Analytische Meetkundeof Meetkunde met Coördinaten

DVD Delft, 18 oktober 2012

Wim Caspers & Jeroen Spandaw

Programma

• 16:00 – 17:30 : deel 1 (inleiding)

• 17:30 – 18:30 : diner

• 18:30 – 20:00: deel 2 (nieuw materiaal)

Diner in Kronigzaal (lift C-vleugel, 4e verdieping; koffie/thee

meenemen!)

Programma deel 1

Thema: axiomatische meetkunde versus analytische (coördinaten-)meetkunde

• Presentatie

• Opgaven

• Bespreking opgaven

Voorbeeld 1: Zwaartepunt

Stelling: De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door een punt.

Zwaartepunt: Bewijs 1

• A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2).• P = ½ (b1+c1, b2+c2)

• AP : y – a2 = rico · (x – a1) • AP : rico = (b2+c2 – 2a2) / (b1+c1 – 2a1)• AP : (b1+c1 – 2a1) · (y – a2) =

= (b2+c2 – 2a2) · (x – a1)

Zwaartepunt: Bewijs 1

• AP : (b1+c1 – 2a1) · (y – a2) =

= (b2+c2 – 2a2) · (x – a1)

Analoog (a b):

• BQ : (a1+c1 – 2b1) · (y – b2) =

= (a2+c2 – 2b2) · (x – b1)

Snijpunt berekenen…

Zwaartepunt: Bewijs 1

• Na afschuwelijke rekenpartij:

• Z = 1/3 · (a1+b1+c1, a2+b2+c2).

• Nu checken dat Z op de lijn CR ligt, dus voldoet aan

• CR : (a1+b1 – 2c1) · (y – c2) = = (a2+b2 – 2c2) · (x – c1)

• Deze verificatie is gemakkelijk!

Beide zijden (a1+b1 – 2c1) · (a2+b2 – 2c2)

Bewijs successief verbeteren

• Eerste bewijs vaak onhandig

• Gaan bewijs successief vereenvoudigen

Zwaartepunt: Bewijs 2

• Als bewijs 1,

• maar gebruik symmetrie van

• Z = 1/3 · (a1+b1+c1, a2+b2+c2).

• Als Z op AP ligt, dan

• vanwege symmetrie ook op BQ en CR. (Verwisselen van a’s, b’s en c’s.)

Zwaartepunt: Bewijs 3?

• Als bewijs 1,• maar vereenvoudig (?) rekenwerk• door in eerste stap• A = (0, 0), B = (1, 0), C = (p, q)• te veronderstellen.• “Zonder beperking der algemeenheid”.• Waarom eigenlijk?• Nadeel: Symmetrie weg uit berekening.

Zwaartepunt: Bewijs 4

• Als bewijs 1,• maar raad het antwoord• Z = 1/3 · (a1+b1+c1, a2+b2+c2).• Wegens symmetrie voldoende te checken

dat Z op AP ligt.• Los op Z = · A + (1 – ) · P.• (1/3)·(ai+bi+ci) = · ai + (1 – ) · ½·(bi+ci) = 1/3 is een (de) oplossing!

Zwaartepunt: Bewijs 5

• Als bewijs 4,

• maar dan met vectoren:

• v1 := OA, v2 := OB, v3 := OC.

• Dan OP = ½ (v2 + v3)

• Punt Z met OZ := (1/3) (v1 + v2 + v3) ligt op de lijn OP, want OZ = ·OA + (1 – )·OP.

• Wegens symmetrie ligt Z ook op OQ & OR

Zwaartepunt, Bewijs 6

ACB QCP• dus PQ // AB• en |AB| = 2 · |PQ|AZB PZQ• |AZ| = 2 · |ZP|• Het punt Z op AP met |AZ| = 2 · |ZP| ligt

ook op BQ.• Rollen B en C verwisselen: Z ook op CR.

Didactiek• Vaak veel variabelen.

• Getallenvoorbeelden nuttig?

• Rekenen/algebra met verstand:– Wat is gegeven? Wat is te bewijzen?– Oplossing verifiëren versus oplossing vinden– Gebruik maken van symmetrie van

uitdrukkingen en situaties– “Analoog…”– “We mogen z.b.d.a. aannemen dat…”

Voorbeeld 2: Pythagoras

• Pythagoras in coördinaten?

• Geldt bijna per definitie van de afstand!

Pythagoras in coördinaten

• z.b.d.a. A = O

• OB OC, dus b1c1 + b2c2 = 0.

• Te bewijzen: BC 2 = OB 2 + OC 2, dus

• (c1 – b1)2 + (c2 – b2)2 = b12 + b2

2 + c12 + c2

2

• Simpel!

Pythagoras met algebra

• c2 = (a+b)2 – 4·½·ab• dus c2 = a2 + b2

• Meetkundig bezwaar:• geen pure meetkunde• maar mix met algebra• Niet lengte-kwadraat,• maar oppervlakte!

Algebra geëlimineerd?

Pythagoras met schalen

• De 3 driehoeken in plaatje zijn gelijkvormig.• Dus hun oppervlakten zijn s·a2, s·b2, s·c2 met

dezelfde evenredigheidsconstante s. • Dus s·a2 +s·b2 = s·c2

Axiomatiek versus coördinaten

1. Pythagoras in coördinaten geldt vrijwel per definitie van de afstand in coördinaten-meetkunde.

2. Pythagoras in axiomatische meetkunde is moeilijker.

Is (1) dan wel echt bewijs?

Ja, maar alleen in Cartesisch vlak

Axiomatisch vlak versus Cartesisch vlak R2

Axiomatisch vlak:• vlak, punten, lijnen,

incidentie, congruentie ongedefinieerd!

• We nemen aan dat ze aan axioma’s voldoen.

• Onderzoeken logische gevolgen van axioma’s

Cartesisch vlak:• vlak := R2

• punt := element in R2

• lijn := oplossings-verzameling van lineaire vergelijking

• Enzovoorts• Kunnen bewijzen dat

axioma’s in dit model van Euclidische meetkunde

Congruentie

In Euclidisch vlak:• alleen congruentie,• geen lengte van

lijnstukken.• Geen hoekmaat van

hoeken,• alleen vergelijk van

lijnstukken en hoeken (=, < of >).

In Cartesisch vlak• wel begrip lengte• lijnstukken per

definitie congruent als ze even lang zijn

• Lengte lijnstuk AB gedefinieerd als [(a1–b1)2 + [(a2–b2)2]

Congruentie van hoeken

• Een hoek is gedefinieerd als twee halve lijnen m en n met een gemeenschappelijk eindpunt A zodat m en n niet bevat zijn in één lijn.

• Definieer congruentie van dergelijke hoeken.

• Hint: Definieer eerst grootte van hoek.

Een oplossing

• z.b.d.a. A = O.• kies B O op halve lijn m• kies C O op halve lijn n• definieer (m, n) := arccos(p) met• p := (b1c1 + b2c2) / ((b1

2 + b22)(c1

2 + c22))

• (Check dat -1 p 1.)• Hoeken (m, n) en (m', n') per definitie

congruent als (m, n) = (m', n').• Simpeler: congruent als p = p'.

Vectoren: inproduct, lengte & hoek

• Definitie: Inproduct v·w van vectoren v = (v1, v2) en w = (w1, w2) is v1w1 + v2w2.

• Inproduct van twee vectoren is getal.

• Definitie: Lengte |v| van vector is (v·v) = (v1

2 + v22)

• Definitie: Hoek (v,w) tussen twee vectoren is arccos(p) met p:= v·w / |v|·|w|

Opgave voor masochisten

• Definieer alle ongedefinieerde begrippen uit Euclidische meetkunde in R2

• en controleer alle axioma’s van Hilbert:• 4 incidentie-axioma’s over punten op lijnen• 4 axioma’s over ordening• 3 axioma’s over congruentie van lijnstukken• 3 axioma’s over congruentie van hoeken• axioma van Dedekind

Gevolg: Alle axiomatisch bewezen stellingen gelden in R2.

Voordelen axiomatische meetkunde

• Meetkundig verklaren i.p.v. algebraïsch verifiëren

• Axiomatische bewijzen gelden in alle modellen.

• Voorbeeld: eerste 28 proposities uit Euclides gelden ook in hyperbolisch vlak

Voordelen axiomatische meetkunde

• Voorbeeld: eerste 28 proposities uit Euclides gelden ook in hyperbolisch vlak

• Voorbeelden:– congruentiecriteria– constructie loodlijnen– één richting Z-hoeken– stelling buitenhoek

Coördinaten versus axiomatiek

• Axiomatiek mooier?

• Ik vind symmetrische uitdrukkingen en slimme berekeningen (soms one-liners!) ook mooi.

• Coördinaten = vals spelen? Te gemakkelijk?

• Nee, maar deels andere vaardigheden nodig.

Coördinaten versus axiomatiek

• Cartesische meetkunde is belangrijker dan axiomatische meetkunde.

• Met de kennis van nu: • “vergissing” van Euclides om 2d- en 3d-

meetkunde te axiomatiseren.• Beter: Axiomatiseer de getallenlijn R • en doe meetkunde in Rn

• of nog algemener: differentiaalmeetkunde, algebraïsche meetkunde, enzovoorts.

Euclidische meetkunde heeft rijk verleden

Coördinatenmeetkunde is meetkunde met toekomst

Didactiek: coördinaten of axioma’s?

• Deels gelijk: van start (gegevens) naar finish (te bewijzen bewering)

• Andere vaardigheden• Klaas Landsman:

– Oefen axiomatische redeneren niet met meetkunde, maar in kansrekening.

– Twee voordelen:• cleaner: 3 axioma’s i.p.v.15• kansrekening is belangrijker dan meetkunde

• Jeroen Spandaw: Meetkunde minder geschikt voor oefenen logisch redeneren, want meestal p q en zelden p q zonder q p.

Driedeling van een hoek

Kan met gemarkeerde liniaal:

Bewijs correctheid van deze constructie m.b.v. coördinaten.

Ervaring met leraren in opleiding

Moeilijk:1. Kiezen van handig coördinatensysteem2. Vertalen van gegevens naar “algebra”3. Vertalen van “te bewijzen” naar “algebra”4. Een weg vinden van start naar finish5. Overzicht behouden6. Goniometrie en algebra7. Logica (richting van implicaties)

Driedeling van een hoek

Kan met gemarkeerde liniaal:

Bewijs correctheid van deze constructie m.b.v. coördinaten.Voorwaarden?

Driedeling van een hoek (2)

• A = (0,0) en B = (1,0)• C = (1,t) en Q = (1,s)• AQ : y = s·x• P = (t/s, t)

• Bewijs/verifieer dat (s,t)=(tan(),tan(3)) voldoet aan

• PQ2 = 4·AC2

Driedeling van een hoek (3)

• Y1 = tan(X)• Y2 = tan(3X) • Y3 = (Y2/Y1-1)2 +

(Y2-Y1)2 – 4*(1+Y22)• Maak tabel of grafiek

voor Y3• Conclusie: Y3 = 0.• Puur algebraïsch

bewijs is lastig.

Driedeling van een hoek (4)

Opgaven

Opgave 1: Thales 1

Bewijs met coördinaten: ACB recht d.e.s.d. als C op cirkel met middellijn AB.

Opgave 2: Thales 2

Bewijs met coördinaten: BC // B'C' d.e.s.d. als AB : AB' = AC : AC' d.e.s.d als AB : AB' = AC : AC' = BC : BC'

Opgave 3: Hoogtelijn

a) Bewijs met coördinaten: De 3 hoogtelijnen van een driehoek gaan

door 1 punt.b) Bewijs dezelfde stelling zonder coördinaten

Opgave 4: Cosinusregel

Bewijs met vectoren:

• De cosinusregel: c2 = a2 + b2 – 2ab cos()

Opgave 5: Stelling constante hoek

• Constante hoek: ACB hangt niet van C, maar alleen van A en B af.

• Volgt uit:• Omtrekshoek: ACB is

de helft van AMB• Bewijs met coördinaten

voor het geval AMB = 90.

Uitwerkingen

Opgave 1: Thales 1

Bewijs met coördinaten: ACB recht d.e.s.d. als C op cirkel met middellijn AB.

Bewijs Thales 1

Bewijs: Mogen z.b.d.a. aannemen dat A = (-1,0) en B = (1,0).Schrijf C = (p,q).

AC = (p + 1, q) en BC = (p – 1, q).Inproduct is AC · BC = p2 – 1 + q2.Dus AC BC d.e.s.d. p2 + q2 = 1

d.e.s.d. C op cirkel met middellijn AB.

Opgave 2: Thales 2

Bewijs met coördinaten: BC // B'C' d.e.s.d. als AB : AB' = AC : AC' d.e.s.d als AB : AB' = AC : AC' = BC : BC'

Bewijs Thales 2

• z.b.d.a. A = (0,0), B = (1,0), B' = (g, 0).• Schrijf C = (r, s).• C' = (kr, ks), want op lijn AC.

• BC = (r – 1, s), B'C' = (kr – g, ks),• dus BC // B'C' d.e.s.d. B'C' = k · BC• d.e.s.d. k = g.• Rest simpel.

Opgave 3: Hoogtelijn

a) Bewijs met coördinaten: De 3 hoogtelijnen van een driehoek gaan

door 1 punt.b) Bewijs dezelfde stelling zonder coördinaten

Hoogtelijn met coördinaten

• z.b.d.a. A = (0,0), B = (1,0) en C = (p,q).• Hoogtelijn door C: x = p.• BC = (p – 1, q) is normaalvector voor hoogtelijn

op BC• Die hoogtelijn: (p – 1) x + qy = 0.• Snijden met x = p: y = (1 – p)p/q.• Dus H = (p, (1 – p)p/q)• Dus BH = (p – 1, (1 – p)p/q)• Inproduct met AC = (p, q) is nul, dus BH AC• Dus hoogtelijn door B op AC gaat door H.

Hoogtelijn zonder coördinaten

Verdubbel de driehoek:

De hoogtelijnen van ABC zijn de middelloodlijnen van PQR, dus ze gaan door 1 punt.

Opgave 4: Cosinusregel

Bewijs met vectoren:

• De cosinusregel: c2 = a2 + b2 – 2ab cos()

Cosinusregel met vectoren

• Te bewijzen: c2 = a2 + b2 – 2ab cos()

• a := CB, b := CA, c := AB (vectoren)

• a = b + c (som van vectoren)

• a = || a ||,

• dus a2 = || a ||2 = a · a =: a2

• a2 is kwadraat van getal (lengte a)

• a2 is inproduct van vector a met zichzelf

Cosinusregel met vectoren

• Te bewijzen: c2 = a2 + b2 – 2ab cos()

• Per definitie van =(a,b) geldt:

• cos() = a·b / ab

• c2 = c2 = (a – b)2 = (a – b)·(a – b)

• c2 = a2 – 2 a·b + b2

• c2 = a2 – 2 a·b + b2 = a2 – 2ab cos() + b2

Opgave 5: Stelling constante hoek

• Constante hoek: ACB hangt niet van C, maar alleen van A en B af.

• Volgt uit:• Omtrekshoek: ACB is

de helft van AMB• Bewijs met coördinaten

voor het geval AMB = 90.

Speciaal geval stelling v.d. omtrekshoek met coördinaten (1)

• b := CA = (1 – cos(t), - sin(t))• a := CB = (-cos(t), 1 – sin(t))• cos() = a · b / ab• a · b = -cos(t) + cos2(t)

– sin(t)) + sin2(t)• a · b = 1 – cos(t) – sin(t)• a2 = cos2(t) + (1 – sin(t))2 • a2 = 2 – 2sin(t)• b2 = 2 – 2cos(t)

Speciaal geval stelling v.d. omtrekshoek met coördinaten (2)

• cos() = a · b / ab• a · b = 1 – cos(t) – sin(t)• a2 = 2 – 2sin(t), b2 = 2 – 2cos(t)• cos2() = (a · b)2 / a2b2

• (a · b)2 = 1 + cos2(t) + sin2(t) – 2cos(t) – 2sin(t) + 2cos(t)sin(t)

• (a · b)2 = 2 – 2cos(t) – 2sin(t) + 2cos(t)sin(t)• a2b2 = (2 – 2sin(t)) · (2 – 2cos(t))• a2b2 = 4 – 4cos(t) – 4sin(t) + 4cos(t)sin(t) • a2b2 = 2 (a · b)2, dus cos() = a · b / ab = ½2.

Speciaal geval stelling v.d. omtrekshoek met coördinaten (3)

• cos() = a·b/ab = ½2 = 45 als a·b > 0• a · b = 1 – cos(t) – sin(t)• dus a·b > 0 als 90 < t < 360.

= 135 als a·b < 0,• dus als 0 < t < 90.

ongedefinieerd als t = 0 of t = 90

Slotwoord