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Capıtulo I - Fundamentos de Dinamica Contınua
ANALISE LINEAR DE SISTEMAS
JOSE C. GEROMEL
DSCE / Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUNICAMP, CP 6101, 13083 - 970, Campinas, SP, Brasil,
geromel@dsce.fee.unicamp.br
Campinas, Novembro de 2006
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Capıtulo I - Fundamentos de Dinamica Contınua
NOTA AO LEITOR
Este material foi preparado como suporte as aulas e einteiramente baseado no livro texto :
Jose C. Geromel e Alvaro G. B. Palhares, Analise Linear de
Sistemas Dinamicos : Teoria, Ensaios Praticos e Exercıcios,ISBN 85-212-0335-7, Editora Edgard Blucher Ltda, Sao Paulo,SP, 2004.
onde o leitor podera encontrar maiores informacoes e detalhesa respeito dos topicos aqui abordados.
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Capıtulo I - Fundamentos de Dinamica Contınua
Conteudo
1 Capıtulo I - Fundamentos de Dinamica ContınuaSistemas linearesEquacoes diferenciais lineares
Solucao temporalTransformada de LaplaceSolucao via transformada de LaplaceRepresentacao de estado
Sistemas dinamicos linearesFuncao de transferenciaResposta em frequencia
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Capıtulo I - Fundamentos de Dinamica Contınua
Sistemas lineares
Sistemas lineares
Um sistema dinamico a tempo contınuo definido para todot ∈ R e um dispositivo que converte um sinal de entrada g(t)(definido para todo t ∈ R) em um sinal de saıda y(t)(definido para todo t ∈ R), atraves da relacao
y = S[g ]
onde S[·] indica um ente matematico que associa sinais deentrada com sinais de saıda. Por exemplo :
S [g ] = 3g → y(t) depende apenas de g(t).
S [g ] =∫ t
−∞g(τ)dτ → y(t) depende de g(τ),−∞ ≤ τ ≤ t.
S [g ] =∫∞
−∞g(t − τ)2dτ → y(t) depende de
g(τ),−∞ ≤ τ ≤ ∞.
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
Um sistema dinamico pode ser qualificado como :
Causal quando y(t) depende de g(τ) apenas para τ ≤ t. Ouseja, em qualquer instante a saıda depende apenas da entradaocorrida no passado e no presente.Linear quando y(t) =
∑
i αiyi (t) for a saıda correspondente aentrada g(t) =
∑
i αigi(t) para todo escalar αi .Invariante no tempo quando y(t − τ) for a saıdacorrespondente a entrada g(t − τ) para todo τ ∈ R.
⇓
Sistemas inteiramente definidos atraves de sua resposta a umaentrada particular, o impulso unitario g(t) = δ(t).
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
O impulso unitario permite decompor sinais contınuos notempo. Sendo g(t) definido em t ∈ R, vale a igualdade :
g(t) =
∫ ∞
−∞
g(τ)δ(t − τ)dτ
Um sistema LIT com entrada g(t) tem como saıda :
y(t) = S
[∫ ∞
−∞
g(τ)δ(t − τ)dτ
]
=
∫ ∞
−∞
g(τ)S[δ(t − τ)]dτ
=
∫ ∞
−∞
g(τ)h(t − τ)dτ
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
Da primeira para a segunda igualdade usamos a linearidade eda segunda para a terceira a invariancia no tempo aplicada aresposta ao impulso
h(t) = S[δ(t)]
Fato (Sistema LIT)
A sua resposta y(t) e dada pela convolucao de sua resposta ao
impulso h(t) pela entrada g(t), isto e :
y(t) = g(t) ∗ h(t)
=
∫ ∞
−∞
g(τ)h(t − τ)dτ
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
Propriedades importantes :
A convolucao e uma operacao associativa, distributiva ecomutativa.Um sistema LIT e Causal se
h(t) = 0 , ∀ t < 0
pois h(t − τ) = 0 para todo τ > t fazendo com que suaresposta seja dada por
y(t) =
∫ t
−∞
g(τ)h(t − τ)dτ
e assim y(t) depende apenas de g(τ) para τ ≤ t.
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
Resposta ao degrau unitario g(t) = υ(t) de um sistema LTI :
y(t) =
∫ ∞
−∞
υ(τ)h(t − τ)dτ
=
∫ ∞
0h(t − τ)dτ
=
∫ t
−∞
h(ξ)dξ
Para sistemas LIT causais
y(t) =
∫ t
0h(τ)dτ
e a integral da resposta ao impulso unitario.
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
Resposta a funcao exponencial g(t) = eλt de um sistema LTI :
y(t) =
∫ ∞
−∞
eλτh(t − τ)dτ
=
∫ ∞
−∞
eλ(t−τ)h(τ)dτ
=
(∫ ∞
−∞
e−λτh(τ)dτ
)
eλt
Para sistemas LIT causais
y(t) =
(∫ ∞
0e−λτh(τ)dτ
)
eλt
e proporcional a entrada, por um fator que depende de λ.
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
Sistemas LIT causais de grande interesse sao descritos porequacoes diferenciais do tipo
n∑
i=0
aid iy
dt i(t) =
m∑
i=0
eid ig
dt i(t) , t ∈ R
onde ai e ei sao escalares e n ≥ m. Note que especificar afuncao de entrada g(t) nao e condicao suficiente para que aresposta y(t) correspondente seja unica. Dentre muitas, umasolucao especıfica pode ser individualizada impondo-sealgumas condicoes suplementares sobre y(t). Por exemplo, oseu valor e de suas derivadas em alguns instantes de tempopreviamente selecionados.
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
Sendo t = 0 adotado como instante inicial a funcao deentrada so e definida para t ≥ 0. Para selecionar uma solucaoespecıfica pode-se impor os valores de
y(0),dy
dt(0), · · · ,
dn−1y
dtn−1(0)
que caracterizam as condicoes iniciais do sistema.
Uma resposta especıfica y(t) correspondente a uma entradag(t) dada, pode ser determinada observando que se y(t)satisfaz a equacao diferencial entao h0(t) + y(t) onde
n∑
i=0
aid ih0
dt i(t) = 0
tambem a satisfaz.12 / 69
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
O seguinte resultado e fundamental no presente contexto :
Fato (Solucao geral)
Qualquer solucao da equacao diferencial em estudo, definida para
todo t ≥ 0, pode ser unicamente individualizada pela escolha
adequada de h0(t) e e dada por
y(t) = h0(t) +
∫ t
0h(t − τ)g(τ)dτ
As funcoes h0(t) e h(t), definidas para todo t ≥ 0, precisamser determinadas com o devido cuidado. Este aspecto seraabordado em seguida.
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
Exemplo : A figura abaixo mostra um pendulo oscilando nointerior de uma caixa
x
ℓ
M
mθ
κ
A determinacao do modelo matematico que descreve o seucomportamento dinamico e um dos objetivos deste curso.Para pequenos deslocamentos, trata-se de um sistema LITcausal.
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
Considere a equacao diferencial com coeficientes constantes
n∑
i=0
aid iy
dt i(t) = g(t) , ∀ t ≥ 0
onde g(t) e uma funcao dada e ai ∈ R para i = 0, · · · , n saoescalares, com an 6= 0. Adotamos a notacao mais compactaD[y ] = g onde D[·] denota o operador diferencial
D[y ] =
n∑
i=0
aid iy
dt i(t)
com polinomio caracterıstico
∆D(λ) =
n∑
i=0
aiλi
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
Os seguintes aspectos sao relevantes :
O operador D[·] e linear.Para a funcao exponencial verifica-se que
D[eλt]
=n∑
i=0
aiλieλt
= ∆D(λ)eλt
ou seja D[eλt]
e eλt sao colineares. Por este motivo, eλt edenominada auto funcao do operador D[·].A equacao algebrica ∆D(λ) = 0 e denominada equacaocaracterıstica. Tem grau n e todos os seus coeficientes saoreais. Assim sendo, ela admite n raızes em pares complexosconjugados.
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
O seguinte resultado e fundamental no estudo de equacoesdiferenciais lineares :
Teorema (Existencia e unicidade)
Seja g(t) uma funcao contınua para todo t ≥ 0. A equacao
diferencial D[y ] = g sujeita as condicoes iniciais
y(0),dy
dt(0), · · · ,
dn−1y
dtn−1(0)
admite uma unica solucao y(t) para todo t ≥ 0.
Observe que para qualquer conjunto de condicoes iniciais asolucao existe e e unica. Portanto, sem especificar ascondicoes iniciais a unicidade deixa de ocorrer.
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
Fato (Independencia Linear)
O conjunto de funcoes f1(t), · · · , fm(t), definidas para todo t ≥ 0,e linearmente independente - LI se a igualdade
fα(t) :=
m∑
i=1
αi fi(t) = 0 ,∀ t ≥ 0
for satisfeita apenas com todos os escalares α1, · · · , αm nulos.
Caso contario o conjunto e dito linearmente dependente - LD.
E preciso estabelecer um teste para classificar conjuntos comoLI ou LD. Assumimos que as funcoes sejam continuamentediferenciaveis, isto e, as suas derivadas de qualquer ordemexistem e sao contınuas em t > 0.
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
A funcao fα(t), bem como as suas derivadas sucessivas,devem ser nulas para todo t > 0, ou seja
f1 f2 · · · fm
f(1)1 f
(1)2 · · · f
(1)m
...... · · ·
...
f(m−1)1 f
(m−1)2 · · · f
(m−1)m
︸ ︷︷ ︸
W (t)
α1
α2...
αm
︸ ︷︷ ︸
α
= 0
Para a classe de funcoes consideradas temos :
det(W (t)) 6= 0 para algum t > 0 =⇒ LI.det(W (t)) = 0 para todo t > 0 =⇒ LD. Sem a continuidadeda funcao e de suas derivadas sucessivas, isto pode nao ocorrer.
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
A solucao geral da equacao diferencial em estudo pode serdecomposta na forma
y(t) = yh(t) + yp(t) , ∀ t ≥ 0
onde :
yh(t) satisfaz a equacao homogenea D[yh] = 0.yp(t) e uma solucao particular que satisfaz D[yp] = g .
poisD[y ] = D[yh + yp] = D[yh] + D[yp] = g
Assim sendo, resta verificarmos como podemos impor as n
condicoes iniciais dadas. Isto e feito atraves da determinacaode um conjunto de n solucoes homogeneas LI.
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
Equacao homogenea : Sao obtidas a partir da relacao
D[eλt ] = ∆D(λ)eλt , ∀ t ≥ 0
a qual indica que todas as fucoes do tipo eλi t , definidas paratodo t ≥ 0, com λi sendo uma das raızes de ∆D(λ) = 0, saosolucoes da equacao homogenea. Como ∆D(λ) e umpolinomio de grau n, com coeficientes reais, ele admite n
raızes em C em pares complexos conjugados. Supondo que asn raızes sejam distintas, as funcoes
eλi t , ∀ t ≥ 0 , i = 1, · · · , n
formam um conjunto LI.
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
De fato, a matriz W (t) e dada por
W (t) =
1 · · · 1... · · ·
...
λn−11 · · · λn−1
n
︸ ︷︷ ︸
W0
eλ1t · · · 0... · · ·
...0 · · · eλnt
onde W0 e uma matriz de Vandermonde cujo determinante ediferente de zero tendo em vista que todos os λi , i = 1, · · · , nsao diferentes entre si. Consequentemente, det(W (t)) 6= 0para todo t ≥ 0. A solucao geral e dada por
y(t) =
n∑
i=1
cieλi t + yp(t)
onde ci , i = 1, · · · , n sao constantes determinadas com as n
condicoes iniciais dadas.22 / 69
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
Quando duas ou mais solucoes da equacao caracterıstica naosao distintas um conjunto de solucoes homogeneas pode serobtido observando-se que a igualdade
teλt =deλt
dλ
permite verificar que
D[teλt ] = D
[deλt
dλ
]
=d
dλ∆D(λ)eλt
=
[d
dλ∆D(λ) + t∆D(λ)
]
eλt
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
Por exemplo, considerando que λj seja uma raiz commultiplicidade dois da equacao caracterıstica entao∆D(λ) = (λ − λj)
2d(λ) para algum polinomio d(λ) de ordemn − 2. Portanto
∆D(λj ) = 0 ,d
dλ∆D(λj ) = 0
fazem com que as funcoes eλj t e teλj t , definidas para todot ≥ 0 sejam solucoes da equacao homogenea. Alem disso,calculando-se a matriz W (t) verificamos que o conjunto defuncoes eλ1t , · · · , eλj t , teλj t , · · · , eλnt e LI. Neste caso,
y(t) =
n∑
i 6=j=1
cieλi t + cj te
λj t
+ yp(t)
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
Este procedimento e valido para raızes com qualquermultiplicidade. Se λj for uma raiz com multiplicidade m ≤ n
entao
∆D(λj), · · · ,dm−1
dλm−1∆D(λj) = 0
e, com raciocınio analogo, verificamos que as funcoes t ieλj t ,definidas para todo t ≥ 0 e todo i = 0, · · · ,m− 1 sao solucoesda equacao homogenea e formam um conjunto de funcoes LI.Podemos assim determinar as n solucoes da equacaohomogenea que formam um conjunto de funcoes linearmenteindependentes. Estas funcoes sao denominadas ModosProprios da equacao diferencial.
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
Solucao particular : O chamado Metodo dos Coeficientes aDeterminar se aplica para a classe de funcoes g(t) que emconjunto com suas derivadas sucessivas, ate uma certa ordemm, formam um conjunto LD. Portanto, existe um operadordiferencial com polinomio caracterıstico ∆N(λ) de ordem m
tal queN[g ] = 0
Neste caso, uma solucao particular de D[y ] = g pode sercalculada atraves da equacao homogenea definida pelooperador diferencial composto
N[D[y ]] = 0
que nada mais e que uma equacao diferencial homogenea deordem n + m.
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao temporal
Verificando que
N[D[eλt ]] = ∆D(λ)∆N(λ)eλt
a sua equacao caracterıstica e dada por ∆D(λ)∆N(λ) = 0 ecomo ja sabemos (supondo que todas as raızes sejamdistintas)
y(t) =
n∑
i=1
cieλi t
︸ ︷︷ ︸
∆D(λ)=0=⇒yh(t)
+
m∑
i=1
dieλi t
︸ ︷︷ ︸
∆N(λ)=0=⇒yp(t)
sendo que os coeficientes d1, · · · , dm sao determinadosimpondo-se D[yp] = g . No caso da eventual ocorrencia deraızes multiplas o tratamento anterior deve ser adotado.
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Equacoes diferenciais lineares
Exemplos
A equacao diferencial y(t) + y(t) = e−2t com y(0) = 1admite ∆D(λ) = λ + 1 e ∆N(λ) = λ + 2. Portanto
y(t) = c1e−t
︸ ︷︷ ︸
yh(t)
+ d1e−2t
︸ ︷︷ ︸
yp(t)
substituindo yp(t) obtem-se d1 = −1 e, em seguida, com acondicao inicial obtem-se c1 = 2. A solucao geral e
y(t) = 2e−t − e−2t , ∀ t ≥ 0
A equacao diferencial y(t) + y(t) = e−t com y(0) = 1 admite∆D(λ) = λ + 1 e ∆N(λ) = λ + 1. Portanto
y(t) = c1e−t
︸ ︷︷ ︸
yh(t)
+ d1te−t
︸ ︷︷ ︸
yp(t)
substituindo yp(t) obtem-se d1 = 1 e, em seguida, com acondicao inicial obtem-se c1 = 1.
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Equacoes diferenciais lineares
Exemplos
A equacao diferencial y(t) + y(t) = sen(t) e tal que∆D(λ) = λ2 + 1 e ∆N(λ) = λ2 + 1. Portanto
y(t) = c1ejt + c2e
−jt
︸ ︷︷ ︸
yh(t)
+ d1tejt + d2te
−jt
︸ ︷︷ ︸
yp(t)
Uma equacao diferencial com ∆D(λ) = (λ + 1)(λ − 1) eentrada tal que ∆N(λ) = λ + 1 tem a solucao geral
y(t) = c1e−t + c2e
t
︸ ︷︷ ︸
yh(t)
+ d1te−t
︸ ︷︷ ︸
yp(t)
Uma equacao diferencial com ∆D(λ) = (λ + 1)2 e entrada talque ∆N(λ) = λ − 1 tem a solucao geral
y(t) = c1e−t + c2te
−t
︸ ︷︷ ︸
yh(t)
+ d1et
︸︷︷︸
yp(t)
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
A transformada de Laplace de uma funcao f (t) definida paratodo t ∈ R, denotada por f (s) ou L(f (t)), e uma funcao devariavel complexa
f (s) : D(f ) → C
onde D(f ) e o seu domınio e
f (s) :=
∫ ∞
−∞
f (t)e−stdt
D(f ) := {s ∈ C : f (s) existe}
E importante ressaltar que f (s) existe indica que a integralacima converge e e finita.
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Geralmente D(f ) nao coincide com C. Nestes casos existem
pontos s ∈ C tais que s /∈ D(f ) e, portanto, torna-se essenciala determinacao do domınio da transformada de Laplace.
Importante : O domınio D(f ) da transformada de Laplacedepende fortemente do domınio da funcao f (t). Comoverificaremos em seguida :
t ∈ [0, +∞) =⇒ Re(s) ∈ (α, +∞)
t ∈ (−∞, 0] =⇒ Re(s) ∈ (−∞, β)
t ∈ (−∞, +∞) =⇒ Re(s) ∈ (β, α)
para valores adequados de α, β ∈ R. Quanto maior o domıniode f (t), menor o domınio de f (s) e vice-versa.
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Os seguintes exemplos ilustram os domınios das transformadasde Laplace de algumas funcoes :
f (t) = e−at : R → C e D(f ) = ∅.f (t) = e−at : [0, +∞) → C e
f (s) =1
s + a, D(f ) = {s ∈ C : Re(s) > −Re(a)}
f (t) = e−at : (−∞, 0] → C e
f (s) = −1
s + a, D(f ) = {s ∈ C : Re(s) < −Re(a)}
f (t) = e−a|t| : (−∞, +∞) → C e
f (s) =−2a
s2 − a2, D(f ) = {s ∈ C : |Re(s)| < Re(a)}
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
A funcao exponencial eλt : R → C com λ ∈ C qualquer naoadmite a transformada de Laplace. Portanto, para funcoesdefinidas em todo t ∈ R a transformada de Laplace e muitorestritiva. Para contornar esta dificuldade vamos restringirnosso interesse a funcoes definidas no intervalo t ∈ [0,+∞) eassim :
f (s) :=
∫ ∞
0f (t)e−stdt
que admite o domınio na forma generica
D(f ) := {s ∈ C : Re(s) > α}
para algum α ∈ R a ser adequadamente determinado.
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Classe importante : Definida pela existencia de sf ∈ C talque o limite
limτ→∞
∫ τ
0|f (t)e−sf t |dt
existe e e finito.
Lema (Domınio)
Para as funcoes da classe acima, e valido que :
Qualquer s ∈ C satisfazendo Re(s) ≥ Re(sf ) pertence a D(f ).
Existe M finito tal que |f (s)| ≤ M para todo s ∈ D(f ).
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Forma geral : Para funcoes definidas para todo t ≥ 0 :
D(f ) := {s ∈ C : Re(s) > α}
Determinacao do domınio : Para a funcao f (t) dadadetermine o menor valor de α ∈ R tal que
limτ→∞
∫τ
0
|f (t)e−αt |dt < ∞
Determinacao do domınio : Para a funcao f (s) dadadetermine o menor valor de α ∈ R tal que ela permanecaanalıtica e portanto finita em todo s ∈ D(f ).
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
A funcao f (s) = e−s
snao e analıtica em s = 0. A sua serie de
Laurent e
f (s) =1
s− 1 +
s
2−
s2
6+ · · ·
e portantoD(f ) := {s ∈ C : Re(s) > 0}
A funcao f (s) = 1−e−s
se analıtica em s = 0. A sua serie de
Taylor e
f (s) = 1 −s
2+
s2
6− · · ·
e portanto
D(f ) := {s ∈ C : Re(s) > −∞} = C
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Uma funcao racional e da forma
f (s) :=N(s)
D(s)=
∑mi=0 ei s
i
∑ni=0 ais i
onde m ≤ n, ei ∈ R para todo i = 1, · · · ,m e ai ∈ R paratodo i = 1, · · · , n. Se n = m ela e chamada propria, casocontrario ela e dita estritamente propria. Ela deixa de seranalıtica nos seus polos, raızes de D(s) = 0. Assim sendo
α = maxi=1,··· ,n
Re(pi )
O impulso unitario (Dirac) :
δ(s) = 1 , D(δ) = C
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Varios calculos envolvendo a transformada de Laplacedependem da determinacao correta do seu domınio :
Integral : A integral de uma funcao em todo o seu domınio edada por
∫ ∞
0
f (t)dt = f (0)
desde que 0 ∈ D(f ).Limite : O limite de uma funcao definida em t ≥ 0 satisfaz
limt→∞
f (t) = lims→0
sf (s)
desde que 0 ∈ D(sf ).
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
No estudo de equacoes diferenciais via transformada deLaplace, as seguintes propriedades sao importantes parafuncoes definidas em t ≥ 0 e escalares θ1, θ2, · · ·
Combinacao linear :
L
(∑
i
θi fi (t)
)
=∑
i
θi fi (s)
Convolucao a tempo contınuo :
L(f (t) ∗ g(t)) = f (s)g (s)
Derivada em relacao ao tempo :
L(f (t)) = sf (s) − f (0)
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Como as funcoes que estamos considerando sao definidasapenas para t ≥ 0, a sua derivada em t = 0 deve ser melhorqualificada (note que f (t) pode nao existir para t < 0).
Derivada em relacao ao tempo :
h(t) :=
{
f (t) , t > 0valor finito , t = 0
geralmente adota-se h(0) = limt→0+ f (t) = f (0+) < ∞.
Lema (Derivada temporal)
A transformada de Laplace de h(t) definida acima e dada por :
h(s) = sf (s) − f (0) , D(h) = D(sf )
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Infelizmente, a definicao anterior nao permite levar em contaa possibilidade de f (t) variar arbitrariamente rapido em t = 0.Ou seja, considerar f (t) descontınua em t = 0, o que ocorrequando f (0) 6= 0. Vamos analisar esta situacao peculiar com asequencia de funcoes :
fn(t) := f (t) − f (0)
(
1 +t
τn
)
e−t/τn , ∀ t ≥ 0
onde τn > 0 tende a zero quando n tende a infinito.
fn(0) = 0 para todo n ∈ N.limn→∞ fn(t) = f (t) para todo t > 0, portanto
limn→∞
fn(s) = f (s) , ∀ s ∈ D(f )
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Notando como h(t) e hn(t) a derivada em relacao a t > 0 dasfuncoes f (t) e fn(t) respectivamente, com o lema anteriorobtemos hn(s) = sfn(s) − fn(0) para todo n ∈ N e
limn→∞
hn(s) = sf (s)
= (sf (s) − f (0)) + f (0)
= h(s) + f (0)
levando alim
n→∞hn(t) = h(t) + f (0)δ(t)
A quantidade limn→∞ hn(t) e denominada derivadageneralizada de f (t). Ela coincide com f (t) para todo t > 0mas e diferente em t = 0 sempre que f (0) 6= 0.
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
A transformada de Laplace da derivada generalizada e obtidamultiplicando-se a transformada da funcao por s. Para ilustrareste conceito vamos considerar a funcao degrau unitariodefinida por υ(t) = 1 para todo t ≥ 0.
υ(s) =1
s, D(υ) = {s ∈ C : Re(s) > 0}
Derivada temporal : h(s) = sυ(s) − 1 = 0 de acordo com ofato de que h(0) = 0 e h(t) = υ(t) = 0 para todo t > 0.Derivada generalizada : limn→∞ hn(s) = sυ(s) = 1 de acordocom o fato de que limn→∞ hn(t) = δ(t) para todo t ≥ 0.
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Equacoes diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Para funcoes racionais, a inversa da transformada de Laplacepode ser obtida via Decomposicao em Fracoes Parciais com aqual determinamos os escalares αi tais que
∑mi=0 ei s
i
∑ni=0 ai s i
= α0 +
M∑
i=1
αi
(s − pi)ni
onde pi sao seus polos e∑M
i=1 ni = n. Observe que estamosconsiderando que cada polo pi tenha multiplicidade ni paratodo i = 1, · · · ,M. A inversa e determinada com a relacao
L−1
(1
(s − p)r+1
)
=1
r !
d r
dprept =
tr
r !ept , ∀ t ≥ 0
valida para todo r ≥ 0.
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao via transformada de Laplace
Considere a equacao diferencial anterior dada na forma
n∑
i=0
aid iy
dt i(t) =
m∑
i=0
eid ig
dt i(t) , ∀t ≥ 0
com condicoes iniciais d i y
dt i (0), para todo i = 0, · · · , n − 1.Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros elevando em conta o efeito de impulsos na entrada (derivadageneralizada), obtemos
y(s) = H0(s)︸ ︷︷ ︸
cond. iniciais
+ H(s)g (s)
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Equacoes diferenciais lineares
Solucao via transformada de Laplace
Os aspectos mais importantes sao :
h0(t) := L−1(H0(s)) e a parte da solucao que dependeexclusivamente das condicoes iniciais.h(t) := L−1(H(s)) e a resposta ao impulso (obtida a partir decondicoes nulas). A funcao h(t) ∗ g(t) obtida pelatransformada de Laplace inversa, e a parte da solucao quedepende exclusivamente da funcao de entrada.
⇓
y(t) = h0(t) +
∫ t
0
h(t − τ)g(τ)dτ , ∀ t ≥ 0
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Equacoes diferenciais lineares
Exemplo
Aplicando a transformada de Laplace na equacao diferencialy + 3y + 2y = g − 3g com condicoes iniciais y(0) = 1 ey(0) = 0 determinamos
H0(s) =s + 3
(s + 2)(s + 1), H(s) =
s − 3
(s + 2)(s + 1)
Sendo g(t) o degrau unitario temos :
y(s) =s2 + 4s − 3
s(s + 2)(s + 1)=
6
s + 1−
7/2
s + 2−
3/2
s
ou seja
y(t) = 6e−t − (7/2)e−2t − 3/2, ∀ t ≥ 0
Note que y(0+) = 1 e y(0+) = 1 6= y(0) = 0. A derivada dey(t) sofreu uma variacao brusca em t = 0.
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Equacoes diferenciais lineares
Representacao de estado
Qualquer equacao diferencial linear de ordem n pode serconvertida em um sistema de n equacoes diferenciais deprimeira ordem. Este sistema de equacoes diferenciais,geralmente acoplado, denominado representacao de estado daequacao original e expresso na forma matricial:
x(t) = Ax(t) + Bg(t) , x(0) = x0
y(t) = Cx(t) + Dg(t)
onde A ∈ Rn×n, B ∈ R
n×1, C ∈ R1×n e D ∈ R
1×1.As matrizes (A,B ,C ,D) e a condicao inicial x0 ∈ R
n devemser determinadas de tal forma que a funcao produzida pelarepresentacao de estado y(t) coincida com a solucao daequacao diferencial em estudo para todo t ≥ 0.
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Equacoes diferenciais lineares
Representacao de estado
Para a equacao D[y ] = g com an = 1, definimos as variaveisde estado
x(t) =
x1(t)...
xn(t)
, xi (t) := y (i−1)(t), i = 1, · · · , n
e obtemos
A =
0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...
...... · · ·
...−a0 −a1 −a2 · · · −an−1
, B =
00...01
C =[
1 0 0 · · · 0]
, D =[
0]
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Equacoes diferenciais lineares
Representacao de estado
A equacao D[y ] = E [g ] com an = 1 e E [·] sendo um operadordiferencial de ordem m ≤ n − 1 pode ser reescrita na forma
D[ξ] = g , y = E [ξ]
Definindo como no caso anterior as variaveis de estado
x(t) =
x1(t)...
xn(t)
, xi (t) := ξ(i−1)(t), i = 1, · · · , n
as matrizes A e B nao se alteram. Ademais
y(t) = E [ξ] =
m∑
j=0
ejξ(j)(t) =
m∑
j=0
ejxj+1(t)
permite determinar as matrizes restantes
C =[
e0 e1 e2 · · · 0]
, D =[
0]
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Equacoes diferenciais lineares
Representacao de estado
A equacao D[y ] = E [g ] com an = 1 e E [·] sendo um operadordiferencial de ordem m = n pode ser reescrita na forma
D[ξ] = g , y = E [ξ] + eng
onde E [ξ] := E [ξ] − enD[ξ] com coeficientes ei = ei − enai
para i = 0, · · · , n − 1 e um operador diferencial de ordemn − 1. Definindo as mesmas variaveis de estado do casoanterior, as matrizes A e B nao se alteram. Ademais
y(t) = E [ξ] + eng =n−1∑
j=0
ejxj+1(t) + eng
permite determinar as matrizes restantes
C =[
e0 e1 e2 · · · en−1
], D =
[en
]
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Equacoes diferenciais lineares
Representacao de estado
Para qualquer matriz quadrada A ∈ Rn×n define-se a funcao
exponencial de matriz:
eAt =∞∑
k=0
(At)k
k!
sendo que a soma indicada converge para todo t ≥ 0.
Lema (Transformada de Laplace)
A transformada de Laplace da funcao F (t) = eAt definida para
todo t ≥ 0 e dada por
F (s) = (sI − A)−1 , D = {s ∈ C : Re(s) > maxRe(λi )}
onde λi , i = 1, · · · , n sao os autovalores de A.
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Equacoes diferenciais lineares
Representacao de estado
Aplicando a transformada de Laplace nas equacoes de estadodeterminamos
H0(s) = C (sI − A)−1x0 , H(s) = C (sI − A)−1B + D
e, com o lema anterior, as funcoes
h0(t) = CeAtx0 , h(t) = CeAtB + Dδ(t)
Teorema (Solucao da equacao de estado)
A solucao da equacao de estado e dada por
x(t) = eAtx0 +
∫ t
0eA(t−τ)Bg(τ)dτ
y(t) = Cx(t) + Dg(t) , ∀ t ≥ 0
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Equacoes diferenciais lineares
Representacao de estado
Para completarmos o calculo da representacao de estado deuma equacao diferencial, resta determinarmos o vetor decondicoes iniciais x0 ∈ R
n. Neste sentido, derivandosucessivamente a parte da solucao que depende das condicoesiniciais
y(t) = CeAtx0
em t = 0 obtemos:
y(0)
y (1)(0)...
y (n−1)(0)
= Ox0 , O :=
C
CA...
CAn−1
A matriz O ∈ Rn×n e chamada Matriz de Observabilidade e e
inversıvel sempre que o sistema for de ordem mınima.
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Equacoes diferenciais lineares
Representacao de estado
Finalmente, deve ser notado que a representacao de estadonao e unica. Unica e a funcao H(s) e, dada as condicoesiniciais, unica tambem e a funcao H0(s). Com umarepresentacao de estado (A,B ,C ,D) e uma matriz naosingular T ∈ R
n×n, a chamada Transformacao de Similaridadepermite obter uma nova representacao de estado(T−1AT ,T−1B ,CT ,D) mas ambas representando a mesmafuncao H(s). De fato, simples calculos levam a
H(s) = C (sI − A)−1B + D
= CT (sI − T−1AT )−1T−1B + D
Ademais, observe que det(sI − A) = det(sI − T−1AT ).
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Equacoes diferenciais lineares
Exemplo
A funcao de transferencia do deslocamento angular do elorotacional de uma junta robotica e
H(s) =s2 + 0.12s
s2 + 0.12s + 9.4
A representacao de estado aqui considerada e
x =
[0 1
−9.4 −0.12
]
︸ ︷︷ ︸
A
x +
[01
]
︸ ︷︷ ︸
B
g
y =[−9.4 0
]
︸ ︷︷ ︸
C
x + [1]︸︷︷︸
D
g
Note que os autovalores de A sao iguais aos polos de H(s).Isto e sempre verdade!
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Sistemas dinamicos lineares
Funcao de transferencia
De maneira generica, um sistema dinamico LIT ecaracterizado por ter seu comportamento, no decorrer dotempo, descrito por uma equacao diferencial linear comcoeficientes constantes. A partir das condicoes iniciaisdefinidas em t = 0 e de uma funcao de entrada g(t) definidapara todo t ≥ 0, a sua saıda e dada por
y(s) = H0(s) + H(s)g (s)
onde
Definicao (Funcao de transferencia)
A funcao H(s) e denominada funcao de transferencia do sistema e
h(t) = L−1(H(s)) definida para todo t ≥ 0 e a sua resposta ao
impulso.
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Sistemas dinamicos lineares
Funcao de transferencia
A funcao de transferencia de um sistema torna explıcito comoa entrada influencia a saıda. Para condicoes iniciais nulasH0(s) = 0 e a relacao entrada / saıda torna-se :
y(s) = H(s)g(s)⇐⇒y(t) = h(t) ∗ g(t)
Definicao (Estabilidade)
A funcao de transferencia H(s) e denominada assintoticamente
estavel se ela for analıtica em todos os pontos da regiao Re(s) ≥ 0.
Como consequencia :
Todos os polos de H(s) estao localizados na regiao Re(s) < 0.limt→+∞h(t) = 0.
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Sistemas dinamicos lineares
Resposta em frequencia
A resposta em frequencia de um sistema com funcao detransferencia H(s) e simplesmente dada por H(jω) para todoω ∈ R. Isto exige que todos os pontos do eixo das ordenadasdo plano complexo estejam no domınio de H(s), isto e
s = jω ∈ D(H) , ∀ ω ∈ R
Desta forma, devemos nos restringir ao calculo da respostaem frequencia apenas para sistemas assintoticamente estaveis.Para esta classe de sistemas, o efeito das condicoes iniciaisdesaparece no decorrer do tempo pois H0(s) e H(s) tem osmesmos polos e portanto limt→+∞h0(t) = 0. A sua saıdatende a uma funcao que depende exclusivamente da entrada,denominada solucao de regime permanente.
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Sistemas dinamicos lineares
Resposta em frequencia
Considerando a entrada g(t) = ejωt para t ≥ 0 temos comoresposta
y(s) = H0(s) + H(s)1
(s − jω)
cuja decomposicao em fracoes parciais resulta em
y(s) = H0(s) + R(s) +H(jω)
(s − jω)
onde R(s) denota os demais termos da decomposicao. Comoos polos de R(s) sao aqueles de H(s) tem-se limt→+∞r(t) = 0de tal forma que para t suficientemente grande
y(t) ≈ H(jω)ejωt := yperm(t)
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Sistemas dinamicos lineares
Resposta em frequencia
Exemplo : A figura abaixo mostra yperm(t) e a resposta y(t),a partir de condicoes iniciais nulas, de uma suspensao
H(s) =6s + 100
s2 + 6s + 100, g(t) = (1/4)sen(10t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
Mesmo com H0(s) = 0 ambas coincidem so apos um certotempo.
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Sistemas dinamicos lineares
Resposta em frequencia
A resposta em frequencia de um sistema pode ser representadagraficamente atraves de diagramas. Os mais utilizados edisponıveis em varios pacotes computacionais sao :
Diagramas de Bode de Modulo e de Fase : Definidosrespectivamente por
A(ω)dB × log(ω) , ∀ ω > 0
φ(ω) × log(ω) , ∀ ω > 0
onde A(ω)dB e o modulo de H(jω) expresso em decibeis eφ(ω) e a fase de H(jω) expressa em graus ou radianos.
Definicao (Decibel)
O modulo de H(jω) expresso em decibeis e dado por
A(ω)dB := 20log(|H(jω)|) onde log denota o logaritmo na base dez.
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Sistemas dinamicos lineares
Resposta em frequencia
Os diagramas de Bode sao calculados numericamente semgrandes dificuldades. E importante ressaltar que diagramasaproximados podem ser obtidos atraves do calculo deassıntotas gerando entao os chamados Diagramas de BodeAssintoticos. Considere a funcao de transferencia racional
H(s) =
∑mi=0 ei s
i
∑ni=0 ais i
que pertence a classe de funcoes de fase mınima, para asquais nao so os seus polos mas tambem os seus zeros estaolocalizados no semiplano esquerdo complexo (Re(s) < 0).Assim sendo, todos os seus coeficientes sao positivos.
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Sistemas dinamicos lineares
Resposta em frequencia
As assıntotas sao assim determinadas :Baixa frequencia : Com ω > 0 suficientemente pequeno
H(jω) ≈ Kb , Kb =e0
a0> 0
e assim
A(jω)dB ≈ 20log(Kb)
φ(ω) ≈ 0
Alta frequencia : Com ω > 0 suficientemente grande
H(jω) ≈ Ka(jω)m−n , Ka =em
an
> 0
e assim
A(jω)dB ≈ 20log(Ka) + 20(m − n)log(ω)
φ(ω) ≈ (m − n)π
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Sistemas dinamicos lineares
Resposta em frequencia
Note que se n 6= m as assıntotas do diagrama de modulo seinterceptam em uma frequencia ωc denominada frequencia decorte
ωc =
(Kb
Ka
) 1m−n
Estes calculos levam aos diagramas assintoticos :
A(ω)dB =
{20log(Kb) ω ≤ ωc
20log(Ka) + 20(m − n)log(ω) ω ≥ ωc
φ(ω) =
{0 ω < ωc
(m − n)π/2 ω > ωc
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Sistemas dinamicos lineares
Resposta em frequencia
As seguintes consideracoes sao relevantes :
Geralmente os diagramas assintoticos nao fornecem resultadosprecisos para frequencias proximas a ωc . Para melhorar aprecisao podemos decompor H(s) = ΠN
i=1Hi (s) e aplicar oprocedimento anterior em cada parcela
A(ω)dB =
N∑
i=1
Ai (ω)dB , φ(ω) =
N∑
i=1
φi (ω)
Para sistemas de fase mınima apenas o seu diagrama demodulo define H(s). Com as assıntotas que variam apenas emmultiplos de ±20dB por decada (intervalo de frequencias [a, b]com b = 10a) e as frequencias de corte de cada parcela Hi (s)e importante saber como obter H(s), dada na formaH(s) = ΠN
i=1Hi (s), a partir do seu diagrama assintotico demodulo.
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Sistemas dinamicos lineares
Exemplo
Diagramas de magnitude com assıntotas obtidos com
H1(s) = s + 1 , H2(s) =10
s2 + s + 100
10−1
100
101
102
−60
−40
−20
0
20
40
10−1
100
101
102
−30
−20
−10
0
10
20
30
H1
H2
H = H1H2
Mag. [dB] × Freq. [rad/s]
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Sistemas dinamicos lineares
Exemplo
Diagramas de fase com assıntotas obtidos com
H1(s) = s + 1 , H2(s) =10
s2 + s + 100
10−1
100
101
102
−200
−150
−100
−50
0
50
100
10−1
100
101
102
−100
−50
0
50
100
H1
H2
H = H1H2
Fase [graus] × Freq. [rad/s]
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Sistemas dinamicos lineares
Exemplo
Na figura abaixo vemos a saıda em regime permanente(dividida por 10) de H(s) correspondente a entrada
g(t) = cos(10t) + cos(100t) , ∀t ≥ 0
Observe a filtragem da componente de alta frequencia.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
t[s]
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