Post on 26-Aug-2014
ANALISIS FREKUENSI SINYAL DAN SISTEM
Analisis frekuensi sinyal waktu kontinu Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit Sifat-sifat transformasi Fourier Domain frekuensi sistem LTI Sistem LTI sebagai filter
Peristiwa Dispersi
Newton (1672)
Fraunhofer (1787)
Kirchoff & Bunsen (1800)
Cahaya tampak
Cahaya bintang dan matahari
Bahan kimia
Analisis Frekuensi
PrismaCahaya Warna
Matematical Tools
Sinyal Sinyal sinusoidal
Instrument
Software program
Speech
ECG
EEG
Pitch
Denyut jantung
, ,
Transformasi Fourier
Analisis frekuensi sinyal waktu kontinu
Deret Fourier untuk sinyal waktu kontinu periodik
Power spektral density (psd) sinyal periodik Transformasi Fourier untuk sinyal kontinu
aperiodik Energy spectral density (esd) sinyal
aperiodik
periodaTT1Fec)t(x p
po
k
tkF2jk
o
Deret Fourier untuk sinyal periodik
komplekscdte)t(xT1c k
T
0
tkF2j
pk
p
o
*kk ccnyata)t(x
kk jkk
jkk eccecc
1k
koko )tkF2cos(c2c)t(x
kokoko sin)tkF2sin(cos)tkF2cos()tkF2cos(
)tkF2sin(b)tkF2cos(aa)t(x ok1k
oko
kkkkkkoo sinc2bcosc2aca
k
tkF2jk
oec)t(x
Power spectral density (psd) dari sinyal periodik
k
2k
T
0
2
px cdt)t(x
T1P
p
Energinya tak terbatas, dayanya terbatas
)ba(21ac2cP 2
k1k
2k
2o
1k
2k
2ox
2kc sebagai fungsi dari frekuensi F
psd
Relasi Parseval
F
Power spectral density dari sinyal periodik
2kc
-4Fo -3Fo - 3Fo -Fo 0 Fo 2Fo 3Fo 4Fo
21c
23c
22c
24c
Contoh Soal 7.1
Tentukan deret Fourier dan power spectral density dari sinyal pulsa persegi panjang di bawah ini.
)t(x
t0
2
2
pTpT
A
Jawab :
p
2
2p
2T
2Tp
o TAAdt
T1dt)t(x
T1c
p
p
2
2
tkF2j
op
2T
2T
tkF2j
pk
o
p
p
o ekF2j
1TAdtAe
T1c
o
o
p
kFjkFj
pok kF
)kFsin(TA
2jee
TkFAc
oo
TP tetap berubah tetap TP berubah
Power spectral density :
,2,1k,kF
)kFsin(TA
0k,TA
c2
o
o
2
p
2
p2k
dFe)F(X)t(x Ft2j
Transformasi Fourier untuk sinyal aperiodik
dte)t(x)F(X Ft2j
Energy spectral density (esd) dari sinyal periodik
Energinya terbatas :
dF)F(Xdt)t(xE 22x
2xx )F(X)F(S esd
Relasi Parseval
Contoh Soal 7.2
Tentukan transformasi Fourier dan energy spectral density dari sinyal yang didefinisikan sebagai :
)t(x
t0
2
2
A
2t,0
2t,A
)t(x
Jawab :
FFsinAdtAe)F(X
2
2
Ft2j
2
2xx F
FsinA)F(S
X(F)
x(t)
1
Analisis frekuensi sinyal waktu diskrit
Deret Fourier untuk sinyal waktu diskrit periodik
Power spektral density (psd) sinyal diskrit periodik
Transformasi Fourier untuk sinyal diskrit aperiodik
Energy spectral density (esd) sinyal diskrit aperiodik
Deret Fourier untuk sinyal diskrit periodik
21f
21
Nkf
Nk2es
scec)n(x
kk
kknj
k
1N
0kkk
1N
0k
N/kn2jk
k
dasarperiodaN)n(x)Nn(x
kNk
1N
0n
N/kn2j cce)n(xN1)k(c
Contoh Soal 7.3
Tentukan spektrum dari sinyal-sinyal di bawah ini.
4N0,0,1,1).b3ncos)n(x).a
Jawab :
6N61f
n612cos
3ncos)n(x).a
o
5
0n
6/kn2j1N
0n
N/kn2j e)n(xe)n(x)k(c
6/n2j6/n2j e21e
21n
612cos)n(x
1N
0k
6/kn2jk
1N
0k
N/kn2jk ecec)n(x
21ccc
0cccc21c
21c
1615
432o11
21ccc
0cccc21c
21c
1615
432o11
2/kj3
0n
4/kn2j e141e)n(x
41)k(c
4N0,0,1,1).b
1N
0n
N/kn2je)n(xN1)k(c
)j1(41c0c)j1(
41c
21c 321o
)j1(41c0c)j1(
41c
21c 321o
Contoh Soal 7.4
Tentukan spektrum dari sinyal di bawah ini.
n5
2sinn3
2cos)n(x
Jawab :
n1532sinn
1552cosn
52sinn
32cos)n(x
j2ee
2ee)n(x
n)15/3(2jn)15/3(2jn)15/5(2jn)15/5(2j
n)15/5(2jn)15/5(2jn)15/3(2jn)15/3(2j e21e
21e
2je
2j)n(x
n)15/5(2jn)15/5(2jn)15/3(2jn)15/3(2j e21e
21e
2je
2j)n(x
14
0k
15/kn2jk
1N
0k
N/kn2jk ecec)n(x
21c
2jc
2jc
21c 5335
1/2
kc
90o
kc
- 90o
Power Spectral Density (psd) sinyal diskrit periodik
1N
0k
2k
21N
0kx c)n(x
N1P Relasi Parseval
psd
Energi satu perioda
Bila x(n) nyata :
1N
0k
2k
1N
0k
2N cN)n(xE
k*k cc kkkk cccc
kNkkNk
kNkNkk
cccc
cccc
0cccc N0N0
1N11N1 cccc
0ccc 2/N2/N2/N
2/)1N(2/)1N(2/)1N(2/)1N( cccc
Bila N genap
Bila N ganjil
kNkkNk
kNkNkk
cccc
cccc
2/)1N(,2,1,0k,cganjilN2/N,2,1,0k,cgenapN
k
k
Contoh Soal 7.5
Tentukan koefisien deret Fourier dan power spectral density dari sinyal diskrit periodik di bawah ini.
Jawab :
1L
0n
N/kn2j1N
0n
N/kn2jk Ae
N1e)n(x
N1c
N/kn2j
N/kL2j
1L
0n
N/kn2jk
e1e1
NAN
AL
eNAc
)N/ksin()N/kLsin(e
eeee
ee
e1e1
N/)1L(kj
N/kjN/kj
N/kLjN/kLj
N/kj
N/kLj
N/kn2j
N/kL2j
lainnyak,
)N/ksin()N/kLsin(e
NA
,N2,N,0k,N
AL
eNAc
N/)1L(kj
1L
0n
N/kn2jk
lainnyak,)N/ksin()N/kLsin(
NA
,N2,N,0k,N
AL
cpsd 22
2
2k
Transformasi Fourier dari sinyal diskrit aperiodik
n
nje)n(x)(X
de)(X21)n(x nj
n
nj
n
kn2jnj
n
n)k2(j
)(Xe)n(xee)n(x
e)n(x)k2(X
Bentuk Deret Fourier
Contoh Soal 7.6
Tentukan sinyal diskrit yang transformasi Fouriernya adalah :
Jawab :
c
c
,0
,1)(X
de)(X21)n(x nj
cc
c
d21)0(x0n
nnsin
nnsin
j2ee
n1)n(x
ejn1
21de
21)n(x0n
c
cccnjnj
njnj
cc
c
c
c
c
n
nje)n(x)(X
N
Nn
njcN e
nnsin)(X
Energy spectral density (esd) sinyal diskrit aperiodik
Relasi Parseval
d)(X21)n(xE 2
n
2x
2xx )(X)(S
Spektrum magnituda
)(X)()(Xe)(X)(X )(j
Spektrum fasa
x(n) nyata )(X)(X*
)(X)(X)(X)(X
Contoh Soal 7.7
Tentukan energy spectral density dari sinyal diskrit :
Jawab :
1a1)n(ua)n(x n
0n
nj
0n
njn
n
nj )ae(eae)n(x)(X
)(X)(X)(x)(Sae11)(X *2
xxj
2jjxx acosa211
ae11
ae11)(S
Contoh Soal 7.8
Tentukan transformasi Fourier dari sinyal diskrit :
lainnyan,0
1Ln0,A)n(x
Jawab :
)2/sin()2/Lsin(Ae
e1e1AAe)(X
)1L)(2/(j
j
Lj1L
0n
nj
)(j)1L)(2/(j e)(X)2/sin()2/Lsin(Ae)(X
lainnya,)2/sin()2/Lsin(A
0,AL)(X
)2/sin()2/Lsin()1L(
2A)(X)(
Spektrum fasa
Spektrum magnituda
A = 1
L = 5
Hubungan transformasi Z dengan transformasi Fourier
n
njn
n
nj
n
z e]r)n(x[)re)(n(xe)n(x)z(X
Transformasi Fourier :
n
nj )(Xe)n(x)z(X1r1z
Transformasi Z
zzrrez j
Transformasi Fourier pada lingkaran satu =
Contoh Soal 7.9
Tentukan transformasi Fourier dari : )n(u)1()n(x
Jawab :
1zz
z11)z(X 1
)2/1k(2)2/cos(2
e
)ee)(e()e)(e(
1rere
1zz
z11)(X
2/j
2/j2/j2/j
2/j2/j
j
j
1
Klasifikasi sinyal dalam domain frekuensi
Sinyal frekuensi rendah :
Sinyal frekuensi tinggi :
Sinyal frekuensi menengah (bandpass signal) :
Daerah frekuensi pada beberapa sinyal asli
Sinyal-sinyal biologi :
Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)Electroretinogram 0 - 20Electronystagmogram 0 - 20Pneumogram 0 - 40Electrocardiogram (ECG) 0 - 100Electroencephalogram (EEG) 0 - 100Electromyogram 10 - 200Aphygmomanogram 0 - 200Speech 100 - 4000
Sinyal-sinyal seismik :
Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)Wind noise 100 - 1000Seismic exploration signals 10 - 100Earthquake and nuclear explosion signsld
0.01 - 10
Seismic noise 0,1 - 1
Sinyal-sinyal elektromagnetik :
Tipe sinyal Daerah frekuensi (Hz)Radio broadcast 3x104 – 3x106
Shortwave radio signals 3x106 – 3x1010
Radar, sattellite comunications 3x108 – 3x1010
Infrared 3x1011 – 3x1014
Visible light 3,7x1014 – 7,7x1014
Ultraviolet 3x1015 – 3x1016
Gamma rays and x-rays 3x1017 – 3x1018
Sifat-sifat transformasi Fourier
Sifat-sifat simetri dari transformasi Fourier Linieritas Pergeseran waktu Pembalikan waktu Teorema konvolusi Pergeseran frekuensi Diferensiasi frekuensi
Sifat-sifat simetri dari transformasi Fourier
nj1
n
nj
e)(X21)}(X{F)n(x
e)n(x)}n(x{F)(X
)(X)n(xF
nsinjncosesinjncose njnj
]nsin)n(xncos)n(x[)(X
]nsin)n(xncos)n(x[)(X
Rn
II
nIRR
)(jX)(X)(X)n(jx)n(x)n(x
R
IR
x(n) dan X () kompleks
d]ncos)(Xnsin)(X[21)n(x
d]nsin)(Xncos)(X[21)n(x
I
2
0 RI
I
2
0 RR
x(n) nyata 0)n(x)n(x)n(x IR
)(X)(Xnsin)n(x)(X
)(X)(Xncos)n(x)(X
IIn
I
Rn
RR
nsin)nsin(ncos)ncos(
)(X)(X)(X)(X IIRR
)(X)(X*
)(X)(Xtg)(X
)(X)(X)(X
I
I1
2I
2R
)(X)(X
)(X)(X
d]nsin)(Xncos)(X[1)n(x
ganjilnsindan)(Xgenapncosdan)(X
d]nsin)(Xncos)(X[21)n(x
I0 R
IR
I
2
0 R
x(n) nyata dan fungsi genap
dncos)(X1)n(x
0)(Xncos)n(x2)0(x)(X
)n(x)n(x
0 R
I1n
R
x(n) nyata dan fungsi ganjil
dnsin)(X1)n(x
0)(Xnsin)n(x2)(X
)n(x)n(x
0 I
R1n
I
x(n) imajiner murni
d]ncos)(Xnsin)(X[1)n(x
ncos)n(x)(X
nsin)n(x)(X
)n(jx)n(x0)n(x
0 IRI
nII
nIR
IR
x(n) imajiner murni dan genap
dnsin)(X1)n(x
0)(Xnsin)n(x2)(X
)n(x)n(x
0 RI
I1n
IR
II
x(n) imajiner murni dan ganjil
dncos)(X1)n(x
0)(Xncos)n(x2)0(X)(X
)n(x)n(x
0 II
R1n
III
II
Contoh Soal 7.10
Tentukan dan buat sketsa XR(), XI(), X() dan X( dari transformasi Fourier :
Jawab :
1a1ea1
1)(X j
22jj
j
j
j
j
acosa21sinjacosa1
a)ee(a1ea1
ea1ea1
ea11)(X
2R acosa21cosa1)(X
2I acosa21
sina)(X
2
2
2
2222
2I
2R
a)cos(a21cosa2a1
a)cos(a21)(sinacosa2)(cosa1
)(X)(X)(X
cosa1sinatg)(X 1
Linieritas
)(Xa)(Xa)(X)}n(x{F)n(xa)n(xa)n(x
)(X)}n(x{F)(X)}n(x{F
2211
2211
2211
Contoh Soal 7.11
Tentukan transformasi Fourier dari : 1a1a)n(x n
0n,00n,a
)n(x0n,00n,a
)n(x
)n(x)n(x)n(xn
2
n
1
21
Jawab :
j
0n
nj
0n
njn
n
nj11
ae11
)ae(eae)n(x)(X
j
j
1k
kj
1
n
nj1
n
njn
n
nj22
ae1ae)ae(
)ae(eae)n(x)(X
2
2
2jj
2jj
j
j
j21
acosa21a1
a)aeae(1aaeae1
ae1ae
ae11)(X)(X)(X
Pergeseran waktu
)(Xe)}n(x{F)kn(x)n(x
)(X)}n(x{F
1kj
1
11
Pembalikan waktu
)(X)}n(x{F)n(x)n(x)(X)}n(x{F
11
11
Teorema konvolusi
)(X)(X)}n(x{F)n(x*)n(x)n(x)(X)}n(x{F)(X)}n(x{F
2111
2211
Jawab :
Contoh Soal 7.12
Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n), dengan :
x1(n) = x2(n) ={1, 1, 1}
cos21ee1
ee)n(x)(X
jj
n
1
1n
njnj11
)ee()ee(23
2cos2cos432
2cos14cos41
cos4cos41
)cos21()(X)(X)(X
cos21)(X)(X
2j2jjj
2
221
21
2jjj2j
n
nj ee23e2ee)n(x)(X
}12321{)n(x
Pergeseran frekuensi
)(X)}n(x{F)n(xe)n(x
)(X)}n(x{F
o11nj
11
o
Teorema modulasi
ncos)n(x)n(x)(X)}n(x{F o111
)n(xe21)n(xe
21)n(x)ee(
21)n(x 1
nj1
nj1
njnj oooo
)(X21)(X
21)(X)}n(x{F o1o1
Diferensiasi frekuensi
)n(nx)n(x)(X)}n(x{F 111
d
)(dXj)}n(x{F 1
)}n(nx{jFe)n(nxj
edd)n(xe)n(x
dd
d)(dX
e)n(x)(X
1n
nj1
n
nj1
n
nj1
1
n
nj11
Domain frekuensi sistem LTI
Fungsi respon frekuensi Respon steady-state dan respon transien Respon terhadap sinyal input periodik Respon terhadap sinyal input aperiodik Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi
respon frekuensi Komputasi dari fungsi respon frekuensi
Fungsi respon frekuensi
k
njkj
k
)kn(j
nj
k
e]Ae)k(h[AAe)k(h)n(y
Ae)n(xkompleksInput
)kn(x)k(h)n(y
nj
k
kj e)(AH)n(ye)k(h)(H
Eigen function
Eigen value
Contoh Soal 7.12
Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :
)n(u21)n(h
n
Jawab :
Tentukan outputnya bila mendapat input : 2/njAe)n(x
21j1
1
e211
1)(He
211
1)(H
e21e
21)(H)n(hF
2/jj
n
nj
n
njn
)6,262/n(2/nj6,26j
nj
6,26j
oo
o
e5A2ee
52A
e)(AH)n(y
e5
2
21j1
1)(H
Amplituda
Frekuensi
Fasa
32
211
1
e211
1)(HAe)n(xj
nj
njAe32)n(y
)sin)(cos()(
)()()(
kjkkhekh
jHHH
kk
kj
IR
)()(sin)()(
)()(cos)()(
IIk
I
RRk
R
HHkkhH
HHkkhH
)()()()(
)()()(
1
22
I
I
IR
HHtgH
HHH
njj
njjnj
njjnj
eeHA
eeHAnyAenx
eeHAnyAenx
)(
)(22
)(11
)(
)()()(
)()()(
)](cos[)()]()([21)(
cos][21)]()([
21)(
21
21
nHAnynyny
nAAeAenxnxnx njnj
)](sin[)()]()([2
1)(
sin][2
1)]()([2
1)(
21
21
nHAnynyj
ny
nAAeAej
nxnxj
nx njnj
Contoh Soal 7.13
Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :
)n(u21)n(h
n
Jawab :
Tentukan outputnya bila mendapat input :
nnnx cos202
sin510)(
jeH
211
1)(
32)(
52)2/(
2
211
1)0(
211
1)(
6,26
H
eH
H
eH
o
j
nnnx cos3
402
sin5
1020)(
Contoh Soal 7.14
Suatu sistem LTI dinyatakan dengan persamaan beda :
10)()1()( anbxnayny
)4
cos(202
sin125)( nnnx
9,01)().)().
adanHUntukbHTentukana
maks
Tentukan y(n) bila inputnya :
Jawab :
)()()()1()( nubanhnbxnayny n
j
n
nj
aebenhH
1
)()(
cos1sin1
cos211
sin)cos1(1
1
2
aatgae
aaae
jaaae
j
j
j
cos1sin)(
cos21)(
1
2
aatgb
aa
bH
ababHH
maks
11
1)0()(
cos1sin)(
cos21
1)( 1
2 aatg
aa
aH
0)(1)0( H
otgH 429,0)(074,09,01
1,0)2/( 1
2
0)(053,09,11,0
11)(
aaH
)4
cos(202
sin125)( nnnx
)](4
cos[)(20
)]2/(2
sin[)2/(12)0(5)(
nH
nHHny
]4
cos[06,1]422
sin[888,05)( nnny o
Respon steady-state dan respon transien
)n(x)1n(ay)n(y
n
0k
k1n )kn(xa)1(ya)n(y)n(x
n
0k
)kn(jk1n
nj
eaA)1(ya)n(y
0nAe)n(x
njkn
0n
j1n
nj
e)ae(A)1(ya)n(y
0nAe)n(x
njkn
0n
j1n
nj
e)ae(A)1(ya)n(y
0nAe)n(x
njj
)1n(j1n1n
nj
eae1ea1A)1(ya)n(y
0nAe)n(x
njj
njj
)1n(j1n1n e
ae1Ae
ae1eaA)1(ya)n(y
Respon transien
Respon steady state
njj
njj
)1n(j1n1n e
ae1Ae
ae1eaA)1(ya)n(y
1aStabil
njnjj
nss e)(AHe
ae1A)n(y)n(y lim
njj
)1n(j1n1n
tr eae1
eaA)1(ya)n(y
Respon steady state terhadap sinyal input periodik
1N
0k
N/kn2jkec)n(xFourierDeret
N/kn2jkk
N/kn2jkk e
Nk2Hc)n(yecx
Nk2)(H
Nk2H
1N
0k
N/kn2jk
1N
0kk e
Nk2Hc)n(y)n(y
Nk2Hcded)n(y kk
1N
0k
N/kn2jk
Respon steady state terhadap sinyal input aperiodik
)(XH)(YkonvolusiTeori
)(X)(H)(Y)(XH)(Y
)(SH)(S)(XH)(Y xx2
yy222
d)(SH
21E:Energi xx
2y
Contoh Soal 7.15
Suatu sistem LTI mempunyai respon impuls :
)n(u21)n(h
n
Tentukan spektrum dan esd-nya bila mendapat input :
)n(u41)n(x
n
Jawab :
j0n
njn
e211
1e21)(H
je411
1)(X
jj e
411
1
e211
1)(XH)(Y
)e161e
411(
1
)e41e1(
1)(Sj2jj2j
y
22yy )(XH)(S
cos
21
1617
1
cos45
1)(Sy
Hubungan antara fungsi sistem dan fungsi respon frekuensi
n
njez
j e)n(hzH)(Hez j
)(H)(H)(H)(HH *2
jez
12 )z(H)z(HH
Contoh Soal 7.16
Suatu sistem LTI dinyatakan dengan :
)1n(x)n(x)2n(y2,0)1n(y1,0)n(y
Tentukan 2)(H
Jawab :
21
1
z2,0z5,01z1)z(H
221
11
z2,0z5,01z1
z2,0z5,01z1)z(H)z(H
221
11
z2,0z5,01z1
z2,0z5,01z1)z(H)z(H
)zz(2,0)zz(08,005.1zz2)z(H)z(H 221
11
)ee(2,0)ee(08,005.1ee2)(Hez 2j2jjj
jj2j
2cos4,0cos16,005.1
cos22)(H 2
2
22
cos8,0cos16,045.1)cos1(2)(H1cos22cos