4.1 Experimento em bloco completamente aleatorizado (RCBD)

Vascular Graft Example (pg. 126)• To conduct this experiment as a RCBD, assign all 4 pressures

to each of the 6 batches of resin• Each batch of resin is called a “block”; that is, it’s a more

homogenous experimental unit on which to test the extrusion pressures

dado3=read.table("e:\\dox\\graft3.txt",header=T) psi=as.factor(dado3$psi) y=c(dado3$X1,dado3$X2,dado3$X3,dado3$X4,dado3$X5,dado3$X6)graft3=data.frame(block=gl(6,4),psi,y) graft3.aov=aov(y~psi+block,data=graft3) summary(graft3.aov)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) psi 3 178.171 59.390 8.1071 0.001916 **block 5 192.252 38.450 5.2487 0.005532 **Residuals 15 109.886 7.326 ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual Analysis for the Vascular Graft Example

Residual Analysis for the Vascular Graft Example

Residual Analysis for the Vascular Graft Example

• Basic residual plots indicate that normality, constant variance assumptions are satisfied

• No obvious problems with randomization• No patterns in the residuals vs. block• Can also plot residuals versus the pressure (residuals

by factor) • These plots provide more information about the

constant variance assumption, possible outliers

Comparações Múltiplas

• Se os tratamento em um RCBD são fixos e a análise indica a rejeição da hipótese nula de que não há efeito de tratamento, comparações múltiplas serão importantes para detectar as diferenças presentes.

• Qualquer um dos procedimentos discutidos no capítulo 3 pode ser usado.

• O que mudará nas expressões das quantidades a serem calculadas é o número de replicações (n) em cada nível que nesse contexto é o número de blocos (b).

• Na tela a seguir apresenta-se a saída do procedimento de Tukey aplicado aos dados dos enxertos (veias artificiais).

Multiple Comparisons for the Vascular Graft Example – Which Pressure is Different?

Also see Figure 4.3, Pg. 130

Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = y ~ psi + block, data = graft3)

$psi diff lwr upr p adj8750-8500 -1.133333 -5.637161 3.370495 0.88548318900-8500 -3.900000 -8.403828 0.603828 0.10130849100-8500 -7.050000 -11.553828 -2.546172 0.00208838900-8750 -2.766667 -7.270495 1.737161 0.32456449100-8750 -5.916667 -10.420495 -1.412839 0.00866679100-8900 -3.150000 -7.653828 1.353828 0.2257674

$block diff lwr upr p adj2-1 2.050 -4.1680828 8.2680828 0.88530163-1 3.300 -2.9180828 9.5180828 0.53762974-1 2.850 -3.3680828 9.0680828 0.67576995-1 -2.375 -8.5930828 3.8430828 0.81059036-1 6.750 0.5319172 12.9680828 0.02973683-2 1.250 -4.9680828 7.4680828 0.98455214-2 0.800 -5.4180828 7.0180828 0.99801985-2 -4.425 -10.6430828 1.7930828 0.24834996-2 4.700 -1.5180828 10.9180828 0.19869614-3 -0.450 -6.6680828 5.7680828 0.99987845-3 -5.675 -11.8930828 0.5430828 0.08375046-3 3.450 -2.7680828 9.6680828 0.49257155-4 -5.225 -11.4430828 0.9930828 0.12630426-4 3.900 -2.3180828 10.1180828 0.36746726-5 9.125 2.9069172 15.3430828 0.0027838

plot(TukeyHSD(graft3.aov,"psi"))

Outros aspectos do RCBD• Aditividade: em algumas situações essa suposição de

efeitos aditivos pode ser inadequada.• Se os efeitos forem multiplicativos é possível torná-lo

aditivo.• Se há interação entre bloco e tratamento e ela não é

considerada, os resultados da ANOVA ficam seriamente comprometidos.

• Em geral, a presença de interação inflaciona o erro quadrático médio e pode afetar a comparação das médias.

• Em situações nas quais os fatores apresentam interação recomenda-se os experimentos fatoriais (Cap. 5)

Tratamentos e blocos aleatórios

• Apesar do procedimento ter considerado tratamentos e blocos como fatores fixos, o mesmo procedimento é usado se tanto tratamento como bloco ou ambos forem aleatórios.

• Porém, há algumas mudanças na interpretação dos resultados.

• Por exemplo, se os blocos são aleatórios, que é frequentemente o caso, esperamos que as comparações entre tratamentos sejam as mesmas por toda a população de blocos a partir da qual aqueles usados no experimento foram escolhidos aleatoriamente.

Escolha do tamanho amostral

• Novamente aqui as técnicas apresentadas no capítulo 3 podem ser usadas com as respectivas adaptações.

• Considere o RCBD para os dados das veias artificiais. Suponha que desejamos determinar o número aproximado de blocos se estamos interessados em detectar uma diferença verdadeira máxima de 6 com uma probabilidade razoavelmente alta e que o erro padrão seja 3.

3,6,4,5,02 2

22

Dab

a

bD

Supondo um nível de significância de 5%. A curva característica de operação adequada é

b 2 (a-1)(b-1)

4 2 1,41 9 0,5<<0,6

5 2,5 1,58 12 0,55

6 3 1,73 15 0,4

Como os lotes de resina são caros e o custo do experimento é alto, experimentador decide usar 6 blocos, apesar do poder ser0,6 (de fato, muitos experimentos funcionam bem com valoresDe oder 0,5 ou maior.

ler

Chapter 4 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 19

The Latin Square Design

• Text reference, Section 4.2, pg. 138• These designs are used to simultaneously control

(or eliminate) two sources of nuisance variability• A significant assumption is that the three factors

(treatments, nuisance factors) do not interact• If this assumption is violated, the Latin square

design will not produce valid results• Latin squares are not used as much as the RCBD

in industrial experimentation

Chapter 4 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 20

The Rocket Propellant Problem –A Latin Square Design

• This is a• Page 140 shows some other Latin squares• Table 4-12 (page 142) contains properties of Latin squares• Statistical analysis?

5 5 Latin square design

Quadrado Latino• É usado para eliminar duas fontes de variação devido à

fatores de ruído.• Permite a blocagem em duas dimensões.

• Um quadrado latino pxp é tal que cada uma de suas p2 celas contém uma das p letras correspondentes aos p tratamentos e cada letra ocorre somente uma vez em cada linha e coluna.

Alguns exemplos de quadrados latinos

Quadrados Latinos• Quadrados latinos têm uma relação de parentesco com o

popular passatempo conhecido como sudoku (número único em japonês)

• Resolver um sudoku nxn pertence a uma classe de Problemas computacionais chamada NP-complete (o NP refere-se a tempo de computação não polinomial).Um problema NP-complete é um problema para o qual é relativamente fácil verificar se uma solução particular é correta, mas requer um tempo impossivelmente grande para ser resolvido por qualquer algoritmo simples a medidaque n cresce.

Chapter 4 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 25

Statistical Analysis of the Latin Square Design

• The statistical (effects) model is

• The statistical analysis (ANOVA) is much like the analysis for the RCBD.

• See the ANOVA table, page 140 (Table 4.9)

1,2,...,

1, 2,...,

1, 2,...,ijk i j k ijk

i p

y j p

k p

Modelo Estatístico para o quadrado latino

• Observe que o modelo é completamente aditivo, sem nenhuma interação.

• Por haver somente uma observação em cada cela, somente dois índices serão necessários para uma particular observação. (Cada tratamento ocorre uma única vez em cada linha e coluna).

• ANOVA: particionar a soma de quadrados total das N=p2 observações em componentes para linhas, colunas, tratamentos e erros.

)2)(1()1()1()1(1

..

2

pppppp

lg

SSSSSSSSSS ETrcolsRowsT

Chapter 4 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 27

Sob a suposição usual ),0(~ 2 NIDijk

Chapter 4 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 28

Replicação em quadrados latinos

Chapter 4 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 33

Other Topics

• Missing values in blocked designs– RCBD– Latin square

• Crossover designs• Graeco-Latin Squares