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1
ANSISPOTANSISPOTCapítulo 6
Estabilidad Transitoria
Universidad de Los AndesI M i Alb t Rí Ph DIng. Mario Alberto Ríos, Ph.D
Actualización: 14 de enero de 2011
Definiciones
• IEEE/CIGRE [5]
– “Power system stability is the ability of an electric power system, for a given initial operating condition, to regain a state of operating equilibrium after being subjected to a physical disturbance, with most system
i bl b d d th t ti ll thvariables bounded so that practically the entire system remains intact”.
– Aplica a sistemas interconectados
2
Clasificación (Tipos) de la Estabilidad de Sistemas de Potencia
Fuente: [5, 6]
Estabilidad
• Régimen permanente– Concierne con pequeñas perturbacionesConcierne con pequeñas perturbaciones
• Estabilidad transitoria– Concierne con grandes perturbaciones.
Asume que el AVR y el gobernador son lentos para responder
E t bilid d di á i• Estabilidad dinámica– Como el anterior, pero el AVR y el
gobernador son incluidos
3
Controles UnidadDe Generación
Control del Sistema de Potencia Sistema de Control
de GeneraciónControl Suplementario
De Generación
GeneradorSistema de
Excitación AVRy Control PSS
Control deGobernador
y Turbina
Vel
ocid
ad
Control del Sistema de TransmisiónPotencia
FrecuenciaFlujos por las Líneas
Inyecciones de los Generadores
Voltaje HVDC, FACTS, Controlde Voltaje y Q
Eléctrica
Estabilidad en Régimen Transitorio -Ecuación de Oscilación
mNTTTdtd
J em .2
2
Jdt
2
2
2
2
dtd
Jdtd
J
t
ejedelsincrónicavelocidadt
ejedelangularentodesplazami
doNormalizan C
R
e
R
m
R TT
TT
dtd
TJ
doNormalizan
2
2
RR
k
RRk P
W
TJ
JW
Como
2
21 2
4
Estabilidad en Régimen Transitorio -Ecuación de Oscilación
k TTdHW
H 2
22
upeupmupeupm
upeupmRR
PPTT
como
TTdtP
H
.,.,.,.,
.,.,2
upeupmR
PPdtdH
.,.,2
22
Estabilidad en Régimen Transitorio -Generador conectado a Barra Infinita
BB
AA
dondeVBAV SR
S= envío
DD
BBdondeIDCI SR
2sencos
2
RSRSS
S B
VV
B
VDP
R= recibo
senPPPP CupeS
RS
max.,
2
5
Estabilidad en Régimen Transitorio -Generador conectado a Barra Infinita
upeupm PPdtdH
.,.,2
22
upeupm
R dt .,.,2
senPPP
dt
dHCupm
Rmax.,2
22
1; DAjxBCaso
sen
1;
., x
VVP
DAjxBCaso
RSupe
Estabilidad en Régimen Transitorio -Generador conectado a Barra Infinita
8
9
10
Pe
Pmax
Asumiendo pequeño cambio en la P y
1
2
3
4
5
6
7
8
Pot
enci
a (p
.u.)
Pmec
Pe cambio en la Pe y manteniendo constante la Pm
cióndesacelera
PPSi upeupm
.,.,
-
0 45 90 135 180
Angulo
naceleració
PPSi upeupm
.,.,
6
Generador en barra infinita Condición de falla
1 00
1,50
(pu) Falla eliminada en 200 ms
P O il t i E t bl
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
0 500 1000 1500 2000 2500
Time (ms)
Acc
eler
atin
g po
wer
0
100
200
300
400
el. v
eloc
ity
rees
/s)
Proceso Oscilatorio Estable
-400
-300
-200
-100
0
0 500 1000 1500 2000 2500
Time (ms)R
otor
re
(deg
r
Pm>PeAceleración de la máquina
Al eliminar la falla, cambia elSigno de asceleración
gle
(deg
rees
)
Generador en barra infinita Condición de falla
G
N d
Xs Xt
0,600
0,800
1,000
1,200
en
cia
(p
.u.)
Pelec
Pm
Time (ms)
Rot
or a
ngNodo Terminal
Nodo Infinita v=1/0º
E l f ll li i d l
Ángulo relativo al nodo infinito
En 1 se tienen la condición inicial de equilibrio
tclear
0,000
0,200
0,400
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo (Grados)
Po
te En 2 la falla es eliminada y elInterruptor se recierra
En 3 se iguala la energía de desaceleración y de aceleración (áreas iguales)
7
Criterio de áreas iguales (1)
0,800
1,000
1,200
p.u
.)
Pelec
PmPrefalla
P f ll
0,000
0,200
0,400
0,600
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo (Grados)
Po
ten
cia
(p
Falla
Posfalla
Pmecánica (constante)
g ( )
En 2 la falla es eliminada y elInterruptor se recierra volviendo a la condición inicial
¿Cuál es la Pelec antes de la falla?
¿Cuál es la Pelec durante la falla?
¿Cuál es la Pelec después de la falla?
Criterio de áreas iguales (2)
0,800
1,000
1,200
(p.u
.)
Pelec
PmPrefalla
Posfalla
0,000
0,200
0,400
0,600
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo (Grados)
Po
ten
cia
(
Falla
Posfalla
Pmecánica (constante)
A1
A2
En 2 la falla es eliminada y elInterruptor se recierra volviendo a la condición inicial
¿Cuál es la energía de aceleración?
¿Cuál es la energía de desaceleración?
Criterio: si A2=A1 entonces el sistema es estable
8
Criterio de Áreas Iguales- Evaluación de Estabilidad -
• Método para predecir si un sistema es estable después
dtdd
M
Pd a
sistema es estable después
de un disturbio (perturbación) sin necesidad de solucionar las ecuaciones diferenciales
Td
JTd
J 2
dMP
d
dM
a
00
dM
Pd a
a
aa
Pdt
dM
Tdt
JTdt
J
2
00 M
0
22 dPM a
Criterio de Áreas Iguales- Evaluación de Estabilidad -
2/12
dP
d• Velocidad relativa de la
máquina con respecto a0
dPMdt a
máquina con respecto a una referencia moviéndose a velocidad constante
Si el sistema es estable, la velocidad debe ser cerocuando la aceleración es cero o se está oponiendoal movimiento del rotor
000
s
dPP
quecumplesetq
asa
s
9
Criterio de Áreas Iguales - Caso Estable
ema PPP 1
7
8
9
10
)Pe
Pm1A2
0
0
1
10
a
s
a
P
P
1
2
3
4
5
6
Pot
enci
a (p
.u.
Pm0
m1
A1Aumento dePotenciaMecánica
21 AA
Si
-
1
0 45 90 135 180
Angulo
Criterio de Áreas Iguales- Caso Inestable -
8
9
10PePm1 A2
Inestable
AA
dPPA
dPPA
s
me
em
21
12
11
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
Pot
enci
a (p
.u.)
Pm0
A1
Inestable-
1
0 45 90 135 180
Angulo
10
Criterio de áreas iguales - ángulo crítico de eliminación de falla
0 800
1,000
1,200
.u.)
Pelec
PmPrefalla
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo (Grados)
Po
ten
cia
(p
.
Falla
Posfalla
Pmecánica (constante)
A1
A2
Ángulo (Grados)
En 2 la falla es eliminada y se convierte en el ángulo crítico c de eliminación (para un ángulo mayor, la energía de desaceleración SIEMPRE será menor a la de aceleración)
¿Cuál es la energía de aceleración?
¿Cuál es la energía de desaceleración?
Criterio: si A2=A1 entonces el sistema es estable
Barra InfinitaV=1 0 /0º
Ejercicio 1Criterio de áreas iguales (fallas)
G jX3
jX3
V 1.0 /0
Condición de PostfallaX = X + X + X
jX2j X1
Condición de PrefallaXtotal = X1 + X2 + X3/2
Xtotal = X1 + X2 + X3
Condición de FallaPelec <> 0
11
Ejercicio 1 - Prefalla
G
j0.1j0.15 j0.45
j0.45Barra InfinitaV=1.0 /0ºj
¿Cuál es el voltaje interno E/?El generador está entregando una potencia de 1.1 p.u. con fp=0.85 en atrasoNota: es a su vez el ángulo del rotor
º793111)850(1.1
..94.085.01.10
I
upP
º2.1935.1º0
º79.311.1)85.0cos(0.1
TotaljXIVE
aI
Ejercicio 1 - Prefalla
G
j0 1j0 15 j0 45
j0.45Barra InfinitaV=1 0 /0ºj0.1j0.15 j0.45 V=1.0 /0
¿Cuál es la ecuación eléctrica de Prefalla?Variables: Magnitud de voltajes de barra infinita y voltaje interno, reactancia serie entre E y V
EVE
P
1053.245.0
10.015.0max
sensenP
E
elec
84.235.11053.2
35.1
2
12
Ejercicio 1 - Postfalla
G
j0 1j0 15
j0.45Barra InfinitaV=1 0 /0ºj0.1j0.15 V=1.0 /0
¿Cuál es la ecuación eléctrica de Postfalla?Variables: Magnitud de voltajes de barra infinita y voltaje interno, reactancia serie entre E y V
EVE
P
43.145.010.015.0max
sensenP
E
elec
93.135.143.1
35.1
45.010.015.0
Ejercicio 1 - falla
G
j0 1j0 15
j0.45Barra InfinitaV=1 0 /0ºj0 225j0 225j0.1j0.15 V=1.0 /0
¿Cuál es la ecuación eléctrica durante la falla si ésta ocurre en la mitad de la línea?
j0.225j0.225
G
j0.1j0.15
j0.45Barra InfinitaV=1.0 /0º
j0.225j0.225 jj
TransformaciónY-
13
Ejercicio 1 - falla
G
j0 1j0 15
j0.45Barra InfinitaV 1 0 /0ºj0 225j0 225j0.1j0.15 V=1.0 /0º
¿Cuál es la ecuación eléctrica durante la falla si esta ocurre en la mitad de la línea?
VEP
21max
j0.225j0.225
senP
E
elec
13.1
35.1
2.1
Ejercicio 1 º15193.1
13.1
º2.1984.2
?¿º50935.0
4
0
senP
senP
senP
EstableSiP
postfallaelec
fallaelec
prefallaelec
clearingmec
1,5
2,0
2,5
3,0
en
cia
(p
.u.)
P prefalla
P falla
P postfalla
P mec
Energía de aceleración
A
0,0
0,5
1,0
0 30 60 90 120 150 180
Ángulo (grados)
Po
te
1 4clear
A1
s
A2
s=64º
Conclusión:Estable
14
Estabilidad Angular – Métodos de Análisis (TS)
• Métodos Numéricos– Supuestos de modelación X ’p
• Modelo Clásico (, )• Modelo Completo (, ’q’d)
– Método numérico usando modelo clásico• Modelo de máquina: E’ (E’) y Xd’• Modelo de carga: ZL = V0
2/S*• Matriz Yg para diferentes períodos de tiempo• Ecuaciones de potencia-ángulo para diferentes
períodos de tiempo
Yg
Y
~
Xd2’
E2’
~
Xd1
E1’
YL
períodos de tiempo
– Integración Numérica de ecuaciones de oscilación (“swing”)
• Euler & Euler Modificado• Runge-Kutta
Ejemplo Sistema de 9 Nodos – P. M. Anderson)
P2 P1 81
3 2
0
j0.0625
18/230
0.0119+j0.1008 j0.0586
B/2=j0.1045
0.0085+j0.072 B/2=j0.0745
2 3
45 MW 30 MVAR
7P3 230/13.8
0.03
2+j0
.161
B/2
=j0
.153
5 6
9
50 MW 25 MVAR
75 MW 40 MVAR
0.01
0+j0
.085
B/2
=j0
.088
0.01
7+j0
.092
B/2
=j0
.079
16.5
/230
j 0.
0576
B/2
=j0
.179
0.03
9+j0
.170
7
4
Fig. 1: WSCC 3-machine, 9-bus system; all impedances are in pu on a 100-MVA base
1 Slack bus 1
Fuente (2)
15
Ejemplo – Cálculo de Y bus interna de generadores (prefalla, falla y posfalla)
• A partir de Ybus (para las 3 condiciones)
Xd1’
)• Inclusión de:
– Cargas– Impedancia de
generadores
• Todos los datos en una base comúnConversión de carga
*LLLL IVQjP
Yg
Y
~
Xd2’
E2’
~E1’
YL
La admitancia equivalente se• Conversión de carga
– Modelo de impedancia constante (a partir del flujo de carga)
22
**
L
L
L
LL
LLL
V
Qj
V
PY
BjGVIL
equivalente se
conecta entre el nodo y la referencia
(Diagonal en la Ybus)
Ejemplo – Cálculo de Y bus interna de generadores (prefalla, falla y posfalla)
• Nodos adicionales representando Voltaje I representando Voltaje interno del generador. – Entre este nodo y el nodo de
conexión (terminal) se coloca -1/x’d
– En la diagonal se coloca 1/x’d• Eliminación de Krön de la
Ybus conservando solo los r
n
rrrn
nrnnn
n
V
V
YY
YYI
IYVI
0
0
Ybus conservando solo los nodos donde hay inyección de corriente, i.e. los nodos internos de los generadores.
n
Y
rnrrnrnnn
rrrrn
VYYYYI
reducida
1
16
Ejemplo – Cálculo de Y bus interna de generadores (prefalla, falla y posfalla)
• Condiciones inicialesVoltajes internos (E ) y
VVt – Voltajes internos (Ei) y
ángulos de rotores (io)
– A partir del Flujo de carga se tiene voltaje terminal (magnitud y ángulo) y potencia
xPj
xQVE
VV
termnodoal
refdeCambio
dd
t
'
ˆ
.
''
ángulo) y potencia aparente inyectada (P y Q) referencia
VPj
VQVE
o
dd
'
'
Ejemplo –Falla trifásica cercana a la barra 7 en la línea 5-7. La falla se aclara
abriendo la línea 5-7 en 5 ciclos
• Obtener diferencia angular en función del tiempo de los d 2 3 t l d 1 ígeneradores 2 y 3 con respecto al generador 1, así
como la variación de velocidad angular y de la frecuencia en función del tiempo de cada generador para analizar la estabilidad del sistema.
• Para determinar si el sistema es estable o inestable se debe observar la diferencia angular de los rotores, si estos crecen indefinidamente después de una fallaestos crecen indefinidamente después de una falla trifásica el sistema es inestable y con solo una máquina pierda sincronismo el sistema es inestable
17
Ejemplo –Falla trifásica cercana a la barra 7 en la línea 5-7. La falla se aclara
abriendo la línea 5-7 en 5 ciclos• Sistema en operación normal entre 0 y 0.1 s (Prefalla)
• Falla trifásica en la barra 7entre 0 1 y 0 183 s• Falla trifásica en la barra 7entre 0.1 y 0.183 s.
• Despeje de la falla mediante la apertura de la línea entre 0.183 y 1 s
Curvas de Oscilación de los generadores 2 y 3 con respecto al 1
100
120
140
a A
ngul
ar
Mantiene la
20
40
60
800.
000.
050.
100.
150.
200.
250.
300.
350.
400.
450.
500.
550.
600.
650.
700.
750.
800.
850.
900.
951.
00
Tiempo (segundos)
Dif
eren
cia
Mantiene laEstabilidad
Ejemplo –Falla trifásica cercana a la barra 7 en la línea 5-7. La falla se aclara
abriendo la línea 5-7 en 5 ciclos• Alrededor de 0.55 s empiezan a actuar controles
mecánicos para llevar la frecuencia a 60 Hz (acción delmecánicos para llevar la frecuencia a 60 Hz (acción del LFC y del AGC)
• Recuerde solo se está empleando modelo clásicomodelo clásico
Mantiene la
Frecuencia de los Generadores
61
61.5
Gen
erad
ores
f1
Periodo de aceleración (Falla)
Eliminación de falla
Mantiene laEstabilidad
59.5
60
60.5
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
Tiempo (Segundos)
Fre
cuen
cia
de
G f2
f3
18
Ejemplo – Tiempo máximo de eliminación de la falla
Curva de Oscilación del Generador 2 con Respecto al 1 para diferentes tiempos de despeje de fallatiempos de despeje de falla
200
400
600
800
1000
Dif
eren
cia
Ang
ular
(d1 - d2) 5c
(d1 - d2) 6c
(d1 - d2) 7c
(d1 - d2) 8c
(d1 - d2) 9c
Pérdida de Sincronismo(Inestabilidad)
0
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
Tiemepo (seg)
D (d1 - d2) 9c
Ejemplo – aumento súbito de carga de 10 MW en barra 8
El comportamiento de la diferenciade la diferencia angular muestra que el sistema es
estable
19
Ejemplo – aumento súbito de carga de 10 MW en barra 8
Aumento de Pmec(Balance de Potencia)
Corrección por acción del
LFC y AGC
Reducción de Frecuencia
Modelo Lineal de un Generador- Modelo de Pequeña Señal -
• Linealización de ecuaciones no lineales l d d d t d ióalrededor de un punto de operación
• El modelo depende del punto de operación
• Bases del Modelo:Generador conectado a Barra Infinita– Generador conectado a Barra Infinita
– Potencia mecánica constante (i.e. sin modelar gobernador – turbina)
20
Modelo Lineal de un Generador- Modelo de Pequeña Señal -
• Modelo No-Lineal: Modelo Clásico
RRdt
d
Modelo Clásico RDupeupm KPP
dt
dH
.,.,2
sin
int
inf0
'
'I
o
VEP
generadordelernoVoltajeEE
initabarraVoltajeVV
sin'
Ede XXP
Linealizando alrededor de 0
0'
'
cosEd
e XX
VEP
RRRdt
d
Modelo Lineal de un Generador- Modelo de Pequeña Señal -
Ed
S
DEd
m
XX
VEK
KXX
VEP
dt
dH
dt
cos
cos2
0'
'
0'
'
A partir del Modelo Clásico No Lineal
m
SD
PHH
K
H
K
dt
d
02
1
022
0
21
Modelo Lineal de un Generador- Modelo de Pequeña Señal -Ks = Coeficiente de sincronización de torqueKD = Coeficiente de amortiguamiento de torqueH = Constante de inercia (MW s/MVA)
SK
01P
Pe
+-
H = Constante de inercia (MW.s/MVA)0 = 377 rad/s (f= 60 Hz)
DK
s0
sH2Pm
-
Modelo Lineal de un Generador-Modelo de Pequeña Señal, Ejemplo-
• DatosGenerador 4 555 MVA
• Cálculos
t
j
V
QjPI
01
3.09.0*
*
– Generador 4 x 555 MVA
– H = 3.5 MW.s/MVA
– KD = 0
– x’d = 0.3 p.u.
– Xe = 0.65 p.u.
– Vt = 1.0 ∟36o
– V = 0 995 ∟0o
S
o
tdtI
t
K
K
IxjVE
V
7570
92.49cos95.0
995.0123.1
92.4992.1336
92.13123.1
0.1'
V∞ 0.995 ∟0
– Pg + j Qg = 0.9 + j 0.3
m
S
P
K
0
143.0
0377
108.00
757.0
22
Modelo Dinámico de un GeneradorAVRPSS
~Turbine Pméc
Cméc
PélecUsorUexc
Red Eléctrica
• Modelo Clásico– Voltaje de excitación y Pm
constanteVitesse
l’axe quadrature
Na
c
b’
c’
l’axe directd-axisq-axis
axe de la phase aaxe de la
phase bstator
constante– Dos variables de estado: ,
• Modelos Detallados (Gen)– Modelo de ejes “d-q”– Características transitorias y
subtransitorias– 4 y 6 variables de estado:
E’ ’ E” ”
axe de la phase c
Sa’
b
c
rotationrotor
Figure 2.2.Schéma d’une machine synchrone triphasée
, , E’d, q’, E”d, q”
Fuente (4)
Modelo Lineal
• Considerando Sistema de Excitación y PSS– PSS suministra señal suplementaria de control
Fuente: P. Kundur, “Power System Stability and Control”, IEEE, 1998
23
Sistema MultimáquinasElementos del Problema
• Número N de máquinas
• Cada máquina con:Xd1’– 4 o 6 variables de estado
– AVR
– Algunas con PSS
• Gran número de cargas– Cargas estáticas (ZIP)
– Cargas dinámicas (motores)
Yg
Y
~
Xdn’
En’
~
Xd1
E1’
YL
• Otros elementos dinámicos– ULTC
– FACTS
Modelo No - Lineal• Ecuaciones algebraicas de
estado
3
2
1
34333231
24232221
14131211
3
2
1
V
V
V
YYYY
YYYY
YYYY
I
I
I
4444342414 VYYYYI
N
jjkkjjkkjjkk
N
jjkkjjkkjjkk
BGVVQ
BGVVP
1
1
)cos()sin(
)sin()cos(
Ecuacionesde Flujo dePotencia
• Ecuaciones dinámicas por máquina
dt
dKPP
dt
dH
RDupeupm
R
12.,.,2
2
24
Modelo Lineal Multimáquinas
Esquema de interacciones entre
máquinas y modelo lineal
Fuente: M. Ríos, “Estimación de Equivalentes Dinámicos con Disturbio Intencional”, UniAndes, Feb 1991
Representación Matemática Modelo Lineal Multimáquinas
Δδ
UBXAX
nAA 111
M
MFD
'q
ΔT
ΔT
Δδ
ΔE
ΔE
Δω
Δδ
11
1
1
1
UX
nnn AA
A
1
Interacción Modelo
Mn
FDn
'qn
n
n ΔT
ΔE
ΔE
Δω
Δδ Interacción dinámica entre
máquinas
Modelo lineal de una
máquina
Modelo No DesacopladoModelo No Desacoplado
25
Estabilidad Lineal
• Parámetros de cada modo de oscilación
Im
xmodo estable
modo inestable
– Modo j– Frecuencia (Hz)
– Tasa de amortiguamiento
Re
x
x
x
x
Limite de estabilidad
2π
ωf
Ejemplo de la estabilidad de modos en el plano complejo 22 ωσ
σζ
Ejemplo – SisPot linealizado
GEN 1 GEN 11
10 10120 3 13
102
110120~ ~
Generadores representados
Red de 4 máquinas
GEN 2 GEN 12
~967MW
1767MW
~
Modo Valor PropioFrecuencia
( Hz )Tasa de
amortiguamiento
1 -0,5997 ± j 7,0365 1,1199 0,0849
d
pcon 4 variables de estado. AVR de tipo ST1A
2 -0,6060 ± j 7,2470 1,1534 0,0833
3 0,0296 ± j 4,1785 0,6650 -0,0071
ModosCríticos
Adicionalmente, siempre existen dos valores propios “iguales” a cero, debido a la redundancia de variables (falta de unicidad del ángulo del rotor). El otro se debe a asumir KD=0 para todas las máquinas
26
Referencias1. P. Kundur, “Power System Stability and Control”, IEEE, 1998
2. P.M. Anderson, A.A. Fouad “Power System Control and Stability”, John Wiley & Sons Inc., Octubre 2002 (o IEEE Press 1993)
3. M. E. El-Hawary, “Electrical Power Systems”, IEEE Press, 1995y, y , ,
4. A. Snyder, “Les mesures synchronisées par GPS pour l’amortissement des oscillations de puissance dans les grands réseaux électriques interconnectés”, Tesis Doctoral, INPG, 1999, Grenoble, Francia
5. IEEE/CIGRE Task Force on Stability Terms and Definitions, “Definition and Classification of Power System Stability”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 19, No. 2, May 2004, pp. 1387-1401
6. L. L. Grigsby, “Power System Stability and Control”, Electric Power Engineering Handbook 2a Ed CRC Press 2007Engineering Handbook, 2a Ed., CRC Press, 2007