasdían empar
nguas todaano hay vapocas másluralidad d
a de personrminos parascribían en mplo, un camás que u1).
to doras-recoly el comer
ones fue hacmento la nen contar. Coaritmético, esarrollo de
p. 7) afirma:
hombre su éextender in
l hombre norazonable aia, el de lase hubiera vis
La equivaldesde el últra a aparecs animales,añadida al a: ni más nil conjunto ds pieles (srejarse una
avía tienenrias formas
s primitivase objetos as, un dúo a expresar su día col
ardumen deuna cualidad
ectoras dabrcio, llevar lciéndose cecesidad deontar es la bde papel te contar es
éxito en e! cfinitamente
o podría habaventurar qus ciencias exsto irremedia
lencia podimo plenilu
cer. De la m, un cazadomontón. Es menos quede pieles. M
si seguía ha a una con
n restos des de expres, estos térmo categoríamusical, un«muchos» ecciones e
e peces, und o una car
ban paso a la cuenta dada vez máe métodos base sobre tan esenciastá íntimam
cálculo. Estoe! alcance d
ber ido muchue, sin nuesxactas a lasablemente m
ía ofrecer nio: añadir
misma maneor podía taste procesoe un elemeMás adelanhabiendo u ·las muesc
e las épocar «dos»: pminos puedas de objena bifurcaci
(por ejempespecíficas a bandadaracterística
comunidadel tiempo (ás importanmás precisla que hem
al en nuesmente ligado
os dedos le hde! número. ho más allá stros dedoss que debemmenguado.
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Núcivilizposibpudiedualideran cdistintmodelevantcabalaplica
Du«mucnecesContaalternhacerconta
Conordenconjuacabaelemepondededosrequiepara r
El refiere
ontar con lotro sentido es del empda (Dantzigustralia quentraron unoEn este estdad y la me
úmero abstración desale la matemron haber
dades (por casos del ntas dualida
elos fácilmetarse dos dlos. Con e
arse a cualqurante un lchos» sirviesidad de unar coloca lonativa converse una petndo siete o
nectar los dnar. El aspento dado. amos de veentos se cencia biunívs de una era colecciorepresentaraspecto de
e a colocar
os dedos enumérico
pleo de losg, 1954). Pe no había
os pocos qutado naturaedida (Dase
racto. Es parrolló un cmática (Dan
transcurridejemplo, u
número 2. Nades concreente asequdedos, porel tiempo, quier colecclargo perío
eron adecuana precisiónos nombreseniente a ltición directobjetos.
dos aspectoecto nominNombrar u
er, un conjucorrespondevoca) con lmano) denones moder tres, las pe orden, u coleccione
es el trampnatural. D
s dedos paor ejemplo
an alcanzade pudieran
al, los aboríen, 1972; D
probable quconcepto antzig, 1954)do eras ann par de oj
Nuestros deetas como uibles de cr ejemplo, el nombre
ción concreodo de la adamente (n mayor, cos de las coa equivaletamente co
os del númenal, o cardiun conjuntounto puede en exactamos elementnominada lo como los
patas de un ordinal, de
es en suces
polín que pDonde los ara contar, , en unos edo la etapaidentificar e
ígenes no de Lemos, 1
ue contar fabstracto de. El matemátes de quejos, una pa
edos consticasos del ncoleccionespara indica
e de esta eta que se chistoria, lo
(Smith, 192ontar se coolecciones ncia para a
on la palabr
ero. El núminal, trata do no requieclasificarse
mente (es tos de una «cinco». Ps ojos para caballo pa
el número,ión por orde
permite supantropólogla percepc
estudios rea de contarel 4 y ningudesarrollan 1969).
fuera el mel número:ático Bertrae se reconareja de petuyen la banúmero 2. s de uno aar un par dcolección
correspondos términos23). A medionvirtió en modelo en
asignar nomra siete y c
mero tiene dde los elemere contar e como «cindecir, puecolección m
Por tanto, representa
ara el cuatro está relacen de magn
perar las limgos no hación del núalizados cor con los d
uno que pudconceptos
edio por e un conce
and Russellnociera queersonas, unase común Los dedos a diez objde ojos o modelo (<iera con dos para «doida' que fueun instrume
n un orden mbres numcumplirse p
dos funcionmentos que
necesarianco», por eden formamodelo (ponombrar c
ar dos, una o, etc. cionado conitud. Conta
mitaciones n encontra
úmero es mon aborígendedos sólo diera disting
básicos de
l que nuespto que hal afirmaba qe las distinna bifurcaciópara desigproporcion
etos. Pueduna yunta
<<dos») puos dedos. os», «tres»e creciendoento esency ofrece u
méricos. Poposteriorme
es: nombrae contiene mente. Co
ejemplo, si sr una corr
or ejemplo, onjuntos shoja de tré
n contar y ar proporcio
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una scoleccsucesque hcoleccuna cdesig
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A .compde cárepresestabgranduna bjunto represprosesimplitanto,agruppastoque hsistemfisioló
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secuencia ociones cadsivamente tha asignadoción especcolección ynadas con
ontar con lorepresenta
ona sólo tiea colección
ar son idésentación c
erzo de un a
esarrollo de
medida quplejas, aumálculo quesentar un leciendo c
des inspirarobase natura
al pastor, sentar esta
eguir el recuificado aún la piedra
pamientos sr se denom
hubiéramosma de base ógico» (Dan
primer sistporaba un forme de loción de traz
ordenada dda vez maytérminos deo un nombrifica la magy se le hauno, dos, t
os dedos puar una coleene que len, la personénticos a cardinal). Paspecto del
e un sistem
ue las socentó la pres
e pudieran rebaño d
correspondeon la idea d
al para ello (éste la co
a cantidad uento. A men más el pa pasaría se basan emina sistem hechos esdoce. Nues
ntzig, 1930-tema numéconcepto dos sumerioszos para re
de palabrasyores. Parae la serie nure a cada ugnitud relatia asignadores o cuatrouede enlazección comevantar cuana levanta los de le
Por tanto, nl número al
ma de num
ciedades ysión encam
aplicarse e 124 oveencias es de hacer ag(Churchill, ontaba concon un gu
edida que sroceso susa represenn el 10 y e
ma de base stas agrupastro sistem-1954). érico conocde base dies y el siste
epresentar l
s (la serie a contar uumérica a cno de los eva del conj la palabrao y menos qar los aspe
mo, por ejeatro dedoscuatro ded
evantar simnuestros de otro (Dant
meración co
y las econminada a con
con eficaejas, el emuy incóm
grupamiento1961). Por n los dedouijarro. Conse iban acustituyendo ntar 10 den múltiplosdiez. Si tu
aciones de a de base d
cido apareez (Bunt, J
ema jeroglífos número
numérica) na colecció
cada elemeelementos. unto. Por ea «cinco»,que las des
ectos cardinemplo, el n simultáne
dos en sucemultáneameedos son uzig, 1930-1
on órdenes
nomías sencebir sisteacia a grampleo de modo. Las os, y nuestrejemplo, c
os. Cuandon las manoumulando lodiez guijarecenas, o s de 10, el suviéramos ddoce en do
diez es, sim
ció hacia eJones y Befico de los es del 1 al 9
que puedeón, una pento de la coEl número
ejemplo, si s será may
signadas conal y ordinanúmero ca
eamente. Pesión. Los ente cuatr
un medio p954).
s de unida
e fueron hemas de repandes cant
un sistemtareas co
ros diez deduando una o llegaba aos libres otos guijarrosros por unsea 100.
sistema emdoce dedosoce y hoy t
mplemente,
el año 350dient, 1976egipcios em
9 (véase la
e asignarseersona asigolección haasignado ase ha contayor que oton seis o mal del númeardinal 4, uPara contar
resultados ro dedos para pasar
ades de bas
haciendo mpresentaciótidades. Pa
ma de conon cantidaddos ofrecieoveja pasa
a diez, potra vez, pos, podía hana piedra. P
Como esmpleado pos, es probaendríamos un «accide
00 a. de C6). El sistempleaban ufig. 2.1.A).
e a gna asta a la ado tras ás.
ero. una r la de (la sin
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ntar des ron aba día día ber Por
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C. e ma una Un
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agruplos grde estcomo
Autiempque eposiciejemptres dpara run sisrepres¡Piénsjerogl
* El sisteempezóNótese
pamiento deriegos y lostos sistema demostrarnque los sos prehistósperar hastional o de plo, en el núdecenas, y nrepresentarstema con sentar cualsese, por íficos!
Fig
ema babilonio ó como un sistque los símbo
e decenas ss romanos das numéricorá rápidamesímbolos esóricos, el deta la invencórdenes d
úmero 37 eno tres unidr 10 y múltiórdenes dequier númeejemplo, e
gura 2.1 Co
se adoptó a paema de base dolos para 1 y 60
se represedesarrollaroos antiguosente el intenscritos se
esarrollo deción de un sde unidadel 3 ocupa edades. Estoplos de 10e unidadesero, aun losen lo que
omparación
artir del anteridiez pero juego0 son idénticos
ntaba con uon sistema
s se prestabnto de realihan usado
e unos procsistema de ns, el lugar
el lugar de lao elimina la, como ocus, pueden us números gharía falta
de distinto
or sistema sumo cambió a agrus (Bunt et al., 1
un símbolos diferentes
ba con facilizar la suma
o para repredimientosnumeración
de una cias decenas
a necesidadurre con losusarse diezgrandes, dea para rep
os sistemas
merio. Obsérveupamientos ba1976). La posici
o especial. Ms. Sin embdad al cálca de la figuresentar nús de cálculon posicional. ifra define s y de ahí qd de símbols jeroglíficosz cifras (dee una mane
presentar 9
s numéricos
ese que la numasados en 60 y ión se usaba pa
Más adelanargo, ninguulo aritmétira 2.1.B.
úmeros deso eficaces tuEn un sistesu valor. Pue represelos especias egipcios.
el 0 al 9) paera compac
9.999.999 c
s
meración babilomúltiplos de 6ara indicar el
nte, uno co,
sde uvo ma Por nte
ales En ara cta. con
onia 60.
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valor (pun siste
Con timproproduábacode la siguiecuatro
Loshastala figuinventEnglecío o conceposibtodo huma(Dant
Endurancentelibros «El asencil(Dant
por ejemplo, 63ema puro de ba
todo, la nuovisó con raucido por lao. El ábaco derecha re
ente gruposocientos tres usuarios que tuvieroura 2.2.C, ptó para sim
ehardt, Ashlen blanco
epción de ule la elaborel mundo.
ana, y fue uzig, 1954). realidad,
nte los últimnares de añy las unive
rte de empllas era, ezig, 1954, p
3 se escribía Ῡase diez.
meración papidez. Es p necesidadilustrado e
epresenta las de cien. Deinta y dos de ábacoson que hacpor ejemplombolizar unlock y Webe, no la nadn sistema nración de aLa invenc
un hito cruc
los procedmos trescienños, lo normersidades splear los den aquellos p. 11). .
Ῡ Ῡ Ῡ). Al igu
posicional probable qud de anotar en la figura as unidade
De acuerdo (432) Y la f
s no debierocer un regiso, ¿represena columnae, 1984). P
da (ningún numérico polgoritmos a
ción del O ecial que hiz
imientos dntos años dmal en Eurose enseñabedos para
tiempos,
al que el sistem
es una ideue el impulspor escrito2.2 utiliza u
es, la siguiecon esto, la
figura 2.2.Bon tener difstro permanenta 42,402a vacía y earece que, objeto). Coosicional (c
aritméticos qes uno de zo posible
e cálculo ede la historiaopa Occidenba a hacer
contar y reuno de los
ma babilonio, l
ea relativamso para un
o las operacun modelo dente represa figura 2.2
B el cuatrocficultades c
nente de su2 ó 4.002? evitar esta al principio
on la invencon órdenesque podíanlos mayorla ciencia y
escrito sóloa de la humntal era concálculos arealizar las s logros de
la numeración
mente abstsistema po
ciones realde base dieenta grupo
2.A represecientos dos con las coluus cuentas.
Parece seconfusión
o, el O signifnción del O s de unidadn ser aprendres logros y el comer
o se han vemanidad. Hantar con los ritméticos coperacione
e la perso
romana no er
racta y no osicional fuizadas con ez: la columos de diez yenta el núm
(402). umnas vacEl registro
er que el 0 (por ejempicaba algo vfue posible
des). Esto hdidos por cde la histo
rcio modern
enido usanace sólo undedos. En
con los dedes aritméticna cultivad
a
se era un
mna y la ero
cías de se
plo, va-
e la hizo casi oria nos
ndo nos los os. cas da»
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Fig El Co
tabla prece(Klineprinciideas Básicinformno. Tamplia
La evoluc
gura 2.2 Re
desarrolloomo la histo
2.1) indicaeden a la me, 1974). Lopios generinductivas
amente, losmales. Las pambién pua gama de perspectiv
ción. Nues
epresentaci
o de la matoria del nú
a que los mmatemática e
o normal eales para d
s (descubris matemáticpruebas pueden democasos.
va históricastros siste
ones concr
emática fomero, la hi
métodos y lexacta y fo
es que las demostrar pmiento de cos utilizan
ueden deterostrar si un
indica queemas num
retas y escr
ormalizadastoria de laas formula
ormalizada ypruebas d
proposicionrelaciones
pruebas parminar si unna idea se
e la matemérico y a
ritas de núm
a matemáti
aciones de y actúan co
deductivas nes de unas medianteara comprona idea es
aplica a u
mática se enritmético s
meros en u
ica en genecariz inform
omo base prigurosas (
a manera lóe el exameobar sus idelógicament
un caso ais
ncuentra enson la cu
n ábaco.
eral (véasemal o intuitpara la mis(el empleo ógica) siganen de casoeas intuitivate coherentslado o a u
n permanelminación
e la tivo ma de
n a os). as o e o una
nte de
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literalmatemadultode añmétodejempelemecampcomoadoptpauta
3.000
600-3
600 d
mente milemático se o medio de ños y ni siqdos a partir plo, los egentales paros que el N se muesttaran de inas de pensa
Ta
0-300 a. de
300 a. de C
. de C.
es de añoha construnuestra culuiera cientode necesidipcios se v
ra poder voNilo inundabra en la ta
nmediato yaamiento pro
abla 2.1 Bre
C. Egila mENTGEunacon
. La Gla mcon(prutresLosconejemsu ulado
Losno sopDesneg
os de inveido lentamltura da poros de años
dades práctvieron forzaolver a coloba cada priabla 2.1, noa que no «
opias de la é
eve historia
pcios y babmatemáticaTEROS POOMETRIA.
a BASE EMnocen.
Grecia clásmatemáticancebir la Muebas geoscientos añs griegos nciben y emplo, √2 ) qutilidad (poros = 1).
s hindúes inson acepta
porte intuitiscartes y gativos.
entiva y peente, idea
r sentado nos atrás. Coicas y se adados a inv
ocar las hitaimavera (Bo era frecu«caían bienépoca.
a del desarr
bilonios cona: rudimentOSITIVOS Los result
MPIRICA. Lo
sica es la pra. Los griegMATEMATICmétricas) dos de ensade Alejan
emplean Nque son acr ejemplo, √
ntroducen ados durantvo. Por ejFermat re
erfeccionamtras idea.
o estaba disn frecuencidoptaban a ventar la aras que marunt et al., 1uente que n», es dec
rollo de la m
nciben los ptos de ARY FRACC
ados se acos números
rimera civiligos clásicoCA DEDUCde Euclide
ayo intuitivodría, los
NUMEROS ceptados gr√2 = la diag
los NUMERte mil añosemplo, los
echazaron
miento. El El conocim
sponible haia se invencausa de s
ritmética y rcaban los 1976). La vlos nuevos
cir, no enca
matemática
principios eITMETICA
CIONES), Aceptan puras negativos
zación en los son los CTIVA. Loes son el o y error. hindúes y
IRRACIOradualmentgonal de un
ROS NEGAs a causa ds grandes
trabajar c
conocimiemiento queace unos mintaban nuevsu utilidad. P
la geometlímites de erdad es qs métodos ajaban en
esenciales d(NUMERO
ALGEBRA amente sobs y el 0 no
a que floreprimeros e
s Elementproducto d
los árabNALES (pe a causa d cuadrado d
ATIVOS, qude su falta dmatemátic
con númer
nto e el iles vos Por tría los ue, se las
de OS
Y bre se
ce en tos de
es por de de
ue de os
ros
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700 d
1540
1650-
Finale
Véase C) DE
Endesarconcrque, anúmepartir o matexperun paconocse imla numconst
. de C. apr
d. de C. ap
-1725 d. de
es del s. XIX
en Burn et al
ESARROLL
muchos arrollo histórreto de los nal igual que
ero. Con el de su mate
temática infriencias conapel esenccimiento infparte en la meración pituye un pa
ox. Losparadoaño
prox. Apaperotard
e C. NewedicPhilconLeib«exincotrav
X Se méramp
l (1976, pp 22
LO MATEM
aspectos, erico de la niños se vae los seres tiempo, los
emática intuformal de loncretas. Cocial en el dformal de loescuela. A
posicional yaso gigante
s hindúes ina indicar u
optan la numos, las cifras
arecen los o no son acde.
wton y Leibciones de ilosophy dencepto básbniz recibxplicación».orrectos, evés de enfo
establecenrico, el ápliaciones)
26-230) una e
MÁTICO DE
el desarrollmatemátic
a haciendo humanos
s preescolauitiva. Recaos niños seomo ocurriódesarrollo dos niños preAdemás, y rey de los algesco para lo
nventan, o una columnmeración hs arábigas
NUMEROSceptados ha
bniz crean eThe Mat
e Newton osico (las dió el nom. A pesar deel cálculo oques intuiti
n los fundaálgebra y .
explicación m
E LOS NIÑO
o matemátca: el conocada vez mprimitivos,
ares elaborapitulando le desarrolla ó en el desade este coepara el tereproducienoritmos deos niños. E
adoptan, una vacía o hindú y, desllegan a se
S COMPLEasta cerca d
el CALCULOthematical ofrece una derivadas). mbre de «e sus fundaencontró mivos.
amentos lóel anális
ás detallada.
OS
tico de losocimiento mmás precisolos niños p
ran una ama historia, la partir de
arrollo históonocimientorreno para lndo la histor cálculo ba
En realidad
un símboloen blanco
spués de ceer de uso co
EJOS (por ede doscient
O. Cada unPrincipies
explicaciónEl primer
«enigma» amentos vamuchas ap
ógicos del is (el cál
s niños cormatemáticoo y abstractposeen algú
mplia gama la matemátnecesidad
órico, contao informal. a matemátiria cultural, asados en e, los niños
o para el «0. Los árabentenares domún.
ejemplo, √-tos años m
na de las trs of Naturn distinta dr artículo d
en vez dgos e inclu
plicaciones
sistema nlculo y s
rre paraleloo imprecisoto. Parece ún sentido de técnica
tica no escoes práctica
ar desempeA su vez,
ica formal qel dominio
este conceno acepta
0» es de
-1) ás
res ral del de de so a
nu-us
o al o y ser del s a olar as y eña , el que de pto n y
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aprengener Cono
Se
pequeWilliarumo1980meseentre
¿Csentidconjucon trestímsentaeste niño nniñosdifere
¿Ranterintroddistribejempsoniddejande econju
El Los ncincoconjunecespequeden d
nden de inmral, choca c
ocimiento i
entido natureños carec
am J ames crosa. Sin e; Starkey, S
es de edad conjuntos
Cómo pueddo numéricuntos de canres objetos
mulo, e bebaciones segmomento, no se perc
s tienden aencia. Realmente ior, los niño
duzcan objebución de lplos de tres
dos que unan de encontnumeración
untos de objalcance y l
niños peque. Además,
untos de tsariamenteeños distingde magnitud
mediato la mcon sus pau
ntuitivo
ral del númcen esenciacaracterizó
embargo, inSpelke y Gpueden dide tres y cuen determi
co básico? ntidades dis
s (por ejempbé fija su guidas de trel psicólogata de la d
a prestar a
presta atenos se van aetos distintos objetos
s objetos, loa secuenciatrar interesan o corresjetos. la precisióneños no pu el hecho tres y cuae que sepaguen entred.
matemática utas actuale
mero. Duranalmente deel mundo
nvestigacionGelman, en
stinguir entuatro elemeinar los psiPara ver
stintas, el pplo, Starkemirada en
res, la noveo introduce
diferencia, satención ot
nción el niñaburriendo tos o se mno influye
os niños sea de dos o cante. Al paspondencia
n del sentidueden distin
de que paatro elemean que 4 e números p
formal que es de pensa
nte mucho e pensamieinfantil comnes recientprensa) indtre conjuntoentos. cólogos qusi un niño
psicólogo ley y Cooper
n la imageedad desape un conjunseguirá sin ra vez, ind
ño a los capaulatinam
modifique laen la aten
interesan mcuatro. Parerecer, los n
que les
o numériconguir entre arezcan cantos de ues más qupequeños, q
se imparteamiento.
tiempo se ento matem
mo una cones (por ejedican que ios de uno,
ue los niñospequeño
e presenta, r, 1980). Inen. Sin emparece y lanto de cuatprestar ate
dicando qu
ambios de cmente con ea posición
nción. En remenos en oece que es niños pequepermite dis
o de un niñoconjuntos
apaces de una manerue 3. Es dquizá no pu
e en la escu
ha creído mático. En fusión resp
emplo, Starkincluso los dos y tres
s pequeñospuede discpor ejemploteresado p
mbargo, traa atención dtro (o dos) ención. Sin ue se dan
cantidad? Eel «tres» ade los tre
ealidad, y toír una secula cualidad eños poseestinguir en
o pequeño mayores ctratar, por
ra distinta,decir, aunquedan orde
ela ya que,
que los niñuna ocasi
plandecientkey y Coopniños de s
s elementos
s poseen ecriminar eno, una imagor este nue
as varias pdisminuye. objetos. Sembargo, cuenta de
En el ejemun cuando
es objetos. ras ver varuencia de t
d de tres lo qen un procetre pequeñ
son limitadcomo cuatror ejemplo, no signif
que los niñenarlos por
en
ños ón, te y per, seis s, y
este ntre gen evo pre-
En i el los
e la
plo se La
rios tres que eso ños
os. o y los
fica ños or-
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NonumépreesintuitivdirectConcr(Von manomismamanoimporconcr
CutamañA losexpresus exejemppregude coMadeconju
Poconjuzona escogperceevalumás o
Invque dlos ppuedelos ninombcorrecescueconsid
ociones intuérico básicoscolares pavos más soa que los nretamente, Glasersfeld
o. Tomar doa mano. T
os. Aunque rtancia fundreta para diuando empño diferentes dos añosesar relacionxperienciasplo, Alfred untó a su hijonjuntos paeleine sólo ntos que te
osteriores prntos que teabarcada p
gía como «eptivos, coaciones intobjetos. vestigacionedeterminen reescolaresen hacerlo iños que s
brar como «ctamente «ela). El niñoderables pr
uitivas de o de los niarten de eofisticados.niños empiese da una
d, 1982). Uos bloques Tres bloque
estas diferdamental pstinguir y o
piezan a ane sino que ps de edad nes matems concretasBinet (196ja de cuatrarecidos apodía con
enían más eruebas demenían más por cada co«más» el mo la lontuitivas. En
es recientecuál de doss atrasadorápidamen
se incorpor«más» el mmenos» es
o que no pueroblemas e
magnitud yños constit
este sentid Es a partiezan a com diferencia
Un niño, porequiere la
es no se prencias puepara el niñ
ordenar el 1ndar, los npueden hacaproximad
áticas (Was. Pueden c69), el padro años de e
a los dos qntar hasta elementos. mostraron q
elementosonjunto (Ginconjunto qngitud, tam
muchos ca
es confirmas conjuntos
os y los nite y sin co
ran a la esmayor de dos mucho máeda usar «mducativos.
y equivalentuye la baso del númr de la exp
mprender nevidente e
or ejemplo,as dos manpueden tomeden parecño pequeñ, el 2 y muc
niños no sócer compardamente, logner y Walt
comprenderre de las medad, Madeque se mutres, pudo
ue los juicios se basabansburg, 198que abarcambién puedasos, la má
n los results tiene «máños pequentar (Barooscuela debos conjuntoás difícil y pumás» de es
ncia. A pese del des
mero y deperiencia coociones co
entre el uno, puede tom
nos o dos inmar simultácer trivialeso que juechos. ólo distinguraciones gruos niños aters, 1982) r «igual», «modernas peleine, queuestran enseñalar co
os intuitivo an en indic82). De maaba más exden ofreceás larga de
tados de Bás», los niñoeños de cuody y Ginsbberían ser os manifiesuede que n
sta manera
sar de todsarrollo matsarrollan c
oncreta de omo la mago y colecciomar un blontentos sucáneamentes para un aga, y ofre
uen entre uesas entreaprenden pque puede
«diferente» pruebas de
e compararan la figura on mucha
s de Madelcios percepnera intuitivxtensión. Oer una bae dos hilera
inet. Cuandos de tres aulturas no burg, 1982bcapaces d
stamente dino se aprendintuitiva pu
do, el senttemático. Lconocimientla percepc
gnitud relativones mayoroque con ucesivos con con las d
adulto, son ce otra ba
conjuntos e magnitudpalabras paen asociarsey «más». P
e inteligenca los tamañ
2.3. Aunqexactitud
eine sobre ptivos comova, MadeleOtros indicase para as suele ten
do se les paños de edalfabetizad
b). Casi tode distinguiistintos. (Uda antes deede presen
ido Los tos ión va. res
una n la dos de
ase
de es. ara e a Por cia, ños que los
los o la ine
cios las ner
ide ad, das dos r y sar e la ntar
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Sin
compfrecueel áredos bcontesamemismcaram
La formalugar,formamismbloqubiunív
Fig
n embargoaraciones ente que ela y la longitbandejas dner cantidante en unao número
melos estántarea de co
a concluyen se estable
a una hileraa cantidad e azul a c
voca (véase
gura 2.3 Ele
o, como loque hacen aspecto retud no siemde carameades diferea que en otde carame
n más juntoonservaciónnte las limitaece la iguaa de, digam
de bloquecada bloque la fig. 2.4.
ementos de
os niños n entre magefleje fielme
mpre son indlos pueden
entes porqutra. Por otr
elos pero qs en una qun de la cantaciones delaldad de domos, siete bes azules. Sue blanco. A) se pide
e una prueb
basan susgnitudes pente la cantdicadores pn ocupar lue los carara parte, poue ocupanue en otra. tidad (por ejl conocimieos conjuntobloques blaSe insta al
Una vez al niño que
ba para la n
s juicios eueden ser tidad, los in
precisos de la misma
amelos estáodemos ten una supe
jemplo, Piaento intuitivoos por equiancos y pide
niño a queestablecida
e confirme s
noción «má
en las apaincorrectas
ndicios percla cantidadsuperficie án agrupadner dos barficie distin
aget, 1965) o de los niñvalencia. Ee al niño qe haga cora esta cor
si las dos hi
ás»
ariencias, s. Aunque ceptivos co. Por ejemppero pued
dos más dendejas conta porque
demuestraños. En primEl examinadue coloquerresponder rrespondenleras tienen
las es
mo plo, den en-n el los
de mer dor e la
un ncia n el
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mismaprecacuer
A ccontincantidejempmodifcantiden el en quconjuconseequivcantidmagn
Nopermimuy pobjetorecipipara correstiempotro rcontequitabreconrecipirecipial queintuitiv
Sinrecipifracasrecipicomonueve
o número dciar las canrdo en que continuaciónúa creyendad). Mientplo, en la fificada la londad. Como aspecto pa
ue la hilera ntos de lon
ervación» aalencia inidad). Es evnitud y de la
ociones intuite a los niñpronto que ao hace queentes a unque el n
spondenciao que se c
recipiente. Cnían la mis
ba un objetnocer que laente y, comentes. Por ee se había ava para comn embargo,entes contsa. Por ejeentes y nu «más». Pe
e y cuatro a
de objetos. ntidades reambas hile
ón se modifdo o no qutras el niñoigura 2.4.Bngitud se vula longitud y
ara juzgadamás larga
ngitudes dis este fenómicial tras vidente qu
a equivalenc
uitivas de laos reconocañadir un oe sea «meos preescoiño exami
a, se colocacolocaba unCuando el sma cantidato de uno da adición omo resultadejemplo, loañadido un mprender la, la aritméttienen inicemplo, si eve en el oero si a conal que tiene
Puesto queelativas, aueras tienen ica el aspeue los dos o observa, s se observ
uelve a pregya no reflej
a se equivoca tiene másstintas no smeno porquuna transfe la compcia es Impr
a adición y cer si una cobjeto a una
enos». En olares. Se cnado no aba el mismn objeto en niño había
ad de objetde los recipo la sustracdo, modifics niños idenobjeto. Par
a adición y tica intuitivaialmente cal principiootro, los nintinuación e cinco, los
e la longitudn los niñosla misma ccto de uno conjuntos se alarga o
va que se hguntar al niña fielmentecan. ¡En res! Parecen son equivalee el niño noformación prensión intrecisa.
la sustraccolección ha
a colección hun estudio
colocaban plos pudiermo númerouno de los
a manifestaos, se le hapientes. Locción de obcaba la relantificaban fárece que lola sustracc
a se limita cantidades o se colocños identifise añaden niños pien
d proporcions de tres a
cantidad. de los conjson coordi
o se acortaha alargadoño si las do
e la cantidadealidad, los
estar conventes. Piago mantiene del aspectuitiva que
ción. El sena sido alterahace que se
o (Brush, 1pantallas da ver. Meo de objetos recipienteado que losacía observ
os niños nobjetos modiación de eqácilmente c
os preescolación. a modificadesiguales
can cinco icarán corrdos objeto
nsan que ah
na una baseaños de ed
juntos paranables (tie
a una de lao la hilera aos hileras tied, los niños niños pequ
vencidos deget (1965) d(conserva)
cto (irrelevatienen los
ntido del núada. Los niñea «más» y978) se melante de loediante unos en cada es se colocas dos recipvar cómo s tenían difificaba la caquivalenciacomo «másares ya pos
aciones evids, la aritmobjetos en
rectamente os al recipiehora es ést
e precisa padad están
a ver si el nnen la mis
as hileras. Pazul. Una venen la misque se bas
ueños insiste que los ddenominó «) la relaciónante para s niños de
mero tambños reconocy que quitar
mostraban dos recipien proceso recipiente
aba otro enientes ocule añadía oicultades pantidad de
a entre ambs» el recipieseen una ba
dentes. Si ética intuit
n uno de a este últi
ente que tiete el que tie
ara de
iño ma Por vez ma san ten dos «no de
la e la
bién cen r un dos
ntes de
: al n el ltos
o se ara un
bos nte ase
los tiva los mo
ene ene
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más. añadíimpre
Cono
Un
simpleapoyarealidnombpara dHaciadesigaños tres (
Para los niían más obecisa.
ocimiento i
na prolongae y llanamean cada vezad, poco d
bres de los designar to
a los dos anar «muchousan «unopor ejempl
iños pequebjetos al pri
nformal
ación práctiente, no es z más en indespués de
números. odas las pluños y medos» (más d
o», «dos» yo, «cuatro»
eños, 5 + 4 imer recipie
ica. Los niñsuficiente p
nstrumentose empezar Hacia los d
uralidades: dio, los niñoe dos objet
y «tres» cor») para ind
es «más qente. Evide
ños encuenpara abordas más preca hablar, l
dos años ddos o másos empiezatos). Al iguarrectamentedicar «much
que» 9 + 2 entemente,
ntran que ear tareas cucisos y fiableos niños ee edad, em objetos (Wan a utilizaal que Allisoe y empleahos». Al et
porque hanla aritmétic
el conocimiuantitativases: numerampiezan a
mplean la pWagner y W
r la palabraon, muchos
an un términtiquetar col
n visto queca intuitiva
iento intuitiv. Por tanto,
ar y contar. aprender
palabra «doWalters, 198
a «tres» pas niños de trno mayor qlecciones c
se es
vo, se En los
os» 82). ara res
que con
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núme«másdetermpeque
Poparte.objetouna edirectcomoespecbase identifofrecelas idabstra
Limfundalimitacútiles requea ser van ha ser grandinmed
Co
La limitacniños escritprocearitmé
eros, los niñs». Los preeminar exacteñas, de un
or tanto, con. Por ejempos distintosedad tan cta juntameno «tres» no ecificar conjupara el emficar como e a los niñodeas mateacto y la ar
mitaciones. amentalmenciones práca medida q
eridos par~ prohibitivosaciendo cacompletam
des. Más adiata, no pu
onocimient
matemáticciones de
de los coos ofrecen
edimientos éticos con n
ños poseenescolares itamente losna coleccióntar se basplo, contar
s y distribucorta como nte con coestán ligadauntos equivmpleo de e
equivalentos el vínculoemáticas aitmética ele
Aunque nte importacticas. El cque los númcontar o cas. A medida
ada vez másmente incaaún: aunquueden propo
to formal
ca escrita yla matemáonfines de
un medio escritos p
números gr
un medio pincluso llegs efectos den.
sa en el conproporcion
ciones diferlos seis mntar, los nas a la apar
valentes. Coetiquetas ntes conjunto entre la pbstractas,
emental al a
la matemante de lontar y la ameros se halcular de una que los ns propensopaces de uue los métorcionar reg
y simbólicatica informsu matempara anota
proporcionarandes. Má
preciso pargan a desce añadir o s
nocimiento na una etiqrentes que meses. Mediños descuriencia de con el tiempuméricas ctos que no percepción pero gene
alcance del
ática inforla matemáaritmética iacen mayona manera úmeros au
os al error. Eusar procedtodos inforgistros a la
a que se imal. La mate
mática relatar númerosan medioss aún, los s
ra determinubrir que c
sustraer can
intuitivo y ueta comúlos niños v
diante el eubren que conjuntos u o, esta com
como «sietepueden vedirecta con
erales. Col niño pequ
rmal repreática intuitnformal se
ores. El tieminformal sementan, losEn realidaddimientos irmales prorgo plazo.
mparte en emática fortivamente s grandes ys eficaces símbolos y
ar «igual», contar puedntidades, al
lo complemn «<tres»)
ven como empleo de las etiquetobjetos y s
mprensión pe» o «diecerse como ncreta, si bintar coloceño.
senta unativa, tambhacen cad
mpo y el ese hacen enos métodos , los niños informales porcionan
las escuelarmal puedeconcreta. Ly trabajar c
para reallas expresi
«diferente»de servir pa menos si s
menta en gra tripletas
equivalentesla percepcas numéric
son útiles paproporcionacinueve» pa
tales. Conien limitadaa el núme
a elaboracién presen
da vez menfuerzo men
ormes y lleginformales pueden llegcon númeruna soluc
as supera e liberar a Los símbocon ellos. Llizar cálcuiones escri-
» o ara son
ran de s a ión cas ara a la ara ntar a, y ero
ión nta nos ntal gan
se gar ros ión
las los
olos Los los -
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tas puenorm
Esbase unidamúltipgamarealizproponúme1982-una mque in
Aucompparecnúmeconteno cacompevolues u(repreDe heconcrlos alg
D) IMIN
La no sode losla escy Ginmeno1984;inform
ueden ofrecmemente la esencial qdiez. Para des,' decen
plos de dieza de tareasar aritmétic
orcionan el eros de va-1983). En manera másntervienen nunque la maorta apren
cer extrañoeros y en lmpla como
aptan de inrensión deción. Así, lona decenaesentante decho, muchretos bastagoritmos pa
MPLICACIONFORMALE
teoría cogn simples r
s niños, inclcuela con unsburg, 198os, algunos
Baroody mal de la fam
cer registroa capacidadue los niñotratar con cnas, centenz ofrece a matemáticca mental crazonamienrias cifras pocas palas abstracta números gratemática fonder nuevas y difícilela aritmético 14 unidadnmediato l
e la notacióos niños pua y cuatrode una coluhos niños pnte despuéara realizar
ONES EDUES COMO
nitiva indicarecipientes luyendo losna gran can84). En rea conocimiey Snyder, milia, los co
os claros y pd de la mems aprendan
cantidades nas, etc. (Plos niños flcas, incluyecon númeronto subyacy sumar obras, la ma y poderosarandes. ormal pued
as técnicases. Los niñca en térmdes o comoa notación
ón posicionueden tardao unidadesmna vacía)ueden cont
és de habér operacione
UCATIVAS:BASE
a que los nvacíos que
s procedentntidad de coalidad, mucentos inform
1983). Losompañeros,
permanentemoria. n los concemayores eayne y Ratexibilidad yendo ordenos de variaente a muco restar coatemática foa, y aborda
de potencias y concepos llegan
minos de coo 13 unidadn posicionanal en los nar bastante s. La idea) puede tardtinuar aferrrseles preses con aca
: LOS CON
niños que ae deben llentes de familonocimientochos niñosmales (Baros preescola la TV y los
es que pue
ptos de los s importantthmell, 197y facilidad pnar (compaas cifras. Lochas técnicaon acarreoormal permar con efica
ar mucho laptos que, aa acostumontar. Un es y una m
al. Como oniños es eltiempo en a del 0 cdar mucho rándose a losentado losrreo.
NOCIMIENT
caban de innarse de colias de bajoos matemá
s de educaoody, 1983ares apren
s juegos ant
den amplia
órdenes dete pensar e5). Pensar para abordarar) números órdenesas básicas
o («llevandmite a los niñacia los prob
a capacidadal principio
mbrarse a pnúmero co
más. Los niñocurrió en l resultado ver, por ejecomo cifratiempo en os métodoss órdenes d
TOS
ncorporarsenocimiento
o nivel econáticos información espec3a; Baroodynden muchates de llega
ar
e unidadesen términos
en decenaar una ampros grandes de unidadcomo escro») (Resniños pensar blemas en
d de los niño, les puedpensar en omo el 14 ños pequeñla historia,de una le
emplo, que a significatdesarrollars informalede unidade
e a la escuos. La mayoómico, lleg
males (Russcial tienen,y y Ginsbua matemát
ar a la escue
de de
as y plia s y des ribir ick, r de los
os, den los se
ños la nta 14
tiva rse. s o s y
ela oría a a sell , al urg, tica ela.
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. La
conocmatemescuede coPuestanterisignifiasimilbase la escintrodtiendeinformdominavanzde vis
1. informcuentexplosignifaprenpuedinstrutemasbásiclos óreste plos qu
2. instruenseñconocmemodestrumuchse im
a matemáticcimiento intmática podeela. Como ontar ofrece to que el iores, el coicativo de lalar nueva infundamentcuela. La induzcan las ten a interprmal (Hiebernio de las tzada. A consta que tien
La enseñmal de losta el conoc
otar las poficativa e ndizaje esce tener im
ucción forms de nivel
cas hasta erdenes de principio seue tienen pEn gener
ucción formñanza formcimiento inforístico y uctivas. Incos niños se
mparten en
ca informatuitivo, limiterosa y preocurrió en laa los niñosaprendizaje
onocimientoa matemátnformaciónal para comnvestigaciótécnicas, síretar y a abrt, 1984). Ptécnicas bántinuación snen una imp
ñanza forms niños. Ecimiento motencialidainteresantcolar tengaportantes
mal con el primario,
el aprendizunidades
e aplica a problemasral, las lag
mal puedenmal se intrformal quela aparici
capaces dee limitan a mla escuela
al de los ntado e imprecisa basada historia, las una base e implica
o informal dica formal. a lo que y
mprender y n cognitivambolos y co
bordar la maor tanto, la
ásicas y parse describeportancia cl
mal debe Es esenciamatemáticoades informe. Ademáa éxito, la econsecuenconocimiedesde el
zaje de concomo el cniños con
s de aprendgunas exisn explicar roduce cone ya poseeón de proe conectar memorizar . Muchos n
iños es el reciso y basda en símboa experiencpara adquiruna constr
desempeñaComo el a
ya se conocaprender la indica queonceptos matemática fa matemáticra enfrenta
en dos implave.
basarse eal que la po informal dmales paras de aum
explotaciónncias afect
ento informdominio d
nceptos y cálculo conuna gran vdizaje y los
stentes entlas dificult
n demasiaen los niñooblemas dla matemá
y utilizar mniños inclus
paso intesado en suolos abstraccia práctica rir técnicas rucción a
a un papel cprendizaje ce, el conocas matemáe, independmatemáticosformal en fuca informal
arse con éxicaciones e
en el conplanificacióde los niñoa que la e
mentar la pn de los putivas. El pr
ma es aplicade las comprocedimien acarreo. variedad ds que prestre el conotades de ada rapidez
os, el resulde aprendiática formaecánicameso llegan a
rmedio cruu percepcióctos que sey relativamnuméricaspartir de ccrucial en ees un proccimiento infticas que s
dientementes en la escuunción de sl es fundam
xito a la maeducativas
nocimiento ón educatios. Los maeenseñanzaprobabilidauntos fuerterincipio deable a toda
mbinacioneentos relacTambién ve aptitudes
sentan retrocimiento aprendizajez y no seltado es uizaje y/o al con algoente las mata no poder
ucial entre n directa, y
e imparte enmente concre
y aritméticconocimienel aprendizceso activo formal es ue imparten e de cómo uela, los niñsu matemátmental paraatemática mde este pu
matemátiva tenga estros deba formal sad de quees informa relacionara la gama es numériccionados cveremos qs, incluyenraso mentainformal y
e. Cuando e basa en n aprendizde creenc
o significatitemáticas qmemorizar
su y la n la eta as. tos aje de
una en se
ños tica a el más nto
tico en
ben sea e el les r la de
cas con que ndo al. y la
la el
zaje cias ivo, que r ni
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datosrecha
Soy el cotécnicunidacaptaOtrostécniceducatransien la
ni técnicasazo hacia la
obre todo esonocimientcas y los codes de basr la notació tienen pro
cas eficaceación especión entre lnotación po
s. Otros piea misma e in
s muy probao informal d
onceptos, rese diez. Co
ón posicionablemas con
es para macial los qula aritméticaosicional.
erden interéncluso llega
able que lasde los niñoselativamentomo consecal y experimn la represeanejar númue pueden a informal b
és en la maan a temerl
s lagunas es provoquete abstractocuencia, mu
mentan dificentación eneros grandtener gran
basada en c
teria, desala.
existentes een dificultados, relacionuchos niñoultades con
n base diezdes. Sobre ndes dificulcontar y la
rrollan un s
entre la instrdes de apreados con los tienen prn las técnicaz y no pued
todo, son tades paraaritmética f
sentimiento
rucción formendizaje de os órdenes roblemas paas de acarren desarrolos niños
a franquearformal basa
de
mal las de ara reo. ollar
de r la ada
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Co
suelede edinformescola
A) ELEl cas
Hahabíaque csoltó puntoAun dse deenseñocho)«más
La contanumécontason «resolvnuevecompsoluciconjuuna v1983)por semenc
1 LMatheaños y
ontar oralmn desarrolladucación emal? ¿Qué ares?
L DESARRso de Alex
acia los veina empezadocontara los a toda pris
os en fila, sdespués deesconcertañaban dos ) también l». técnica de
r con exacéricas. Sin er de palabr
«tres». Adever el probe y otro dearar las canión del probnto con 9 eariedad de ). Lo complentado los
cionadas en
as conductasematical Abilityy 11 meses de
T
ente, ¿impar durante l
especial adtécnicas s
OLLO DE Txi
ntiséis meso a experimtres puntosa: «1,2, 3, eñaló al az
e poder conba cuandoconjuntos e sorprend
e Alexi paractitud conjuembargo, hra casi hasmás, para
blema de d ocho) tienntidades reblema tambes más.» Ptécnicas paicado que padultos, qu
n el párrafo
s que se desy (Ginsburg ye edad.
Técnicas
plica aptitudlos años pr
dquirirán tésuelen requ
TECNICAS
ses de edadmentar con s de una fo4, 5, 6, 7, 8
zar y variasntar con exao se le pr
(por ejempdía que se
a contar oruntos de o
hacia los cinta 29, sinoun niño típ
determinar ne más elemsultantes. D
bién es fácilPor tanto, eara contar ypueda ser eueda revelaanterior.
scriben más y Baroody, 19
s para
des numérieescolares
écnicas básuerir instru
S PARA CO
d, Alexi polos númer
ormación tr8, 9, 10.» Cs veces e cactitud conjreguntaba plo, una ta
le pidiera
ralmente nobjetos o pnco años d que inmed
pico de cinccuál de domentos: sóDespués demente visibn cuestión y muchas meste desarroado por un
adelante se 83) y represe
contar
icas? ¿Qués? ¿Podemosicas para cción dura
ONTAR
día contar ros hasta eriangular, ACuando se conjunto miejuntos de hcuántos harjeta con nque señal
o garantizapara el eme edad 1, lo
diatamente co años es os conjuntoólo hay quee contar cadble para losde pocos a
maneras deollo, o en q
n examen d
basan en lasentan la capac
é técnicas os suponercontar de
nte los pri
de palabral 20. Cuan
Alexi señalóle pidió queentras decí
hasta cinco abía conta
nueve puntlara la tarje
aba una campleo de oos niños nodeterminaevidente c
os (por ejee contar cada conjunto niños de caños los ni
e aplicarlas ué medida
detallado de
s normas de cidad -media»
de contar r que los niñ una manemeros curs
a del 1 al 1do se le pió los puntoe contara tía: «8, 9, 1objetos, Al
ado. Si se os y otra ceta que te
apacidad paotras técnico sólo puedn que ••• y cómo se demplo, uno da conjunto
o de puntosinco años: ños aprend(Fuson y Hllegan a dae las técnic
la prueba E» de un niño d
se ños era sos
0 y dió s y res 0.» lexi
le con nía
ara cas den
••• ebe
de o y
s, la «El den
Hall, arlo cas
Early de 4
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Una j
EnWallaautomejecutécniccompnecesde nuentre
Ende losempeen unnúmepezaba consecueRicha
Enaplicadenomcorrectres, pa cadel niñcada etiquela serpuedeenum
Enconveconsigduranconju, 9", cenum
jerarquía d
su mayor ace, 1973).máticas y sutarse con e
cas en la mpleja (por ejsita para reueve puntos
magnitude primer lugs números
ezado a domo. Sin emb
eros en el oba a contar ntar un conencia correards y Briars segundo
arse una pomina enumctamente, nporque todaa elementoo debe cooelemento detas y los obrie numéricen coordinaeración (al tercer lug
eniente de gue median
nte el procento. En otracon «nueveerar conjun
de técnicas
parte, la ca Con la pru ejecucióneficiencia, pmemoria de jemplo, Sch
ealizar la tas es «más" es numéricaar, la técnicen el orde
minar la serargo, cuandorden corredesde «uno
njunto a pacta para cos, 1982). lugar, las
or una a cadmeración. Ano podía enavía no habo de un conjordinar la vede una colecbjetos. Com
ca y señalaar con eficamenos con
gar, para hrepresenta
nte la regla eso de enumas palabrase» y la serintos, no ha
s
apacidad deráctica, las
n requiere mpuede proce
trabajo (a haeffer, Egrea apareno «menos"
as requiere ca más básen adecuadrie numéricado se le pedecto de foro". Hacia lortir de «unontar conju
palabras (da objeto d
Aunque Alexnumerar un bía aprendidjunto. La enerbalizacióncción para
mo los niñosr una vez c
acia las dosn conjuntoshacer una ar los elemdel valor c
meración res, un niño die «1, 2, 3,abía descu
e contar se técnicas p
menos atenesarse simucorto plazogleston y S
ntemente se" que otro dla integrac
sica es gendo. A los da oral y, a vdía que conrma cohereos tres añoso» y al em
untos de 10
(etiquetas) de un conjuxi podía geconjunto d
do que debenumeraciónn de la sericrear una cs de cinco acada uno ds técnicas ps de hasta 1comparació
mentos quecardinal: la úepresenta ee cinco año, ... , 8" cobierto que
desarrolla jpara contación. Cuanultáneameno) para formScott, 1974encilla de dde ocho. Reción de cuatnerar sistemdos años dveces, podíntara objetoente. Por ejs de edad, lo
mpezar párv0 elemento
de la secnto. La accenerar la se nueve elee aplicarse n es una téce numérica
correspondeaños puedede los elempara ejecuta10 elementón, un niñ
e contiene última etiquel número os puede ren «ocho». la última e
jerárquicamr se van hdo una técn
nte o integramar una téc4). Considerdeterminar sealizar estatro técnicas
máticamentede edad, Aa contar ha
os, aún no pjemplo, a vos niños suvulos ya pu
os como mí
cuencia numción de conserie numéementos, y una, y sólo
cnica compa con el señencia biunív
en generar cmentos de u
ar el acto cos). o necesitacada conju
ueta numéritotal de ele
esumir la seComo Alex
etiqueta de
mente (Klahhaciendo mnica ya puearse con otcnica aun mremos qué si un conju
a comparacs. e los nomb
Alexi ya haasta 10 de upodía decir veces no e
uelen empezueden usarínimo (Fus
mérica debntar objetosérica hasta
ni siquiera o una, etiquplicada porqñalamiento voca entre correctameuna colecciócomplejo de
una maneunto. Esto ica expresaementos enerie «1,2, 3xi no podíaeste proce
hr y más ede ras
más se
nto ión
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uno los
em-zar r la on,
ben se 10 de
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tiene serie
Encompedad,pequeuna mgruesel 10 vlos nmagncon ladespu
Poconjuadultoun retlos ciestará
Algtienendominde cay otrala esc
CoSe
empiede doal., 1910 paempe3, 4» 7 parade doy el 9
un significanumérica c cuarto lugrender que los númer
eños lleganmagnitud resas entre maviene much
niños pueditudes de n
as relacioneués del 8, a
or tanto, connto de ochos pueden to intelectuanco años, lán listos pagunos de eln lesiones cnar estas téapítulo se deas técnicas colarización
ontar oralmerie numériezan a contos años pue982). Al prinara unirlas mezó a usar, para hacera completa
os cifras 19 .
ado especiacon la definar, las tres
e la posiciónros no definn a aprendelativa. Aun agnitudes cho más tardden llegar números sees de suce
así que el 9
ntar para deho no es, cdar por seal imponenla mayoría
ara enfrentalos -sobre t
cerebrales oécnicas básescribirán cmás elabo
n.
mente ica. A una tar oralmeneden contarncipio, los nmás adelande una manr «2, 3, 4, 8r la serie hay 20 r' muy
al. A sus doición de la técnicas a
n en la secnían tamañoer, tarde o los niños m
como «10 ede en la sec
a hacer eguidos comesión numé
es más gra
eterminar qucognoscitivantadas las te para los de los niño
arse a nuevtodo los queo los menta
sicas y nececon mayor dradas que
edad tan nte de uno er «1, 2» peniños puedente. Por ejenera regula, 9, la». Deasta 10. A lpoco despu
os años de cantidad decabadas de
cuencia defos relativostemprano,
muy pequeñes más grancuencia de con rapide
mo el 8 y el érica («cuanande»).
ue un conjuamente hacuatro técnniños de d
os habrán vos desafíose procedenalmente atresitarán unadetalle las cse desarro
corta comen uno («1ro luego emen aprendeemplo, Alexar, la serie «espués añadlos veintiséués, inserta
edad, Alexe un conjune describir fine la mags para Alexi
que la serños puedennde que 1»,enumeracióez compar9, porque e
ndo me po
unto de nueblando, unnicas implicos años dedominado es.
n de entornarasados- pua atención cuatro técnllan durante
mo los diec, 2, 3 ... »). mpiezan a oer partes dexi (hacia los«8, 9, 10». dió el 5 y eis meses, Aaba la ristra
xi todavía nnto. son indispenitud. A losi. Sin embarie numéricn realizar co quizá porqón. Hacia loraciones pestán muy ngo a cont
ve puntos e acto triviacadas, ésta
e edad. Cuaestas técni
as con careueden no haespecial. E
nicas básicae las prime
ciocho mesLa mayoría
omitir térmie la serie nus veinte meMás adelanl 6 y, finalmAlexi añadióa «11, 12, 1
no asociaba
ensables pas dos años argo, los niña se asociaomparacionque saben qos cinco añrecisas enfamiliarizadtar, el 9 vie
es más queal. Aunque as constituyando lleguecas básica
encias, los qaber llegad
En lo que reas para coneras etapas
ses, los niña de los niñnos (Fusonumérica haeses de edante añadió
mente, el 1 yó los núme3» entre el
a la
ara de
ños a a nes que os,
ntre dos ene
e un los
yen n a
as y
que o a
esta ntar
de
ños ños n et asta ad) «2, y el ros 10
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Co
Comoprimeera, sparecenlazación frecuenumédetermtiene los ténumérestanoriginLos nla regrealidregla Los ereglas-inclu«diec(Barores intratantrata dlas pmentamalla
2 Enombrcaractedel T.)
ontar oralmeo ilustra el ceras técnicasimplementecía no ser adas gradumenos adencia, este
érica por mminado, sobuna importa
érminos hasérica postentes númeral (6, 7, 8, úmeros de la de antepad, para coy el orden
errores ques que subyyendo los
cicinco» pooody y Ginsndican claran de constrde errores r
pautas de almente atr
as pautas de
n el original res de los nerísticas de lo.
ente suele ecaso de Aleas orales que, una cantmás que u
ualmente enecuada detérmino se memorizacbre todo duancia fundasta el 15 2
erior puederos hasta e9) Y antepla segunda
poner «20,>ontar de unde las dece
e cometen lyacen a su s que prer 15, «diec
sburg, 1984amente queuir sus prorazonablesla serie nurasados pae la serie n
se hace refenúmeros 11 os nombres de
equipararseexi, contar ue empleantinela verbauna cadenantre sí. Sin e los posteemplea pa
ión. Aunquurante las etamental pa2 se aprende generarsel 20 puedoniendo «la
a decena (2> a cada unno en uno henas (10, 2los niños acuenta orasentan ret
cidiez» por 4; Baroody ye los niños pios sistem porque sonumérica quarecen ser umérica.
ncia al númea 19 en inge estos núme
e con «conde memor
n los niñosal sin sentida de asociaembargo,
eriores inteara indicar que la memtapas iniciara ampliar edan de mese medianden generaa y>; (por e21,22, 23, ..na de las unhasta 99 el0, 30..., 90
al contar sol, sobre todtraso men20, o «ve
y Snyder, 1no se limit
mas de regln ampliacioue el niño
capaces d
ero 13. Debidglés, se ha eros en castel
tar de memia es una b para conta
do. La serie aciones apcontar de mentos de cque los niñomorización
ales, el apreesta serie. emoria, la te reglas
arse continuejemplo, «d.. , 29) se pnidades (del niño sólo ).
on una buedo de 20 pantal- se inintidiez, ve
1983; Ginsbtan a imitaas (Barood
ones lógicasha abstra
de ver, emp
do a las caraoptado por lano. Véase t
moria». buena descar. Su mannumérica i
prendidas dmemoria escontar. Coos aprenden
desempeendizaje regAunque esmayor part(Ginsburg
uando con dieciséis, dipueden genel 1 al 9) untiene que a
na señal dara arriba. nventan téeintionce», burg, 1982br a los adu
dy y Ginsbus, aunque inído. Así, aplear y, a v
cterísticas quadaptar la ttambién la not
cripción de nera de connicial de Al
de memorias una descron demasian toda la seña un pa
gido por regs probable qte de la se, 1982). Lla secuen
iecisiete ... erar media
na por una. aprender e
e que exisMuchos niñrminos copara 30 y
b). Estos erultos, sino qurg, 1982). ncorrectas,aun los niñveces, apli
ue presentan raducción a ta número 12
las ntar lexi a y rip-ada erie apel glas que erie Los ncia
»). nte En
esta
ten ños mo 31
rro-que Se de ños car
los las
(N.
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Auhacendan csecuelleganpara cdecenniño respacontapero hipótey empOtra huna vcuencejempcuandpara sesenhasta
Endecentiene aprenmemode depuedeadquisecue
Elausar flexibila sesiguie«daba
unque la mn progresosuenta de qu
encia de lasn los niños acontar hastnas de memforma la a
aldan esta cr hasta 30 no han apesis es que plean este hipótesis, coersión modcia de las uplo de esta do llegaba así para ave
nta») (Baro llegar a 10
n realidad, nas (hipótessentido po
nderlas todoria la primeescubrirse le ser algo peren una p
encia.
aboracionessu represeilidad (Fusorie numéric
ente a un núa el pie».
ayoría de ls con la parue las deces unidades a resolver eta 100 de umoria en foasociación
conjetura. Aó 39 porqu
rendido qulos niños aconocimienompletame
dificada de lunidades y última hipóal final de ueriguar la s
oody y Gin00. la mayoríasis 1 y 2) Y
orque la maas de memera parte, ina pauta. Pparecido a parte por m
s de la serentación mon et al., 19ca correctaúmero dado
los niños qrte de la se
enas (<<10,(Fuson et
el «problemuno en unoorma de ex
entre «29Algunos niñoue parecené va despu
aprenden lasnto para reente distintaa secuenciañadir -enttesis es el cuna decenasiguiente dsburg, 198
a de los nY emplear rayoría de lmoria. Sin ncluyendo qor tanto, aaprender aemorizació
rie numéricmental de 982). A meda, los niñoo. A los vei
que se acaerie numéric, 20, 30,... , al., 1982).
ma de las de. Una hipót
xtremos fina9-30» o «3os no pueden haber aprués de 39 s decenas (
ellenar la sea, es que losa del 1 al 9 ta) para relcaso de Tera (por ejemecena (por
84). Luego
niños puedereglas para as decenasembargo,
quizá algunprender lasa contar deón y luego e
ca. Con la la serie n
dida que seos pueden intiséis mes
ban de incca regida p90») sigueAún no se
ecenas», estesis es queales de cad39-40»). Hen contar prendido qu(Baroody y
(contar de decuencia des niños aprey emplean llenar la curi, una niña plo, «..., 58r ejemplo, «iba repitie
en aprendegenerar el s sigue unse puede
nos casos rs decenas e uno en unemplean un
experiencianumérica ce van famili
citar automses, Alison
corporar a por reglas, men una pauta sabe con
s decir, su oe los niños da serie (poHay algunopor decenase 30 va dey Ginsburgdiez en dieze contar deenden las desta pauta
uenta de unlevemente
8, 59») se p«1,2, 3, 4,
endo este p
er de memresto (hipóa pauta y tener que
egulares co(contar de
no: al princina pauta pa
a, los niñoscon más earizando mmáticamentya podía h
la escuela muchos no a paralela acerteza cóm
orden correaprenden
or ejemplo,os datos qs pero puedespués de 2g, 1984). Oz) de memoe uno en undecenas coa (repetir la sno en uno. e atrasada qponía a con
5, 6 -ah, .procedimien
moria algunótesis 3). Esería ineficaprender
omo 40, andiez en die
ipio, los niñara ampliar
s aprendenelaboración
más y más cte el núme
hacerlo si se
ya se
a la mo cto las , el que den 29,
Otra oria no. mo se-Un
que ntar ... , nto
nas sto caz de tes ez) ños r la
n a n y con ero e le
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MADRALISOMADRALISO
De no
MADRALISOMADRALISOMADRALISOMADRALISOMADRALISO
Hael 1 númeBaroola capentre regrescontaconta
NuEn
agitarpronurapideFuson(Beckno esde cu(Beck
RE: ON: RE: ON:
o ser así, A
RE: ON: RE: ON: RE: ON: RE: ON: RE: ON:
acia los cuapara respo
eros seguidody, 1983). pacidad de
un númersivamente.
ar por grupoar por pareja
umeración umeración.r un dedo uncian con rez al menon y Hall, 19kwith y Res una tarea f
uatro elemekwith y Res
Alison, [No res1, 2, 3,10.
lison no lo
¿Qué nEl ocho¿Y despEl nuev¿Y desp[No res(Un pocNueve, ¿Y despEl cuatr
atro o cinco onder de mdos, al men
Uno de lose citar el núro dado y Además, os. Entre laas, de cinco
. Los niños señalando rapidez la sos la parte 983) Y no title, 1966), fácil. En reaentos- sólo
stle, 1966; G
¿qué númeponde.] 4, 5, 6, 7,
podía hace
número va do. pués del do
ve pués del seponde.] co más tarddiez
pués del doro.
años de edmanera conos hasta cs desarrollosúmero anteel anteriorlos niños
as más preco en cinco y
deben apreun conjun
serie numérmemorísticenen problcoordinar ealidad, la eo llega a hGelman y G
ero va desp
8, 9 y ...
er sólo lo ha
después de
os?
eis?
de): ¿Qué v
os?
dad, los niñoherente y cerca del 2s que puederior. Cuanr, ya está de edad e
coces de ey de diez e
ender que cnto o deslizrica. Aunquca de la seemas para
estas dos ténumeraciónhacerse auGallistel, 19
pués del 9?
acía a vece
el ocho? El
va después
ños ya no nautomática
28 (Fuson en producirdo los niñopreparado
escolar apestas nuevan diez.
contar objezado por ee los niños erie numéria señalar loécnicas parn -sobre todutomática d978, y Sch
?
es.
ocho.
del ocho?
ecesitan ema preguntaet al., 1982rse un pocoos captan l el terrenorenden gra
as pautas s
tos implica encima de
pequeños ica (véase,s objetos dra enumerado de conjude una maaeffer et al
mpezar desas relativas2; Ginsburgo más tardelas relaciono para conadualmentese encuentr
algo más qotro mientaprenden c por ejemp
de uno en uar un conjuuntos con manera gradl., 1974). C
sde s a g y
e es nes ntar e a ran
que ras con plo, uno nto
más ual
Con
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coleccestratCuandcuentcírculCon dquetamétodseparenconcrear Reglaenumniños (cosavuelvetres aserio habíaenuma un preguque h
Cuprimitcoleccrealizcuentde pre8, 9»)dos a«9, 9,correcvez todespumirar 1, 2, 3de eddel pr
ciones grantegias parado los elemta si se emo, el niño sdistribucion
ado y cuáledo sistemátrando los entró que mun montón
a del valor eración sirvse limitan
que ocurren a enume
años de edade emplear
a acabado deración se fin, los niñ
untas como an contado
uando tienetiva de queciones (paan el intenta de que eeguntas rep) o de repet
años puede, 9») (Wagnctamente, loda la secués de enumla tarjeta) r
3 y 4 estrellad, algunosroceso de e
ndes y, soa llevar la cmentos se ppieza desdólo necesit
nes desordes quedan ptico (por ejeelementos uchos de s
n aparte concardinal. Ave para nua enumerae a veces)erar todos lad, enumerr o recordade contar, acontempla
ños muy pe« ¿Cuánto
o. en cerca de contar esra respondto de recor
el proceso dpitiendo la stir el mismo designar ener y Walteos niños pucuencia cumerar cuatrrespondió aas.» Sin ems niños desenumeració
bre todo, dcuenta de loponen en fie uno de lo
ta recordar denadas, epor etiquetemplo, contetiquetadosus sujetosn los eleme
Al principio, merar. Cua
arlo y espe). Si se les os elementró cuatro esr la informa
alzó los hom como un fiequeños puos hay?» ni
e dos años un proceder a pregurdar lo quede enumeraserie numéo («9, 9, 9»este conjuners, 1982). Aueden no dando se lero estrellas a la pregunmbargo, a uscubren el «ón para ind
desordenados elementla, hace falos extremoel elementol niño debar. Esto setar de izquis de los ns de párvulentos ya con
los niños pando se lesran que espregunta c
tos del conjstrellas (« 1ación. Cuanmbros y volvin en sí misueden no i preocupar
s, muchosedimiento euntas del t
e han contaación se puérica. Despu») ante un cnto volviendAun despuéarse cuentes preguntque había
nta ¿«Cuánuna edad ta«atajo» conicar la cant
das, los niñtos que halta poco es
os. Si la colo por el quee recordar
e ve facilitaerda a dere
no etiquetadlos no empntados. pueden no s pide que csto, en sí mcuántos objunto. Por e1, 2, 3, 4») ndo se le prvió a enumesma y no collegar a corse de reco
niños desempleado ptipo « ¿Cuado. Sin emuede resumués de «solconjunto dedo a contar és de habea de que esa por una en una tarjtas estrella
an corta comnsistente entidad. En el
ños tienen n contado
sfuerzo paraección estáe ha empezr qué elemado por el eecha y de ados. Fusonpleaban la
darse cuecuenten un
mismo, satisbjetos acabejemplo, Idasin hacer n
reguntó cuáerarlas otraomo un medomprender ordar los res
sarrollan unpara asignaántos hay?
mbargo, commir, respond
ltar» variose tres objeto
(por ejemper aprendidos innecesacantidad.
jeta, Georgas hay»? como los dos
n recitar la úl fondo, la r
que aprendy los que
a no perderá colocada zado a cont
mentos ha eempleo de arriba abajon (en prensestrategia
enta de quen conjunto, sfará al aduban de conta, una niña ningún inteántas estrela vez. Comodio para llegel sentido sultados de
na concienar números?»). Ahora mo no se d
den a este ts términos (os, un niño plo, «7, 8,9o .a enumerio recitar oPor ejemp
e (sin volveon: «Pues haños y me
última etiquregla del va
der no. r la en
tar. eti-un
o) o sa) de
e la los
ulto tar, de
nto llas o la gar de
e lo
ncia s a ya
dan tipo «7, de
» o erar otra plo, er a hay edio eta alor
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28 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza
cardinúltimo
Recuentetiqueobjetotérminy un nde cinen la contaver qudebe sentasin co
SeemplecamissencilobjeticontroalmacmismnúmeFord, del obenumtres lrecord«tres» Comp
Cucontase dacantidmayo
nal traduce o) al término
egla de la cuta cardinal.eta asignados (Fuson no como cinnúmero parnco canicastaza.» El ni
ar las canicaue la etiqueaplicar al
ada la regla ontar.
eparación. Ceamos a dsas», «Tomlla porque ivo); b) etiqolar y detecenar el obo tiempo,
ero almacen1981). La
bjetivo en lameración (Ba
ápices tiendar «tres» ».
paración d
uando tiener más altosn cuenta de
dad mayor. r que «dos»
el términoo cardinal q
uenta cardin. Esta reglda al últimy Hall, 198nco es al mra contar. Cs junto con iño que no as a medidaeta cinco eresultado de la cuen
Contar (sepiario (por e
ma cinco clamplica: a) oquetar cadaener el probjetivo en lair comparanado y deteregla de la a memoria daroody y Mne que dar
y que deb
de magnitu
n unos tress se asociane que «dosHacia los
» (Shaeffer
aplicado aque represe
nal. La reglaa específico elemento83). Parece
mismo tiempConsiderem
la consignaaprecia la ra que las vempleada pde contar
nta cardinal
parar) un núejemplo, «Dvos»). Sin eobservar y a elemento
oceso de sa memoria ando los nener este pcuenta car
de trabajo yason, 1984
rse cuenta be parar de
udes
s años de edn a magnitu» no sólo s3 años y m
r et al., 1974
a un elemeenta el conj
a inversa a ca que un o cuando se que los npo el nombros el caso a: «Aquí haregla de la ca soltando
para designel conjunto se limita a
úmero concDame tres embargo, nrecordar el o separadoseparación.
de trabajoúmeros de
proceso cuardinal ofrecey constituye4). Por ejem
de que pae contar lá
dad, los niñudes superiigue a «uno
medio, los n4). Partiend
nto determjunto entero
la del valortérmino ca
se enumerniños tienere de un code un niño
ay cinco cancuenta carden la taza.
nar el conjuo. En cam
a colocar to
creto de oblápices», «
no se trata dnúmero de
o con una En otras , un proces
el proceso ando se llee al niño une la base pa
mplo, si se para realizarápices cuan
os descubriores (Wago» sino queniños sueledo de estos
inado de uo.
r cardinal esardinal comra un conjuen que apreonjunto (núm
al que se dnicas; pon cdinal tiene qEste niño n
unto es la mbio, el niñodo el conju
bjetos es un«Me quedade una tareae elementosetiqueta npa- labras
so de enumde enumegan a iguana razón paara detener pide a un niñr la tarea endo llegue
ren que los ner y Walte
e también ren apreciar datos, los n
n conjunto
s la regla demo «5» esunto de cinender que mero cardinda un conjucinco ca!1icque ponersno puede pmisma que o que da
unto en la ta
na técnica qaré con cuaa cognoscits solicitadoumérica, y
s, se requiemeración yeración conlar (Resnic
ara tomar nr el procesoño que sepaes importaa la etiqu
términos pers, 1982). Aepresenta uque «tres»niños de ce
(el
e la s la nco un
nal) nto cas e a
pre-se
por aza
que atro tiva (el
y c) ere , al
n el ck y ota
o de are nte eta
ara Así una es rca
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de cuque vanterimentamagnsepar(Resnautommagnde loprecis
B) IMSO
Conta
Seminorprimepersoacabasecuegrave(Barodominen niñños dembade elloMuchinclus
A pinsistidiscutpuedeejempcomoel recniño,
uatro años dviene despuior. Aun antal de la ser
nitudes, es drados entrenick, 1983)mática, los nitudes máss niños emsión compa
MPLICACIOOLUCIONEar oralmen
erie numérirías y a claera parte -laonal de guaa de incorpencia memoe y de la ody y Gins
nio de la paños atrasade cuatro y m
argo, y dadoos son incaos niños pe
so la primerpartir del 15ir en la metir las pautae tener que plo 6.1). Ad sustituir 30onocimientde tratar co
de edad paués en la stes de entrarie numéricadecir, para
e sí dentro ). A medidniños pued
s próximas (mpiezan a
araciones en
ONES EDUES nte
ica. La maases sociala memorístirdería, la te
porarse al jaorística hasnecesidad sburg, 1982arte memordos del ciclomedio a seio que todavapaces de aequeños cora parte de l5, aproxima
emorizaciónas subyacedar «pistas
demás, es 0 por «veinto de una paon lo desco
arecen dessecuencia sar en la esca para hacecomparar cde la secu
da que la den llegar a(entre núme
asistir al ntre númer
CATIVAS:
ayoría de les desfavoica- de la selevisión, etardín de infsta un mínde una in
2b). Aunqurística de lao medio (Bais años de evía no han ampliar la pon retraso mla secuenciadamente, n. En cambentes a la ss» o ayudarpositivo qutidiez». Se auta numér
onocido en f
scubrir una significa «muela, los niñer comparacon rapidez
uencia (por relación «
a ser capaceros seguidparvulario os adyacen
DIFICULT
los niños, orecidas, reerie numértc., antes dfancia man
nimo de 10ntervencióne se dan g
a serie numaroody y Ginedad puederesuelto el
parte regidamental nece
a regida pola enseñan
bio, se debeserie numér a que las pue los niños
trata de unrica y constfunción de
regla genemás» que eños pareceaciones tosz y exactituejemplo, e
«el siguientces de hac
dos). En reaya puede
ntes hasta e
TADES PAR
incluyendoeciben una rica por pare llegar a la
nifiesta inca, puede da
n de apoyograndes diférica no densburg, 198en llegar a c problema
a por reglasesitarán ayuor reglas (denza de la seería animarica. En algpautas se hs cometan na señal protituye un intlas reglas o
eral: el térmel término den usar su recas, pero e
ud dos númel 3 y el 9, te de» se cer comparalidad, cuann realizar el 5 e inclus
RA CONTA
o los que exposición
rte de familia escuela. Sapacidad paar señal deo inmediataferencias inebería dars84). La maycontar hastde las dece más allá d
uda para lleel 16 al 19 yerie numéricr a los niñogunos casoagan explícerrores al
ometedora tento activoo de la com
mino numérde un númeepresentaceficaces, en
meros bastao el 2 y elva hacien
raciones enndo la mayocon basta
so hasta el
AR Y
pertenecenn intensa aiares, amigSi un niño qara generar
e un problea e intensndividualese por sentayoría de losta 29 ó 39. Senas, muche estas cifr
egar a domiy del 20 al 2ca no debeos a buscaos, el maescitas (véaseaplicar regporque ind
o, por parte mprensión q
rico ero
ción ntre nte l 8) ndo ntre oría nte 10.
n a a la os,
que r la ma
siva , el ado ni-Sin hos ras. nar
29). ería ar y stro e el las ica del
que
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ya tieaprovveintidmaesneces
Ejemp
Aulas pade veajustásuperexpreestabeducacifra enúmecomocomoy al vque ppasosmentade cindecía
La edu
Losson loBaroopautahasta
3 SrefiereT.)
ene. Cuandvechar el codiez es 30»tro aprecia
sario para s
plo 6.1 Emp
n los niñosautas subyainte años d
ándola a losriores a 30esiones usalecer una
adora de Mescribió la
eros que em el 10, e! 2 el 60». Mik
ver que conpidió más cs se encamalmente la snco en cinc en seguida
ucación de Mi
s obstáculoos nombresody y Snydea de elabora 19. Alguno
e ha hechoen al nombre
o un niño onocimiento». Se trata da su capacsu desarroll
pleo de pau
s algo retraacentes a lae edad cons cinco min0, no podíadas previa
conexión eMike escribió
decena compleaba pacomo el 20
ke usó la lisn ella podíacopias de laminaron a hsecuencia pco hasta qua la hora si
ke y la recop
os más frecs irregulareser, 1983, y ación, es fros niños sim
o una adaptae de ciertos
comete uno que ya tiede una mancidad paralo posterior
utas para e
sados pueda serie num
n un el de 40nutos más a pasar demente (porentre la seó los núme
orrespondieara contar 0, e! 3 comsta numérica expresar ta tarjeta pahacer que Mpara contarue estas tén necesitar
ilación del ca
uentes paras de los númFuson et alrecuente qumplemente
ación al casnúmeros en
error al apne diciéndonera constr
a pensar sr.
nseñar las
den beneficmérica. Tom0. Mike tratpróximos, pe 35. Desr ejemplo, 5ecuencia deros del 1 aente y le ex
para averio el 30, el 4
ca de esta tatodas las hra usarlas Mike determr y a que pr
écnicas se hr la tarjeta.
aso se deben
a los niños,meros 14 y l., 1982). Coue sean losse los salta
stellano de ln inglés. Véa
plicar una ole, por ejemructiva de cin dejar de
decenas
ciarse de lamemos el ctaba de aprpero como pués de 3
5, 10, 15, 2e las unid
al 6 en unaxplicó que guar las de4 como el 4arjeta para oras del reen clase y
minara la sracticara cohicieran au
a Cathy A. M
, sea cual s15 Y de lasomo 14 y 1
s últimos núan («…,13,
las dificultadase también
regla, el mmplo: «Otrocorregir al ne ofrecerle
a instrucciócaso de Mikender cómono conocía
35 se limita0, 25, 30, 3ades y las tarjeta. Depodía usarecenas. «¿40, el 5 comcontar de c
eloj se pusoen casa. L
siguiente deontando de utomáticas.
Mason.
sea su capas decenas 3
5 son una eúmeros que16,...) o los
des que, enla nota núm
maestro pueo nombre paniño porquee el feedba
n que exploke, un hombo decir la hoa las decenaba a rep35, 30»). Pas decenas,ebajo de car los primeVes? El 1
mo el 50 y ecinco en cino tan conteLos siguienecena usandiez en dieAl final, M
acidad men3 (por ejempexcepción ae se aprends cambian p
el original, mero 12. (N.
ede ara e el ack
ota bre ora nas etir ara la
ada ros es
el 6 nco nto tes
ndo ez y
Mike
tal, plo, a la den por
se del
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otro (práctiinstauElabodebeanterniñosel númprobadebeaprencompenseñla parpuedrepreha corespuactivi
CoexisteCon tal., 1técnicLos mtécnicnumédominnúmepuedeconfirincorr
Paemplenúmeaprenbaja],puedetérmin
«…,13, 16,ca pueden
ure una secoraciones drían tener rior, al mens de bajo remero siguieable que cn operar sondizaje. Adprender queñanza de arte más fame leer las c
esentación comprendidouestas con dades sin l
ontar regresentes entre odo, suele 982; Ginsbca especialmmaestros decas. La ensérica hacia nado el número de partien ir destarma las resprectas. ra contar a een la seceros intermnder a conta dos [en ve empezarsno correcto
, 16, 16,…)establecer
cuencia incode la serieproblemas
nos hasta eendimiento yente y quizácitar el númobre la seridemás, pue el de siguapoyo en el miliar de la scifras se puconcreta deo la cuestifacilidad mista numérsivamente un númeroser domina
burg y Baromente difíc
e educacióneñanza de atrás (de d
mero siguieida. Entonc
apando sucpuestas cor
intervalos dcuencia famedios y dear de dos enoz alta], trese con una
o y permitir q
) Un diagnr la secuencompleta o ie numérica para citarella (Fusony con retrasá deban emmero anterie numérica
uede que uiente. Por número sigsecuencia
uede empeze la serie nón relativa
mediante el ica que le edesde 10
o y su anterada por los oody, 1983
cil y no suelen especial dapoyo pue
derecha a inte, se pueces, a medcesivamenterrectas y of
de cinco comiliar de cestacando n dos, puedes [en voz a lista numéque el niño
nóstico expcia adecuadncorrecta.
a. Cuando r el númeron et al., 1982so mental p
mpezar a coor sea rela
a en direcciel concepttanto, al prguiente. Esnumérica (dzar con actnumérica (ua al número
empleo deexijan deterdepende drior, y es unniños cuan
3). Contar e dominarsdeben espeede empezaizquierda). ede tapar ladida que ele los númefrece un fee
omo mínimocontar de ulos que fode decirse a
baja], cuatérica para se concent
peditivo, el da como un están en
o siguiente2; Ginsburgpuede que nntar desde ativamente ón opuestato de anterincipio lo mta enseñandel 1 al 4 otividades enuna lista nuo siguiente
e una lista nrminar mendel conocimna técnica ndo llegan aregresivam
se hasta pocerar muchasar haciendoCon los ni
a lista numé niño va ceros meno
edback corre
o, puede anuno en unrman la paal niño que tro [en vozaligerar el tre en la pa
empleo de n hábito an
párvulos, e a otro, y g y Baroodno sean caello hacer cdifícil porq
a a la seguierior sea mmejor sería nza debería al 5). Ademn las que inmérica). Un
e (anterior) numérica, pntalmente lamiento de loral relativaa primer cu
mente desdco antes des dificultadeo que el niñoños que do
érica dejandontando hares. Este p
ector para la
nimarse a loo, pero suauta. Por ecuenta así:
z alta]... ». esfuerzo duta. En el e
modelos yntes de que
los niños ni siquiera
dy, 1983). Lpaces de cconjeturas.que los niñda durante
más difícil concentra
a empezar cmás, si el nntervenga una vez el n
y puede puede pasaa respuestaas relacionamente difíurso (Fusonde 20 es ue tercer curses con las do lea una lisominan o hdo a la vistaacia atrás, procedimienas respuest
os niños a qusurrando ejemplo, pa: «uno [en vSi hace fale expresar
ejemplo 6.2
y la se
no a el Los
citar Es ños
e su de
r la con
niño una niño dar
ar a a. nes ícil. n et una so.
dos sta
han a el se
nto tas
que los ara voz lta, r el se
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muesconta
Eje
Se relaciJosh,en cinque leen cinse qula valsesióDuranlas emcompde unnúmeAl cocoinciJosh grupode adejempcuartaobjetointervLa edu
NumeEn
compde cinsi un uno aque n
stra otro méar de uno en
emplo 6.2 E
puede haonándolo c un adolesc
nco. Su edue gustaban nco. Luego,uedó muy solidez genern siguientente la tercemparejó conrobación: leo en uno. C
ero de la printinuar conidía con el iba contand
o (5, 10, 15,divinar en eplo, la del 1a sesión yaos reales yalos fuera,
ucación de Jo
eración numeraciónpetentes panco años enniño que e
a cinco elemno haga nin
étodo para n uno.
Enseñanza
acer que con el procecente con rucadora le h
mucho en , hizo que Jorprendido ral de este, Josh insisra sesión, Jn sus pilas.eer los númComprobó emera tarjet
ntando de número de
do de uno , etc.) diciénel que se 15) y Josh a podía cony la secuenpara Josh,sh y la recop
. Cuando lora contar conumera conempieza el cmentos, es qngún intent
contar a in
de contar a
contar a iedimiento faretraso modhabía dichopilas de a c
Josh los deal ver que
e descubrimstía en repeJosh pidió t A continua
meros de lasel resultadota y encontuno en unoe la segunden uno, la ndolo en votapaba lostenía que
ntar hasta ncia para c algo compilación del ca
os niños lleonjuntos den exactitud hcurso de páque necesito de etique
tervalos a
a intervalos
intervalos amiliar de cderado, esto que colocacinco y dessparramaraobtenía el
miento con etir el expertarjetas conación añadis tarjetas a o de contar ró que, en o la segunda tarjeta (educadora
oz alta con ojos, la eadivinar de30 de cinccontar de uprensible e aso se deben
egan al jarde uno a cinchasta 20 obárvulos preta de inmedetar cada o
partir de la
s
tenga signontar objetotaba aprendara unos disspués le ayua y los contmismo resdistintos n
rimento porn números ó una nuevmedida quela primera pambos cas
nda pila, en10), y así s recalcaba él. Luego, J
educadora te qué núm
co en cincouno en unointeresantea Cathy A. M
dín de infanco objetos, bjetos (Fusoesenta dificudiato una atobjeto de u
a secuencia
nificado paos reales ddiendo a coscos de pláudó a contatara de unoultado. Lue
números der su cuenta(5, 10, 15,2
va etapa a se iba contanpila de uno
sos, el resuncontró quesucesivameel número
Josh se invtomaba un
mero se trato y sin ayudo hicieron e.
Mason
ncia sueleny la mayoríon, en prenultades contención indin conjunto,
a familiar pa
ara los niñe uno en un
ontar de cinástico de coarlos de cin en uno. Jo
ego comproe pilas. En. 20, 25, etcsu proceso ndo los discen uno conltado era «5e el resultaente. Mient final de ca
ventó un juena tarjeta (ptaba. Haciada. El uso que conta
n ser bastaía de los niñsa). Por tan
n conjuntosvidual. El n, por peque
ara
ños no. nco olor nco osh obó la
.) y de
cos n el 5».
ado ras
ada ego por
a la de r a
nte ños nto, de
niño eño
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que émientobjetototalm
Coerrore(errorno conumé(errormuesden tsecuede 13apoyoque calto oeficac
Enpued(señamismde unno deuna rvariasaciertde losSi unsubténiño qconjuelemequintoperdeMierkde co
éste sea, cotras deslizaos contado
mente asisteomo la enes pueden res de secuontados (eérica y el res de costran alguntener un dencia son 3 y 14 elemo orientadacomete cono contarlo ces. n la figura 6en produc
alar un objmo objeto mn conjunto.e particiónrespuesta cs manerasto, es impos alumnos n niño tieécnicas, esque tiene qnto de cincento], 2 [seo elemento]erse, puedkiewicz (198ordinación
on una pala el dedo ps y sin conemática) pr
numeracióndeberse a
uencia); b)rrores de pproceso d
oordinaciónnos ejemplodesliz al gsistemático
mentos cona a reforzan regularida
más de u
6.1 se puedcir las misjeto una v
más de una. Sin emba. En realidcorrecta. Cs y como,ortante queque tenga
ene probles probable ue detenerco elementeñala el se]». Igualmee equivoc
80) encontra medio co
abra para por encimantar (etiquetresenta gran requiere a tres causa) llevar un cpartición), e control
n) (Gelmanos de cadagenerar unos (por ejen «13») esar la técnicad errores una vez, d
de observasmas respez y asign
a vez, aumeargo, el dobdad, se pueComo las re, matemáte los maes
an alguna demas para
que se derse y pensatos, puede gundo], 3 [
ente, si un ncarse (por raron que loontar.
contar (sol de los objtando los o
aves problela coordi
as: a) genecontrol inexy c) no code los elen y Gallisa tipo de ena serie nemplo, etiqs señal de ca necesarde particiódebe apre
ar que hay puestas. Pnarle dos eenta en unble etiquetaeden combespuestas ticamente, stros obsedificultad. a ejecutar en errores ar qué vien
olvidar po[señala el
niño tiene qejemplo,
os niños pe
tando al azjetos) ni de
objetos del mas (Barooinación deerar una sexacto de looordinar la ementos costel, 1978)rror. En oc
numérica, uetar sisteque hace fria para coón como paender estra
tipos de eror ejemplo
etiquetas), na unidad eado es un binar varioincorrectasdos error
rven la act
con eficade coordine después
or dónde ibtercero], a ue dedicar saltarse
equeños te
zar palabrae llevar la conjunto deody y Ginsbe dos suberie numérs elementoelaboració
ontados y ). En la fcasiones, lopero si lo
emáticamenfalta una e
ontar oralmasar algún ategias de
rrores muyo, el doblal igual q
el número derror de co
os errores ps pueden pres no eqtividad de
acia algunnación. Podel 3 cuan
ba: «1 [señver, a vermucha ateun númerndían a co
as para concuenta de e una manburg, 1982bbtécnicas, ica incorreos contadoón de la se
no contadfigura 6.1 os niños pus errores nte conjun
enseñanza mente. El n
elemento pcontrol m
y distintos qe etiquetaue contar de elemenoordinaciópara produproducirse uivalen a enumerac
na de estor ejemplo, ndo cuenta ñala el prim, 4 [señalanción para o). Fuson meter error
ntar los era b). los cta
os y erie dos
se ue-de tos de iño por
más
que ado
un tos n y ucir de un
ción
tas un un
mer a el
no y
res
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Lo
procedificuseñalprontorecibetécnicetiqueretrasGinsb
El primehastaacabacomopartico ambde co
Coenumetiqueorgande loestratsistemestrateleme
Reglala reg1985)probleesponplícitacontacardindices numéatajo:
s errores deso de enltades paraan el primeo (por ejeme la etiquetacas coordinetando dessados pareburg, 1984)«frenesí» y
ero, el niño a el final, y ear el proceo resultado dción), no cobos a la vez
ontrolar o coon los niñomeración deeta a cada nizadamentos objetos tegias de amáticamenttegia adecentos conta
a del valor cla del valor). Si un niñemas. Aunntáneamena. Si un niñoar o vuelvenal de la mporque así
érica emple «Deja que
de coordinnumeracióna empezar er elementomplo, dicen a «2»). A venadas y señpués de hacen ser pro
). y «pasar dempieza c
en el seguneso de enude no contrordinar la cz (véase la oordinar la os que «pebe destacelemento;
te para ahocontados
aprendizajete en una uada para
ados de los
cardinal. Cur cardinal a ño de esta nque muchte la regla o simpleme a enumer
manera siguí sabrás cuada en el p
e te enseñe
ación tambn (Gelman las dos sub
o, pero no lo«1» sin se
eces, los niññalan, peroaber señalaopensos a
e largo» socon una cordo no intenmeración (rolar los elecuenta oral fig. 6.1). Paserie numéasan por
car: a) conc) señalar rrar esfuerzy los que
e como emdirección contar ele
que queda
uando llegaconjuntos aedad no lo
hos niños del valor
ente adivinarar el conjuiente: «Cuaántas cosa
proceso de una mane
bién puedey Gallist
b técnicas ao etiquetaneñalar el prños tienen d
o no etiquetado el último
cometer e
on dos gravrrespondennta establec(Fuson y Hementos etiqy la acciónasar por altérica con laalto» algúntar despaccada elemzo en el con
e quedan pmpezar por
(por ejempementos man por conta
an a párvuloaún mayoreo puede ha
mentalmecardinal, o
a el valor caunto, se leando cuent
as has contaenumeracira más fáci
en darse ael, 1978). al mismo tie o empieza
rimer elemedificultadestan, el último elemento
errores de c
ves erroresncia biunívocer la corresHall, 1983). quetados y de señalar
to comporta acción de n elementocio y con aento una ventrol. Con epor contar un lugar b
plo, de izqumóviles es ar.
os, los niñoes (Fuson, Pacer es se
ente retrastros neces
ardinal de ue puede extes, recuerdado.» Si unón, se le pil. Después
l principio Algunos
empo. En can a etiquetento, que as para acabmo element. Los niñoscoordinació
s de enumeoca, pero nspondencia
El frenesí y no etiquetar (error de ca no hacer nseñalar cado, la enseatención; bez r sólo un
elementos fse puede
bien definiduierda a dseparar cl
os aplican rPergamentñal de queados pueditan una en conjunto
xplicar la reda el últimon niño repiteuede decir de contar,
o al final niños tien
consecuenctar demasiaa continuacar con las do o continú
s mentalmeón (Baroody
eración. Eno la mantie
a al empezapuede da
ados (error coordinacióningún inteda elementñanza de
b) aplicar una, y d) confijos, el conte facilitar co y continu
derecha). Ularamente
rutinariame, Lyons y H
e tiene gravden aprendnseñanza que acaba
egla del vao número qe toda la seque existe me vuelve
del nen cia, ado ión
dos úan nte y y
n el ene ar o rse de
ón), nto to. la·
una ntar trol con uar
Una los
nte Hall, ves der ex- de
alor que erie
un es a
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decir veces¿CuánVaya,levan
” Ind• Ind•• In
el último nús es útil quentos dedos, el último tados.»
dica la accióndica una comndica una com
úmero que e el maestrs tengo leva
número q
de señalar. binación de e
mbinación de
hayas dichro demuestrantados? Vque he dic
errores de secerrores de pa
ho y así sabre el proces
Voy a contacho es cua
cuencia y parartición y coor
bré cuántasso mientrasarlos, a veratro, así q
rtición. rdinación.
s cosas has «piensa er. Uno, dos
que tengo
s contado.»en voz alta»s, tres, cuatcuatro ded
» A »: « tro. dos
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Re
sentaespecmedia(1983e indiconjude copreseque cel ma
SemenoobjetoMuchy Gin1974)
egla de la cda esta no
cial no lo hante un pro3) (Véase laicar (verbanto. El maentarlo coinc
enta otro couente los eestro le pid
eparación. Los conjuntosos cuando os niños cosburg, 198) Y necesita
cuenta cardoción más ahacen así (ocedimiento
a fig. 6.2). Llmente y mestro pide acide con la njunto. Se
elementos dde al niño qLos niños ss de pequese le pide
on deficienc84; Baroodyan una ense
dinal. Los navanzada d(Baroody yo de dos ea primera e
mediante unal niño que designacióle vuelve a
del conjuntoue prediga uelen llega
eño tamañoe, es que ncias mentaly y Snyder,eñanza esp
niños que edel valor cay Mason, 1etapas conetapa consin número ecuente el c
ón cardinal.dar al niño
o. Sin embael resultadr a párvulos. Si un niñonecesita unles tienen d, 1983; Sprpecial.
empiezan laardinal; muc984). Esta
ncebido poste en presescrito) la dconjunto y o Para la se
o la designaargo, antes do. s pudiendoo es incapana enseñandificultades radlin, Cott
a escuela schos niños
regla puedr Secada,
sentar un codesignacióobserve qu
egunda etapación cardin
de que aca
o separar coaz de separanza de apocon esta ta
ter, Stevens
suelen dar de educacde enseñaFuson y H
onjunto al nn cardinal
ue el resultapa, el maesnal y se le pabe de cont
on precisiónar hasta cinoyo intensiarea (Baroos y Friedm
por ción rse
Hall niño del
ado stro pide tar,
n al nco iva. ody an,
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UnpararsA Matcinco contaejemperror trabajestar cuandComoa con
Al ique hveceseste objetivdebe firmempuedeLos nalguncon epidió contaparecetiquecinco acabódetuvrecord
Esreferidrecordpuedela meno fueUna venme
no de los errse», es dectt, un niño dpara dárser los ocho lplo, véase Ra un fallo djo, es decirtan ocupad
do se le pro no recordatar todos loigual que m
hace falta us necesitamniño, la envo de la tarestimular
mente en sue instar a qniños que tos niños d
esta tarea aa un niño, rlos todos:
ciendo que etar el últimelementos
ó la cuentavo cuando sdarla e hizote error de da a la mdar más taren comparamoria de trae capaz devez liberadaendar su co
rores más ccir, no detendeficiente melos al maeslápices. CaResnick y Fde memori, no toman dos con e! reguntó a Maba e! obje
os lápices qmuchos otroun esfuerzo
mos ensayanseñanza drea y, de seal niño a u memoria ue anote eltienen la eeficientes maun cuandoFred, que «1,3,4,6, 11había reco
mo element de un total
a con la etiqse encontróo que el últi«finalizar cemoria. Aurde, el procar la serie nabajo de Fr atender si
a su atenciónducta.
comunes cuner el proce
mental, se lestro; recuerbe atribuir Ford, 1981)a, los niñonota de la proceso deMatt cuánto
etivo o no loque tenía deos niños (véo especial r o repetir ude apoyo r necesarioensayar (rde trabajo l número an
edad de emmentales (o parecen quitara tre
1 [y despuéordado e! o con la pal de nueve vqueta correó por primemo elemen
con el objetunque alguceso de conumérica dered estaba tmultáneamón del proce
uando se reeso de conte enseñarorda, saca seste tipo de). Según uns no manticantidad s
e contar, seos lápices
o tenía en selante.
éase Flavellpara memo
una informadebe recal
o, debe tamrepetir) e! antes de contes de emmpezar a aBaroody y recordar e
es objetos dés, volviendobjetivo. Ealabra «tresvolvió a comecta: «1, 2,era vez connto tuviera ltivo» puedeunos niños ntar objetosel proceso dtan copada
mente a los eso de cont
etiran objetotar cuando n ocho lápiólo cinco.» e errores a na de las henen e! ob
solicitada. Oe olvidan ddebía tom
u memoria
, 1970), es orizar infor
ación para flcar la impbién enseñobjetivo paontar los ob
mpezar a coandar (WagGinsburg, l objetivo. de un montdo a señalaEste niño ds». Cuandometer el err 3, 4, 5, 6,
n la etiquetala etiqueta e explicarse
guardan es absorbe tde separacia por el proc
procesos dtar, Fred pu
os de un cose ha llegaces y se le Sin embarun fallo de ipótesis qu
bjetivo en laOtra propuee! objetivo.ar, respondde trabajo,
posible quermación, esfacilitar e! reportancia dñarle cómo rara que qubjetos. Si hantar. gner y Wa1984) tienPor ejempltón de cinc
ar e! último deficiente ho se le pidiror de no de 8, 9, 5.» Aa buscada,apropiada.
e mediante el objetivo tanto su ateón con el o
ceso de sepde contar y udo recorda
onjunto es «ado al objeti
pidió: « Torgo, se limitmemoria (
ue atribuyena memoria esta es que. Por ejempdió: «No s Matt se lim
e Matt supies decir, queecuerdo. Pae recordarrecordarlo. uede grabaace falta, se
lters, 1982en problemlo, cuando co, se limitó
elemento] abía vueltoó que retira
etenerse, peAunque no Fred pare
otra hipótey lo pued
ención que objetivo. Coparación qude compar
ar el objetiv
«no ivo. ma tó a por n el de
e, al plo, é.»
mitó
era e a ara r el Se
ado e le
2) y mas
se ó a 3»,
o a ara ero se
ecía
esis den
no mo
uizá rar.
vo y
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Cu
apoyoniño adejamsi es nasí hadetenporquprinciel proelemeclaram
Haalguncompcardinpues,separcuent
CoCu
compal 5), 1 al 1niños compeducaque snúme
Pu(véascompesta my quedos. MGradumagnUna v
uando un no debe centanote el o
mos que lo hnecesario):asta llegar aido el proce
ue N [señapio, se deb
oceso de coentos que smente sepaay otra explios escolarerender la t
nal no se da cuando un
ración, prima cardinal (
omparaciónuando llegaaraciones ey la gran m
10. Los niñodeficiente
araciones eación de apsean manifieeros mayoreeden conse el ejemplaran la long
manera, la cda reforzadMira qué laualmente, e
nitud y que lvez hayan
iño no tientrarse en elbjetivo. A haga el niñ « ¿Es la caa la cantidaeso de con
alar el objebe ayudar aontar. Por ese han contarado. icación pares con defarea. Quiz
an cuenta dn maestro dmero deber(Baroody y
n entre maan al cursentre númeayoría ya hos de educs de nivelentre númepoyo deberestamente es como 9 óseguirse valo 6.3). En gitud o la acomparacióda por ellosarga es la fel niño irá alos número
arraigado
e problemal proceso dcontinuacióo). Luego leantidad cor
ad solicitadatar: «Nos h
etivo] es lal niño a encejemplo, setado y los q
a este tipo ficiencias má los niños
de que debedesea subsrá comprobMason, 19
agnitudeso de párv
eros separahabrá llegadcación espe intermedioeros separará empezardiferentes
ó 10; comparios juegosel juego Inltura de dosón de númes: «Tú tieneila de nave
aprendiendoos que viene
estas idea
as para rece comparac
ón, sacamoe preguntarrecta? ¿Haa. Debemoshemos paraa cantidad contrar la me puede simque no, ap
de errores mentales nos que no cen comparasanar las dbar que po
984).
vulos, casi dos y entre
do a dominaecial durano pueden ados y entrr con objeten cuanto
parar númers en los qvasores des conjuntoseros se cones ocho naves que tieno la idea deen despuésas básicas
cordar el obción. Primeos nosotrosmos (señal
ay que paras explicar c
ado en N [deque neces
manera másmplificar el artando los
y es que loo poseen lomprenden
ar lo que cueificultades osea la téc
todos lose números sar estas últite la primellegar a te
re númerostos concreta magnitudros seguido
que interviee la luna, pos de cubos ecta con in
ves espaciaes. Ocho n
e que los nús en la series, el niño d
bjetivo, la eero, se debes el primerando el nú
arse aquí?»claramente ecir el númsitamos.» Ss fácil posibproceso de
s primeros
os niños mua base con
n la nociónentan con eque tiene ucnica nece
s niños puseguidos pemas con lo
era enseñanener probles seguidos tos y númed (comparaos como 1 yenen modeor ejemplo, que encaja
ndicios percales en la lunaves es múmeros se ae numérica deberá ser
enseñanza e hacer quer elementomero anota Continuampor qué seero deseadSobre todo
ble de ejecue controlar es un mon
uy pequeñonceptual pa de la cue
el objetivo. Aun niño conesaria para
eden realiequeños (des números nza y muchemas con pequeños.
eros familiaar 1, 2 ó 3 cy 2, o 2 y 3
elos concrelos jugado
an entre sí. ceptivos clauna y yo tenmás que doasocian conson mayor
r apartado
de e el (o
ado mos ha
do)] o a utar los tón
os y ara nta Así n la a la
zar el 1 del
hos las La
res con ).
etos res De ros ngo os.» n la res. de
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actividmenta Ejemp
ObCoMa1. 2. 3.U
separpara c
InEsp
dos juespacella y determa unocinco señalencaj
CoFicEst
se jueconjuañadeconju«Domtiene
dades conalmente.
plo 6.3. Jue
bjetivo: mparacione
aterial: Varias lunaDos conjun
Una peonzarados) o uncada objetivstruccionesparcir los cugadores. ciales. El juel que conqminar la cano de los niñ
naves y Bar las distables.
Domparar númchas de domte juego, baega como entos numéren deben tnto de la fic
minó menos«9».
objetos c
egos de com
es entre nú
as (círculosntos de cuba con los nú conjunto dvo. s: círculos por Explicar qu
ugador que quiste más ntidad de nños qué jugilly tiene tretintas long
DOMINO MAmeros seguminó. Instruasado en ue! dominó nricamente etener un cocha de! extrs uno». Un
concretos y
mparación
INVASOR
úmeros del
s de papel) bos encajabúmeros del de tarjetas e
la mesa. Due los círcuhaga «alunlunas ganaaves que pgador ha hees. ¿Cuánt
gitudes (o
AS (MENOuidos (más ucciones: uno propuesnormal perequivalenteonjunto de remo de la jugador va
y se le pe
entre núme
RES DE LA
1 al 10 sep
de distinto bles de disti
1 al 10 (paen las que s
Dar un conjulos son lunizar» más a la partida. uede hacerecho alunizto es más, alturas) d
OS) UNO Obo menos u
sto en e! curo con una es para ir añ
puntos mahilera. La fi
a a añadir u
edirá que
eros concre
A LUNA
parados o s
color. into color.
ara comparase listen co
junto de cuunas y que
naves en uUsar la peo
r alunizar cazar más, pocinco o tree los dos
bjetivo: no) de! 1 a
urrículo de excepción.
ñadiendo ficayor (o meigura que suna ficha co
resuelva lo
etos
seguidos.
aciones entmparacione
bos a cadae los cubosuna luna seonza o las tada jugadoor ejemplo:
es?» De se conjuntos
al 10. Mater
Wynroth (1. En vez dechas, las ficnor) en un
sigue ilustraon «8» al e
os problem
tre númeroes específic
a uno de los son navee queda cotarjetas para
or. Pregunta: «Tú tiener necesario
s de cubo
rial:
1969-1980)e emparejachas que sea unidad a
a un caso deextremo que
mas
s cas
s s n a
ar s
o, s
), ar e al e e
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Co
contaesta eExplicnúmedel 3 para el mo«¿Qumane«que desp«¿Quvez hpara mencaprox
C) IMC
A 1. Lo
on los niñosar que puedestrategia ccar, por ejero viene deviene el 4, el niño y em
omento, el pué es másera de hace viene desués» con pué viene jushaya respoforzar al n
ciona en prximadamen
MPLICACICONTAR
continuacióos niños de
s de educacde usarse con las técnemplo: «Paespués. Pae14 es ma
mplear una procedimien, 4 ó 3? ¿
er explícita spués» es reguntas desto despuésndido el niñniño a pensrimer lugarnte).
ONES EDU
ón se resumeben domi
ción especipara comp
nicas básicaara saber ara los númayor.» Tamblista numérnto de conta
¿Qué númela conexióncontinuar
el tipo «cuás del 3 cuanño, preguntsar realmer o «sin se
UCATIVAS
men algunainar cada t
ial puede separar númeas para sabqué númer
meros 3 y 4 bién puederica o bloquar se puedeero viene dn entre la colas pregun
ál es mayor»ndo contamtarle: « ¿Y nte en la cguir el ord
S: LA ENSE
as directricetécnica pa
er muy útil eros seguidber el número es mayocontamos ser útil dem
ues encajabe interrumpdespués cuomparaciónntas sobre ». Por ejem
mos? Decimcuál es m
comparacióen usual»
EÑANZA D
es generalera contar h
indicar la edos y cómoro «que vieor, contem"1, 2, J" Y cmostrar el pbles para copir para preguando contn y la técnic
el númeromplo, se puemos 3, ¿y luás, 3 ó 4?»
ón, el númela mitad d
E TECNICA
es para la ehasta que
strategia pao se relacioene despuésos a ver q
como despuprocedimienontar. Llegaguntar al niñtamos?» Oca del númeo «que vieede preguntuego... ?» U» (nótese qero mayor e las vec
AS PARA
enseñanza. llegue a se
ara ona s».
qué ués nto
ado ño:
Otra ero ene tar:
Una que
se es,
er
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autoen ladevointegcomp
2. enseactiviespetécnic
3. ejercincomexpesentirdomide regeneactivique dentuscon usea nece
A palab Juego
Ob1. 2.RMaTa
InsEx
mática. Esa otra y sirvolver cambgrarse bienplejas. La enseñañanza de uidades concial, puedeca que se eLa enseñaicio regular
mpleto de riencia o inrán compronio de la té
epetición orerar la serie idad que tiedeberá tenesiasmo a disun títere de niño o adusita -es mácontinuació
bra, a nume
os y activi
bjetivos: Enumerar
Regla del vaateriales: rjetas con e
struccionesplicar: <<V
sto es esenven de basbios. Si las n con otras
anza de apouna técnicancretas. Ade ser importenseña. anza de apor con activilas técnicanterés. Si lometidos cocnica. Por eral para aprnumérica e
ene más seer el ejercicstintos tipos«Barrio sésulto, interesás, no debeón se preseerar y a com
dades
. alor cardina
estrellas u o
s: amos a jug
ncial porquse para téctécnicas b
s técnicas
oyo debe baa básica pademás, y tante enlaza
oyo debe ofidades de ias básicas os ejercicioon ellos y nejemplo, lorender a coen el contexentido paracio depends de juegossamo» y otrsado y ent- carecer d
entan otros mparar mag
ESTRELLA
al.
otros objeto
ar al juego
ue las técncnicas másbásicas nopara la eje
asarse en era contar ssobre todoar explícita
frecer, durainterés para
para contaos no son no alcanzars niños se contar. Los xto de enuma ellos (Fusderá del niñs que se basros podrán tusiasta. Loe interés pajuegos y ac
gnitudes.
AS ESCON
os dibujado
de las estre
nicas para s complejao son eficaecución de
experienciaea significao con pobmente activ
ante un larga el niño. Nar suele ainteresante
rán la expercansan en niños se si
merar objetoon et al., 1
ño. Muchossan en contdisfrutar coo esencial ara el niño.ctividades p
NDIDAS
os (de 1 a 5
ellas escon
contar se as como haces, no pu
e funciones
as concretasativa, deberblaciones dvidades con
go período Normalmentribuirse a es, algunosriencia necseguida deenten más
os porque s982). La fo
s niños resptar; otros pr
on el contaces que e
. para enseña
5 para princ
ndidas. Te v
basan la uacer sumasueden s más
s. Para querá basarse de educacncretas con
de tiempo, te, el domiuna falta
s niños no esaria para
e los ejercic dispuestos
se trata de uorma concreponderán creferirán jug
cto de un tutl ejercicio
ar a contar
cipiantes ).
voy a enseñ
una s o
e la en ión
n la
un nio de se
a el cios s a una eta con gar tor, no
de
ñar
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una cesconun puTaparestoy del comaneenseñ«pensbasa)
ObCo MObInsDa
bloquconjuDespusegui
Ob1. 2.SMa1. 2. U3. InsHa
al princorres(enumtécnicmátic
carta con esnderé las eunto.» Levarlas con la escondien
onjunto. Si era más fácñar al niño sando en vo).
bjetivos: oncepto de Materiales: bjetos pequstruccionesar al niño unes. ¿Cuántnto para quués de unar, en cambi
bjetivos: Enumerar
Separar. ateriales: Un tablero
Un dado (coCoches en
struccionesacer que losncipio de la spondiente
meración) ycas tambiéna diversa, d
strellas y cstrellas y, santar la primano o undo?» El niñel niño em
cil para inddirectame
oz alta» (de
cuenta card
eños que s: n conjunto tos habría ue compruea tirada, no io, el proce
.
con pista don O a 5 puminiatura.
: s niños escpista. Tirarde casillas
y las casiln pueden pde acuerdo
uentas cuási me dicesimera tarjen trozo de ño deberá rempieza a co
icar las estente la reglescribiendo
PREDEC
dinal.
se puedan c
de bloquessi los conta
ebe su resppermitir qu
edimiento de
CARRE
de carreras ntos al prin
ojan los cor el dado pos. Hacer qullas cuandopracticarse
o con los int
ántas hay. Cs cuántas eta y hacercartulina y esponder c
ontar desdetrellas que a del valor el procedim
CIR LA CAN
contar com
s (por ejemaras?» Despuesta. Tame el niño cuescrito ante
ERA DE CO
(una hilerancipio; 5 a 1
ches que mr turnos y h
ue los jugado avanzan con otros tereses de
Cuando haestoy esconr que el niñ
preguntarlcitando únice 1, pregun
se han cor cardinal dmiento y el
NTIDAD
o bloques o
mplo, cinco)spués, hacembién pueduente inmeeriormente.
OCHES
a de casillas10 para niño
más les gushacer avanzdores cuenn los coche
juegos delos niños.
yas acabadndiendo, haño cuente e: « ¿Cuán
camente el vntarle si hayontado. Si edemostrandrazonamien
o fichas.
) y decirle: er que el ne hacerse diatamente
s en espiraos más ava
sten. Colocazar los cochten los punes (separa
e tablero bá
do de contaabrás ganadlas estrellantas estrellvalor cardiny alguna otes necesardo la tareanto en que
«Toma ciniño cuente con un dad
e los puntos
l). anzados).
ar los cochhes el númentos del dadación). Estásicos de t
ar, do as. as
nal tra rio, a y se
co el
do. s y
es ero do as te-
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Ob1. 2. Ma1. 2. 3.
avanz4. InsDa
rellenlevantdebe fichascorrecvaciarextraecoloq
ObDeMaTaInsLa
(1981ojeadversiópor orabajopuestejemphastaútil padesdemás a
bjetivos: Enumerar
Separar. ateriales:
Tableros dFichas. Baraja de
zados). Bandejas p
struccionesar a cada na primero te una carttomar. Dec
s que le hancción de losr la bandejaer el númerue las ficha
bjetivos: eterminar elateriales: rjetas nume
struccionesversión bá) junto cona,,] que so
ón básica drden, encim y decir al
to boca abaplo: « ¿Qué que se hayara los niñoe el 1 y paraavanzada c
.
de juego o
e cartas con
pequeñas (p:
niño un tablsu tablero ta de la bacirle al niñon tocado ens errores dea. Hacer quro correcto.as en su tab
l número an
eradas del :
ásica de estn otros juegon útiles pae El númer
ma de la meniño que y
ajo. Señalaré carta es éya tapado cos que no pa los que co
comporta el
R
pistas de c
n puntos (1
por ejemplo
lero o una (pista de c
raja y cueno que tomen una bande separacióe el niño lo . Una vez eblero. Gana
EL NUM
nterior o po
1 al 9.
te juego se os como Wara enseñaro tapado, e
esa. Decir aya puede mr la carta an
ésta? ¿Qué cada númerpueden resonfunden eiminar los i
RELLENAR
carreras ind
a 5 para pr
o, tapas de
pista de cacarreras).» nte los pune esta cantdeja pequeñón sea menvuelva a in
extraído el a el niño qu
MERO TAP
osterior a un
describe coWalk On [«Sar númerosextender lal niño que c
mirar para anterior (posviene justo
ro una vez. sponder a eel número andicios visi
R
dividuales.
rincipiantes
plástico).
arreras. DeHacer que
tos para deidad. Haceña (este prnos confusantentar o, si número co
ue llena ant
PADO
n número d
on más detSigue andas posteriores tarjetas ncierre los ojaveriguar qusterior) a la o después [La versión esta pregunnterior con bles de la s
s; 6 a 10 pa
ecir: «Vamoe cada niñeterminar c
er que el niocedimient
a). Si se comes necesarrrecto, haces su table
dado (del 1
talle en Bleyndo»] y Peees a otro d
numeradas,os, poner uué carta escarta tapad
[antes] del 6básica es enta empezael posterio
serie numér
ara niños m
os a ver quo, por turn
cuántas fichño separe to hace quemete un errrio, ayudarler que el n
ero.
al 9).
y y Thompsek [«Echa udado. Para, boca arribuna carta bos la que se da y decir, 6?» Continespecialmeando a conr. Una versrica y requi
ás
uién nos, has las
e la ror, e a
niño
son una a la ba y oca ha
por uar nte
ntar sión ere
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que etodasqué n
ObCoMa1.
al 10 2.
InsHa
de saniños rápidocochedescase codos juido a1ordenal prinde nú
ObjCoMa1. 2.
el niño resu las tarjeta
número va a
bjetivos: omparacionateriales: Una hilera d(véase la fiCoches en
strucciones:acer que cadalida (unos
que sus coo. Hacer ques que se alificados. Slocará en la
ugadores ha15 y e! de Jn en que se ncipio y otraúmeros que
bjetivos: omparacioneateriales:
Tablero coDos fichas
uelva el pros boca abaantes o des
es entre nú
de casillas ig. 6.3). miniatura
: da jugador 15 cm a laoches van aue los niños
salgan poSi un cochea casilla enan empujadJane se hamencionan
as al final. S un número
es entre nú
on casillas es.
oblema menajo y levantspués del le
CARRE
úmeros sep
(de 15 x 75
escoja el c izquierda da echar unas den un emor el otro ee se detienen la que dedo sus cocha ido al 3. ¿n los númerSi es necesao mayor im
JUEGO D
úmeros seg
en espiral.
ntalmente. tar una de eevantado.
ERA DE NU
parados del
5 cm, aprox
oche que gde la casillaa carrera y mpujón a suextremo o e sobre unaescanse la mhes, pregun¿Qué es máros para queario, corregplica recorr
DE PERSE
guidos.
Para ello, ellas, pidién
MEROS
1 al 10.
imadament
guste. Coloca con e! núque ganará
us coches apor los lad
a línea de smayor partentar a uno dás, 5 ó 3? ¿e e! mayor sgir al niño erer más cas
ECUCIÓN
no hay mándosele al
te) con los n
car los cochúmero « 1»á e! coche qa lo largo ddos de la separación e de! coche
de ellos: «T¿Quién ganse encuentnsenándolesillas.
ás que coloniño que d
números de
hes en la lín») . Decir a que vaya me la pista. Lpista quedentre casille. Cuando u coche sena?» Variartre unas vece sobre la li
car diga
el 1
nea los
más Los dan as, los ha r e! ces sta
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3.T
mayoInsDe
Sacarnúmeotro ncada éste eMira, bloqu
D) Ge
un coautomparte de regregla de ormayopuedebásicalas deque s(por eapoyojerarqintere
Tarjetas conres para ni
strucciones:ecirle al niñor una tarjeta
ero mayor. Lnúmero inditurno, com
es el que timi ficha yaes o una lis
RESUMENenerar de pamplejo de t
mática. Cuamemorísticglas, ademde valor caden numérr de dos cen necesitaas. Duranteecenas y amse van famiejemplo, poo debe asequía de técesante.
n diferentesños más ad: o que nuesa y leer los dLa elecciónca la cantid
mentar las pene más. T está pillansta de núm
N alabra la setécnicas im
ando llegan ca de la ser
más de podeardinal pararico (númercantidades
ar una educe los primemplían su cailiarizando
or parejas) gurar que s
cnicas para
s comparacdelantados
stra ficha vados número del niño indad de casiposiciones dTu ficha toddo a la tuyaeros para i
erie numérimportantes q
a la escuerie numéricaer enumeraa resumir uros anterio. Algunos cación de aros años deapacidad decon la seriy a contar se llegue aa contar. La
ciones (del ).
a a perseguos escritos dica cuántaillas que dede las fichadavía va poa». Si e! niñlustrar la co
ca sólo es que los adu
ela, los niñoa y un pocoar y separauna enumerr y posterioniños, sob
apoyo parae escuela, e contar dee numéricaregresivaml dominio da enseñanz
1 al 5 para
uir a la suyaen ella. Decas casillas debe avanzaas diciendoor delante»ño tiene difiomparación
un primer pultos empleos suelen seo de la partear conjuntoración e incor a otro dbre todo lo dominar elos niños re
e palabra haa, aprendenmente. La ede cada comza deberá
principiante
a por el tabcirle al niñodebe avanzr la nuestra
o, por ejem, o «No, éscultades, p
n.
paso hacia ean de maner capaces e basada ens de objetocluso empledado) para os deficientestas técnicesuelven e
asta 100 y mn a contar enseñanza mponente sser concre
es; número
blero de jueo que escojazar su fichaa. Despuésplo: «Pues se no es mpueden usa
e! dominioera rutinaride genera
n la aplicacos, empleaear relaciondeterminartes mental
cas informael problema más. A medpor intervaespecial o
sucesivo deeta, intensa
os
go. a el
a; el de sí,
ás. rse
de ia y r la
ción r la nes r la les,
ales de
dida alos
de e la a e
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La directdesarconcenúmereconde copiagelas expeque
A) D
Probl
Pecoloqanterifichassi habmás. La tuytiene
A incorrcapaccomptipo d
El
Lossignifipuntoaños ejempde pe
capacidatamente a rrollo de uneptos y acero a partnocimiento donjuntos) detianos, ¿soxperienciaseños?
DOS PUNTO
lemas de c
eter, un niñoué otra filaior y, mients blancas pabía el mismPeter respoya tiene [coocho: la mípesar de
rectamente cidad para rensión de e enseñanz
punto de v
s psicólogicado de los
os de vista, de edad),
plo, Piaget, ensar lógica
De
d para copartir de laa manera s
ctitudes necir de su de pautas ee la Matemon útiles cos de conta
OS DE VIS
conservaci
o de edad pa de siete tras Peter mara que la h
mo número ondió: «Mi ontando lasía tiene máhaber cona la pregucontar de
número bieza podría m
vista de los
os ofrecens nombres los niños, son incap1965). La c
amente. Es
esarroll
omprender a experiencsignificativacesarias? experienciaen el desar
mática Modeon los niñosar en la en
TA SOBRE
ión: el caso
reescolar, cfichas bla
miraba, añahilera fuera
de fichas hilera tiene
s fichas blanás!» ntado los nta de cons
e palabra yen desarrolmejorar su c
s requisito
n dos expde los númantes de ll
paces de ccuriosa respdecir, se s
lo del n
y emplecia de con
a de contar ¿Qué puea de contrrollo matemerna o la fos pequeñosnseñanza d
E EL DESA
o de Peter
colocó sieteancas en cadí otra fichmás corta yen cada hi
e [contandoncas] 1, 2,
dos conjuservación dy enumerallada. ¿Por comprensió
os lógicos
licaciones eros y del alegar a tenecomprendepuesta de Psupone que
número
ar el númntar que tienecesita unde aprendtar? ¿Qué mático? El ormación lós? ¿Qué pade concep
ARROLLO
r
e fichas azucorrespondeha blanca. Ey pedí a Pelera o si ha las fichas 3,4, 5, 6, 7
untos, Petede la no eqar no impli
qué contarón del núme
distintas dacto de coner «uso de
er el númePeter se atre Peter care
o
mero, ¿ senen los nina adquisicer un niño
papel deenfoque caógica de loapel deben ptos numér
DEL NUME
ules en fila fencia biunEntonces ju
eter que conabía algunaazules] 1, 2
7, 8. ¿Ves?
er seguía uivalencia. ca necesar no ayudó ero?
de la comntar. Desde razón» (ha
ero y la aribuye a unaece de razo
se desarroiños? ¿ O ción previa do acerca desempeña ardinal (teoros program
desempeñricos a niñ
ERO
frente a sí. Yívoca con unté las ocntara para va que tuvie2, 3, 4, 5,6, ¡La tuya s
respondienAl parecer
ariamente ua Peter, y q
prensión duno de estacia los sieritmética (pa incapacidaonamientos
olla el
de del
el ría as
ñar os
Yo la
ho ver era
7. ólo
ndo r, la una qué
del os
ete por ad s y
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los cosignifide la Loweo nad(1965aritmésignifiDesdemane
El requiscompconjuconjuU, s,
Cojerárqpor tatres rodeberembade clevideconse
Adequivcorresestabequivmatemmatem
El la lógrelaciPiageel fun
onceptos lóicativamentdesigualda
, 1962) handa que ver 5) afirmabaéticos a muicado. Ni se este pun
era significa
modelo casito previo
prender el snto, es decnto correctS y O, pero
omprender quica o «incanto, es mayosas y cincría respondargo, los niñlases (por ncias de qecuencia, sdemás, la valentes. Lspondencia
blecer una valencia y mática formmáticas.
modelo de gica de laones de e
et estaba dendamento p
ógicos necte. Como cad o la desn llegado a
con el desa que los uy corta edasiquiera la nto de vistaativa de con
ardinal. Sego, los niñosignificado cir, a clasifto. Por ejemo no L, v, Vla lógica d
clusión de cyor que cua
co violetas yder que la ños pequeñ
ejemplo, que los niñson incapac
lógica de La equivala biunívocacorrespondla corresp
mal, se cons
Piaget. Segs relacionequivalenciae acuerdo epsicológico
cesarios pacontar no imsigualdad, la conclusiósarrollo de niños apre
ad y que senumeració
a, el desarntar depend
gún uno deos deben esencial de
ficar objetomplo, un co, F Y #.
de clases tclases»: unaalquier subcy se le preg
clase (floños tienen Piaget, 19
ños pequeñces de com
clases coencia de
a: Dos conjudencia biupondencia sideran el f
gún Piaget es (seriacia y, a consen que la ede la com
ara un conmplica tenealgunos psón de que lun concep
enden a ree trata de aón garantizrrollo de unde de la evo
e los modeentender
el número. s para pod
onjunto de f
también rea clase es laclase. Por egunta «¿Hares) es mádificultades
965). Estosños no capprender veomporta c
dos conjuntos pertenívoca entbiunívoca
fundamento
(por ejempón) y la csecuencia equivalenciaprensión de
ncepto del r éxito en tsicólogos (la experienpto numéricecitar la sctos complza una comn conceptoolución del
los que esla clasificEsto impli
der asignar formas curv
quiere coma suma de ejemplo, si aay más violeás que la s con estoss resultadoptan la lógirdaderameomprenderjuntos se necen a la tre sus ele, que sono psicológic
plo, 1965), lclasificaciónde ello, el a (la corresel número.
número ytareas· de cpor ejemplcia de contco. Por ejeserie numéetamente vmprensión o del númepensamien
stablecen lacación anteca aprendecada uno
vas puede
mprender lasus partes a un niño seetas o hay subclase (
s problemaos se hanca de clas
ente el númer la idea
define mmisma clas
ementos ren el fundaco del apre
os niños den para cosignificado
spondencia Sin embar
para contconservacióo, Wohlwilltar tiene poemplo, Piagérica y datverbales y s
del númerero y de unto lógico.
a lógica coes de poder a definir de ellos a incluir c, C
a clasificac(subclasese le presenmás flores
(violetas). Ss de inclus considera
ses y que, ero. de conjun
mediante use si se pueespectivos. amento de ndizaje de
eben entenmprender
o del númebiunívoca)
rgo, creía q
tar ón l y co
get tos sin ro. na
mo der un un
, u,
ción ) y, tan ?», Sin
sión ado
en
tos una ede
La la
las
der las
ero. ) es que
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compclasifelemepalabeleme
Dede setodosdiferenúmeuna clos nentenúnica
Pasignifipensaclasifidel decompllegadnada»
Piaextraoadquilas cosignificantidequivmodifequivtransfconsecuand
El
Unconse
prender la icación comento de cad
bras, para eentos que he la misma meriación y ds sus elemenciar denteros formanclase que cúmeros ma
nderse ~n téa de concepra Piaget (icativa de camiento. Licación y cesarrollo meprender el ndo a él sí p». aget (1965)ordinaria psición del p
orrespondeicativa de dad indicabalencia) defica la relacalencia (nformacioneerva se da do varía su
punto de v
n punto de vervación es
correspomo la seriada conjuntoestablecer uhan emparemanera, Piade clasifica
mentos comro del conj
n un orden yontiene comayores). Eérminos de ptos lógicos1965), el decontar estáLos requiscorrespondeental. Los nnúmero ni cpueden hac
) afirmaba qporque señpensamienncias biunívcontar. Má
ba la compe dos conjunción de equno equivas no relevacuenta deaspecto fís
vista basad
vista altern el resultad
ondencia bación. Por o, y luego euna igualdaejado mediaaget consid
ación. Por emo miembrjunto el priy constituyemo subclasn resumenun único co
s (Sinclair yesarrollo deá ligada a lsitos lógicoencia biunívniños que nocontar signifcerlo. Por
que la consñalaba la lto lógico; lavocas; un vás concretarensión de ntos, los cauivalencia alencia) seantes en la e que el núsico.
do en cont
ativo consio de un con
biunívoca ejemplo,
el segundoad, los niñoante la impderaba que ejemplo, enros de la mer eleme
en una jerarses uno y dn, Piaget aoncepto lóg
y Sinclair, ee la comprela apariciónos del núvoca) aparo han llegadficativamentanto, el n
servación dlegada al a comprensverdadero camente, se
que una vambios en l(no equivae conservapariencia
úmero de e
tar
dera que lanocimiento
implicaba igualar imp, el tercero
os tienen quosición de el número numerar unmisma cla
ento, el segrquía de clados (y, a suafirmaba qugico sino qun prensa). ensión del nn de un esúmero (corecen con edo al estadinte, mientraúmero es u
e la cantidaestadio op
sión de lasconcepto deegún Piagevez establea configuralencia). Es van a traa física de uelementos d
a dificultad incompleto
comprendplica obser
o, el cuarto,ue llevar la un orden. es la uniónn conjunto ase y al mgundo, etc.ases. Por ej vez es una
ue el númeue constituy
número y dtadio más
onceptos del «estadioio operacioas que los nun concept
ad tenía unperacional,
s clases, lasel número;
et la conseecida la equación de los
decir, las avés de un conjuntode un conj
de Peter coo de cómo s
der tanto rvar el prim, etc. En otcuenta de
de concepimplica tra
mismo tiem Además, emplo, tresa subclase ero no pueye una sínte
e una manavanzado de seriaci
o operacionnal no puedniños que hto de «todo
na importan es decir:s relacioney una man
ervación deuivalencia s conjuntosrelaciones cualesqui
o. El niño qunto no va
on la tarea se debe con
la mer tras los
ptos atar mpo
los s es
de ede esis
era del ón,
nal» den han o o
ncia la
es y era
e la (no no de
era que aría
de ntar
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y no d(por econtaniño. graciade dede coresult
Dese detécniclos prpara núme1983;compprocecreciedesaraños Sinclanúmede las
ConcAl
mome(Ginscinco»de 3 juegaverse(y sólnombpuedehabla1982,
de una comejemplo, G
ar es esencEl número
as a un camesarrollo meontar aductado directoesde este pesarrollan dcas para coreescolaresdescubrir o
ero y de co; von Glase
prensión deedimientos pente sofisticrrollo de téc
algunos pair, en prenero sería pss actividade
ceptos relaprincipio,
entos, contburg, 1982» mientras años de en a algo. A acompañalo una part
bres de los en aprender ya de con p. 196).
mpleta incaGelman, 197cial para el o no se conmbio generaental). En ce que la c
o de las exppunto de visde maneraontar y concs suelen apo construir ontar (por eersfeld, 198el númeropara contarcación desecnicas y conpiagetianosnsa) han llegicológicam
es de conta
acionados clos niños
tar no pare). Por ejembaja saltan
edad recitaAl parecer,
adas por la rte de la senúmeros so
er a decirlanceptos abs
apacidad pa72; Zimilesdesarrollo
nsidera un al en la macambio, el mcomprensióperiencias dsta, los cona gradual, ceptos de u
prender a emgradualme
ejemplo, Ba82; Wagnero y de cor de una maemboca ennceptos est
s (por ejemgado a la cente incom
ar.
con contarse limitan
ece ser nadmplo, Ariannndo cuatro r nombres , Arianne hrecitación drie numéricon palabras
as mucho astractos qu
ara pensar s, 1963), ha
de la comconcepto tnera de pemodelo queón del númde contar. nceptos numpaso a pauna sofisticmplear los
ente significaroody y Gr y Waltersontar, los anera cada n una comptá entrelaza
mplo, Elkinconclusión dmpleto si no
r n a recitar da más quene, a los 22
escalones.de númer
ha aprendidde nombresca correctas y, como oantes de foue asociar a
lógicamenan llegado
mprensión dtipo «todo nsar de lose basa su emero evolu
méricos y caso, y son cación cadanúmeros d
cados cadaGinsburg, e, 1982). A niños aplvez más so
prensión maado y, de hed, 1964; Pde que un ase tuviera e
nombres e un sonsomeses, ca
. Ha oído aos mientrado que cies de número) seguido pocurre con ormar [imága las misma
te. Algunosa la concl
del número o nada» q
s niños (unaexplicación ciona lenta
contar signel resultad
a vez mayode una mana vez más n prensa; medida queican el nofisticada. Aayor, etc. Eecho, duranPiaget, 197análisis del en cuenta la
de númeronete carennturrea «do
a sus hermaas bajan lasrtas activid
os. Imita el ppor sus heotras palabgenes menas ….» (vo
s psicológiclusión de qpor parte
ue es posia nueva etaen la mane
amente co
ificativamedo de aplir. Al princip
nera mecánprofundos Fuson y He aumenta úmero y A su vez, e
En el fondonte los últim77; Sinclaidesarrollo a contribuc
ros. En esnte de sentos, cinco, danos gemes escalerasdades puedprocedimiermanos. «L
bras, los niñntales], por n Glasersfe
cos que del ble
apa era mo
nte car pio, nica del
Hall, su los sta , el
mos r y del
ción
stos tido dos, elos s o den nto Los ños no
eld,
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Al
conjuetiqueemplehacenimplicse emconjusiguie PADR
ARIANPADR
ARIANPADRARIAN
Parespoacto enúmepregumuy pLos p(por eciclo maplica
Pritécnicimporaprenque n
principio, ntos. Por etando objeear una etin preguntasca respondemplean parnto de otr
ente conver
RE: [d
NNE: DRE: [
dNNE: DRE: [NNE: D
arece que onder a pregenteramenteros como uunta cuántopronto entrereescolares
ejemplo, Gemedio reco
ables a activ
incipio del cas para cortantes en nder los primno empleen
los niños ejemplo, A
etos mientrqueta paras del tipo er con un nra designarros conjunrsación entr
[Señalandodibujo? Dos. [Señalandodibujo: Dos. [SeñalandoDos.
«dos» es guntas del tte verbal y una clase eos hay o cuae las palabrs sólo empelman y Gaonocen siemvidades de
orden estaontar y refle
sus accionmeros términ los mismo
pueden hArianne paas busca e
a cada elem«¿Cuántosúmero, perr el valor cntos con dre Arianne
un dibujo c
un dibujo c
un dibujo c
la respuestipo «¿Cuásin significa
especial de ando se le ras que sonlean letras
allistel, 1978mpre los núcontar (Ba
able. Con eexionan sobnes de coinos de la s
os términos
hacer enuarece disfrentre sus jumento o des hay?», saro todavía ncardinal de distintos vay su padre
con dos ga
con tres per
con un gato
sta «comoántos hay?»ado. Obsérpalabras. Spide que c
n para contamuy rara v
8). Incluso úmeros comaroody y Gin
el tiempo, abre ellas, antar y en
serie numérs o el mism
meracionesrutar, a suuguetes; noe resumir laabe que elno parece a
un conjuntalores card:
tos.] ¿Cuán
rros.] ¿ Cuá
o.] ¿Cuánto
odín» para ». En estos rvese, no oSólo empleuente. Los ar y las que
vez cuando los niños lemo una clansburg, 198
a medida qprenden a los númer
rica de memo orden cu
s sin intenus dos año hace ninga cuenta. C procedimi
apreciar queto y para d
dinales. Co
ntos gatos
ántos perro
os hay?
Arianne amomentosbstante, qua númerosniños pare
e no (Fusonse les pide
evemente dase especia84).
que los niñdescubrir r
ros. Los nimoria. Al priando recita
ntar numeos de eda
gún intento Cuando seento correce los númerdiferenciar onsidérese
hay en este
s hay en es
a la hora , contar es
ue ya trata cuando se
ecen distingn et al., 198e que cuentdeficientes dal de palabr
ños usan sregularidadiños parecncipio, pue
an números
erar ad, de
e le cto ros un la
e
ste
de un los
e le guir 82). ten del ras
sus es en de s o
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cuentempecuentnombestipuherenla secpero ssiemppropia
PrinpuedellegarMás aun cointentde cootros.princiun mi
Princonjugenerde unúnicasistemcomoconjuPrice,conveferencejempetiquedifereprinciel prin
tan objetosezaba desdeta implícitambres de los nula que parnte. Los niñcuencia nusiempre depre usa la sa versión («
ncipio de coen recitar nr a desarroadelante, punjunto una to genuino dontrol de los. A una edpio como ésmo objeto
ncipio de unntos para dren una secn conjunto, s. Por ejem
mática y emo no todos sntos de tre, 1983). Incencionales,ciadora de plo, el empletaría erróenciaría depios de ordncipio de un
. Por ejeme el uno pamente, o hnúmeros enra contar esos cuyas a
umérica cone manera cecuencia co«1, 2, 3, 4,
orrespondencnúmeros -collar una cieueden darsvez y sólo ude enumeras elemento
dad tan coréste para do o saltarse
nicidad. Comdiferenciarlcuencia estsino tambi
mplo, un nmplear estsus elemens y cuatro cluso cuand la apreciaccontar) le ieo sistemáneamente
e conjuntosden estable nicidad.
mplo, cuandara contar chasta explícn el mismo s indispensacciones esnvencional
coherente (orrecta del 5, 6, 8, 9, 1
cia. Como romo Ariann
erta eficaciase cuenta duna. El prinar conjunto
os contadosrta como loetectar erro alguno (Ge
mo una funcos o compable y asignén que em
niño puede tas etiquetantos están delementosdo un niñoción del primpediría e
ático de la seconjuntos
s con meny de corres
do Alexi tenconjuntos. Tcitamente, orden cadaable el esta
stán guiadao una sec
Gelman y Guno al diez
10, 18») pa
resultado dene- mientraa en la enue la necesi
ncipio de cos y guía loss y por conos tres añoores de enelman y Me
ción de conpararlos, esnen una eti
mpleen una usar la se
as en una diferenciado(con la des tiene que ncipio de uscoger térmecuencia n
de cuatronos elemespondencia
nía tres añoTarde o temde que con
a vez. El priablecimient
as por este cuencia' prGallistel, 19
z en tanto qra contar d
e la imitacióas señalan umeración ddad de etiq
orrespondens esfuerzosntar, como os, los niñoumeración eck, en pre
ntar es asigs importantequeta, y sósecuencia ecuencia «
corresponos, etiquetasignación crecurrir al
unicidad (cominos emplo convencio elementontos. Por
a, es import
os de edadmprano, los ntar requieincipio del oto de una sprincipio puopia (no co978). Por eue Carol usiez objetos
ón, al princobjetos y hde conjuntoquetar cadancia subyacs de construseparar losos parecencomo contnsa).
nar valorese que los n
ólo una, a cade etiqueta
«1, 2, 3, 3»ndencia biuará de la mcardinal «3»empleo de
omprender eados prevonal «1, 2, os pero atanto, adeante que lo
d no siempniños se d
ere repetir lorden estabsecuencia cueden utilizonvencionaejemplo, Besa siempre .
cipio los niñhasta puedos pequeñoa elemento ce a cualquuir estrategis unos de ln emplear tar dos vec
s cardinalesniños no sóada elemenas distintas» de mane
unívoca, pemisma mane
») (Baroodye términos la función
viamente. P3, diecioncl menos l
emás de los niños sig
pre an os ble co-zar al), eth su
os en os. de ier as os un
ces
s a ólo nto s o era ero era y y no di-
Por e» os os an
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Prin
conjulo quehora dbolaselemede losun blocreama todo
Prinfácilmen el embaadecudecir,desigvuelveejemppara e...5, 1pregunoció
Losactividjugueconse
Pricontaque s(Barocuatroque evolviófichascontósultad
ncipio de anto para poe puede agde contar, u: ● ● ●) o entos distints elementosoque se pumos un conjos los elem
ncipio del vmente la téc
último númargo, el emuada del va no significna la cantide a contar dplo, un niñoenumerar q19, 14, 12, untó la cann de «tres»s niños puedades de ctes, los des
erva la mism
incipio de la r también se enumeranody, 1984do o cinco añel resultadoó a encontrs en círculo el círculo d
do. Al cont
abstracción. oder contargruparse paun conjuntodistintos (ptos en un cos y clasificaeden consjunto de ele
mentos.
valor cardinnica de con
mero contadmpleo de laalor cardinaa necesariadad del condespués deo deficientequince obje
10, 9, 20 tidad de e
» no excluíaeden constrcontar. Cuasparrama yma designa
irrelevanciase descubrn los elemed). Considéños- contab
o sería el mrar que erao, las volvióde fichas entar los ele
Los niñosrlo. El princara formar
o puede estapor ejemploonjunto, el
arlos como «iderar com
ementos dis
nal. Medianntar denomido en respua regla del al en sí (Fuamente quenjunto y que modificar e empleabaetos, pero e
,49, 1,2,3»lementos ra conjuntosruir el princ
ando, por ey los vuelveación (cardi
a del orden. Pre el principentos de un érese el caba una hile
mismo, volvn diez. Inteó a contar n dirección
ementos de
s también ipio de absun conjuntar formado o, bolas, esniño debe p«cosas» (po una, dos stintos enco
nte la imitainada regla uesta a unavalor card
uson y Halle el niño seue un conju
la distribuca correctamempleaba la» (Baroodyrespondió ss cinco vececipio del valejemplo, un e a contar, nal) a pesa
Parece quepio de la irrconjunto n
aso descritra de diez f
vió a contareresado poy volvió a opuesta pa
e varias m
deben aprstracción seto (Gelmanpor objetos
strellas y ppasar por aor ejemplo,y tres cosa
ontramos (a
ación, los del valor ca
a pregunta dinal no ga, 1983; Vo
e dé cuenta unto tendrá ción espacia
mente la coa siguiente y y Ginsbursatisfecho: es más gralor cardinalniño cuen
puede desar de su asp
e al reflexiorelevancia do afecta a so por Piagfichas. Comr las fichas
or este resuencontrars
ara acabar maneras, es
render cóme refiere a lan y Gallistes similares alos: ● ⃰ --)lto las difere, una bola, as). En el foabstraemos
niños puedardinal, es dsobre una
arantiza unn Glasersfede que el úla misma c
al de sus errespondensecuencia rg, 1984). «¡Tres!» A
ndes! reflexionanta una colecubrir que pecto («tres
onar sobre ldel orden «su designacget (1964). mo no se da
en direccióultado, el nise con diezobteniendoste niño d
mo definir a cuestión l, 1978). A (por ejemp
). Para inclencias físicuna estrellaondo, cuans) algo com
den aprenddecir, basacantidad. S
a apreciaceld, 1982). último térmcantidad silementos. P
ncia biunívonumérica: Cuando se
Al parecer,
ndo sobre sección de tuna coleccs»).
a actividad«<El orden ción cardina
Un niño --aba cuentaón contrariiño colocó z. Finalmeno el mismo descubrió u
un de la
plo, uir
cas a y do ún
der rse Sin
ción Es
mino se Por oca «1,
e le ¡la
sus tres ción
de en
al») -de de a y las
nte, re-
una
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intereordendesig
Co
Unrefierecompaccióndos cresultmismprobaconjuetiqueincluyniño pcorresetiqueaspecaplicao men
Anespecespeces proun niño tresmás diferedos bde qubloqurepeticonclumayotérmin
esante propn de su enación card
onceptos de
na vez el niñen a un solicados comn de contar
conjuntos stantes son io número
able que losntos pequeetar con la pyendo parespuede ver esponden eetados con cto físico (arse posterintalmente ctes de llegcificar difecificar «másobable que ño puede es caramelosque 1. Al
encias perceloques («un
ue hay «máes!») y encidos de estusión de qr de dos núno para con
iedad de lanumeracióndinal del co
e equivalenc
ño ha llegadolo conjuntomo la compr para descuson igualesdénticos, pde objetoss niños deseños de unpalabra «dos naturalesen seguidaentre sí, p
la palabra (por ejempiormente a con facilidadar a la escrencias ens» o «menoprovenga dncontrarse s. El niño p
contar caeptibles en no, dos-dosás». Luegocontrar quetos dos tipoue: a) se a
úmeros siemntar es más
as acciones n no tenía
onjunto.
cia, no equi
do a domino, la acciónparación deubrir que la o no. Si u
puede llegars a pesar dscubran esno a cuatroos» varios p de cosas (
a que estospueden lleg
«dos» sonplo, Schaefconjuntos md.
cuela, los nntre conjuos» (ordenade jugar coante la opc
puede ver fáda conjuntcuanto a m
s bloques») puede vol ahora, la eos de expeasocian dismpre vienes que el térm
de contar: an importa
ivalencia y
ar estos con de contare dos conjua aparienciaun niño cur a la conclude sus dife
sta noción no elementopares de co(por ejempl
s conjuntos gar a la c equivalentffer et al., mayores qu
iños tambiéntos (no
ar conjuntosn conjuntosción de escácilmente qto, se asoc
magnitud. O), luego añalver a contaetiqueta nueriencias costintos núm después emino que le
la distribucancia a la
magnitud
onceptos bár puede ap
untos. Tamba no es pertenta dos cusión de querencias ennumérica fuos. Por ejeosas (por ejlo, ojos, bracompuesto
conclusión tes a pesar
1974). Esue el niño n
én aprendeequivalenc
s según su ms de pocos
coger entre que 3 es mácian etique
Otro niño, poadir uno máar los bloqmérica es
oncretas, umeros a maen la secuee precede e
ción de los ehora de
ásicos para plicarse a cbién puedeinente para
conjuntos yue los conjun cuanto aundamenta
emplo, los emplo, bloqazos, gemeos de cosa
de que lr de las difesta compreo puede co
en que el ncia) y emmagnitud). elementostres cestosás que 1 ó etas numéor ejemplo, ás y llegar aues «uno, «tres». A pn niño pue
agnitudes dncia de conen la serie n
elementos ydeterminar
contar quecontextos me emplearsea determinay los númeuntos tienena aspecto. al jugando cniños puedques o dedelos). Comoas distintas los conjun
erencias deensión pueomparar vis
número pueplearse paTambién e. Por ejemp
s con uno, d2, y que 2
ricas a espodría con
a la conclusdos tres-¡t
partir de casede llegar adistintas; b)ntar, y c) canumérica.
y el r la
e se más e la ar si ros n el Es
con den os) o el
se tos
e su ede sual
ede ara sto plo, dos es tas
ntar ión res sos a la ) el ada
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Co
núme«uno,que vasociapuedededo)conjupara d
CoequivEstosindicioComoalargaque llque osuficiepuedecalibr
Auo no ede emrazonbase sicamrelaciAnte hileray llegaser, pañadesi se númede cológica(Gelm
ontar con loero. Cuando
dos, tres..van contandada a la poen llegar a ) más que ntos pequedeterminar
onservaciónalencia, la
s criterios nos perceptio resultadoa o se acoregó a la cootra, más entes para e que este par la magnn después
equivalencimplear estanes. En prim
para emplmente (por
ón inicial desta incerts de longituar a la conc
pues, que loe algo a la mcree que l
eros especíonservacióamente sobman y Gallis
os dedos puo los niños.) pueden v
do. De esta osición dent
darse cuen2, etc. En
eños con los«cantidade
n de la cantno equivalenuméricos ivos como
o, los niñosrta duranteonclusión dcorta, con comparar
preescolar itud relativade haber aas y hacer as reglas emer lugar, plear reglas ejemplo, ae los conjuidumbre, pud desigualclusión de qos niños qumisma. Adelas dos hileficos es unn no implbre las relastel, 1978).
uede desem cuentan c
ver que el nmanera, lo
tro de la senta de queresumen, cs dedos, loses iguales»
tidad. Con eencia y la mprecisos libla longitud
s dejan de e una tareade que su h
ocho fichacon exactitno hubiera a de dos coprendido recomparacio
en una tarepueden no numéricas
alargándolauntos (quizáueden vers, pueden ec
que la hileraue no conseemás, la noeras son igna proposicica necesaaciones de
mpeñar un con los dednúmero de dos niños puerie numéric 2 es 1 (un
como results niños pue, «cantidad
el tiempo, lamagnitud peberan a losd cuando h
despistars de conser
hilera larga as, no habtud dos númaprendido
onjuntos releglas numéones entre ea de cons
pensar ens. Cuando a) los niñosá las dos hse abrumadchar mano a más largaervan crean conservac
guales al pción dudosaariamente e equivalen
papel clavdos (extenddedos es caeden reconca. Al contan dedo) mátado de susden aprend
des distintas
as reglas nermiten a los niños de acen comp
se cuando rvación de (con siete
bía tenido meros segumétodos o ativamentericas para dmagnitudeservación d
n contar y, una hilera
s pueden hileras no edos por losdel criterio
a tiene más n en realidación sólo es principio, coa para los n
que un nncia si cue
ve en este diéndolos mada vez manocer que laar con los dás que 1, qs experiencder reglas ds» y «más»
uméricas ps niños podtener que
paraciones una hilera la cantidadfichas) tenexperienci
uidos. En otécnicas nu
e grandes. determinar s, los niñose la cantidpor tanto, c
a se ha trano estar s
eran igualess indicios vi
perceptivo (Acredolo,
ad que alarguna contra
osa que sinniños pequniño no puenta y emp
desarrollo mientras dicayor a meda magnituddedos, incluue 3 es 1 (cias contan
de numerac».
para evaluader conserv
depender cuantitativde fichas
d. Quizá Panía más fichas de contras palabruméricos pa
equivalencs pueden dead por varcarecen densformado
seguros des de entradisuales de de la longit1982). Puegar una hile
adicción lógn contar y eños. La faueda razonplea núme
del cen ida va
uso (un ndo ción
r la var. de as. se
aul, has ntar ras, ara
cias ejar rias e la
fí-e la da). las tud ede era ica sin
alta nar ros
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En
tenganuméconsecompdesarmismapuedepara criteri
Tasofistinuevacantidcuyo parecpara dempledistingque lade ellintegrun juic
Otrconseadultorepetiequivadistribniños corresconcr
Enequivaconcrrealiza1972)facilitaO'Don
segundo luan suficientérico en vervación dearar cantida
rrollo de una etiqueta e resolver él. Un niñoos y responrde o tempicada que ina regla espdad mayor caso se tr
cen resolvedarle una foeando indicguir entre uas diferencias es largarantes muchcio numéricros niños nervación deo plantee udas de conalentes, esbución espa
infieren uspondenciaretas, basad realidad, alencia/no reta de conar sus juic). Además, a la adquisnnell, 1974
ugar, y aune confianzaez de pe la cantidadades («Si una regla ba
numérica, el conflicto
o con algo nder de marano, los nintegra la repecifica: «Sa menos qrata de hil
er el conflicorma más scios percepun conjunto ias no son a pero con ho más agrco. ni siquiera e la cantidana preguntntar, sabensta equivaacial (Lawsna regla d
a biunívocadas en núm
hay mucequivalenctar. Los niñ
cios sobre la enseña
ición de la 4; Starkey
n si piensana en sus rrceptivo (pd provoca uuna hilera esasada en c
es que tieo simplememás de ex
anera incohños resuelv
egla numéricSi una hileque al contaeras con l
cto cognoscsistemáticativos cuandde seis veclaras (por los integranrupados), la
tienen quead. En realta cuya resn que si nolencia permon, Baron ye equivale
a que commeros especchos datoscia se desaños pequeñla conservnza o el deconservaciy Cooper,
n en contarreglas numpor ejempln conflicto s más largaontar («Si
enen cantidente recurrixperiencia perente. ven el conflca y la basa
era es másar se obtena misma ccitivo reorg
a. De esta mdo las diferlas y otro dejemplo, d
ntes separaa regla indic
e contar palidad lleganspuesta es o se añademanece coy Siegel, 19ncia relativ
mplementa cíficos (Ges que indarrolla en loños suelen vación de lesarrollo deón de la ca, 1977). C
, puede quéricas paralo, Gelmanentre la rega que la otrase cuentan
dades iguaendo al crpuede vers
icto ideandada en la pes larga quenga la mismcantidad.» ganizando manera, losrencias sone dos) (Zim
dos colas paados y la oca la neces
ara conservn a pensar tan obvia.
e ni se quitonstante po974). Es devamente absus reglaslman y Galican que
os niños a ponerse a
a cantidade técnicas antidad (Beiertamente
e los niñosa basarse n, 1982). gla que tienea es que tien dos hilerales»). Un n
riterio percese dividido
do una reglaercepción. Ee otra, puema etiqueta
Básicamenla informac
s niños puen evidentes miles, 1963)ara el cine tra es cortasidad de co
var. Dan pque es exA partir de
ta nada a dor mucho
ecir, tarde obstracta bas de equivlistel, 1978la regla partir de s
a contar comd (por ejemde numera
earison, 196, parece q
s pequeños en un criteLa tarea
e un niño paene "más") yas y tienenniño pequeeptivo famientre los d
a nueva y mEn el fondo
ede tener unumérica,
nte, los niñción existe
eden continu(por ejemp
). En casos en donde ua pero con ontar y reali
or sentadaxtraño que e experiencdos conjunque varíe
o temprano asada en uvalencia, m). abstracta
su experienmo base pa
mplo, Gelmación precis69; LaPointque los niñ
no erio
de ara y el n la eño liar
dos
más o, la una
en ños nte uar plo, en
una los zar
a la un
cias tos la los
una más
de ncia ara an, sas te y ños
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peque(cons(consGrize
Asde coequivvimosvisuacuatropuedeproporeglasrelaciniñosrepresde regque igequiv
Conc
Mecambcardinañadienumpara do ver «tres»1982)una gconta
Denumé
1 S«subiti«repenun es[directa
eños suelenervación cervación c, Papert y Pí pues, seg
ontar es laalencia, nos en el calmente y do elementoen adjuntarorciona la bs más abstones numé suelen depsentada poglas relativgualar, la valencia, no
ceptos aritm
ediante las iar un núm
nal de un cor o quitar eración o pdarse cuencon rapidez», etc. (Bar). De maneralleta de unr y aument
escubrir los éricas eficacSubitize en eizar»/ «subitntizar»/ «repestímulo visuamente]»/«ca
n pasar porcon «verificon «certezPiaget, 196gún el punto clave par
o equivalencapítulo n, indeterminar s) son equirse a estos base para tractas (ba
éricas existepender de c
or la tarea dvamente abvía natural do equivalenc
méticos bá
experiencmero. Si loonjunto, cie
objetos). pueden capta de relacz que añadroody y Whra similar, un conjunto dar o disminefectos de
ces. l origina!. Seización» (de
entización». Dal no estru
aptación [dire
r una etapacación empza lógica» 0; Green y
o de vista cera hacer excia y ordenncluso los de maneravalentes o conjuntos formular re
asadas en entes entre contar para
de conservastractas. Ede los niñocia y orden
ásicos
ias de cons cambios rtos tipos dCuando l
ptar directaiones aritmir un bloqueite, 1983; G
un niño puede tres, que
nuir en una e añadir o q
e trata de uerivado de sDado que signucturado sincta]». (N. del
a en la que pírica») ant(Apostel, MLaxon, 197
entrado en xplícitas y n de magnit
niños de a intuitiva sno. Contar pequeños.
eglas numéla equivalecantidades
a averiguar ación de la n pocas pa
os para lleg con númer
ntar, los nide orden
e transformos niños
amente1 paméticas impo
e a otro es Ginsburg y ede determiedan dos. Nunidad.
quitar una u
n neologismsúbito) y qunifica captar dn tenerlos q
T.)
se basan ees de con
Mays, Morf 70). la manera ampliar las
tud (Baroodseis mese
si unos conproporcion Es la expeéricas explencia) paras mayores. relaciones cantidad, yalabras, pagar a compros no intui
ños tambiéo distribuc
mación sí qullegan a s
autas numéortantes. U«dos» y quBaroody, 1nar o ver e
No hay más
nidad depe
o que podríae, en ocasiirectamente eque contar,
en contar pservar por y Piaget,
de contar, s nocionesdy y White,es pueden njuntos peqna etiquetaseriencia de ícitas y, po
a razonar ePor tanto, ade equivale
y sólo despurece que crender las tivos.
én descubrción no altue lo hacenser compeéricas, están niño pued
ue añadir ot1983, y Vann seguida qs que una fi
ende de una
a traducirse ones, se ha
el número de se traducir
ara consercomprens1957; Gre
la experiens intuitivas 1983). Coinspeccion
queños (has verbales q
contar lo qosteriormenen torno a al principio encia comoués dependontar es, mrelaciones
ren qué hateran el va (por ejemp
etentes en án preparadde determintro más hacn Glasersfeque si se quna línea en
as técnicas
literalmente a traducido puntos que tirá por «ca
rvar sión eco,
ncia de
mo nar sta
que que nte, las los
o la den más
de
ace alor plo,
la dos nar cen eld, uita ntre
s
por por ene ptar
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A p
aritméexperaumedismiba a cinco éstosproceestabA cauque,
Code maprimeenseñejempminaddesigsuelebandemostrganady, natesper
Latransfque nen foro susformaganadningu
Luy no pertinganaddos bhabía
partir de suséticos básiriencias inentativo (añnución (quiasistir al ja(4 + 5). Re son los n
eso aumentba bien. usa de su coal menos, f
onsideremoagia» desa
era etapa dñan a un niplo, una bador señala na como «
en contar oejas se corarse al niñdora (por ejturalmente,ra encontra
a segunda formacioneno afectan armación triastituye un aciones perdora (por e
una bandejauego se reg
pertinentenente para dora. Sin ebandejas y a ocurrido, l
s experienccos, pero gformales ladir algo a tar algo de
ardín de infeplicó: «Si úmeros. Stativo, Aaro
oncepto inffuera algo mos también arrollada poe la tarea eño dos ban
andeja con una de las
«la ganadoo darse culocan detráo. Entoncejemplo, la b, encuentra
ar a la ganadetapa de
es. A vecesa la cantidaangular tresratón por urtinentes paejemplo, aña sea la ganistraba la re
es para la la cantida
embargo, lono podíanos niños de
cias informagenerales. los niños una cantiduna cantida
fancia se lelo tuviera qeis o sieten sabía que
formal de lamayor que la reacción
or Gelman establece l
ndejas con dtres ratone
s bandejasora». Aunquenta de laás de una es, el niño tbandeja cona la ganadodora, si no ela tarea m
s el examinad: cambia s ratones quun objeto dara la cantadir otro ranadora). eacción de
cantidad. d: la gana
os niños se encontrar ecían que s
ales de conMás concrconsidera
ad dada) y ad dada). P
e preguntó que adivinae.» como ce dar uno d
a adición, Aacinco. de unos pr(Gelman, 1a importandistintas caes y otra c
s (por ejemue no se la cantidad
pantalla, srata de escn cuatro ratoora. Este pen el prime
mide la reaador realizla posiciónue estaban diferente. Atidad: añadatón de jug
los niños a Los niños
adora (por e sorprendíla ganado
se había añ
ntar, los niñoretamente, n la adicla sustracc
Por ejemplocuánto pen
ar, diría queconsiderabade los suma
aron reajus
reescolares1972; Gelmcia de un n
antidades don cuatro).plo, la quees indica qde ratones
se tapan, scoger la gaones) se da
proceso se r intento, seacción del za transform de las figuen fila), alt
A veces, reir o sustraeuete a la b
estas transs ignorabaejemplo, «ían mucho ra. Cuando
ñadido (o qu
os construycomo resu
ción como ción como uo, cuando Ansaba que e cuatro o ca que la aandos como
tó su cálcul
s a la tarea man y Gallisnúmero dete figuras de. A continue tiene tres que lo hags en las bse mezclannadora. Si a al niño otrrepite hast
eguro que eniño a va
maciones truras (por ejetera el colorealiza en ser figuras d
bandeja de
sformacionen la trans
«tres») segcuando de
o se les preuitado) algo
yen concepultado de s
un proceun proceso
Aaron empeeran cuatro
cinco. Espedición era o resultado
lo mental pa
de la «sesstel, 1978). terminado. e plástico (pación, el exratones) y
gan, los niñbandejas. Ln y vuelvendestapa la
ra oportunidta que el nen el segunarios tipos ras la pantaemplo, color de un objesecreto trade la bandtres para q
es pertinenformación uía siendoestapaban eguntaba qo a la band
ptos sus eso de za-o y
era, un no
ara
sión La Se por xa-
y la ños Las n a no
dad iño do. de
alla oca eto, ns-eja
que
tes no
o la las
qué eja
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ganadindica
Pude unde pretarea imporcantidAdeminversconselímite
El
La «c(por reconcuest1973;pequeniñosse coconfigde espuedeindividcompnumé(unidaCon eméricGlase
Se1924)antesalgunindicadesar
dora. Cuanaban que deuede que esn adulto, peeescolar. A«mágica»
rtantes paradad y una
más, parecesas: la unaervan tienees, razonar
papel del
captación dejemplo, i
nocimiento atión que tod; Von Glaseñas cantid
s muy pequonsidera unaguración glostas «totalien contar, duales). D
prensión deérica como ades indivieste logro
cas como ersfeld, Ricegún otro p). En otras p de poderas evidenc
an que elrrollarse de
ndo se les pebía quitarsstas pautasero indican A pesar 'de q
implica una variar la cnueva disten comprea deshacen alguna clógicament
reconocim
directa» impidentificar automático
davía quedasersfeld, 19dades anteseños recona configuraobal distintidades» se
es decir,Desde este el número.
una totalidduales) haintelectual,una unidahards y Co
punto de vipalabras, lor reconocercias (por ejl reconocimspués de u
preguntaba se la figuras de respuela existencque un niñona comprencantidad (potribución noender que e la otra. Pomprensiónte sobre las
miento de p
plica el recosin contar
o de pautas a abierta. A982) indicans de poder nocen simpación globala que simp
e reconoce, una cole
punto de Los niños
dad (una usta que lle un niño pd compuebb, 1983). sta, contar
os niños aprr conjuntosjemplo, Bamiento auna intensa
cómo podr sobrante (
esta no parecia de unaso puede no nsión de laor ejemplo,o lo hace) la adición Por tanto, n de la arits relaciones
pautas
onocimientr que •
••
numéricasAlgunos teón que los contar. De
plemente unl que se aso
plemente ta como una
ección comvista, la
s no reconnidad en s
egan al estauede contesta de un
r precede arenden a ens con precroody y Gi
utomático dexperiencia
ría arreglar(reponerse ezcan un lo aptitudes conservar
as transform la adición yal menos y la sustraaun los n
mética y pus numéricas
o automátió •
•• son
s en el desaricos (por eniños puedsde el punt
na pauta coocia a «tres
ambién se aa colección
mpuesta decaptación ocen simu
sí misma) yadio del peemplar el nidades (po
a la captacnumerar cocisión y rainsburg, 19de las paa de contar
rse la situacla figura qu
ogro extraorimportantesla cantidadmaciones qy la sustraccon númeracción son
niños pequueden, dens.
co de pautn «tres»). arrollo del nejemplo, Kladen captar to de vista ompleta. Pos»; • • • se casocia a «trn de elemee unidadesdirecta no
ultáneameny un conjunensamientonúmero y laor ejemplo,
ción directaolecciones cpidez. En
984; Gelmaautas numr objetos. E
ción, los niñue faltaba). rdinario a os en los niñ
d, el éxito enque son o cción varíanros familiarn operacioneños que
ntro de cier
tas numéricEl lugar dúmero es uahr y Wallacdirectamen
de Piaget, or ejemplo, considera ures». Ninguentos que s (element
o implica ute una paunto de part
o operacionas pautas n, Steffe, V
a (Beckmacorrectamerealidad, h
an, 1977) qméricas suEsto puede
ños
ojos ños n la no
n la res. nes no
rtos
cas del
una ce, nte los •••
una una
se tos
una uta tes
nal. nu-
Von
nn, nte hay que ele ser
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especpuntopautaindivid
Entécnicniño. descuobjetocomosiguieque teaprenmuespuededos co(Von
B) IMy
Cuacontaparecrigen:abstrade la ficientcohercorrecpodríavez ytérmin«seis»contaprincilos prnecesconoc
cialmente co de vista, as numéricaduales, es d cualquier
ca fundameCuando lo
ubrir aspecos con una • • • son c
ente principengo.» La cndizaje de tran grupose reconoceronjuntos puGlasersfeld
MPLICACIOSOLUCION
ando tienenr (Gelman
cen dar por los princacción. La mirrelevanci
tes. Estos nrente. Un ecto y luego a empezar
y con «12, nos repetid» se empler no sólo pio de unicrincipios desariamente cer estos
cierto para nincluso los
as son, a ladecir, una ucaso, los
ental en el os niños pctos importadistribucióncasos de «pio: «La discaptación direglas nums de tres er inmediataueden tenerd, 1982).
ONES EDUNES
n la edad dy Galliste
r sentados ipios de omayoría haia del 'ordeniños, por error mucho«soltar» otsistemática3, 6, 6», la
dos. «Tres»ea dos vecviola clara
cidad. (Aune orden esque estos pprincipios,
niños deficies preescolaa vez, una cunidad comdos modedesarrollo ueden recoantes del nn triangular tres», pued
stribución directa tamb
méricas parelementos camente que r la misma c
CATIVAS:
de entrar el, 1978; Glos diverso
orden estabasta pareceen. Esto noejemplo, pueo más comútros términoamente cona siguiente
» ya se habces seguidaamente el que decir t
stable y deprincipios n
pero olvi
entes (Baroares puedecolección c
mpuesta de elos indican
de la comonocer autnúmero. Por y los coloqde formulare las canicién puede dra apreciar con una diambos con
cantidad au
DIFICULT
en la escueGelman y Mos principioble, de co apreciar eo ocurre coeden no deún es deciros sin ordenn «1, 2, 3» ye. Nótese qbía empleaas para terprincipio dérminos sin
e unicidad,no se conozdarse de
oody y Ginsen reconoccompleta y unidades.
n que la caprensión dtomáticameor ejemplo,que en fila, yr de maner
cas no varíadesempeñaequivalenc
stribución tnjuntos son un cuando t
TADES CON
la, los niñoMeck, 1983os que subyrrespondenl principio ron los niñoecir los númr los primern ni conciery luego segque en el sado en la prminar la ce orden en sentido y estos erro
zcan. Por ejque ya h
sburg, 1984cer que el un compue aptación del número
ente una p, un niño qy reconozcara explícitaa la cantidaar un papel cias. Si a triangular y«tres», pueengan aspe
N LOS NUM
os son muy3). Prácticayacen a concia, de urelativamenos muy peq
meros siguieros númerorto. Por ejeuir con «6,
segundo carimera part
cuenta. Eststable, sinrepetir otro
ores no sieemplo, los
han usado
4). Desde enúmero y
esto de par
irecta es upor parte
pauta, puedque tome ta que tanto o implícitaad de canicesencial enun niño sey en hilera,ede inferir qectos distin
MEROS
y expertos amente todontar o quenicidad y
nte sofisticaqueños o dendo un ords en el ordmplo, un ni8, 12, 9» u
aso aparecte correctaa manera o también os no cumpmpre indicniños pued
o un térmi
ste las
rtes
una del
den res
o •••
a el cas n el e le , y. que tos
en dos lo de
ado de-en en ño na
cen , y de el
ple can en no
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previa
Si debenjuegoexplícdecimdebemseñalaque asésam
Ejemp
Una v
Cuera sucuántCuenella. Asiguiósalierfiestacon laacabaque vno pudifereSacó que ccada corrie
El ord
Cucamahabíadormihoy sun día
amente). los niños n
n brindar as o activida
citamente (mos los númmos compamos»). Ta
aparecen remo».
plo 7.1. His
vez y sólo u
uentamal esu cumpleañtas personatamal sacó
Aunque habó contandoron 22. Est hasta quea cabeza eaba de llegvas a dar?»uedo saber ente.» Cuen
un rotuladocontaban un
nombre dendo a decí
den no impo
uentamal haa y bajar lasa bajado a ir, había coe iba a dar a muy herm
no han tenabundantesades de intepor ejempl
meros de laprobar queambién podegularmente
storias para
una
staba muy cños y queríaas iba a in
ó su lista debía perdidoo. Le saliertaba muy ce no supieraentre las magar de visita, le preguncuánta gen
ntabién tomor mágico yn nombre, Ce la lista
írselo al coc
orta
abía planific escaleras.desayunar ntado 11. Sun tortazo!
moso. El co
ido la opors experiencerés. En reao: «Cuand
a misma mae usamos ría ser útil de en los pro
contar
contento. Ca organizarnvitar para e invitados la cuenta d
ron 27. Entconfundido.a cuánta geanos. Justoa. «¡Eh! ¿Qtó. Cuentamnte va a ve
mó la lista yy empezaroCuentabién sólo una vcinero.
cado un día La mañanay le había
Si había me Así que seocinero se
rtunidad decias de conalidad, puedo contamoanera cada
un númediscutir histogramas in
Corría y dabr una gran f
poder hacy empezó
de los nombtonces volv El cocinerente iba a o en aquel Qué te pasamal le respenir. Cada vy dijo a su hon a contar le ponía un
vez. ¡Había
a muy divera anterior h
an salido 10enos escaloe quedó sen
acercó al p
e descubrirntar, sobre de ser útil ps cosas, d
a vez» o «cero nuevo torias comonfantiles de
ba saltos poiesta! El cocer comidaa contar lobres que havió a contaro le dijo qvenir. ¡Pobmomento,
a? ¿No estondió: «Puvez que cuhermano qula lista des
na marca. Da 25 nomb
rtido, pero nhabía conta0. Pero cua
ones al bajantado miranpie de la es
r estos printodo en e
presentar esebemos co
cuando conpara cad
o las del eje televisión
or todo el cacinero vino
a y pasteles nombres abía contadar para asue no pod
bre Cuentamsu herman
tás contentoes sí que loento me saue podrían de el princi
De esta manbres! Cuen
no se atrevdo los escaando volvió
ar que al subndo cómo sascalera y le
ncipios, se el contexto stos principomprobar qntamos cosda cosa qmplo 7.1 o como «Bar
astillo. ¡Proo a preguntas para todque había
do, Cuentamegurarse yía prepararmal! Se se
no Cuentabo por la fieo estaba, peale un númcontar juntipio. Cada vnera, contantamal se
ía a salir dealones cuanó a subir pabir, ¡a lo mealía el sol. Ee gritó que
les de
pios que as,
que las rrio
nto arle os. en
mal y le r la ntó
bién esta ero ero tos. vez ron fue
e la ndo ara ejor Era su
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desayse iballegó Cuenlas esnúmela cagraciacontay tamescalgraciasus aEstas h
Equiv
Lodetermequivaemplesueleniño ppuedepuedeemple1943; Ejemp
ObjetEquiv1. Ta2. Cu
yuno se esan de excuCuentabiéntamal si le scaleras, Cero de escama y lo lleas a su heando cada embién le sali
ones», dijo as a su hermigos parahistorias fuero
valencia, n
s niños aminar «ca
valencia) baean espontán tener basposee técnie usarse el e hacerse eeado con éx Descoeud
plo 7.2 Jueord
tivo: valencia y nableros parauadrados co
taba enfriarsión. Peron y subió cpasaba alg
Cuentabién alones tantoevó hasta ermano porescalón: «¡1ieron 10. «ECuentabié
rmano, y baa ir con elloon escritas en
no equivale
prenden antidades i
astante proáneamentestantes dificicas numércontar para
en el contexxito juegos
dres, 1928).
gos para enden
no equivalena cada jugaon distintas
ndo. Sus ao Cuentamacorriendo eo. Cuando exclamó: ¡N
o si subes clas escaler
r arriesgars10!» Luego Es la mismn. Cuentamajó corriends de excursn colaboració
encia y «m
a basarse guales» (e
onto, al mee el númerocultades coricas precisa determinaxto de juegocomo la Lo
.
nseñar los
L
ncia. Materador. s cantidades
amigos tamal no queríaescaleras a
oyó que CuNo puede scomo si bajras. Cuent
se a caer. volvió a sua escalera,
mal se pusodo las escasión. ón con Cathy A
ás que»
en contarequivalencinos con nú
o para definn estas tareas, puede
ar «igual quos como losotería con n
conceptos
LOTERIA
rial:
s de puntos
bién se acea bajar y torriba para uentamal teser! ¡Las esas!» Arrastamal estabCuentabiénbir contand, así que tie
o a dar saltoleras para
A. Mason.
r o en caia) y «canúmeros peir equivaleneas. Despuser útil indie», «distints descritos
niños deficie
de equivale
s.
ercaron pados se fuepreguntar aenía miedo scaleras tietró a Cuentba asustadn bajó por do otra vez lene el mism
os de alegríasalir del ca
aptar directntidades dqueños. Sincias y no eués de comcar explícitto de» y «men el ejem
entes (Caris
encia, no e
ra decirle qron. Entonca su hermade caerse
enen el mistamal fuerado, pero da
las escalelos escalonmo número a, dio miles
astillo y pilla
tamente padistintas» i los niños equivalenciprobar quetamente có
más que». Eplo 7.2. Seson y Wern
equivalencia
que ces ano por mo ,de aba ras es, de
s de ar a
ara (no no as, un mo
Esto ha
ner,
a y
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InsCa
figuracantidun cujugadpartidCon ehaber
ObjEquMaFicInsEst
(1943
strucciones:da jugador
a). Por turnodad de puntuadrado, seor que com
da. Cada veesto se elimr más de un
bjetivo: uivalencia y
aterial: has de dom
strucciones:te juego es
3) y Wynro
: r toma un taos, los niñotos que unae coloca enmplete su
ez que empmina la venn ganador.
D
y no equiva
minó. : una adapta
oth (1969-
ablero con,os tratan da de las pancima de latablero (taieza un turn
ntaja de ser
OMINO DE
alencia.
ación del ju1980). Se
por ejempe encontra
autas numéa pauta nu
apando todno, todos lor el primero
EL MISMO
uego de domcolocan l
lo, tres paur un cuadraricas de su
umérica coas las pau
os jugadoreo en jugar,
NÚMERO
minó descrias fichas
utas numérado que te tablero. Sirrespondien
utas numéres pueden J
y se perm
ito por Carrboca abaj
ricas (véaseenga la misi se encuennte. El primricas) ganaJugar a la vite que pue
rison y Wero. Todos
e la ma
ntra mer a la vez. eda
ner los
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jugadGananormaWynropara q
Obj1. L
(intro2. EgraMaBloInsAyu
coloreva coes muque evez c«subaque lose de(escagrand
ores toman el jugador ales se ilusoth (1969-1que el reco
bjetivo: La serie nu
oducción aEl siguienteande (conceaterial: oques encajstrucciones:udar al niñoes diferentenstruyendouy grande, l siguiente tonstruida laa» por la eso toca. La ebe indicar qlones) son
de).
n la misma cque coloqu
stra más ab1980) usa fnocimiento
umérica col concepto
e término deepto más av
jables. : o a construes para deso la escaleraque el sigutiene tres ba escalera scalera conescalera tamque, a med
n mayores
cantidad deue antes tobajo. Para fichas cuyo
o de las pau
LA
omo repreo de ordene la secuenvanzado).
ir una escastacar los ina, indicar q
uiente tieneloques y es(hasta cinc
n sus dedosmbién puedida que el n(cada núm
e fichas. Saodas sus fic
estimular uos puntos putas sea me
ESCALERA
sentante dn). ncia numéri
alera con cuncrementosue el prime dos bloques aún mayoco e incluss y que vayde construirniño avanza
mero o esc
le el jugadochas. El jueuna mayor presentan uenos fácil.
A
de cantida
ca es una u
ubos encajas en unidadeer escalón ses y es un
or (un bloquso 10 escalya contandorse con unaa por la listcalón suce
or que tengago con fichdependenc
una distribu
des cada v
unidad (o u
ables. Empes. A medidsólo tiene upoco (un be más que lones) haceo cada escaa lista numéta numéricasivo es un
a el dos dobhas de domcia de contución irregu
vez mayor
uno), más
plear cubosda que el n
un bloque ybloque) maydos), etc. Uer que el nalón a medérica. Tamba, los númen bloque m
ble. inó tar, ular
res
de niño y no yor, Una niño dida bién ros
más
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Co
Nosin unha teefectosistemsiguiearitmébásicasepardestaejemppregupreguejempy dism Ejemp
ObSu M1. 2. InsEl
Cadanúmesola ffichases incmás, fichasentre ganar
onceptos a
o es probabnas técnicanido experos de añadmáticamentente númerética no deas para coración. Paracar los efeplo, a la hountarle cuáuntarle cuánplo 7.3 se pminuciones
plo 7.3 Jue
bjetivo: mar de 1 a
Material: Fichas, moBandejas (
strucciones:objetivo de
a jugador elero de fichasficha. Si uns en la bandcapaz de ecuenta las
s en su banel jugador
r.
aritméticos
ble que se das eficaces riencias deir un elemete la desigro de la serebe realizarontar como ra los niñoectos de añora de desantas tendríntas le quedpresentan va
en una uni
gos que im
5.
onedas u otde colores :
el juego es lige una bas a colocar
n niño tienedeja y ahoraencontrar us fichas de ndeja. La difr y la bande
s básicos
desarrolle uy unas exp numeració
ento a un conación carrie numéricrse hasta qla enumer
s de educañadir o quitayunar, el ía si se añdan cuandoarios juegoidad.
mplican añad
LANZAMIE
tros objetosdistintos).
lanzar un nandeja de cen la bande
e éxito, cuaa tienes unana respuestu bandejaficultad de! eja o aume
una compreperiencias són abundaonjunto: losrdinal de uca. Por tantque el niñoración, la reación espetar una unidmaestro pu
ñadiera uno se ha comos que impli
dir o sustra
ENTO DE F
s pequeños
número detcolor distinteja sea 5. Pando le toca más. ¿ Custa, añadir:a.» Gana e!
juego puedentando la c
ensión fundsuficientes ntes y prec
s incrementun conjuntoto, la ense
o no tenga egla del vaecial puededad en situuede dar da más a la
mido una decan llevar la
aer una unid
FICHAS
s que se pu
terminado dto. Para priPor turnos, la el turno,
uánto es tre «Para ver! primer jugde modificacantidad de
damental dede contar. cisas, no atos en una o para conñanza de asoltura con
alor cardinae ser espeuaciones codos galletasas dos que
e las tres qua cuenta de
dad
edan conta
de fichas a ncipiantes,los jugadorse le dice:s y una másr cuántas sgador que carse variande fichas ne
e la aritmétSi un niño
aprenderá unidad varí
nvertirla enapoyo paran las técnical e inclusocialmente otidianas. Ps a un niñoe ya tieneue tenía. Ene increment
ar.
una bande hacer que
res lanzan u: «Tenías ts?» Si un n
son tres y ucoloque cindo la distancesarias pa
tica no los ían el
a la cas o la útil Por o y , o n el tos
eja. e e! una res iño
una nco cia ara
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ObReMa1. 2. OInsEl
Por tuindicapuedeuna ccon trse codice: puntodemose ha«Hab Paut
Cdirec1977domconjudepeabunpretepaut
PapautRobien padec
bjetivo: estar una unaterial: Montón de Objetos red
struccionesobjetivo deurnos, los ja la tarjeta en pillar ca
cuando las tres puntos, ome una. ¿C«Pues tom
os con un deostración ma comido unbía tres galle
tas numér
Cuando llegctamente c7). Algunosinan esta untos de ciender de unndantes. Poender que as regulareara los númas digitaleinson, 1982poblacionescuadas para
EL JUEGO
nidad.
tarjetas codondos que:
e! juego es ugadores lmenos un
ada vez. Sintiene que sese le dice:
Cuántas quma dos galle
edo y que cmás concretna, hacer qetas, se ha
icas y digi
gan a la edconjuntos ds niños detécnica bánco o seis nas técnicaor tanto, lasel niño dom
es puede cumeros del 1 es automát2; Siegler y s especialea fomentar
O DEL MON
on 1 a 5 gale se puedan
reunir 10 gaevantan una. Explicarn embargo,ervir." Cuan«Ahora ten
uedan para etas.» Si nocuente e! rea: cuando ue cuente l
an llevado u
tales
dad de ende hasta cesfavorecidsica (Barooelementos
as de numes deficienciamine el recultivarse meal 5 al menticas antesShrager, 19es. En el el aprendiz
NSTRUO D
letas (punton contar.
alletas (objna tarjeta y r: «Las tarje, el monstrundo un niñondrías que to
ti?» Si e! no puede resesto. Para aun niño ha las que le q
una, y han q
ntrar en la cuatro elemdos y mucody y Gins, o incluso
eración precas en estas
conocimientediante jueos, muchos
s de incor984). Esta tejemplo 7
zaje de pau
DE LAS GAL
os, círculos
etos que sepueden pi
etas nos duo de las g
o, por ejempomar tres gniño da la rsponder, haalgunos niño
sacado trequedan. Requedado do
escuela, lmentos (Bjchos niños sburg, 198de tres o c
cisas y unas áreas debto de pautagos con das niños aprerporarse atécnica no p
7.4 se detautas digitale
LLETAS
s o dibujos d
e puedan cllar tantas gicen cuántaalletas siem
plo, ha eleggalletas, perrespuesta cacer que taos, puede hes galletas esumir e! heos.»
los niños sjonerud, 19
deficiente4). Captar
cuatro, en res experienc
ben subsanas. El reconados. enden espo la escuepuede darsallan variaes.
de galletas
contar). galletas coas galletas mpre se coido una tarjro e! monstcorrecta, seape uno de hacer falta uy e! monst
echo dicien
suelen cap960; Gelms todavía directame
ealidad puecias de con
narse antesnocimiento
ontáneameela (Sieglerse por sentas actividad
).
mo se
me eta ruo e le los
una ruo do:
ptar an, no nte
ede ntar de de
nte r y ada des
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Ej
ObRe1.
o pegInM
o las
ObReM1. 2. InsAy
contodedotraza
C) IMBA
Distin
LotécniSegúenseobseacepla maIdeasfunda
jemplo 7.4
bjetivo: epresentacTíteres hec
gatinas construccionesostrar al niñ
s pegatinas
bjetivo: epresentac
Material: Pizarra. Tiza.
struccionesyudar al niñorno en la pos. El niño adas o conf
PLICACIOASICA ntos punto
os puntos icas para coún la primeeñanza al ervan: «La ptada y favoatemática es como laamentales
Actividades
HAC
ción automáchos con can el dibujo ds: ño los dedo.
HACE
ción automá
s: ño a levantapizarra. Pedpuede com
frontándola
NES EDUC
os de vista
de vista qontar preseera, es inúnúmero y noción de
orecida duraescolar elema correspoy, de hech
s para apre
CER TITER
ática con losanutillos dede una cara
os correctos
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ática con los
ar los dedodirle a contmprobar sus con las n
CATIVAS:
: distintas
ue estableentan implicútil dedicara técnicasque conta
ante muchomental. ¡Coondencia
ho, son requ
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RES CON L
s dedos dee papel paraa para pega
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s dedos de
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us respuestuestras, qu
LA NATUR
implicacio
ecen como caciones edr directames para conar es la ideo tiempo poontar no es biunívoca uisitos prev
as digitales
LOS DEDO
e los númera deslizar loarlas en la y
r colocándo
LAS MANO
e los númer
s para varioue nos muetas comparue deberán
RALEZA DE
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requisitos ducativas sente los entar. Van ea básica dor muchas la idea másy "más q
vios para u
S
ros 1 ala. Mos dedos deyema de lo
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OS
ros 1 a 10.
os númerosestre variosrándolas cotener la fo
E LA INSTR
previos laustancialmsfuerzos inEngen y Gde la aritmpersonas ins básica deque" son n desarroll
Material: entro de ell
os dedos.
es de canut
s y a trazar s números con las formrma correct
RUCCION
a lógica y ente distintniciales deGrows (197
mética ha snteresadas e la aritméti
mucho mo significat
os,
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su con mas ta.
las tas. la 75) ido en ca!
más tivo
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de code censeconciniciaespesi la ela ba
La enseñ(Braindebereste elas cla«enfotoman
El econjuconceobjetivmues(clasif
Sinson ajvivaz rápidodomincedimlas maqué c AARO
INTERAARO
ontar» (pp.contar y deeñanza de ceptos lógical debe ceecíficos paraenseñanza
ase de unos
matemáticñanza de nerd, 1973)ría abarcar enfoque infoases y que
oque cardinndo cuerpoenfoque cantos. En la
eptos se pvo de los etra la figuraficación e inn embargo,jenos a los que acaba
o desarrollonar la adic
mientos de catemáticas osas estab
ON:
RLOCUTOON:
252-253). el número la matemá
cos y del raentrarse dira contar y e de las mat
s conceptos
ca modernlas matem). Según Dla formaci
ormal. Afirmel número
nal a la ens con «La M
ardinal, o Maa figura 7.1retenden c
ejercicios dea 7.1, la instnclusión de y como seniños pequba de empeo de la adicción de blocálculo mende este cur
ba aprendie
[Sin inlíneas
R: Oh, coSupontransfoson 1.
Sin los reqestá cond
ática debe azonamientrectamenteestimular suemáticas e
s lógicos má
na. Durantemáticas a Dewey (189ón matemá
maba que pdebía ense
señanza deMatemática
atemática M se muest
cultivar cone la página trucción inice clases) y ee afirma en ueños. Consezar el primción inform
oques con ntal. Intrigadrso. Alzó londo con las
nterés.] Pue y cosas asomparáis congo que sormó en un000 más 1
quisitos psidenada a
fomentar, o. Según e
e en el deu aplicaciónlementalesás básicos o
e el siglo los niños 98) y Thorática inicialprimero debeñarse despe la matemModerna»
Moderna, dra la prime
n los ejerci6? ¿Y cuá
cial se centrequivalenciel capítulo sidérese el
mer curso. Emal. En cue
sus dedosdo por sus s hombros s matemáti
es no estoy sí. onjuntos pasí. [Entoncna explosió.000? ¡Pue
icológicos gcarecer deen primer
el otro puntesarrollo den. En pocass debe impao informalm
XIX y la mpequeños
rndike (192 del niño.
bía enseñarpués como ática eleme(Brainerd, estaca la e
era lección cios de la l es el de lora en cultivaia (correspo11, este tipcaso de Aa
El año antestión de m
s. Luego cavances, lesin mucho cas.
muy segur
ara ver si soces, todo són de entuses 2.000!
generales, e sentido. r lugar, el o de vista, e técnicas s palabras, artirse formamente media
mayor part empezab
22), por ejeRussell (19rse el concecolofón a eental» de R1973).
enseñanza dde este enpágina 5?
os de la págar los conceondencia bpo de enfoqaron, un niñrior, yo habeses ya haontinuó inve pregunté entusiasmo
ro. Tenemo
on iguales. su composiasmo.] ¿S
la enseñanPor tanto,desarrollo la instruccy concep
la cuestiónalmente sobante el cont
te del XX,ba por conemplo, con917) denunepto lógicoestas ideasRussell aca
de la teoríanfoque. ¿Q? ¿Cuál esgina 7? Coeptos de claiunívoca). ques forma
ño inteligentbía seguidoabía llegadoventando psi le gustabo. Le pregu
os que traza
rtamiento Sabes cuán
nza la de
ción tos es bre tar.
la ntar ntar nció de . El abó
a de Qué s el mo ase
ales te y
o su o a
pro-ban nté
ar
se nto
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INTERAARO Comoprestala arituna signif
La primecompconceCope1974;capac
Dearitmécompvista Coundenarexperpara desardespucorresFigura
RLOCUTOON:
o Aaron no aba poco intmética bássola cifra
fivativa y es
enseñanzaeras etapasrender el
ebida para land, 1979) Maffel y B
cidad para eesde el punética) direc
prender las cqueda reflcil of Teachr son tres riencia de cel nivel má
rrollo de coués de mucspondenciaa 7.1. Prim
R: ¡ AndaNo, ¡p
parecía ennterés a estsica y ampa sumand
stimulante p
a piagetianas del desanúmero, lfomentar e). Se han d
Buckley, 19el pensaminto de vist
ctamente. Pclases, las lejado por hers of Matprocesos q
clasificar, coás elevadontar y del schas experias (Gibb y Ceras página
a! ¿Y eso lopero es que
ntender el oe enfoque fliar una reldos de cupara Aaron
a. Algunos arrollo intea enseñan
el desarrolldiseñado va980; Sharp,ento generta piagetianPrimero se relaciones Gibb y Ca
thematics: que subyacomparar y
o de abstrasignificado yiencias de Castañeda,as de un cu
o has apren soy muy li
objetivo de formal. Sin ación que
uatro cifras.
educadoreselectual limnza inicial o del pensarios curríc 1969) con
ral (lógico). no, es inútdeben desy la corresp
astañeda («Clasificar
cen al concordenar pro
acción necey los nombrclasificació 1975).
uaderno de
ndido en la sto!
los ejerciciembargo, ehabía apres. Esta ob
s piagetianomitan la ca
de las msamiento opculo s (por en el objetivo
til enseñar sarrollar lospondencia 1975) en [establece
cepto de noporcione eesario parares de los n
ón, ordenac
matemátic
clase de m
os de correera capaz dendido con bservación
os afirman apacidad dmatemáticasperacional ejemplo, Fuo general d
el números requisitosbiunívoca. un anuario
er corresponnúmero.... Del fundamea el númeronúmeros sóción y estab
ca elementa
matemáticas
espondencie comprendsumandos informal
que, como del niño pas debe es(por ejempurth y Wac
de fomentar
o (contar ys psicológicEste punto
o del Nationdencias] yDe ahí queento necesao» (p. 98).
ólo debe dablecimiento
al.
s?
ias, der de
era
las ara star plo, chs, r la
y la cos: o de onal yor-e la ario El rse de
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Sin
inicios1960,1975)técnicjuntosejempde coGentilógico1982)
n embargos de la ens 192; Gonc
) de que elcas de serias contandoplo, Wang, ontar, del nle, 1970).
o ha sido pu). En resum
, hay pocoseñanza elchar, 1975 número n
ación como o no depenResnick y Bnúmero y dEn realidaduesta en dumen, no se
os datos qlemental. E; Hood, 196o dependedescribe P
nde del doBoozer, 197de la aritmd, la neces
uda muy seha demost
ue justifiquEn realidad62) que pa del desarr
Piaget. Ademominio de l71). Los niñ
mética antesidad de priamente (vtrado empí
uen este e, hay dato
arecen apoyrollo de la más, la capla correspoños puedens de podeostular estvéase, por eíricamente
nfoque pias (Almy, 1yar la idea clasificacióacidad de condencia bn aprender mer conservatadios paraejemplo, Gque sea ne
agetiano a 971; Dodw(Macnama
ón formal o comparar cbiunívoca (mucho ace
ar (Mpiangua el desarroroen y Kierecesario te
los well, ara,
de on-por rca u y ollo ran, ner
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éxito estabpara a
Coeducaque» significlasifiembabásicacompcompcorresde co
Impli
Escurríctorno elemecuentrecom
1. formaequivpequeesencespecsignificonju
2. parecexcepenseñestabpero hmero núme
en tareaslecimiento alcanzar un
on todo, es dativas de im
para el dicativa. Adeicación, y
argo, es posa antes de rensión infrensión mspondenciantar.
caciones c
indudableculos piageta clases y
entales. Sinta qué tienemendacione
Introducir almente mealencia nueños. Contaciales comcialmente cicado que ntos, sobreNo aplazar
cen estar pspción de lañanza de clecer correhay pocas y de conta
ero y de la a
«operaciode corresp
na comprende destacamportancia.esarrollo d
emás, el núcontar im
sible que lolo que penformal de
más elaboraa biunívoca
curriculare
e la importatianos pararelaciones
n embargo, e significadoes:
las matemediante la umérica, etar ofrece uo equivalecon conjunestablecer
e todo si tier las experisicológicamas nocionescontar respspondenciarazones pa
ar. Tampocoaritmética a
onales» copondenciasnsión básicar que la pos. Por ejempdel concepmero prese
mplica realmos niños llesaba Piageestos con
rada y forpuede dep
es
ancia del oa ayudar a debe ser unla enseñan
o para los n
máticas deteoría de
tc., puedenuna base coencia, no entos no intr corresponnen más deencias y la
mente equips básicas pecto a técas. Es impoara creer quo hay nece
a los niños q
omo la inc biunívocasa del númestura de Piaplo, hace fa
pto de númenta a la vezmente unaguen a alcaet y que el nnceptos. Crmal de lapender, en e
objetivo delos niños a
n aspecto dnza inicial diños peque
e una manconjuntos.
n ser demoncreta y sequivalenciauitivos. De
ndencias pe cinco objeenseñanza
pados parade «más»,cnicas genortante ensue sean neesidad de aque no con
lusión de s y la cons
ero, de contaget presenalta una no
mero y de z significad
a correspoanzar estosnúmero y c
Ciertamentea clasificacel fondo, de
la Matema pensar ló
de los currícde las matemeños. Sigue
nera inform. Las definasiado abs
significativaa y conse
e hecho, cara determetos. a de contara empezar a, no hay nnerales comseñar estascesarias pa
aplazar la eservan.
clases, la servación dtar y de la anta muchas oción eleme
una manedos de ordendencia bs concepto
contar sólo e, el desarción, la seel desarrollo
ática Modeógicamenteculos de lasmáticas den a continu
mal en vezniciones fostractas pa
a para comrvación de
contar puedminar la eq
r. Hasta losa aprender
necesidad dmo clasifica técnicas para la ense
enseñanza
seriación,de la cantidaritmética. implicacion
ental de «mera de connamiento yiunívoca. s en su forrequieran urrollo de ueriación y o del númer
erna y de e. Razonar s matemáticbería teneración algun
z de haceormales deara los niñprender ide
e la cantidde tener mquivalencia
s preescolar el númerode retrasarar, ordena
por sí mismeñanza del de contar,
el dad
nes más ntar y de Sin
rma una una
la ro y
los en
cas r en nas
erlo la ños eas ad,
más de
res o. A r la r o
mas, nú-del
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3. pautauna tenumrecondesarpautacon dautompuedeaspecsarrolaritméemple
D)
La paulanumé«máspartir aprendinal, imporordenpropiosignifi
Fomentar as digitales.técnica ap
meración o nocimiento rrollo de núas numéricaistribucione
mático de ven aprendecto. Las pallo del númética. Por taear pautas
RESUMEN
experienctinamente
éricas. Salv», no hay nde experie
nden que loy que aña
rtante para n. La enseño, pero la icativa para
el desarro. A veces srendida deun conceptde rautas
úmero y de as regulareses irregularevarias pautaer que el núautas digitamero y, comanto, se dedigitales.
N
cia de cola compreo en el cas
ninguna razencias concos cambios adir o quitar
ampliar lañanza form
enseñanzaa los niños.
ollo del recse ha desee memoriato numéricos numérica
la aritmétics como las des de uno aas numéricúmero y losles tambiénmo veremoebe instar a
ontar es ensión del so de correzón para apcretas de co
de aspector elementoss nocionesal y lógica a del núm
conocimienestimado la que se oo (por ejemas desempca. Se debde los dadoa cinco elemcas como cs conjuntosn desempeos en el caa los niños
esencial pnúmero y
egir el apreplazar la enontar y de ro y del ordes sí que lo
s intuitivas de la teorí
mero basad
to automát captación obtiene complo, Straupeña un pe instar a l
os. Ademásmentos. Mecasos del ms equivalenteñan un paapítulo VIIIpequeños a
para que y lleguen endizaje de nseñanza dereconocimieen de conta
hace. La ede equivaleía de conjuda en cont
tico de padirecta po
n más facss y Lehtin
papel impolos niños a s, necesitanediante el remismo númtes no se d
apel importa, en el dea contar co
los niñosa dominarnociones
e contar y dento de pauar no afectaexperienciaencia, no e
untos es útitar es inici
utas y de r considera
cilidad quenen, 1950).ortante en
que dominn experimeneconocimieero, los niñ
definen porante en el sarrollo de
on los dedo
s desarrolr aplicacionbásicas codel númeroutas, los niñan al valor ca de contar equivalenciail por derecialmente m
las ada la . El
el nen ntar nto ños r su de-
e la os y
len nes mo
o. A ños car-r es a y cho más
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Anemplenúmearitméotros?cálculinform
A) B
Curápidaprobleemplerespu EXAMAARO
EXAMAARO
EXAMAARO
EXAMAARO
ntes de domean los niñeros de unéticos infor? ¿Cómo trlo? ¿Qué
mal? ¿Cómo
BASES PAR
uando empamente las emas, incluear objetosuestas dura
MINADOR: ON:
MINADOR: ON:
MINADOR: ON:
MINADOR: ON:
Aminar las cos para caa sola cifrmales? ¿Pratan los niproblemaso se puede
RA LA ADI
pezaba a sumas de yendo los d
s concretosnte nuestra
1 + 7. [Pausa.hacerlamás, cu2 + 3. [Cuentapuedo pmás, y 2 + 4. 1,2,3,4,para ca1 + 3. 1, 2, 3,
Aritmétcombinacionlcular sumaa? ¿Cómoor qué a loños de min suelen en
en subsana
CION y LA
asistir al problemas
de tipo 1 + Ns para calca cuarta ent
. Luego cue con los blo
uenta todos
a rápidamenpensar máscuenta todo
5,6,7,8,9, 1alcular la su
4, 5 [en vo
tica infones numéras, diferenc
o se explicos niños lesnimizar, de ncontrar lor estas dific
A SUSTRAC
jardín de tipo N + 1 N como 1 +cular la sutrevista, rea
enta para soques. [Prims los bloque
nte] 1, 2, 3 s. [Primero os los bloqu
10. Pues nouma].
z baja]. [Ex
ormalicas básicacias y proda el desar
s cuestan mmanera na
os niños cocultades?
CCION INF
e infancia, como 3 + 1
+ 3 =___ y 1 uma. Tomealizada en n
í: «1, 2, 3, 4mero colocaes y expre
[pausa]. Ccoloca dosues para de
o sé... [vuel
xaminador:
as, ¿qué prductos en prrollo de pmás unos patural, las don el cálcu
FORMALES
Aaron p1 = - y 5 + 1 + 5 = ___, Aa
emos, por noviembre:
4, 5, 6, 7»]a un bloque
esa la suma
asi lo tengos bloques, lueterminar la
lve a usar l
Venga, aca
rocedimienproblemas crocedimien
problemas qificultades ulo aritmét
S
odía calcu= - . Para ot
aron tenía qejemplo, s
. Tengo quee, luego siea correcta].
o, pero ya nuego tres a suma].
os bloques
aba.] Cuatr
tos con tos
que del tico
ular tros que sus
e ete
no
s
ro.
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La gradu(por eprobleejempcalculcardin+ 6 =
Aasu caque inmedcálculcálculprocedistintproce
El
Cofundaprimeque alos nisumalimitantratar primey de padiciópor bumayo(aunq
La problerelaciorelaciocho,
capacidadual. Con proejemplo, 1 +ema de tipoplo, 1 + 3 = lar los resunal del sumt6; 7, 8»).
aron casi nopacidad arcalcular e
diatamente lo de sumalo mental
edimientos tos de uno
edimientos d
fundamen
omo vimosamental de eras experieañadir más)ños para cr uno másn a contar de aborda
eros intentosproblemas ón es un prouen caminor que dos. P
que no sabísoltura con
emas con «ones entre ones entre muchos p
d de Aaronoblemas de+ 3: «1, 2, o 1 + N dic«4»). A fina
ultados de sando mayo
o recibió ninitmética inf
el resultadoel resultad
as con el no tuviero
de cálculo o? A lo larde cálculo.
nto: contar
s en el cla aritméti
encias de c) y de la suconstruir prs a tres, m
una unidadar problemas de Aaron con sumanoceso aumo. Para 2 + Por tanto, eía bien cómn las técnic«1» muy pr
un númeroun númeroreescolares
para sume tipo 1 + N3, 4»). Hac
ciendo el núales de curssumas con or y contaba
nguna enseformal y suo de probo de probleauxilio de on éxito. ¿menta par
rgo del cur¿Qué moti
capítulo VIca mucho
contar. Losstracción (erocedimientuchos niñod más («1, as más difípara calcul
ndos distintentativo, su3, por ejem
en seguida mo continuacas para coronto. Los no y su sigu
o y su anters pueden
mar mentalmN, al principcia la primaúmero siguso, Aaron hsumandos
a progresiva
eñanza arits progresoblemas 1 emas N + 1objetos co¿Qué expra problemrso, Aaron vó este des
I, los niñantes de l conceptosen tanto qutos aritmétos empieza
2, 3; 4»). ciles de la lar mentalmtos de uno us intentos mplo, pareccontó hastar): «1,2,3, .
ontar permitniños descuuiente se apior pueden usar su re
mente fue aio empezab
avera, ya reiente a N eabía refinadistintos d
amente a p
tmética forms durante e
+ N cua1? En controncretos, sulica la difias 1 + N yinventó es
sarrollo?
os desarrollegar a la s informalesue quitar algicos inform
an contandEn realidadmisma ma
mente las su(M + N). Ciniciales, a
cía saber qua dos y lueg... Casi lo tete a los niñoubren con bplican a proaplicarse aepresentac
aumentandba a contaresolvía autoen la serie ndo el proce
de uno: empartir de él (p
mal. ¿Qué el curso? ¿ando podíraste con suus primeroicultad pary sumas cspontáneam
ollan una escuela a
s de la adicgo) guían lo
males. Por o hasta tred, hasta puanera. Consumas de pro
Como considaunque infruue la sumago contó unengo, pero.os resolverbastante raoblemas N a problemasción menta
do de maner a partir deomáticamenumérica (p
edimiento papezaba conpor ejemplo
explica, puPor qué tea determinu soltura en
os intentos ra desarroon sumand
mente nuev
comprenspartir de s
ción (en taos intentos ejemplo, pes y luego ueden llegasideremos oblemas 1 +deraba queuctuosos, ib tenía que
na unidad m.. ».
r mentalmeapidez que
+ 1 y que s N - 1. De
al de la se
era el 1 nte por ara n el o, 2
es, nía nar n el de
ollar dos vos
sión sus nto de
ara se
ar a los + N e la ban ser
más
nte las las he-erie
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numépasteBaroo1982;1981;entrarsuma«Cuatnumécomode esrelaciomuchproble La dif
¿PconceN + consid1 = __3; 4.,)cambresolvconsida conconsigmétodes taaplica
Enconseuna nGinsbal ladperpleuna p¡Siem
érica para rlillos y uno
ody, 1984a Groen y R Starkey y r en la sendo (tres) tro». En el
érica por el respuesta
sta represeonadas coos preescoemas senci
ficultad re
Por qué Aarepto informa1 sean mderaba que_ como tres) o empleanio, interpre
ver fácilmenderan que l
nsiderar quguiente nodo centradon eficaz pa
able a probl un mome
ecutivos se niña de jardburg, 1982ado de Jenneja y desorpausa, Jen
mpre que ve
resolver pro más» o «c; Court, 19Resnick, 19Gelman, 1rie numériy dar comanterior prpunto espeel número
entación men el númeolares puedillos con «1
lativa de p
ron podía ral que tieneás fáciles
e la adición y uno más
ndo las relacetaba que 1nte con estoa adición ee N + 1 =
o es equivao en la relacara responlemas de tip
ento dado, aplican poín de infanc
a). Mientrasny sacó unarientada anny se le aeas un 1,
oblemas cocinco muñe20; Fuson977; Ilg y A982). En eca por el
mo respuestroblema deecificado poanterior enental de la
ero anteriorden dar m».
problemas
resolver proen los niñosde resolveera un proc
s, cosa que ciones entre1 + 3 = __os métodoss un proces__ y 1 +
alente. Porción existennder en segpo 1 + N. los niños d
or igual a prcia, describs jugaban aa tarjeta cote este pro
acercó y lees el núm
on «1» senecas menos
y Hall, 198Ames, 195l anterior ppunto espta el núme sustraccióor el minuen la serie nua serie numr o posterioentalmente
1 + N
oblemas N s de la adicer que losceso aumense puede re un númer
_ era uno ys. En otras so aumentaN = __ so
r tanto, puente entre unguida prob
descubren roblemas dbió este impa un juego mon el probloblema, la ne dijo en voero que vi
ncillos (N +s una que t83; Gelman51; Resnickproblema depecificado pero siguientón, un niño endo o cantumérica: «Cmérica paraor a otro de, y con ra
+ 1, pero ción puede s problemantativo, interesolver fácro dado y ely tres más,palabras, c
ativo, puedeon problemeden no d
n número dablemas de
que las ree tipo N + portante dematemáticolema 1 + 6niña se queoz baja: «ene despu
+ 1 y N - 1te quedas» n, 1972, 19k, 1983; Ree adición, upor el primte en la sepuede entr
tidad mayoCuatro.» Coa determinadado es taapidez, las
no problemhacer que
as 1 + N. erpretaba elcilmente col que le sigu cosa que
como los niñen presentaas diferent
darse cuentado y el quetipo N + 1
elaciones e1 y de tipo
escubrimieno, la niña qu6 = __. Maedó sin dec¡Eh! ¡Que és!» A dife
1) como «t(por ejemp
977; Ginsbuesnick y Foun niño puemer términoerie numérirar en la ser (cinco) y
omo el empar respuesn automátirespuestas
mas 1 + N?los problemComo Aa
l problema ntando («1
ue («3, 4»). no se pue
ños pequeñar la tendentes y la suta de que e le sigue, q1, también
entre núme1 + N. Jen
nto (Baroodue se sentaanifiestamecir nada. Tes muy fá
erencia de
tres plo, urg, ord, ede o o ica: erie dar
pleo stas ico, s a
? El mas ron 3 + , 2, En
ede ños ncia ma su
que es
ros nny, dy y aba nte
Tras ácil!
su
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compproblenuméserie proble
El con «genersin prtarde calculejempla univista, palabresultla adipequeproblecomp B) A Proce
Inicde suDesdeglobaobjetoreprescuent
InvproceilustraestratlaboriMedia
añera, Jenemas con «érica." Con e
numérica emas de tipdesarrollo
«1" puede sra más flexroblemas el
empezó alaba las suplo, 2 + 6: «ión o reunió
el orden dras, la uniótado que la ción es máeños. La coemas con rensión má
ADICCION I
edimientos
cialmente, u inJj1ediate el punto dl (CC) queos 'que se psentar un an todos lo
vención de aedimiento cca en la colutegia, cadaoso procesante la estra
ny había ab«1»: «La sumesta regla gpara respo
po 1 + N. de una reg
ser un primible. Por ej orden de lo
a hacer lo umas de ti6; 7, 8»). Aón de dos de los númón de un cunión de d
ás abstractaomprensión
«1» puedás profunda
INFORMAL
s concreto
los niños eta disponibde vista de! e se ilustra puedan consumando;
os objetos p
tajos. Los nc. Uno de loumna 2 de a sumandoso de contaategia de la
bstraído unma de N + 1general, Jeonder con i
gla general er paso muemplo, Aaros sumandmismo en
ipo M + NAdemás, los
conjuntos dmeros careonjunto de os objetos a que la code que el o
de ser una de la adic
L
os
emplean obilidad, sueldesarrollo,en la colutar, como loe! proceso
para determ
niños inventos favoritosla figura 8 se represr los dedos
a pauta digi
a regla gen1 ó 1 + N esnny podía ugual eficac
de númerouy importanron aprendios en probl
n problemaN contando s niños sólode una mace de imptres objeto
y tres objetoncepción aorden de losn primer pión (Resnic
bjetos concrlen usar lo la estrategmna 1 de os propios do se repite
minar la sum
tan espontás es la estra.1 (Baroodysenta con s uno por untal, e! niño
neral de núms el númerousar su repcia a proble
os consecutnte hacia uió primero qlemas con s con suma partir d
llegan a conera graduortancia: 3os con otrotos. Esta coaumentativs sumandospaso muy ck, 1983).
retos para cs dedos pa
gia más básla figura 8dedos) se ce con e! oma.
áneamenteategia de «y, en prensuna pauta no para repsólo tiene q
meros cons que sigue a
presentaciónemas de ti
tivos para lna capacidque podía «1». Unas s
mandos disel sumand
onsiderar laual. Desde e3 + 2 = 2 +o de dos, tioncepción «va familiar ps no altera l
important
calcular suara sumas
sica es la cu.1. Los blo
cuentan unotro sumand
e atajos par«pautas digsa). Nótese
digital. Aspresentar caque contar
secutivos pa N en la sen mental depo N + 1 y
los problemdad de cálcpasar por asemanas m
stintos de 1o mayor (
a adición coeste punto + 3. En otene el mis
«unionista»para los niñla suma en te hacia u
mas. A caude hasta
uenta concroques (u oto por uno pdo. Luego
ra el laborioitales» que
e que, en esí se evitaada sumanuna vez (p
ara erie e la y a
mas culo alto más 1 y por mo de
tras mo de ños los
una
usa 10.
reta tros ara se
oso e se esta a e! do. ara
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determRobin8.1 es
minar la snson, 1982;s aún más e
suma). La Siegler y Seconómica
estrategia Shrager, 19. Esta estra
de «recon984), que seategia comp
nocimiento e ilustra en porta la cre
de pautala columnaación de pa
s» (Sieglea 3 de la figautas digita
r y ura
ales
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parade m=__ ,sumasin te
Htrabalevesdesclos pdigitaprobinvenment
Auniñospuedmuchsituacuanmeno5 fortodosfacilidpued
Padigitaprimepara siguisigna8. A elem[señamanisuma
Elingen
a cada sumamanera visu, por ejempando, sentiener que coasta los niñajo. Durants y moderacubierto o pparticipanteales y unoslemas con ntar atajos tales.
utocontrol, s pueden aden inventahacho de v
ación normando los númos, Mike emrmaba las ps los dedodad para p
de represenareciendo ales, Mike loero formaba2 + 8). Co
ente paso ación cardincontinuació
mento del moalando unoiobra planiando más pl procediminiosas. Alg
ando para, ual (medianplo un niñor que se haontar. ños deficiente veintiunaadas que sorque se le
es en el ess pocos emp
sumandospara el cálc
inventiva yadaptar procar nuevos veinte añosal en los niñmeros fuerampleaba unpautas digios). Sin emroblemas c
ntar fácilmedarse cueno modificó. a la pauta don un modque daba enal de sumón, Mike simodelo cardi
o de los doificada de pequeño le ento concrunos niños
a continuacnte una capo puede eman extendid
ntes inventaa semanasse basabanes había ensstudio empplearon unas muy pequculo es com
y flexibilidacedimiento
procedims de edad ños: Su proan pequeñon procedimietales para mbargo, escomo 2 + 8 ynte con unanta de las Cuando se
digital de sudelo cardinaera empezaando mayomplemente nal creado
os dedos leantemanopermitía eneto relativas usan mod
ción, reconoptación diremplear pautdo todos los
an atajos CCs se observn en un prseñado. Sin
pezaron a ea estrategiaueños. Por
mún a niños
ad. Mediants existenteientos. Cocon un CI
cedimientoos. Para proento de pautres y cinc
ste procedy 6 + 3, en a mano. limitacione
e le presentumando máal del sumaar desde 1 or. Por ejem
continuabaen el paso
evantados],o por Mikenfrentarse aamente sofidelos cardin
ocer la sumecta), quizátas digitaless dedos sal
C espontánvaron unosrocedimientn que se lesemplear una de reconor tanto, pars con una a
te el controes a nuevasonsidérese I de 46. M concreto leoblemas coutas digitale
co con cadaimiento nolos que uno
es de su ptaban probleás pequeñoando más e ir contan
mplo, «1, 2, a contando anterior (po, 10 [señal
e para repa problemaisticado de nales ya pr
ma inmediataá cinestésics para reprlvo uno, y r
neamente ps niños conto CC porqs dijera nadna estrategocimiento drece que la
amplia gama
ol de sus ts demandas
el caso ike se ence iba muy bon sumandes (por ejema mano y lo puede emo de los sum
procedimienemas como (por ejemppequeño yndo hasta l3, 4, 5, 6, 7mientras s
or ejemplo, ando el otresentar ús con númeMike toma
resentes en
amente, quca. Para 4 +resentar caresponder «
para ahorran deficiencque lo habda, muchosgia de paue pautas paa tendenciaa de aptitud
tentativas, s y, por tande Mike,
contró en ubien siempros de cincomplo, para uego contamplearse cmandos no
nto de pauo 2 + 8 y 6 +plo, dos dedya formado,llegar a la d7, 8» para 2
señalaba capara 2 + 8:ro dedo]».
únicamente eros mayora otras formn el aula pa
uizá + 5 ada «9»
rse cias ían de tas ara a a des
los nto,
un una re y o o 3 + aba con o se
tas + 3, dos , el de-2 + ada «9 La el
res. mas ara
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conta[señadereMienreloj un m[mira- 6»)cuenesquimagmanoment
Adprocequincpara comosin qemplecomosabíamecápues,su ejecálcu
PrCo
concrResnempe4 [soprenssofisttodo ya parprens
ar. Otros ualando la pcha], 5 [se
ntras hacen(por razone
modelo paraando el 2 de). Otros niñ
nta. Por ejeuinas de unaginarios. Loo» pueden tal (Fuson,
demás, estedimientos ce años de problemas
o 2 + 8 ó 6 ue se le deo de un po 1 + 2 y 3 +amos que cánicamente , parece seecución aritlo.
rocedimienon el tiemretos e invick, 1977).
ezando por n dos más
sa; Baroodticada porqy comportartir del primsa; Carpent
usan las papunta superñalando la sus ejercices distintasa contar (poe la esfera],ños hasta emplo, paraa caja y conos procedimser la base1982). e control pinformales edad con ucomo 2 +
+ 3, reconoijera nada,
procedimien+ 1 (combinonocía), Ka(persevera
r que inclustmética y m
ntos mentapo, los niventan pro El procedel primer s
s], 5 [son try y Gannoue no reflej
a la enumermero (un prter y Moser
autas de larior izquierdpunta del
cios de aritms a saber cuor ejemplo,, 5 [mirandopueden llea 2 + 4 unntarlas «3, mientos bae para la inv permite a lde adición
un CI de 403, 4 + 2 y
ocía inmedi pasaba a
nto CC). Adnaciones quathy no conación), sinoso niños co
muestran fle
ales ños aband
ocedimientoimiento máumando (Cres más], 6on, 1984). ja directam
ración del sroceso de r, 1983).
as cifras 2da del cuatmedio], 6 [
mética en cuánto falta , 2 + 4: «1,o el 3 de la gar a crean niño pue4, 5, 6» mie
asados en vención de
los niños e(Siegler y R
0, empleaba5 + 4. Cuaatamente lcalcular la
demás, cuaue, según pntinuaba emo que respon deficiencexibilidad a
donan espoos mentaleás básico d
CTP) (por ej6 [son cuat
La técnicamente el pro
egundo sumcontrol sim
,3,4 (por ejtro], 4 [seña[señalando clase, algunpara el rec, 2; 3 [miraesfera], 6 [m
ar un modeede imaginaentras «señestos modprocedimie
elegir de mRobinson, 1a una estraando se enos límites da respuestaando se le pruebas reampleando ppondía de cias mentalela hora de
ontáneamees para cade adición jemplo, 2 +tro más] - 6a CTP es oceso concmando a m
multáneo) (
jemplo, 2 alando la pla punta d
nos niños mreo). El relondo el 1 demirando el 4elo mental ar cuatro pñala» o «midelos «queentos eficac
manera inte982). Kathy
ategia de pacontraba cde su estraa con bloqupresentab
alizadas de procedimienmanera aues importanelegir proce
ente los pralcular summental es 4: «1, 2; 3 6») (Barooduna invenc
creto y globmedida que e
Baroody y
+ 4: «1, 2punta superde abajo], 6miran muchooj proporcioe la esfera]4 de la esfepara llevar
puntos en ira" los pune se tienences de cálc
eligente eny, una niñaautas digitaon problemtegia digitaues (volvíaan problemantemano,
ntos concreutomática. Antes controedimientos
rocedimienmas (Groen
contarlo to[es uno má
dy, 1984a, ción bastaal de contael niño cueGinsburg,
; 3 rior
6»). o el ona ], 4 era] r la las tos
n a culo
ntre de
ales mas al y, a al mas
ya etos Así
olan de
tos n y odo ás], en nte
arlo nta en
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Lleprobleque uconta4: «1contade prEsto curso
Soemple[un ddedosSi un llevarejempir conpara
Copara lgamagolpepauta[tac-tasubvo5 sonla serautom
Invprocesumael númGanocuatroesfueBaroo
Lleempie
evar la cuenemas con tuno de los tar hasta N y, 2, 3, 4; [y
ando más aroblemas sies lo que im
o. Con el tieobre todo aleo de los dedo extends extendidoniño puede
r la cuenta plo, para 2
ntando hastel cuatro di
on el tiempollevar la cue
a de mediocitos con lo
as como «taac] - 6»). Local: una do tres más, 6
rie numéricamático y rea
vención deedimiento Cndo (por ej
mero de pan, 1984). To pasos parzo, es rar
ody y Ginsbevar la cueneza por el t
nta. Este ptérminos distérminos esy decir el núy uno más llá de N un n «l» exigempedía a Aempo, Aarol rrincipio, loedos es undido es unoos son tres e reconocerrequiere p+ 4, en cuaa que «sienice el niño c
o, los niños enta (Steffeos (por ejeos dedos o ac-tac-tac-taos niños taoble cuenta6 son cuatra, este procalizarse me
atajos. CCTP al emp
emplo, 2 + sos necesa
Tanto el proara llevar laro que los burg, en prenta es muy eérmino ma
roceso de stintos de «s «l». Para úmero que son] 5»). Cnúmero de
e métodos pAaron calcul
n ideó espoos niños usno de los mo más], 4 más], 6 [cu
r automáticpoca atencióanto ha empnte» la extecuándo tienpasan de c
e et al., 198emplo, véas
el lápiz cuac» es cuaambién puea (por ejemro más»). Cceso de dobntalmente.
Contar a paezar desde4: «2; 3 [+
arios para eocedimient
a cuenta. Cniños lo i
ensa). exigente enyor. Una es
llevar la cu«1» sea mácalcular N le sigue en
Con problemeterminado previamentelar con éxitontáneame
san objetos métodos favo
[dos dedosuatro dedosamente pauón y puedepezado el p
ensión del cne que detecontar objet3). En realise Fuson, ando cuenttro (por eje
eden llevar plo, 2 + 4: «
Cuando los ble cuenta p
artir del pe el término
1], 4 [+ 2], el procedimo CTP com
Como el pronventen y
n el plano costrategia qu
enta hace ás difícil que+ 1 ó 1 + N la serie numas sin «l»de veces. Ue planificado problema
ente métodoconcretos oritos (por s extendidos extendidoutas digitalee ejecutarsproceso de uarto dedo
enerse. tos a contardad, los niñ1982). Alg
tan. Hasta emplo, 2 + 4
la cuenta c«1,2; 3 es uniños estánpuede llega
rimer sumo cardinal c
5 [+ 3, 6 [+iento de lle
mo el CPP ocedimiento
lo emplee
ognoscitivoue permite
que el cálce el de proN, un niño sumérica (po», el niño dUn cálculo dos para lleas sin «1» aos para llevpara llevar ejemplo, 2
os son dos os son cuates, el procee con grancontar el n. Conocer l
r cosas menños empleagunos niñopueden lleg
4: «1,2; 3, 4con otra cuuno más, 4 n muy famiar a ser extr
ando (CCPorrespondie
+ 4] - 6»), peevar la cuen
implican uo CPP no aen (Baroody
o y se puedehacerlo es
culo mental blemas en sólo tiene q
or ejemplo, ebe continumental exa
evar la cuena principios var la cuentla cuenta, y+ 4: <<1, 2más], 5 [t
tro más] - 6edimiento pan eficacia. Piño se limita pauta dig
nos concrean una variaos van dangar a explo4 [tactac]; 5uenta verbason dos mliarizados cremadame
P) abrevia ente al primero no redu
nta (Baroodun proceso ahorra mucy, en pren
e aligerar sicontarlo to
de los
que 1 + uar cto
nta. de
ta. y el 2; 3 res
6»). ara Por a a
gital
tas ada ndo otar 5, 6 al o ás,
con nte
el mer uce y y de
cho sa;
se odo
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empecontamient- 6»). en 2 +requiemayoha heproce
Coempieproce[+ 1], prime(Fusoabrevpartir aún a
Auel aumentaConsiEn nuCTP. de cotarjetahastade quPara invencon lopor la
1 Poorden Groen equivapor ejeen cuamisma)como informa
ezando por r hasta el
tras se enumNótese qu
+ 4 se reduere un procr. Los niñosecho automeso de llevaontar a partieza a contaedimiento in6 [+ 2] - 6»)
er sumandoon, 1982; Rviado de em
de 1. Por tahorra más
utocontrol, inutocontrol hales ayudáidérese el euestra primEn la segustumbre, coa: «1, 2, 3»
a 6. 1, 2, 3, 4ue, para lleahorrarse ttó un proceos procedima idea de modría parecerde los sumany Resnick, 1lentes y daba
emplo, darían alquier orden p). Parece quealgunos con
ales de cálcu
el término cardinal demera el térme, al empez
uce de cuatceso extra ins adoptan emático y exar la cuentar del términ
ar desde la nformal de a). Durante e es innecesResnick y
mpezar con etanto, el protrabajo.
nventiva y flhace que ndoles a seejemplo deera entrevi
unda, se le ontando el ». Esta vez4, 5> 6 [pau
evar la cuentrabajo, adaedimiento nmientos coninimizar sur que si los nndos (CTM o977). Sin em
an el mismo rresultados di
porque creen e ciertos factonocimientos lo.
mayor (CTel número mino menozar por el tétro a dos pannecesario el CTM porxige un es. no mayor (Cdesignacióadición meel cálculo, losario y bastN eches, el término cocedimiento
flexibilidad. los niños
entir cuánd Casey, unsta, Caseypresentó elprimer sum, sin embarusa] 7, 8, 9.nta con su aptó su ménuevo, CTMncretos de c esfuerzo c
niños inventano CPM) es qumbargo, Caseresultado. En stintos (Barooque obtendrá
ores no conceconceptuales
TM) (Baroodmayor a p
or (por ejemérmino mayasos. Obsécon el CTP
rque ver cuásfuerzo ina
CPM) abrevn cardinal dntal más ecos niños puta con enun1984). Co
cardinal delo CTM se a
Al igual queinventen
o hace faltn niño de páy se basó el problema
mando a mergo, se det» Al pareceprocedimie
todo. EmpeM, de más fcálculo, parcognoscitivon procedimienue comprendeey no parecíaposteriores eody y Gannonán una respueeptuales, coms, pueden e
dy, 1984a).artir de 1 y
mplo, 2 + 4: yor, el procérvese tambP: ver cuál dál de los su
apreciable
via el procedel término conómico (ueden darsenciar el cardmo resulta sumando m
abandona e
e con los prespontánea reajustarárvulos (Ba
exclusivame3 + 6 en un
edida que ibuvo y come
er, Casey hento CTP, ezó por confácil ejecucirece que loo. ntos de adicióen la propieda darse cuententrevistas, Cn, 1984). Los esta correcta (o el impulso a
explicar el d
. El métodoy luego seg«1, 2, 3, 4; eso para llebién que el de los dos sumandos esen compar
edimiento Cmayor y, ppor ejemploe cuenta dedinal que le
ado, adoptamayor en veen favor de
rocedimienteamente prr los métodoaroody y Gaente en el pna tarjeta. Eba dando goentó: «Creoabía previshacían falt
ntar el sumaión 1. Al igu
os niños est
ón que no daad conmutatita de que 3 +asey indicó qniños pueden
(aunque no nea ahorrar esfuesarrollo de
o CTM implguir contan5 [+ 1],6 [+
evar la cuemétodo CT
sumando ss mayor yaración con
CTM ya quepor tanto, eso, 2 + 4: «4e que contae corresponan el métoez de contal CPM porq
tos concretrocedimienos existentannon, 198procedimieEmpezó coolpecitos eno que conta
sto la dificultta seis pasando mayo
ual que ocután motivad
an importanciiva (por ejem+ 6 y 6 + 3 eque 6 + 4 y 4 n sumar númeecesariamentuerzo mental,
procedimien
ica ndo + 2] nta TM es se el
se s el 4, 5 r el
nde odo ar a que
os, tos es.
84). nto mo n la aré tad os.
or e urre dos
a al mplo, eran + 6, eros te la , así ntos
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81 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza
El
diversejempnuevo=__ , continproce
C)
Pro
PaprinciconceMoseminuey c) cimplicdos d(las m
Se em
auto contrsos procedplo, Carpeno y más avay 3 + 6 =
nuaba empedimiento p
SUSTRA
ocedimien
ara problempio los niñepto informer», 1982).endo (el núontar los el
caría contare los eleme
marcas) res
mplean 5 bl
rol tambiéndimientos mnter y Moseanzado. Au _, que co
pleando el ara llevar la
ACCION INF
ntos concre
mas con sos empleaal de la su Este promero mayolementos rer cinco dedentos (tachtantes: «Tr
oques, ded
n permite amentales. Cer, 1984), nunque usabomportaban
CTP en pa cuenta m
FORMAL
etos
ustraendosan modelosustracción cocedimientoor); b) quitaestantes pados u otros ar dos de la
res.» (Véas
dos o marca
a los niños Casey, al igo usaba sisa el CTM c
n un proceproblemas enos comp
s (númeross concretoscomo «quitao «extractivr un númerara determiobjetos (ha
as marcas)e la fig. 8.2
as, se quita
escoger dgual que mstemáticam
con problemso exigentcomo 2 +
plicado.
s menoress que reprear algo» (pvo» compoo de elemenar la respacer cinco ) y, por últim2.)
an dos y se
de manera muchos otrmente este pmas como 2
e para llev+ 4 = _, qu
) mayores esentan dirpor ejemploorta: a) re
entos igual auesta. Por marcas), c
mo, contar
cuenta el r
flexible enros niños (procedimie
2 + 6 = -- , 2 var la cuenue exigen
que uno,ectamente
o, Carpenteepresentar al sustraenejemplo, 5
contar y retlos elemen
resto
ntre por nto + 8 nta,
un
al su
er y el
do, - 2 irar tos
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Proce
ReComoprocementaconceconcrimplicsustraemperetrocniños Para rantesde coespecla cuefig.8.3
Un
es má(Baroproce
edimientosetrocontar: uo ocurre coedimientos cal muy usuaepción extrretos mencca expresaraendo y daezar desde contar es u
para calcuresolver pro de otro en ontar haciacífico de la enta que de3).
n procedimiás difícil paody, 1984c
eso de lleva
s mentalesuna ampliaon la adicióconcretos eal es contarractiva de cionados ar el minuenar el último5, 4 [quitan
una amplIacular diferenoblemas dela serie numa atrás unserie numéebe ejecuta
iento exigenara los niñ
c). Con los ar la cuenta
s ción naturaón, cuandoen favor der regresivamla sustrac
anteriormenndo, contaro número cndo una], 3 ción naturacias N - 1,
el tipo N - 1,mérica. Conn número érica. Por taarse mientr
nte. El métoños que losprocedimie
a son progre
al del conoco los niñose procedimmente o retcción comonte (Carpenr hacia atrácontado co[quitando d
al del procees más co el niño sólon sustraenddeterminad
anto, retrocoras el niño
odo de retros métodos
entos de adesivos, es d
cimiento exis están preientos mentrocontar, qo ocurría nter y Mo
ás tantas unmo respuedos] - la resedimiento momplicado eo tiene quedos mayoredo de unidontar compva contand
ocontar parinformales
ición mentadecir, se di
xistente. eparados antales. Un pque tambiéncon los pser, 1982)nidades co
esta (por ejspuesta es mental queen el plano
e saber qué es, el niño ddades des
porta un médo hacia a
ra la sustras para la aal, tanto la srigen hacia
bandonan procedimien parte de urocedimien). Retroconomo indiquejemplo, 5 -«3»). Aunq
e emplean o cognosciti
número vieebe ser cap
sde un puétodo de lletrás (véase
cción tambadición mensuma como
a adelante.
los nto una ntos ntar e el - 2: que los
ivo. ene paz nto var
e la
bién ntal o el En
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cambpeque1983)se ejeabrumfrecue«No mGelma
La del tade 9 -de dode lle6 [ - 3llega comptamañniños10 (Fse enbasanautom
El sustradescu(Wooprocecuentausensustrala cuedos] -extraccircunel suprogrecualqdiecis
io, retroconeños que c). Además, ecuta una cmadora de encia tan ame gustan nan, 1982). dificultad d
maño de lo- 2, el proce
os pasos («9evar la cuen3], 5 [- 4],4 [
a ser práporta (« 19ño del min
s del ciclo inFuson et al.ncuentran cn en retrocmática y fam
desarrolloacción inteubrir por suds, Resnick
edimiento dta progresivnte", pero aaendo y coenta del núm-la respuesctiva informnstancias estraendo eesivamenteuier otro pr
siete que so
ntar exige ccontar progesta cuentcuenta proeste proc
larmante, enada las re del procedi
os númeroseso de lleva9; 8 [- 1], 7 nta es muy[- 5],3 [- 6],ácticament; 18 [- 1],
nuendo puenicial, conta., 1982; Gicon problemcontar se vmiliar.
de procervienen nú
u cuenta otk y Groen,
de retrocuenva. Contar
aplicado a lantar hacia amero de pasta es dos,mal que
es cognoscies relativame reduce erocedimienon necesar
contar regrgresivamenta regresivagresiva, es
cedimiento está en bocestas; son m
imiento de s. El tamañoar la cuenta[- 2] - 7»).
y difícil porq2 [- 7], - 2»te imposib17 [- 2], 16ede contribar hacia atinsburg y Bmas cuyosven forzado
edimientos meros cadros método1975) indicnta y que, progresiva
a sustraccióadelante ha
asos dados ,,). Aunquetiene un itivamente mente graenormemento para llevrios si se c
resivamentente (Fuson a, ya difícil ds decir, ¡enpuede ayu
ca de muchmucho más
retrocontaro del sustraa es relativaEn el caso
que consta). Para 19
ble a caus6 [- 3], ..., buir a las drás desde Baroody, 1s minuendoos a emple
flexibles. Ada vez mayos de sustrcan que, al p
más adelaamente se ón (Carpentasta llegar a(por ejemp
e contar proniño de más fácil qnde, comonte las exigvar la cuencuenta haci
e, que es met al., 198de por sí, d
n dirección udar a exphos niños d difíciles qu
r está relacaendo es unamente mao de 9 - 7, sa de siete p- 17, el prosa de los3 [- 16],2 [
dificultades20 suele s983). Por
os son mayear una se
A medida yores, los nracción. Enprincipio, mante, invent
parece al ter y Moseral minuend
plo 19 - 17: ogresivamela sustrac
que contar ro en el cagencias deta (dos pasia atrás). C
más difícil p82; Ginsburdebe ejecutcontraria!
plicar la frade la primerue las suma
cionada con factor clavnejable puesin embargpasos («9; oceso de lles diecisiete[- 17] - 2»)s de los niñer más difítanto, cuan
yores que 1ecuencia in
que en sniños debe realidad, a
muchos niñotan un procenfoque d
r, 1982). Imo, al tiempo«17, 18 [es
ente no refción, en regresivam
aso de 19 e la cuentasos en con
Cuando el m
para los niñrg y Barootarse mientLa naturalease que, cra enseñanas» (Starke
n el probleve. En el caes sólo congo, el proce8 [- 1], 7 [-
evar la cuee pasos q). Ademásños. Para ícil que desndo los niñ10, los quenversa men
us tareas en aprendealgunos daos empleancedimiento del «sumanplica partir o que se lle
s uno], 19 [sfleja la nocdeterminad
mente. Cuan- 17, con
a doble o traste con
minuendo y
ños ody, tras eza con
nza: ey y
ma aso
nsta eso 2],
nta que , el los
sde ños se
nos
de r o tos un de
ndo del eva son ción das ndo ntar
de los
y el
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sustratambinecespequeejempprocegresivdescu(Woo
D) MU
Cuya hamultipejempadiciócursoiguale
Ya hagrupo4 son + 4 sinterv Proce
Al calculcalculniños y de lremos
aendo estáién minimizsarios si seño y el mplo, 9 - 2),eso de llevavamente hubren esta ds et al., 19
ULTIPLICA
uando a losan adquiridplicación pplo, 5 x 3 =ón familiareos, los niñoes como lo
an aprendidos de cuatro
4;5,6,7,8 yson 8 y 8 alos y calcu
edimientos
principio, llar productlar 3 X 3 tenque acaba
llevar las cs la explica
án relativama el proces
se cuenta minuendo , retrocontaar la cuentaarían falta pauta y e
975).
ACION INFO
s niños se do una baspuede defin= 5 + 5 + 5es para losos se enfreos siguiente
o varios proo. Pueden cy 8 +4 son 8+ 4 son 12ular: «4,8; 9
s mentales
los niños stos (por ejenía que «co
an de empezcuentas necación que d
mente próxiso de llevar hacia atráy el sustraar tiene vea consta de
siete). Cueligen el p
ORMAL
les presense sólida pnirse como5). Como las niños, la
entan muches:
ocedimientocontar a inte8;9,10,11,122»), o com9,10,11,12»
s
se basan eemplo, Kou
ontar tres, trzar a aprencesarias padaba un ni
mos, comola cuenta (ds). Sin emaen do es
entaja en ce dos pasouando llegarocedimien
nta la multippara comp la adición a multiplicaasimilan c
has veces
os para detervalos («42»), emplea
mbinar esto»).
en procedimuba, 1986)res veces» nder a multiara calcularño para ca
o en 9 - 7, dos pasos embargo; custán relativacuanto a faos, mientrasan a terce
nto más ec
plicación prenderla yrepetida d
ación se bcon rapideza sumas d
terminar, po,8,12»), haar sumas coos métodos
mientos inf). Como ex(Allardice, plicar poser productosalcular 3 X
contar proen contrasteuando el samente se
acilidad de s que si se
er curso, mconómico e
or primeray calcular pde términosasa en expz. Durantede dos o m
or ejemplo, cer cálculoonocidas(pos (por ejem
formales dexplicaba un1978). La men las técn
s mentalme3: «Bueno
ogresivamee con los siustraendo
eparados (pejecución
e contara pmuchos niñen cada ca
vez, muchproductos. s iguales (pperiencias
e los primemás conjun
el total de ts informaleor ejemplo,
mplo, conta
e contar pana niña, pamayoría de icas de con
ente. Consido, pues digo
nte ete es
por (el
pro-ños aso
hos La
por de ros tos
tres es + «4
ar a
ara ara los
ntar de-o e
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primeluegonuevelos niñpara ltercerdetenbásicocardinproce
Tabla4 x 3 a) Ge
se b) Lle
co c) Lle
cu d) De
nugrco
Para conjuempletres vllevarpuedeseguiX 3: produ
er número tro digo el sigue ... » (Allarños para lallevar la cur número, y
ner la geneo consiste nal del priesos compo
a 8.1. Procecomo ejem
enerar númerie numéric
evar la cuenontado:
evar la cuenuatro:
etener la umérica desrupo de cuaontado corn
hacer queunto para reear una paveces. Medr la cuentae ayudarle ida de que c«5, 10, 15
uctos. Los n
res en voz auiente en vordice, 1978
a multiplicacenta: a) gey c) llevar leración de en empezamer términ
onentes se
edimiento bmplo
meros sucesca:
nta de cada
nta del núm
generacióspués de coatro y dar
no respuest
e el cálculoepresentar uta digital p
diante el em de cada cde otras m
contar a int5»). Contar niños tambi
alta, luego oz alta, así:
8, p. 4). De ción implicaenerar la sea cuenta dla serie n
ar a contarno o multidetallan en
ásico de cá
sivos a part
a cuarto nú
mero de gru
ón de la ompletar elel último nta:
o mental seel multiplic
para represmpleo de pacuarto núm
maneras. Entervalos pue
a intervaloén pueden
digo los do: tres [susurhecho, el p
aba contar tecuencia nude los grupoumérica. Ur desde 1 (plicando).
n la tabla 8.
álculo menta
ir de la 1 2
mero 1 2
pos de
serie tercer úmero
ea más macando. Parasentar el 4 yautas digitamero contadn concreto,ede servir pos es un precurrir a s
os números rrando, 4, 5procedimietres veces, umérica; b) os de tres
Un procedim(en vez de Este proc1.
al para la m
2 3 4; 5 6 7
2 3 4 1 2
1
anejable, loa 4 X 3, poy, a continules, el niñodo. Su exp, los niños para la multprocedimiensu conocimi
siguientes5], seis [susnto mental incluyendollevar la cupara determiento meempezar d
cedimiento
multiplicació
7 8; 9 10 1
3 4 1 2
2
s niños sur ejemplo,
uación, cono elimina la periencia inpueden datiplicación (nto común ento forma
en voz bajurrando, 7,e informal
o dos procesuenta de caminar cuánntal aún mdesde el vabásico y
n empleand
1 12
3 4
3
12
elen crear el niño puetar esta panecesidad
nformal prerse cuenta por ejemplopara calcul para abor
a y 8], de
sos ada ndo más alor los
do
un ede uta de
evia en
o, 5 ular dar
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la muejemp(por e4 x 3dos c
InvniñosproduempleConsenseñgrupoempededosfrenteespac12», «3, em11,12cinco
E) IMLA
Más u
CasuficiesustraenconprobleAdemproblemayonúmecon ra(Fusocapac- 1 pa
ultiplicaciónplo, «4 + 4 ejemplo, 4 x: «4 + 4 son
cuatros, 8 +
vención de s hallan esuctos. Inclusear los conideremos eñó un procos de cuatrezó a abrevs y, en vez e al primer cios donde «13, 14, ...
mpleó una s2). Para 5 X
en cinco) p
MPLICACIOA ARITME
uno y men
asi todos loentes para acción es ntraron queemas de ti
más, muchoemas de tipría de los
ero dado, eapidez las son et al., 19ces de geneara valore
n. Con frecu= 8») para
x 2) o para n 8, y cuatr
+ 8 son 16,
atajos. Cospontáneamso los niñosnocimientosel caso de Aedimiento cro bloques viar el procde colocardedo. Condeberían h, 18»). Prouma conocX N, se diopara genera
ONES EDUTICA INFO
nos uno
s niños quecomprendun proces
e casi todospo N + 1 s niños de
po 1 + N (cniños posel que le presumas N + 982). Cuanderar automá
es de N ha
uencia, usaa determina
razonar la ro más son es decir, cu
mo ocurre mente métos con dificus que ya pAdam, un nconcreto pay contar t
cedimiento r seis bloquntó la hilerahaber estadonto empezcida (4 + 4 =o cuenta enar la respue
UCATIVAS:ORMAL
e llegan a lder que la so diminut
s los niños d(con N hacuatro año
con N hastaeen una soecede y el 1 (con N hdo llegan aáticamente
asta 10. Si
an su conoar productos
respuesta 9, 10, 11,
uatro cuatro
con la adicodos informultades de aposeen paniño con diara multipliodos los bconcreto. es junto a c
a de bloquedo las otrasó a utilizar
= 8) Y se punseguida deesta.
DIFICULT
la escuela adición es tivo. De hde cuatro aasta 5) si ts y la mayo
a 5). Más aoltura suficque le siguasta 5) y la
a segundo las sumasin embarg
ocimiento des en los qua problema12», o 4 x 4os»).
ción y la sumales paraaprendizajera ahorrar ficultades dicar (por ej
bloques). CPor ejempcada dedo,es («1, 2, . dos hilerasprocedimie
uso a contae que podía
TADES Y S
han tenido un procesecho, Staños que estenían objeoría de los dún, cuandociente con ue, para deas diferencicurso, la m N + 1 ó 1 +
go, el apre
e las sumae el multipl
as mayores4: «4 + 4 so
ustracción ina abreviar e pueden ve
esfuerzo ede aprendizemplo, 4 xasi de inmlo, para 6 sólo alineó.. ,6») y lus de bloqueentos mentaar a partir dea contar a
SOLUCIONE
experienciso aumentarkey y Ge
studiaron poetos concrede cinco po
o empiezanlas relacio
eterminar mas N - 1 (c
mayoría de + N y las dendizaje fo
as dobles (licador es d
s (por ejempon 8, es de
nformales, el cálculo
er manerasen el cálcuzaje al quex 3: hacer tmediato, Ad
x 3 sacó tó seis bloquego contó
es (<<7, 8, ales. Para 4e ella (8,9, intervalos
ES EN
as informaativo y queelman (198odían resolvetos a manodían resolvn la escuelaones entre mentalmente
on N hastalos niños s
diferenciasortuito de l
por dos plo,
ecir,
los de de ulo. se tres am res ues los ... , 4 X 10, (de
les e la 82) ver no. ver a la un
e y a 5) son s N los
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concenecesobre
1. Ade la automprece1(difetécnicnumépreceempleseccio
2. un niñmismdescudarle 1 = __que econtinen algferenc
A.
B.
Padadosy un dtirar lo+ 1 y proble
eptos aritsarias noe todo SI s
Asegurar eadición (su
máticamenteede) no poderencias N -ca de contaérica para dede) (Barooear la adicones. Estimular eño puede reo con pro
ubrir una reuna serie d
_ le siga su el niño resnuación, resgunos casocia entre lo
Sol tiene ttotal? Tammy tieen total?
ara practicas especialedado con sóos dados ha
1 + 3 y 4 ema 1 + N t
tméticos io pueden se trata de
el dominio dustracción) me las relacidrán deter- 1). En estr necesariaeterminar l
ody, 1984bción (sustr
el descubrimesolver autblemas 1 egla generade problema
contrapartsuelva el suelva el pros puede ses dos probl
tres galleta
ene una ga
ar aún máss: un «dadoólo dos, treará que los + 1 y 1 +
tienen el m
informalesdarse po
e niños de
de la técnicamental de uones entreminar mentos casos, la, es decir, eas relacion). La enseracción) co
miento de utomáticame+ N,"' se d
al para el nas de enuncida 1 + N =problema Aroblema B. er adecuadlemas.
as. Su madr
alleta. Su m
s, se puedeo de unos»
es y cuatro niños se e4, dándole
mismo result
s básicosor sentadaeficientes.
a del númeruna unidad.e un númerntalmente yla educacióen emplear
nes entre N ñanza de a
oncreta qu
una regla gente probledeben creanúmero sigciado verba
=__ (o vicevA que se Cuando el
do pregunta
re le da otra
madre le da
en introduc(con un pupuntos en cncuentren c
es muchas tado que el
y de lasas en pob
ro siguiente. Si los niñoo dado y e
y con eficaón de apoyo
mentalmeny el númer
apoyo debe se exam
general paramas N + 1,ar oportuniguiente. Unal de manerversa). Por
muestra mniño haya
arle si ha vi
a más. ¿Cu
tres más. ¿
cir juegos eunto en cadacada cara. con combinoportunida problema
s técnicasblaciones
e (número aos no puedeel que le sigacia sumaso deberá cente y con efro que le sigerá instar mina en la
a el número, pero no pdades para estrategira que a un ejemplo, semás adelacalculado esto alguna
uántas galle
¿Cuántas g
en los que a una de laEl proceso
naciones 2 +ades rara vN + 1 corre
s de contespeciale
anterior) anen determingue (el ques de tipo Nentrarse enficacia la segue (el quea los niñosas siguient
o siguienteuede hace
ra que puea consiste problema N
e puede hante y queel problemasimilitud o
etas tiene e
galletas tien
se emplees seis caras aleatorio d+ 1 y 1 + 2,
ver que cadespondiente
tar es,
tes nar e le N + n la erie e le s a tes
. Si r lo eda en
N + cer , a
a B, di-
en
ne
en s)
de 3
da e.
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88 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza
Adic
1. Aunqantes1984;preesniñosniñosCC, onumeprocecomobásiceficacdesemordentica laapreny CPM
2. signifla unmás procepuedpsicoproblexiste
3. númedeberfácilmCC e avanclos npequecálculabrum
ción
Hacer que ue muchos
s de llegar a; Lindvall scolares ha desfavore sólo requi
otros tienenerosas demedimiento Co la comparas de contaces. La incmbocará enn de los sumas relacionnder procedM). En estoEmplear u
ficativa. Laión de dodirectame
eso aumene ser más
ológicamenemas en ente. Empezar
eros mayorería basarse
mente con minventar a
ces posterioiños ya pueños. Estolo mental a
mados ante
se adquiers niños apra la escuelae Ibarra,
ayan desarrecidos (Ginsieren una on dificultadeostraciones
CC parece eración de nar impedirácapacidad dn la dificultamandos (CTes existent
dimientos baos casos, haun modeloa enseñanzs conjuntonte la adic
ntativo. Pas útil presente más blos que s
con problees poco a e en sumamétodos conatajos para ores. Es mueden usa
o puede ofaún más pproblemas
ra soltura crenden un pa (por ejem1979), no rollado un psburg y Ruo dos demoes para doms (Baroody,estar asociaúmeros segn que los nde comparad de adoptTM y CPM)tes entre uasados en ace falta teo aumentaza de la ados. Se les ción comora algunos
entar la adásico. Es
se añaden
emas de npoco y con
andos pequncretos. Esestos proc
ejor introduar con soltfrecer un apoderosos. s más difícile
con los procprocedimie
mplo, Baroodpuede da
procedimieussell, 198ostracionesminar estos, en prensaada a la deguidos. Adeiños invent
rar automáttar procedim. Si los niño
un número contar a paner soltura
ativo para dición se senseña u
o la unión s niños, sodición con
decir, la en uno o do
úmeros pen cuidado. ueños (del sto permite cedimientosucir problemtura procedaliciente pa
Sin embaes. Por tant
cedimientosnto concredy, en prenarse por snto CC, so1) o deficies para apres procedim
a). La dificulebilidad de emás, las dten procediticamente dmientos quos no conocy el que le
artir de uno con las técintroducir
suele presun procedide dos co
obre todo loun modelenseñanzaos elemen
equeños; inLa enseña1 al 5) q
a los niñoss y construmas con núdimientos cara desarrargo, algunto, la introd
s informalesto para cal
nsa; Carpenentado qu
obre todo sentes. Aunqender un prientos aun ltad en el dotécnicas pr
deficienciasmientos dedos númere no den imcen de mane sigue, lede los sum
cnicas necer la adiciónentar a losmiento CC
onjuntos y os de bajo o aumentaa puede entos a un
ntroducir pranza inicial que se pue dominar p
uir una basúmeros maconcretos ollar proce
nos niños pucción de p
s de adiciónlcular sumanter y Mosee todos lo
si se trata dque algunorocedimientdespués d
ominio de urearitméticas en técnicae cálculo máros seguidomportancia nera automás será difíc
mandos (CPesarias. n de manes niños comC que refleno como rendimien
ativo, que empezar c
conjunto
roblemas cde la adic
edan manerocedimien
se sólida paayores cuancon núme
edimientos pueden veproblemas c
n. as er, os de os to de un as as ás os al á-cil
PP
era mo eja un
nto, es
con ya
con ción ejar tos ara ndo ros de
rse con
EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO
89 Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza
núme
4. Pa los invent(1977Despupartir procedeficieproce
Sinbasánestos cuentellos. CPM.niños verbamentaños (Rpartir
PamuchUna mCuandenconPor ejautomy contprime
5. Lprocetieneny parCPM)1948)niñospuedeenseñ
eros mayorePrever la nniños se letar procedi
7) enseñaroués de un pde uno de
edimiento Centes aban
edimientos mn embargo, ndose en pr
niños la a porque loEn alguno Es probabhayan ten
al directa esal como el CResnick y Nde uno de
ara facilitar eas oportunmanera intdo los niñntrar sus prjemplo, un
máticamentetar todos lo
er punto delLa enseñan
edimiento pn problemarecen incap) (Baroody). En casos aprendanen necesitañar uno de
es debe conecesidad ds da la opomientos me
on a unos pprolongadoe los sumanCPM. Muchndonan losmentales dalgunos ni
rocedimienoportunidados procedim
os casos, pble que estenido una ams el métodoCPM y las N eches, 19los sumandel aprendizaidades paraeresante dos se vanropios métoniño puedee la primeras puntos, y segundo dnza de apoypara llevar s y los niño
paces de a, Berent y extremos,
n procedimar ayuda paestos proce
ntrolarse code un períodortunidad deentales a spreescolare período dendos, cercaos niños cos procedime tipo CPMños, sobre tos concretd de consmientos de uede ser ú
e tipo de demmplia expero menos adexplicacion984). En cudos antes daje de proca que los ni
de alcanzarn familiarizaodos abreve sacar un a pauta ((V
y puede limidado], 6 [seyo puede tela cuenta.
os de educadquirir procPackman,puede ser
mientos meara aprendedimientos
on atencióndo largo pae emplear osu propio rites un procee práctica ya de la mitaon problem
mientos conM.
todo los qutos durantetruir proceinvención
til demostrmostraciónriencia de cdecuado pones sólo puualquier casde mediadocedimientosiños realizar este objeando con
viados paracuatro (: :)aya, un cuatarse a con
eñalando el ener que deEn ocasion
ación especcedimiento 1982; Blenecesario i
entales. Máer un proce, es mejor e
n. ara el cálculobjetos paratmo. Por ejedimiento cy sin que sead de los n
mas de aprencretos por
ue tienen p mucho tiemdimientos propia tienar para los sea más ecálculo conorque es difueden serviso, no aconos del primes mentales, aran descubtivo es juglas pautas determina) y un dos (atro») no nentar a partir
otro punto]edicarse expnes, los niñcial- se encs mentales
ey y Thornintervenir dás concretedimiento dempezar co
lo y el desca calcular sjemplo, Groconcreto pae les enseñniños empeendizaje y ar su cuent
roblemas, pmpo. Es immás avanz
nen más sigs niños un peficaz despun objetos. Lfícil describr para confnsejo enseñer curso. el maestro
brimientos pgar a juegos de los dar la suma d( • • ). Si el necesita empde 4: «4, 5 ] -6». plícitamenteños -sobre
callan en el s (especialmton, 1981; irectamentetamente, ade llevar laon problema
cubrimientosumas, sueoen y Resnara la adiciara a contaezó a usar algunos niñta e inven
pueden segportante dazados por gnificado paprocedimieués de que La enseñanbir un procefundir a los ñar a conta
debería crepor su cuen
os con daddados, suede una tiraniño reconopezar desd [señalando
e a impartir todo los qnivel concrmente de t
Cruickshae para que
algunos niña cuenta. Pas N + 2 ó
. Si elen nick ón.
ar a un
ños tan
guir ar a
su ara nto los
nza eso ni-
ar a
ear nta. os.
elen da. oce e 1 o el
r un que reto tipo
ank, los
ños ara 2 +
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N y Nproce
A.
B.
C.
6. El recestimcuentcomodomin
La sumaprecispautadejar el emnúmelibre pde sunúme
Algpierde(comuproceEste represEntonprimecoinc
N + 3 ó 3 edimiento d
Hacer quededos o bA continumayor («1Continuar(«5 es un
Estimular econocimienularse a lota. A los niño las pautanarlas.
eficacia dando de los sión, los niñas digitales,el lápiz, co
mpleo de laeros del 1 alpara anotarumandos meros con pagunos niñosen la cuentunicación p
edimiento inprocedimiesentar el s
nces, el niñoero como siden, el niñ
+ N. Introetallado en
e el niño sbloques (poación, hace1, 2, 3, 4»).r entonces o más; 6 so
el aprendizanto automáos niños a ños que nos digitales
del cálculo problemas
ños suelen el cálculo p
ontar, volvers pautas dl 9 con la mr (véase la ayores de uutas digitals lentos tiena y no sabepersonal, 2ntermedio aento intermsegundo suo emplea lase describio para de c
oducir la iden el caso de
e centre enor ejemplo, er que el ni contando eon dos más
aje y el empático de pa
que empleo hayan dom
hasta 10,
mental des es mayor calcular mpuede ser mr a tomar el
digitales Chano que nofig. 8.4). Esuna maneraes. nden a olviden cuándo 28 de julio ntes de pra
medio implicumando coa mano queió antes. Ccontar.
ea de llevae Mike y que
n el sumanpara 4 + 2,ño cuente h
el conjunto s - seis»).
pleo de métutas puedeeen y comminado técse les deb
e los niñosque cinco.
mal estos pmás exacto l lápiz y ano
hisenbop pao se empleaste métodoa natural, e
dar el valordeben parade 1986)
acticar el proca crear unn una pau no escribeCuando las
ar la cuente se resum
ndo menor levantar dohasta el val
más peque
todos eficace facilitar lpartan sus
cnicas de reberá estim
s suele baComo es droblemas. Spero es mu
otar la sumara que sea para escri permite a
emparejand
r del segundar de conta
ha visto qocedimientn medio auta digital e
e para añads pautas d
ta enseñanme a continu
y haga un os dedos). lor cardinal
eño hecho a
ces para llelevar la cu
s métodos econocimieular para q
ajar cuandodifícil llevar Si recurrenuy lento. Loa. Fuson (1 puedan rebir, dejandolos niños lle
do nombres
do sumandr. En estos que es útil o descrito auxiliar para
en la manoir el segunddigitales de
ndo al niñouación:
conjunto c del suman
anteriorme
evar la cuenuenta. Debpara llevarnto de pauque lleguen
o el segunla cuenta c
n a empleo os niños deb1985) propoepresentar o la otra maevar la cue
s sucesivos
do y, por tancasos, Fusintroducir
anteriormena la memoo que escrido sumandoe cada ma
o el
con
ndo
nte
nta. erá r la
utas n a
ndo con de
ben one los
ano nta de
nto, son un
nte. ria: be. o al ano
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7.
lugar,tanto CPM compproseM marequi(empSi loscómo
8. Lniño a
La enseña, en las técnsi lo hacenes una a
probar que leguir con intayor de 1.eren lleva
pleando loss niños sio llevar la cLa enseñana darse cue
nza de aponicas básicn mentalmempliación los niños ptentos de c. A diferenar la cues procedimiguen usacuenta. nza de apoyenta del esf
oyo de proccas necesarente como de la reglauedan real
cultivar el prncia de losenta. Si lomientos CT
ndo proce
yo de procefuerzo supe
cedimientosrias. Algunosi lo hace
a para calizar automárocedimients problemos niños
TP o CTM)edimientos
edimientos erfluo. Es pr
s CPM debos niños pen concretacular probáticamenteto CPM paras N + 1, lo cuenta
, ya posees concreto
CPM deberobable que
berá centrarersisten en mente. El plemas N +
e cálculos Nra problemalos proble
an todo men este reqos, necesit
rá centrarse la mayorí
rse, en primcontarlo toprocedimie+ 1. Se deN + 1 antes as N + M, cemas N +mentalmen
quisito prevtan aprend
e en ayudaía de los niñ
mer do, nto ebe de
con + M nte vio. der
ar al ños
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no cucuentresultGinsbpor Sniños desig
Su
1. tiene posib.es imlos niñpaso 1), notanto,
uenten espoa de que ado que si
burg, en preecada, Fusa ver que
nación card
ustracción
Asegurar edificultadesle que teng
mportante cños carecenen un proce
o serán capa antes de n
ontáneamecontar desmplemente
ensa). En lason y Hall (e contar el dinal.
el dominio s para calc
ga problemacomprobar ln de solturaedimiento daces de resnada
nte a partirsde uno h
e enunciar a figura 8.5 s1983) que primer sum
de las técncular difereas para domlas técnicasa para calcude retroconstar mentalm
r de uno dehasta el prla designacse muestrasuele tenermando des
nicas neceencias con minar la técs necesariaular mentalmtar para promente cuan
e los sumarimer sumación cardina
a un métodor éxito en asde uno es
esarias paraun sustrae
nica de retras para hacmente diferoblemas N ndo el minu
andos, porqando produal del mism
o de enseñaayudar rápids lo mismo
a retrocontaendo de dorocontar. Encerlo. En prencias de N- M, siendoendo sea d
que no se duce el mismo (Baroodanza diseñadamente a
que decir
ar. Si un nos o más, n estos casrimer lugarN - 1 (el primo M distintodos o más. P
dan mo y y
ado los su
iño es
sos, r, si mer de Por
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es neEn
ampliapara hay qproceretrocella y puedela cueniños 14 [- matempausaretroc, 15 [ehacia apren17, 16
Si enseñpara lhacerdificulde suenseñgresiv
MieniñosniñosMediasuponprocedominconcrTambcomb
2. conta
ecesario que segundo ar su proceretrocontarue hacerlo
esos en direcuenta no eel proceso
e desembocenta o en asuelen salt4], 13 [- 5]
máticas ema para pencuenta: <<1esto ... tresatrás le co
ndizaje, se p6, esto..., eun niño es
ñanza de alos niños derlo desde 10ltades de austracción ñanza de vamente eentras retr
s a practics descubreante el emne generareso de llevanar la técnretos. Másbién se lesbinaciones Estimular pr hacia atrá
e los niños lugar, si lo
edimiento mr. Además, con solturaecciones oes un procesimultáneocar en un eambos. Asítarse algún ] - 13»). U
mpezó a resonsar qué v9, 18 [una
s menos], 1ostaba bastperdió en lasto..., 17, 1s incapaz dapoyo debeel ciclo inic0, los que e
aprendizajeincluyen m
apoyo dntre 20 y 1rocontar noar su proc
en que el rpleo de unr la difícil sear la cuentaica de retro
s bien debs puede inN-1.
procesos eás con efica
puedan caos niños nomental para
retrocontaa. De no serpuestas pu
eso mínimao de llevar larror ~ en el í, cuando ctérmino (pon niño de olver 19 - 5 venía antemenos], 17
14 [cuatro mtante, Adamas dos cuen8, 19,20, 2
de contar re centrarse ial contar hemplean ese inmediataminuendos deberá ce0.
o llegue a cedimientoreloj de la a lista numecuencia ina (véase laocontar, noería animástar a que
eficaces paracia puede
alcular difereo saben cóa restas N -r no sólo ir así, la tareuede ser abamente autoa cuenta deproceso de
contar hacior ejemplo,segundo ccontando hs de 16.
7 [dos menomenos], 13m, un niño ntas cuando21». regresivamen esta té
hacia atrás ste tipo de eas y empezentre 10 y
entrarse e
ser algo ao informal
clase es umérica, el nnversa y pa fig. 8.6). Co se les deárseles a ee continúen
ra llevar la socavar lo
encias N - ómo contar
1 Y desarrmplica conea de ejecubrumadora omático, la el sustraende retrocontaa atrás con 19 - 5: «19urso que tehacia atrás,Corno resuos], 16 [tres [cinco mende quinto c
o intentaba
ente o de écnica infordesde 20 s
estrategia pzar a sufriry 20 (o máespecíficam
automáticocon una liun instrumiño se ve luede concCuando losebe impediemplear sn ejercitán
cuenta. Auos procesos
1 con eficahacia atrá
rollar un méntar hacia atar simultán(Baroody, atención s
do. Esta atear, en el pronstituye un9, 18 [- 1], 17enía dificul, pero tuvo qultado, se s menos], enos] - 13».curso con dcalcular 19
hacerlo comal para csuele ser mpueden no erlas cuandoás). En estmente en
o, se puedeista numér
mento útil piberado deentrar su a
s niños estár el empleou estrateg
ndose en e
unque la ins simultáne
cia . ás, no puedétodo genuatrás: tambneamente d1983a). S
se divide enención dividoceso de lle esfuerzo, 7 [- 2], 16 [-tades con que hacer uperdió en
esto... , esto Corno condificultades 9 - 5: <<19,
on soltura, contar. Cornmás difícil qu
experimento sus tareatos casos,
contar r
e instar a rica. Algunpara calcule la carga qatención enán llegandoo de modeia extractiv
el dominio
ncapacidad eos requerid
den uino bién dos i la
ntre dida var los
- 3], las
una la
o ... ntar
de 18,
la no ue tar as la
re-
los nos lar. que n el o a los va. de
de dos
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para procedebenque d(Steffcuándsecuerealidniños especretroccuenthacia continse camues
Au
niños(con resultdos. Eestratvelocdema
retrocontaedimiento tan ser conscdeben contfe et al., 19do deben deencia inversad, Carpen
de primecificado de cuenta. La ten hacia at
atrás unanuación se dlcula y la mtra en la fig
un despuéss se ven obfrecuenciatado perdeEn estos ctegia inteli
cidad. Otro asiado pront
r, hay otroan exigentecientes de ltar hacia a83). Como etenerse y,sa o tiendenter y Moseer curso qunidades yenseñanz
trás un núm o dos unidebe señal
manera de hg. 8.6).
s de aprenligados a d
a, para eviter la cuentacasos, debgente y nerror frecueto con la de
os factorese en el aspla necesidatrás y planalgunos n
en consecen a responer (1982) enque estudiay, como resa de apoy
mero especíidades e irar explícita
hacerlo. (Pu
nder un prdespachar tar el estig
a de uno dee hacerse ormal y qente consis
esignación c
s que puepecto cognoad de llevarnificar previiños no pieuencia, o s
nder incorrencontraron aron podíasultado, no yo puede ífico de unidr aumentanamente la neuede hacer
rocedimienrápidamen
gma de cone los proces
comprendue la precste en empcardinal de
eden impeoscitivo. Par la cuenta iamente alg
ensan en lleiguen contaectamente que sólo la
a contar hsolía emplempezar h
dades. Se pndo la dificecesidad derse con mod
to para llente el procentar). Estasos de conder al niño cisión es tapezar el prol minuendo
edir o impoara retrocondel númerogún medio evar la cueando hasta (Fuson et
a mitad de hacia atrásear un prochaciendo qpuede empecultad paulae llevar la cdelos concr
evar la cueedimiento da prisa puetar simultáque retrocan importa
oceso de lle (por ejemp
osibilitar entar, los niño de unidad
para hacenta, no sabque agotanal., 1982). la muestra s un númecedimiento que los niñezar contanatinamentecuenta cuanretos como
enta, algunde retroconede dar cománeos o de contar es uante comoevar la cueplo, 17 - 3: «
este ños des erlo ben n la En de
ero de
ños ndo . A ndo o se
nos ntar mo los
una o la nta
«17
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[- 1],1la rescasosproce
3. proceretrocgrandhace aprende uspara han ddiscutbenefprogrepuede«quitaa su d Ejem
6 [- 2], 15 [puesta del
s, se puedeeso de conta
Estimularedimiento dcontar, pueddes. A medimás larga
nder un prosar que el pintroducir u
descubiertotan y examficiarse de esiva y la ren no captaar». En estodebido tiem
mplo: 8.1 En
[- 3] - 15»). niño suele t
e demostrarar» no empr el desa
de cálculo den ser preda que las y más proccedimientoprocedimienun procedim algún procinen las situuna enseñ
regresiva. Sar este procos casos, e
mpo, ya des
nseñar a c
Este error tener una ur al niño la epieza desdearrollo de más eficazecisos con tareas imp
clive al erroo de cuentanto regresivmiento paracedimiento uaciones doñanza explSin embargocedimientos mejor no cubrirá la e
contar prog
produce ununidad más estrategia de el número
contar yz. Si los nproblemaslican núme
or. Por tantoa progresivavo. En el ea contar pro
de este tiponde lo encícita de la o, se debe porque noinsistir. Hac
estrategia p
gresivame
na pauta quque la resp
de retrocono mayor (my de escoiños se ba
s pequeñosros mayoreo, podría sea y empleaejemplo 8.1ogresivamepo se les pcuentran mrelación etener en c
o coincide ccerlo sólo c
por su cuent
nte: activid
ue se detecpuesta corretar, recalcáinuendo).
oger con asan exclus pero no ces, la cuentaer útil estimrlo cuando se describ
ente. A los puede estimás útil. Los
existente enuenta que
con su nociconfundiría ta.
dad con un
cta fácilmenecta. En es
ándole que
flexibilidad sivamente
con problema regresiva
mular al niñsea más fá
be un métoniños que
mular a queniños pued
ntre la cuealgunos niñón informa al niño y és
na balanza
nte: stos «el
el en
mas a se o a ácil odo
ya e lo den nta ños de
ste,
a
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Nivmejorprogreotro pdeber
Nivel progrenúme
Actividpuedepuedeprevisprecisprecis
vel II: Usar r hacerlo esivamentepeso en vará instarse
III: Usar núesivamente
ero correspo
dad optativen practicaen comprosión calculasión de sussión con el
una lista cuando el
e mediantearios puntosal niño a co
úmeros con e. Cuando ondiente a
va para profr la realizabar media
ando la difes previsionetiempo.
numérica c niño ya objetos cos a lo largoontar simple
pesos distiel niño ha la respuest
fundizar máción de estnte el cálcerencia entes para un p
como sopoha domin
oncretos. Io del lado emente de
intos para ecolocado l
ta en el lado
ás: nótese timaciones culo. Puedtre ella y laproblema, p
rte semiconado el prnicialmentemás livian3 a 9 en la
estimular ella respuesto más livian
que, para lo cálculosen determ
a respuestapueden obs
ncreto. Carocedimiene, el niño po. Llegado lista numé
procedimieta, hacer qno.
os tres nives aproximad
minar la prea calculadaservar los c
si siempre to de conpuede coloo el momenérica.
ento de conue cuelgue
eles, los niñdos que lueecisión de . Si anotan
cambios de
es ntar car nto,
ntar e el
ños ego
su n la e su
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Multip
1. Exadicióporquconocen ayniño ddificuclase multipcomohacerdifícil conta11 12CuanKen, enconadelacómo+ 7 =
A vnecesverdaKen. tenidoconfumayoejemptodos
2. combnúmedificuproblede unpara lejemp
plicación
xponer expón repetidaue los niñcimiento exyudar al niñde tercer cltades de ame pidió q
plicación. Co 6 X 2 = _ yr. Según de
para él. Ear cuatro de2). Ken excdo la multipque en segntrar maner
ante, por ejeo lo había ca
14. veces, las dsario empleaderas dificuA Adam seo éxito coundirlo. Anteor claridad plo, se ress.
Estimularbinaciones geros pequeltades conemas con nna mano pallevar la cueplo, para 4 x
plícitamentea. Las dificos no ven
xistente. A vño a estableurso asignaaprendizajeque lo exam
Cuando le py 3 X 3 = _, Kecía estabaEntonces leedos (sin voclamó: «j Vplicación seguida aprenras de abreemplo, respalculado, ex
dificultades ear un enfoqultades de e le enseñón Ken. Sie esto se inla adición
solvió coloc
r explícitagrandes y deños (hasta problemas
números peara represeenta del númx 3, levanta
e la conexcultades con la coneveces, la enecer esta cado a la cla
e (Baroody, minara exppresenté vaKen no parea convencide demostréolver a empVaya, así qe presentó ndió a calcueviar el procpondió inmexplicó que h
con la multque más coaprendizajeó el mismon embargontentó otra
repetida dcando tres
amente codifíciles de ca 5 X 5) s en los q
equeños, puentar el mumero de vear cuatro de
xión existenon la multxión entrenseñanza dconexión. Case especia1986). La
plicándome arios probleecía tener ndo de que
é un procedezar) tres vue la multide una ma
ular productcedimiento ediatamentehabía empl
tiplicación toncreto (Bare, planteab
o procedimio, este proestrategia
de las unidgrupos de
ontar a icalcular. No
con pocaque intervieueden haceultiplicando ces que se
edos de la m
nte entre liplicación b
e esta nuede apoyo coConsidéreseal de matemaestra quque no ten
emas sencininguna idela multiplicdimiento paveces (1, 2,iplicación n
anera informtos. De hecque se le h
e a 7 X 2. Ceado la com
ienen raíceroody, 1986
ba un reto mento mentaocedimientoconcreta q
dades. El pe cuatro blo
intervalos, ormalmentea dificultadenen los ner una pauta
y emplear ha contado
mano izquie
la multiplicbásica sueeva operaconsiste, sime el caso dmáticas poue tenía Kenía el concillos de mu
ea de lo queación era dara contar: 3, 4; 5, 6,
no es más mal, tuvo secho, pronto había ense
Cuando se lembinación c
es más profu6). Adam, u
mucho más al informal o no hizo
que represeproblema 4oques y co
sobre toe, los niños m, pero sueúmeros 6 a digital con
los dedos o el multiplicerda y lleva
ación y la elen darse ción y su
mplemente, de Ken, un orque tenía en en esta cepto de la ltiplicación
e tenía que demasiado 4 X 3 es 7, 8; 9, 10, que eso!»
entido para empezó a ñado. Más e preguntó conocida 7
undas y es un niño con
grave que que había más que
entaba con 4 x 3, por ontándolos
odo para multiplican elen tener a 9. Para
n los dedos de la otra
cando (por r la cuenta
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de lascomo
Paverticsaca pautaen elanota
Pa
Wynrcon uhubieantesprimehabercolumen el todo sEste la cueque hvolveX 4 = hastaque ede los7 X 7entraEvencomb
s tres veceso 6 X 5 ó 5 Xara solventcal para llevsiete dedos
ado. Se vue papel pau
aciones, com
ara algunosoth (1969-1
un círculo eera colocados de que eera columnarse colocad
mna. El emppárrafo an
si necesitanmétodo veenta al calchayan hecher a utilizar l
_, un niño a la cuarta este métodos niños a co
7 = _, los niñada (la sexttualmente,
binaciones
s con los dX 6, no hay ar esta dif
var la cuents y los cue
elven a conutado. El pmo se mue
niños pued1980) propel multiplicao un 7 rode
el niño empa que espedo una columpleo de unaterior puedn educaciónrtical para l
cular, simpleho (y seguias anotaciosólo tiene entrada y o vertical paontar a inteños puedenta) y contar
los niñosbásicas de
edos de la dedos suficficultad, Wta. Para 7 xnta. Cuandtar los sieteproceso co
estra a cont
de ser útil eone que, p
ando (el núeado por unpezara a ccifique el mmna con los
a sola columde producir n especial. llevar la cueemente puer contandoones. Para que ir contencontrar qara llevar la
ervalos. Parn ir hacia abr siete máss pueden la multiplic
mano derecientes par
Wynroth (19x 6, si un ndo acaba, ae dedos (a ontinúa hasinuación:
etiquetar elpara empezúmero a con círculo encontar. Ademultiplicados números
mna en el prmenos con
enta tiene veden contaro a partir deproblemas tando haciaque la respa cuenta esra problemabajo en la cos a partir de
tener un cación.
echa). Paraa este proc969-1980) niño elige coanota un 7 e
partir de «sta que el
multiplicanzar, el niñontar). En e
n la parte suemás, puedor. En el ejedel 1 al 6 a rocedimiennfusión en
varias virtur hacia arribe aquí). Adcon un mu
a atrás en puesta ya es coherenteas con un molumna de e ahí (y ha
registro c
problemascedimiento dpropone uontar grupoen una hojaocho») y seniño ha h
ndo y el muo debe anote ejemplo auperior de lde ser útil emplo anterla izquierdato descrito algunos ni
des. Si los ba el númerdemás, los ltiplicando mla columna
está anotade con la tendmultiplicadolos sietes h
acer una nucompleto d
s mayores, de cálculo.
un método os de siete a de papel e anota 14 hecho seis
ultiplicador. tar r rodear
anterior, se a columna tener una
rior, podría a de la otra e ilustrado ños, sobre
niños pierdro de entradniños puedmenor com
a de los sieda allí. Nótedencia natu
or mayor cohasta la últiueva entradde todas
den das den o 7
etes ese ural mo ma
da). las
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F) R
Anapoyarequietiendeel cálnumécompinvencconte1 y 1 +puede6. LoseficazLlegaalteramentacuándque incuentcálculcomoinformporquno so
RESUMEN
ntes de doarse en preren objetoen de maneculo. Tamb
érica para rerensión infoción de prmplan la ad+ 5 ó 3 + 5 en sentirse s niños desz regla del ndo el mom
a el resultadal es cognodo deben contervengan a, y para lolo que minim los no con
males de cáue las técnicn adecuada
ominar las rocedimienos concretoera natural abién aprendesponder cormal que rocedimientdición comoy 5 + 3, se obligados a
scubren pronúmero sig
mento, los ndo de los poscitivamenontar cuanden un prob
os niños es umicen este ceptuales dálculo. Lascas para coas ni eficac
combinacitos de cá
os como loa emplear pden en seg
con eficaciatienen los tos de cálco añadir máven como pa calcular laonto que 1 +guiente a otniños aprenproblemas Nnte exigentedo cuentan
blema más cun verdadetrabajo me
desempeñas dificultadeontar o paraces.
iones numálculo basaos dedos oprocedimieguida a ema a problemniños de laculo concrás a algo, loproblemas a suma de + N y N + 1tro dado senden que eN + M (pore porque los. Por tanto,complicado
ero alicienteental. Así puan su papees con el ca llevar la c
éricas básados en coo bloques. ntos de con
mplear su cmas de tipo a aritméticaetos y meos problemadistintos. C1 + 5 aun c1 producene aplica porel orden der ejemplo, .s niños deb, cuanto ma
o será el proe inventar nuues, tanto lol en el desacálculo infocuenta que
sicas, los nontar que,Normalmen
ntar orales oconocimienN + 1 = _ y
a guía su centales. Coas conmuta
Como resultcuando sepa la misma s
r igual a 1 +e los suman3 + 5 = 5+ ben tener payores seaocedimientouevos procos factoresarrollo de pormal puede intervienen
niños pued al principnte, los niño mentalesto de la sey N - 1 = _.construcciónomo los niñados como tado, los niñan que 5 + suma y que+ N y a N +ndos tampo3). El cálc
presente han los término para llevaedimientos conceptuarocedimienen producin en el mis
den pio, ños s en erie La n o ños 5 + ños 1 =
e la + 1. oco culo asta nos
ar la s de ales ntos rse mo
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