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Las restricciones

La ecuacion

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Analisis Numerico y OptimizacionIntroduccion al Metodo del Elemento Finito

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Maestrıa en Computo EstadısticoE. Uresti

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Generales

El Metodo de Elementos Finitos (MFE o FEM por su siglasen ingles) es un metodo numerico para resolver EcuacionesDiferenciales Ordinarias y Parciales.

• Tiene alta aplicabilidad en Ingenierıa: Imprescindible enIngenierıa Civil e Ingenierıa Macanica.

• Inicio con la venida de las computadoras: M. J. Turner,R.W. Cough, H.C. Martin, and I.J. Topp: Stiffnes andDeflections. Analysis of Complex Structures. Journal ofAeronautical Sciences, Volumen 23, Issue 9. 1956.Richard Courant and David Hilbert 1924

• El primer libro matematico en 1973: Gilbert Strang andGeorge Fix: Analysis of the Finite Element Method.

• Tiene alto interes economico y cientıfico: Paquetes.Journals. Libros. Programas Academicos. Centros. NAG.

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FEM

Suponga que se desea resolver el problema:

ED:− u′′(x) = f (x) , Ω : 0 < x < 1 , CF : u(0) = 0 , u(1) = 0

Paso 1 Se construye una formulacion Variacional o Debil: semultiplica por una funcion de prueba v(x) que cumple lascondiciones de frontera v(0) = 0 y v(1) = 0:

−u′′(x) = f (x) ⇒ −u′′ − f = 0 ⇒ v · (−u′′− f ) = 0

y se integra en el dominio:

∫Ωv (−u′′−f ) dx = 0⇒

∫ 1

0 (−u′′ v) dx = − u′ v |10 +∫ 1

0 u′ v ′ dx

=

∫ 1

0u′ v ′ dx =

∫ 1

0f v dx

La solucion u debe cumplir lo anterior para toda v .

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Paso 2 Se divide la region en una serie de elementos:

x0 = 0, x1 = x0+h1, x2 = x1+h2, . . . xn = xn−1+hn = 1 hi > 0

Ei = [xi , xi+1]

Paso 3 Basados en los elementos se construyen una serie defunciones basicas φi definidas en forma seccionada. Elconjunto suporte de la funcion φi es la union de doselementos adyacentes. Por ejemplo, usando las funcioneshat:

φi (x) =

x−xi−1

xi−xi−1si xi−1 ≤ x < xi

xi+1−xxi+1−xi si xi ≤ x ≤ xi+1

0 en cualquier otro lado.

En los extremos del dominio solo aplica una de lasexpresiones. Las funciones φi valen cero en los extremosxi−1 y xi+1 y vale 1 en el punto central xi .

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Funciones Basicas: Hat

1

1

1

1

1

1

1

1

xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

φ0

φ1

φ2

φ3

φ4

φ5

φ6

φ7

En cada elemento Ei = [xi , xi+1] solo dos funciones no son cero.

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Combinacion LinealLas combinaciones lineales de las funciones φi sobre laparticion resulta en una funcion continua y diferenciable salvoen los nodos interiores. Por ejemplo, para c0 = 2, c1 = 0.5,c2 = −1.7, c3 = 0.3, c4 = 3.2, c5 = 4, c6 = 3 y c7 = 0.5:

φ(x) =7∑

i=0

ci φi (x)

xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

(x7, c7)

(x6, c6)

(x5, c5)

(x4, c4)

(x3, c3)

(x2, c2)

(x1, c1)

(x0, c0)

En cada punto xi de la particion, φ(xi ) = ci .

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continuacion

Paso 4 Aproxime la solucion por una combinacion lineal de lasfunciones base:

uh(x) =n−1∑i=1

ci φi (x)

donde los coeficientes ci son constantes a determinar.Obtendremos un sistema de ecuaciones lineales usando laforma integral:∫ 1

0u′h v

′ dx ≈∫ 1

0f v dx ⇒

n−1∑i=1

ci

∫ 1

0φ′i v

′ dx ≈∫ 1

0f v dx

Ahora, en lugar de cualquier funcion v , utilice lasfunciones base φ1, φ2, . . . , φn−1 para obtener un sistemade ecuaciones lineales para las incognitas ci .

n−1∑i=1

ci

∫ 1

0φ′i v

′ dx ≈∫ 1

0f v dx

Desarrollando la sumatoria y tomando en lugar de v lasfunciones φ1, φ2,. . . ,φn−1:(∫ 1

0 φ′1φ′1dx)c1 + · · ·+

(∫ 10 φ′1φ′n−1dx

)cn−1 =

∫ 10 f φ1dx(∫ 1

0 φ′2φ′1dx)c1 + · · ·+

(∫ 10 φ′2φ′n−1dx

)cn−1 =

∫ 10 f φ2dx

...(∫ 10 φ′iφ′1dx)c1 + · · ·+

(∫ 10 φ′iφ′n−1dx

)cn−1 =

∫ 10 f φidx

...(∫ 10 φ′n−1φ

′1dx)c1 + · · ·+

(∫ 10 φ′n−1φ

′n−1dx

)cn−1 =

∫ 10 f φn−1dx

La ecuacion i del sistema sera:(∫ 10 φ′iφ′1dx)c1 + · · ·+

(∫ 10 φ′iφ′n−1dx

)cn−1 =

∫ 10 f φidx

Escrito el sistema en la forma matricial:a(φ1, φ1) a(φ1, φ2) · · · a(φ1, φn−1)a(φ2, φ1) a(φ2, φ2) · · · a(φ2, φn−1)

......

......

a(φn−1, φ1) a(φn−1, φ2) · · · a(φn−1, φn−1)

c1

c2...

cn−1

=

(f , φ1)(f , φ2)

...(f , φn−1)

donde

ai ,j = a(φi , φj) =

∫Ωφ′i φ

′j dx =

∫ 1

0φ′i φ

′j dx

fi = (f , φi ) =

∫Ωf φi dx =

∫ 1

0f φi dx

A A = ai ,j se le llama la matriz de rigidez (stiffness matrix)para derivadas de primer orden. Mientras que a F = fi se lellama el vector de carga. Armarlas correctamente es vital.

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Notas

• Las funciones φi tienen el valor constante cero fuera delconjunto soporte que es la union de los elementosEi = [xi−1, xi ] y Ei+1 = [xi , xi+1]. Ası

(f , φi ) =

∫Ωf φi dx =

∫Ei

f φi dx +

∫Ei+1

f φi dx

• Las derivadas de las funciones φi vale cero fuera deEi ∪ Ei+1, por tanto, el producto de φ′i con φ′j sera ceropara posiciones alejadas (i + j > 1) y puede ser diferentede cero solo en:

j = i :

∫Ωφ′iφ′i dx =

∫Ei

φ′iφ′i dx +

∫Ei+1

φ′iφ′i dx

j = i + 1 :

∫Ωφ′iφ′i+1 dx =

∫Ei+1

φ′iφ′i+1 dx

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Simplificaciones

• Si las funciones φi son las funciones hat, su derivada seindetermina en xi−1, xi y xi+1 y

φ′i (x) =

1hi

= 1xi−xi−1

para xi−1 < x < xi

− 1hi+1

= − 1xi+1−xi para xi < x < xi+1

0 para x < xi o xi+1 < x

• Si los puntos estan igualmente espaciados xi+1 − xi = h:

a(φi , φi ) =

∫Ei

φ′iφ′i dx +

∫Ei+1

φ′iφ′i dx =

1

h+

1

h=

2

h

a(φi−1, φi ) =

∫Ei

φ′i−1φ′i dx =

∫ xi

xi−h

(−1

h

)·(

1

h

)dx = −1

h

En este caso el sistema de ecuaciones para las constantes ciqueda:

2h − 1

h− 1

h2h − 1

h− 1

h2h − 1

h. . .

. . .. . .

− 1h

2h − 1

h− 1

h2h

c1

c2

c3

...cn−1

=

∫Ωf φ1 dx∫

Ωf φ2 dx∫

Ωf φ3 dx

...∫Ωf φn−1 dx

O bien

2 −1−1 2 −1

−1 2 −1. . .

. . .. . .

−1 2 −1−1 2

c1

c2

c3

...cn−1

= h ·

∫Ωf φ1 dx∫

Ωf φ2 dx∫

Ωf φ3 dx

...∫Ωf φn−1 dx

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EjemploSuponga que el problema es resolver −u′′ = x2 − x para0 ≤ x ≤ 1 sujeto a las condiciones u(0) = 0 y u(1) = 0. Y quedivideremos el intervalo [0, 1] en n = 4 partes iguales y quepropondremos como solucion

uh(x) =n−1=3∑i=1

ci φi (x) φ0(x) = 0 = φ4(0)

donde para i = 1, 2, 3:

φi (x) =

x−xi−1

xi−xi−1= 4(x − xi−1) para xi−1 ≤ x < xi

x−xi+1

xi−xi+1= −4(x − xi+1) para xi < x ≤ xi+1

con xi = 0 + 0.25 i para i = 0, 1, 2, 3, 4

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Como ∫Eix2φi dx = 1

12 h3 (1− 4 i + 6 i2)∫

Ei+1x2φi dx = 1

12 h3 (1 + 4 i + 6 i2)∫

Eixφi dx = 1

6 h2 (−1 + 3 i)∫

Ei+1xφi dx = 1

6 h2 (1 + 3 i)

entonces∫ 10 x2φi dx =

∫Eix2φi dx +

∫Ei+1

x2φi dx = 16 h

3 (1 + 6 i2)∫ 10 x φi dx =

∫Eix φi dx +

∫Ei+1

x φi dx = h2 i

Por lo tanto, para n = 4, h = 0.25 y ası:∫ 10 (x2 − x)φ1 dx = −0.0442708∫ 10 (x2 − x)φ2 dx = −0.0598958∫ 10 (x2 − x)φ3 dx = −0.0442708

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El sistema a resolver queda: 2 −1 0−1 2 −10 −1 2

c1

c2

c3

= 0.25 ·

−0.0442708−0.0598958−0.0442708

Como 2 −1 0

−1 2 −10 −1 2

−1

=1

4·

3 2 12 4 21 2 3

Por tanto

c1 = −0.0185547, c2 = −0.0260417, c3 = −0.0185547

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EjercicioAplicar FEM para encontrar una aproximacion de

−u′′ = x2 + x

para 0 ≤ x ≤ 1 sujeto a las condiciones u(0) = 0 y u(1) = 0.Divida [0, 1] en n = 4 partes iguales.

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Restricciones

Se busca una funcion incognita u, escalar, o si se quierer deciru(x , y) definida en una region conectada Ω con fronteras notraslapadas: ΓD , la frontera de Dirichlet, donde los valores(displacement) de la funcion incognita son datos, y ΓN , lafrontera de Neumann, donde las derivadas (normal stresses) dela funcion incognita satisfacen cierta relacion.

ΩΓD

ΓN

Los nombres y notacion son del area de Ingenierıa Civil.

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EDPEl problema consiste en determinar u(x , y) tal que

∂

∂x

(p∂u

∂x

)+

∂

∂y

(q∂u

∂y

)+ r u = f en Ω

y se cumpla en ΓD : u = g y que en ΓN se cumpla

< p∂u

∂x, q∂u

∂x> •n + g1 u = g2

• p, q, r , f son funciones definidas en Ω.

• p y q con primeras derivadas parciales continuas.

• g es una funcion continua definida en ΓD .

• g1, g2 son funciones definidas en ΓN .

• g2 se permite discontinua.

• n es un vector normal unitario definido en los puntos deΓN apuntando hacia afuera de la region Ω.

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Forma Funcional

Si p, q, r y f son continuas en Ω y p y q tienen primerasderivadas parciales continuas y g1 y g2 son continuas en ΓN , yademas p(x , y) > 0, q(x , y) > 0, r(x , y) ≤ 0 y f (x , y) > 0, lasolucion al nuestro problema u(x , y) minimiza en forma unicala funcional:

I w =∫ ∫

Ω

(12

(p w2

1 + q w22 − r w2

)+ f w

)dA+∫

ΓN

(−g2 w + 1

2 g1 w2)dS

dentro de todas las funciones w(x , y) que satisfacen w = g enΓD y que tienen segundas derivadas parciales. Aquı w1 y w2

representan las derivadas parciales de w con respecto a laprimera y segunda variable, respectivamente.

En la referencia F.J. Sayas se demuestra, mediante el teoremade Green de calculo vectorial, la conversion de la ED a la formadebil en el caso: p = 1, q = 1, r constante y g1 = 0.

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Los ElementosDividir la region en una cantidad finita de secciones oelementos regulares, ya sea triangulos o rectangulos.

Ω

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Las Funciones

El metodo de elementos finitos minimiza la funcional I wsobre una clase de funciones sencillas. El conjunto de funcionesusadas es el conjunto de polinomios seccionados (que solo seusan en subregiones) de grado fijo en x y y . Se obliga a lospolinomios a coincidir en las fronteras de las subregiones paramantener la continuidad. Para regiones triangulares se usan

φ(x , y) = a + b x + c y

El metodo busca una aproximacion a u(x , y) de la forma

φ(x , y) =m∑i=1

γi φi (x , y)

donde φi (x , y) son polinomios seccionados y γi son constantesa determinar.

Sustituyendo en

I w =∫ ∫

Ω

(12

(p w2

1 + q w22 − r w2

)+ f w

)dA+∫

ΓN

(−g2 w + 1

2 g1 w2)dS

la aproximacion φ =∑m

i=1 γi φi :

I φ = I ∑m

i=1 γi φi

=∫∫

Ω

(12

p(∑m

i=1 γi∂φi∂x

)2+

q(∑m

i=1 γi∂φi∂y

)2− r (

∑mi=1 γi φi )

2

+ f∑m

i=1 γi φi

)dA+∫

Γn

−g2

∑mi=1 γi φi + 1

2 g1 (∑m

i=1 γi φi )2dS

Para que ocurra un mınimo, al considerar a I φ comofuncion de γ1, γ2,. . . γn se requerira que

∂I φ∂γj

= 0 para∀j = 1, 2, . . . , n

I φ = I ∑m

i=1 γi φi

=∫∫

Ω

(12

p(∑m

i=1 γi∂φi∂x

)2+

q(∑m

i=1 γi∂φi∂y

)2− r (

∑mi=1 γi φi )

2

+ f∑m

i=1 γi φi

)dA+∫

Γn

−g2

∑mi=1 γi φi + 1

2 g1 (∑m

i=1 γi φi )2dS

Parte de las γ estan definidas por las condiciones de frontera, digamosγn+1,. . . , γm, para las restantes j = 1, 2, . . . , n:

∂I∂γj

=∫∫

Ω

(p∂φj∂x

∑mi=1 γi

∂φi∂x + q

∂φj∂y

∑mi=1 γi

∂φi∂y −

r φj∑m

i=1 γi φi+ f φj) dA +∫Γn−g2 φj + g1 φj

∑mi=1 γi φi dS = 0

0 =∑m

i=1 γi

[∫∫Ω

p∂φj∂x

∂φi∂x + q

∂φj∂y

∂φi∂y − r φj φi

dA +∫

Γng1 φj φi dS

]+∫∫

Ω f φj dA−∫

Γng2 φj dS

Para j = 1, 2, . . . , n (las ultimas γj estan definidas la frontera g):

0 =∑m

i=1 γi

[∫∫Ω

p∂φj∂x

∂φi∂x + q

∂φj∂y

∂φi∂y − r φj φi

dA +∫

Γng1 φj φi dS

]+∫∫

Ω f φj dA−∫

Γng2 φj dS

Coeficiente de γi (i = 1, . . . ,m) en la ecuacion j (j = 1, 2, . . . , n):

αi ,j =

∫ ∫Ω

p∂φj∂x

∂φi∂x

+ q∂φj∂y

∂φi∂y− r φj φi

dA +

∫Γn

g1 φj φi dS

Lado derecho de la ecuacion i (i = 1, 2, . . . , n):

βi = −∫ ∫

Ωf φi dA +

∫Γn

g2 φi dS −m∑

k=n+1

αi ,k γk

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Referencias

Referencias

• J.N. Reddy: An introduction to the finite element method.New York, NY : McGraw-Hill Higher Education, c2006.TA347.F5 R4 2006

• Richard L. Burden, J. Douglas Faires: Numerical analysis.Boston, MA : Brooks/Cole, Cengage Learning, c2011.QA297 .B84 2011

• Notas de Clase de Francisco Javier Sayas: A gentleIntroduction to FEM:http://www.math.udel.edu/∼fjsayas/classnotes.html