1.9 Integrasi dan Deverensiasi Vektor

Integral garis Integral luas / permukaan Integral volume

Integral garis

Integral garis Medan vektor 𝐸ሬԦ yang mengenai kurva C ,

didefinisikan sebagai integral 𝐸 ሬሬሬԦ𝑐 𝑑𝑙ሬሬሬԦ = 𝐸 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝑙𝑏𝑎 yang merupakan integral E sepanjang kurva C.

Integral garis Jika kurva merupakan rangkaian tertutup,

integral garis menjadi integral garis tertutup dan disebut sebagai sirkulasi 𝐸ሬԦ mengelilingi C

dan dinyatakanv 𝐸 ሬሬሬԦ𝑐 𝑑𝑙ሬሬሬԦ

Integral Bidang/Integral luasSebuah medan vektor 𝐴 ሬሬሬԦ menembus permukaan bidang S, integral bidang didefinisikan atau flux dari 𝐴 ሬሬሬሬԦ melalui S

sebagai 𝛹 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝑠𝑆 = 𝐴 ሬሬሬԦ𝑆 𝑎𝑛ሬሬሬሬԦ dS

= 𝑨 ሬሬሬԦ𝑺 𝒅𝑺 ሬሬሬሬሬሬԦ merupakan integral bidang pada bidang S

Integral bidang Ψ = = 𝑨 ሬሬሬԦ𝑺 𝒅𝑺 ሬሬሬሬሬሬԦ

Integral Volume

Didefinisikan 𝑓𝑑𝑉𝑉 atau 𝑓𝑑𝑉𝑉 merupakan integral volume dari fungsi skalar pada suatu volume V. Integral volume lebih

lazim ditulis dalam bentuk 𝐹 ሬሬሬሬԦ𝑉 dV, dimana setiap integral volume skalar merupakan komponen dari vektor 𝐹 ሬሬሬԦ.

1.10 Gradien, Divergensi dan Curl. Operator Del Operator Del 𝛁ሬሬԦ merupakan operator diferensial vektor,

Untuk koordinat kartesian 𝛁ሬሬԦ = 𝝏𝝏𝒙 𝒂𝒙ሬሬሬሬԦ +

𝝏𝝏𝒚 𝒂𝒚ሬሬሬሬԦ + 𝝏𝝏𝒛 𝒂𝒛ሬሬሬሬԦ

Untuk koordinat tabung 𝛁ሬሬԦ = 𝝏𝝏𝝆 𝒂𝝆ሬሬሬሬԦ +

𝝏𝝏∅ 𝒂∅ሬሬሬሬԦ + 𝝏𝝏𝒛 𝒂𝒛ሬሬሬሬԦ

Untuk koordinat bola 𝛁ሬሬԦ = 𝝏𝝏𝒓 𝒂𝒓ሬሬሬሬԦ +

𝟏𝒓 𝝏𝝏𝜽 𝒂𝜽ሬሬሬሬԦ +

𝟏𝒓𝐬𝐢𝐧𝜽 𝝏𝝏∅ 𝒂∅ሬሬሬሬԦ

Gradien dari fungsi skalar : Apabila sebuah medan skalar V (x,y,z) yang merupakan fungsi

koordinat ruang. Gradien dari medan skalar V merupakan sebuah vektor yang

merepresentasikan besar (magnitute) dan arah dari laju ruang maksimum dari penambahan medan skalar V

Jadi apabila V adalah sebuah fungsi skalar, maka gradien V, Grad V adalah :

Untuk koordinat kartesian 𝛁 ሬሬሬԦV = 𝝏𝑽𝝏𝒙 𝒂𝒙ሬሬሬሬԦ +

𝝏𝑽𝝏𝒚 𝒂𝒚ሬሬሬሬԦ + 𝝏𝑽𝝏𝒛 𝒂𝒛ሬሬሬሬԦ

Untuk koordinat tabung 𝛁 ሬሬሬԦV = 𝝏𝑽𝝏𝝆 𝒂𝝆ሬሬሬሬԦ +

𝝏𝑽𝝏∅ 𝒂∅ሬሬሬሬԦ + 𝝏𝑽𝝏𝒛 𝒂𝒛ሬሬሬሬԦ

Untuk koordinat bola 𝛁 ሬሬሬԦV = 𝝏𝑽𝝏𝒓 𝒂𝒓ሬሬሬሬԦ +

𝟏𝒓 𝝏𝑽𝝏𝜽 𝒂𝜽ሬሬሬሬԦ +

𝟏𝒓𝐬𝐢𝐧𝜽 𝝏𝑽𝝏∅ 𝒂∅ሬሬሬሬԦ

Gradien

Gradien

Gradien∇ ሬሬሬԦ(U + V) = ∇ ሬሬሬԦU + ∇ ሬሬሬԦV ∇ ሬሬሬԦ(UV) = V∇ ሬሬሬԦU + U∇ ሬሬሬԦV

∇ ሬሬሬԦ( 𝑈𝑉 ) = 𝑉 ∇ሬሬԦ U−U ∇ሬሬԦ V𝑉2 ∇ ሬሬሬԦVn = nVn-1∇ ሬሬሬԦV

Divergensi

Divergensi

Divergensi

Divergensi

Divergensi Pada koordinat kartesian ∇ ሬሬሬԦ.A ሬሬሬԦ = ∂Ax∂x + ∂Ay∂y + ∂Az∂z Pada koordinat tabung ∇ ሬሬሬԦ .A ሬሬሬԦ = 1ρ ∂(ρAρ)∂ρ + 1ρ ∂A∅∂∅ + ∂Az∂z Pada koordinat bola ∇ ሬሬሬԦ.A ሬሬሬԦ = 1r2 ∂r2Ar∂r + 1r sin θ ∂(sinθAθ∂θ + 1r sinθ ∂A∅∂∅

Divergensi∇ ሬሬሬԦ.( A ሬሬሬԦ + B ሬሬሬԦ) = ∇ ሬሬሬԦ. A ሬሬሬԦ + ∇ ሬሬሬԦ. B ሬሬሬԦ ∇ ሬሬሬԦ.( V . A ሬሬሬԦ) = V∇ ሬሬሬԦ. A ሬሬሬԦ + A ሬሬሬԦ. ∇ ሬሬሬԦ V ሬሬሬԦ

Curl (Pusaran) Curl adalah integral garis yang membatasi

luas yang sangat kecil. Curl adalah “Cross Product”, sehingga

hasilnya adalah skalar.

Definisi Curl adalah; lim∆𝑠→0 𝑎𝑛ሬሬሬሬሬԦ∆𝑠 [ 𝐴 ሬሬሬԦ𝐿 .dl]max.

Simbol Curl adalah ∇ ሬሬሬԦ x 𝐴 ሬሬሬԦ Curl digunakan untuk mengetahui medan vektor

menembus permukaan deferensial yang sangat kecil, yang menyebabkan pusaran medan lain.

Curl (Pusaran)

Perhatikan gambar : rapat arus J yang menembus permukaan dS menimbulkan suatu pusaran medan magnetik H JԦ = ∇ ሬሬሬԦx H ሬሬሬԦ

Curl (Pusaran)Untuk koordinat kartesian

∇ ሬሬሬԦ x A ሬሬሬԦ =

ۏێێaxሬሬሬԦۍ ayሬሬሬሬԦ azሬሬሬԦ∂∂x ∂∂y ∂∂zAx Ay Az ے

ۑۑې

Untuk koordinat tabung

∇ ሬሬሬԦ x A ሬሬሬԦ =1ρ ൦

aρሬሬሬሬԦ ρa∅ሬሬሬሬԦ azሬሬሬԦ∂∂ρ ∂∂∅ ∂∂zAρ ρA∅ Az൪

Untuk koordinat bola

∇ ሬሬሬԦ x A ሬሬሬԦ = 1r2sinθ ൦arሬሬሬԦ raθሬሬሬሬԦ r sinθ a∅ሬሬሬሬԦ∂∂r ∂∂θ ∂∂∅Ar rAθ r sinθ A∅

൪

1. ∇ሬሬԦ x (A ሬሬሬԦ x B ሬሬሬԦ) = ∇ሬሬԦ x A ሬሬሬԦ + ∇ሬሬԦ x BሬሬԦ 2. ∇ሬሬԦ x (VAሬሬԦ) = ∇ሬሬԦV x AሬሬԦ + V∇ሬሬԦ x AሬሬԦ 3. ∇ሬሬԦ.(VAሬሬԦ) = 0 4. ∇ሬሬԦ x ∇ሬሬԦV = 0 5. ∇ሬሬԦ x (AሬሬԦ x BሬሬԦ) =AሬሬԦ ∇ሬሬԦ. BሬሬԦ - BሬሬԦ ∇ሬሬԦ. AሬሬԦ + (BሬሬԦ.∇ሬሬԦ)AሬሬԦ – (AሬሬԦ.∇ሬሬԦ)BሬሬԦ

Curl (Pusaran)

Contoh soal-soal1. A given vector function is defined by . Evaluate the scalar line integral from a

point P1(1, 1, -1) to P2(2, 4, -1).

a. along the parabola b. along the line joining the two points.

Is F a conservative field? Solution:

a. For evaluating the line integral along the parabola , we find that d y = 2 x d x

b. In this case we observe that z1 = z2 = -1, hence the line joining the points P1 and P2 lies in the z = -1 plane and can be represented by the equation

Or, y = 3x -2 d y = 3 d x

F . d l = (3x -2)d x + x . 3d x = (6x -2)d x

=

= 7

2. If , calculate over a hemispherical surface bounded by r =2 &

Solution: In spherical polar coordinates