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8/2/2019 07 Mouvements rectilignes
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2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 34
Chapitre 7: Mouvements Rectilignes
1) Dfinitions
* Le mouvement est rectiligne
la trajectoire est une droite.
* Le mouvement est uniforme
v (intensit du vecteur vitesse instantane) est constante.
* Le mouvement est rectiligne et uniforme
v
(vecteur vitesse instantane) est constant.
* Le mouvement est rectiligne et uniformment vari
l'acclration a
est constante.
2) Etude du mouvement rectiligne uniformment vari
a) Terminologie et conditions initiales
La trajectoire est une droite. Afin de reprer la position d'un mobile sur cette trajectoire nous
utilisons un repre avec un seul axe Ox de mme direction que celle de la trajectoire. Ceci
constitue le repre le plus pratique car le vecteur position n'aura qu'une seule coordonne,
l'abscisse x du mobile.
Il suffit donc tout simplement de munir la trajectoire d'une origine O et dune orientation,
pour laquelle on choisira si possible celle du mouvement. Lorigine O s'appelle encore
origine des espaces.
L'instant o le chronomtre est dclench est appel instant initial ou origine des temps. A
l'instant initial le temps t0 est gal zro : t0 = 0.
Si nous choisissons lorigine O tel qu'elle concide avec la position initiale du mobile M0, le
vecteur position initiale est nul. Labscisse initiale (=abscisse l'instant initial) est donc
galement nulle : x0 = 0.
A linstant initial, le mobile est en train de se dplacer avec la vitesse initiale v
0, tangentielle
la trajectoire, donc de mme direction que laxe Ox. v
0 na donc quune seule coordonne,
suivant Ox, note v0x. Si v
0 est de mme sens que laxe Ox, v0x > 0.
Les conditions initiales sont donc : Si t = t0 = 0, x = x0 = 0 et vx = v0x.
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b) L'acclration a est constante : ax constant
Un peu plus tard, l'instant t > 0, le mobile se trouve au point M dabscisse x, et la vitesse du
mobile est v
. De mme que v
0, le vecteur v
na quune seule coordonne, suivant Ox, note
vx. Si v
est de mme sens que laxe Ox, vx > 0.
Le vecteur vitesse v
varie donc de v
= v
v
0 au cours de lintervalle de temps t = t t0.Lacclration moyenne a
m du mobile M scrit par dfinition :
t
vam
=
r
r
Comme lacclration instantane a
est constante, elle est gale lacclration moyenne a
m ! Donc :
t
va
=r
r
L'acclration a
a la mme direction que v
: elle na donc quune seule coordonne suivant
Ox, note ax. Elle est gale la coordonne suivant Ox de v, note (v)x, divise par t.
Sur la figure on voit que (v
)x = vx v0x = vx.
t
v
t
vv
t
)v(a xx0xxx
=
=
=
r
Formule retenir :t
va xx
=
Si v
est de mme sens que laxe Ox, vx > 0 et ax > 0 !
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c) Relation entre vitesse vx et temps t
On a donc vx = axt.
Comme vx = vx v0x et t = t t0 = t, on obtient (une formule retenir) :
tavv xx0x += Voil l'expression mathmatique (l'quation) de la vitesse suivant Ox en fonction du temps.
Elle permet de calculer cette vitesse nimporte quelle date, connaissant la vitesse initiale v0x
et l'acclration ax (qui sont des constantes !).
Si on connat la seule coordonne vx du vecteur vr
, celui-ci est entirement dtermin.
Norme du vecteur : v = vvr
x. Si vx > 0 alors v = vx.
La reprsentation de la vitesse vx en fonction du temps t est une droite, soit croissante (si
ax > 0), soit dcroissante (si ax < 0).
vx vx
v0x
v0x
t
0 00 0
a >0x a
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d) Relation entre abscisse x et temps t
Rappel : dfinition de la vitesse moyenne :t
OMvm
=
r
Au cas gnral o le mobile se trouvant en M1 l'instant t1 se dplace M2 qu'il atteint l'instant t2, on obtient pour la composante suivant x de v
m :
t
x
tt
xx
tt
)OM()OM(
t
)OM(v
12
12
12
x1x2xmx
=
=
=
=
Formule retenir :t
xvmx
=
Utilisons cette relation pour exprimer la vitesse moyenne entre l'instant initial t0 = 0 et un
instant ultrieur quelconque t > 0. Elle devient dans ce cas o le vecteur position initiale
est nul :0OM
t
xvmx =
Afin de dterminer vmx examinons la variation de vx en fonction du temps !
La figure montre que la vitesse moyenne vmx est donne par :
vmx = (vx + v0x)
Il vient : x = vmxt = (vx + v0x)t
Comme : vx = v0x + axt, on obtient (une formule retenir) :
tvta2
1x x0
2
x +=
C'est l'quation horaire du mobile qui permet de calculer l'abscisse x nimporte quelle
date t, connaissant la vitesse initiale v0x et l'acclration ax (x0 = 0).
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La reprsentation graphique de labscisse x en fonction du temps t est une parabole passant
par lorigine O.
t0 0
0 0
x x
t
parabole
parabole
a > 0xv > 0x0
xmax
a < 0xv > 0x0
mobile rebrousse chemin(v =0)x
Exemple 2 : Reprendre l'exemple 1 et calculer la distance parcourue entre t1 = 2 s et
t2 = 5 s.
Solution : Abscisse t1 = 2 s : 1x02
1x1 tvta2
1x +=
x1 = (0,44 + 102) m = 21,6 m
Abscisse t2 = 5 s : 2x02
2x2 tvta2
1x +=
x2 = (0,425 + 105) m = 60,0 mDistance cherche : x = x2 x1 = 38,4 m
e) Relation entre vitesse vx et abscisse x
Partons des quations paramtriques x = f(t) et vx = g(t) :
tavv xx0x += (1)
tvta2
1x x02x += (2)
(1) x
x0x
a
vvt
=
Dans (2) x
x0xx0
2
x
x0xx
a
vvv
a
vva
2
1x
+
=
x
2
x0x0x
2
x
2
x0x0x
2
xx
a
vvv
a
vvv2va
2
1x
+
+=
x
2
x0x0x
2
x0x0x
2
x
a
v2vv2vvv2v
2
1
x
++
=
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x
2
x0
2
x
a2
vvx
=
Finalement on obtient une formule retenir :
xa2)v(xa2vv x2xx2x02x ==
Exemple 3 : Reprendre l'exemple 1 et calculer la vitesse de la voiture aprs un parcours de
50 m.
Solution : xa2vv x2
x0
2
x = xa2vv x2
x0x +=
s
m4,13
s
m506,1100v =+=
Exemple 4 : Une voiture initialement en mouvement avec la vitesse de 120 km/h, freine de
sorte qu'elle arrive au repos au bout de 5 s.
a) Quelle est lacclration du mouvement ?
b) Quel est le chemin parcouru pendant le freinage ?
c) Quelle est la vitesse aprs 3,15 s de freinage ?
d) Quel est le chemin parcouru jusqu' l'instant o la vitesse ne vaut plus que
20 km/h ?
e) Quel est le chemin parcouru aprs 2 s ?
Solution : Afin de rsoudre un tel exercice, il faut obligatoirement faire un croquis en y
reportant toutes les donnes.
a) Lacclration est donne par : vx = axt + v0x
avec vx = 0 , v0x =6,3
120m/s et t = 5 s
Donc :t
vva x0xx
= = 6,67 m/s2
ax < 0 signifie que lacclration a
est oriente dans le sens oppos celui
de laxe Ox.
b) On a : xa2vv x2
x0
2
x =
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Donc :x
2
x0
2
x
a2
vvx
= = 83,3 m
c) Vitesse t = 3,15 s : vx = axt + v0x = 12,3 m/s
d) Le chemin parcouru x est donn par : xa2vv x2
x0
2
x =
avec vx =6,3
20m/s et v0x =
6,3
120m/s
Donc :x
2
x
2
x0
a2
vvx
= = 81,0 m
e) Chemin parcouru t = 2 s : tvta2
1x x0
2
x +=
Donc : m3,53m26,3
120267,6
2
1x 2 =
+=
f) Cas o le mobile ne se trouve initialement pas lorigine
Les conditions initiales sont : Si t = t0 = 0, x = x0 0 et vx = v0x.
Rien ne change pour la relation entre vitesse vx et temps t : tavv xx0x +=
Dans l'quation horaire il faut additionner x0 x : 0x02x xtvta21x ++=
Pour la relation entre vitesse vx et labscisse x, on trouve : xa2vv x2
x0
2
x =
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3) Etude du mouvement rectiligne uniforme
Il sagit dun cas particulier de mouvement rectiligne uniformment vari, celui o a = 0
.
La vitesse v est constante, donc vx = v0x = constante.
Lquation horaire (relation entre x et t) devient (formule retenir) :
0x xtvx +=
La relation est valable dans tous les cas :
* cas o vr
est orient dans le sens de laxe Ox (vx > 0) :
* cas o v
est orient dans le sens oppos celui de laxe Ox (vx < 0) :
La reprsentation graphique de la fonction affine x = f(t) est une droite croissante si vx > 0
(figure), et dcroissante si vx < 0. La pente quivaut vx.
x
tx0
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Exemple 5 : Une voiture roule sur une autoroute rectiligne la vitesse constante de
130 km/h. Lorsqu'on dclenche le chronomtre, elle se trouve 55 km du lieu
de dpart. Calculer la position partir du lieu de dpart de la voiture quand le
chrono indiquera un temps de 27 min.
Solution : Origine O au lieu de dpart !
Vitesse : vx =130
3,6m/s
Temps : t = 2760 sPosition : 0x xtvx +=
m113500m550006,3
6027130x =
+
=
La voiture se trouve 113,5 km du lieu de dpart.
Exemple 6 : Une voiture roule sur une autoroute rectiligne la vitesse constante de
100 km/h. Lorsqu'on dclenche le chronomtre, elle se trouve 88 km du lieu
d'arrive. Dterminer la position partir du lieu d'arrive de la voiture quand
le chrono indiquera un temps de 15 min.
Solution : Origine O au lieu darrive !
Vitesse : vx = 6,3
100m/s
Temps : t = 1560 s
Position : 0x xtvx +=
m63000m880006,3
6015100x =
+
=
La voiture se trouve 63 km du lieu d'arrive.
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Remarque : Mouvement curviligne uniforme
Dans ce cas, l'acclration n'est pas nulle. Par contre, v = constant. On utilise le reprage de
la position laide de labscisse curviligne s.
Labscisse curviligne s en fonction du temps scrit :
0stvs +=
+ v si le mouvement a lieu dans le sens de lorientation de la trajectoire,
v si le mouvement a lieu dans le sens oppos celui de lorientation de la trajectoire.
4) Exercice rsolu (Exemple 7)
Une voiture A dmarre l'instant initial auprs d'un feu rouge avec une acclration de
1 m/s2. Une deuxime voiture B se trouve cet instant 100 m de la voiture A, en train de
rouler la vitesse constante de 60 km/h l'encontre de A.
Dterminer l'endroit o les 2 voitures se croiseront !
Solution : Origine O auprs du feux rouge !
Voiture A : Conditions initiales : xA = 0; vA0x = 0.
xA =1
2axt2
xA = 0,5t2
Voiture B : Conditions initiales : xB0 = 100 m; vB0x = s
m
6,3
60
.
xB = vBxt + xB0
100t6,3
60x B +=
Croisement : xA = xB
100t6,3
60t5,0 2 +=
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2BC Chap. 7: Mouvements Rectilignes 44
C'est une quation du second degr dont les solutions sont :
t = 5,19 s (bonne solution) et t = 38,5 s (solution rejeter).
A la date t = 5,19 s, la voiture A se trouve la position dabscisse :
xA = 0,55,192 m = 13,5 m
Vrifions que B se trouve au mme endroit :
m5,13m10019,56,3
60x B =
+=
5) Exprience : Etude d'un mouvement rectiligne uniformment vari
a) Dispositif exprimental
Le dispositif exprimental comprend un chariot descendant un banc coussin d'air
lgrement inclin. L'axe Ox qui permet de reprer la position du chariot est parallle au
banc. Son origine correspond avec la position de la cellule photolectrique connecte au
chrono 1. Le chariot est lch sans vitesse initiale partir de la position dtermine par
l'arrt.
Le chrono 1 est dclench ds que le bord droit de la cache C passe devant sa cellule
photolectrique (dont la position n'est pas modifie!). C'est l'origine des temps t = 0. Le bord
droit de C se trouve alors en O, c.--d. en x = 0. Le chrono 1 est arrt lorsque ce mme bord
passe devant la cellule photolectrique du chrono 2. Le chrono 1 permet donc de reprer la
date t du passage l'abscisse x. En dplaant successivement la cellule du chrono 2 le long de
l'axe nous pouvons reprer la date t pour diffrentes abscisses x.
Le chrono 2 est dclench ds que le bord droit passe devant sa cellule photolectrique. Il est
arrt lorsque le bord gauche y passe. Il mesure donc la dure ncessaire t pour parcourir la
distance x = 2 cm.
Comme x et t sont petits nous calculons la vitesse instantane vx l'instant t :
t
xv x
=
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Banc coussin d'airlgrement inclin
cellulesphotolectriques
Chrono 1 Chrono 2
2 cm
Cx
chariot lch sans vitesseinitiale partir de l'arrt
O
arrt
x
b) Mesures
Nous allons dterminer pour diffrentes abscisses x de la cellule photolectrique connecte
au chrono2 la date t et la vitesse vx.
Tableau des mesures :
Date t (s) abscisse x
(cm)dure t (s) vitesse vx
(cm/s)
acclration ax
(cm/s2)
c) Exploitation graphique
Reprsenter graphiquement la vitesse vx en fonction de la date t. En dduire la vitesse initiale
v0x et l'acclration ax. Vrifier que l'acclration ax est constante.
Reprsenter graphiquement l'abscisse x en fonction de la date t.
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d) Exploitation par le calcul
Comme un calcul de rgression linaire (calculatrice!) permet de dterminer
les coefficients a
x0xx vtav +=
x et v0x.
ax = v0x =
Ecrire l'expression de la vitesse vx en fonction de la date t.
vx(t) =
En dduire l'expression de l'abscisse x en fonction de la date t.
x(t) =
e) Conclusion
Le mouvement d'un corps descendant sans frottements un plan inclin en ligne droite est
uniformment vari !
En pratique les frottements ne sont pas ngligeables. Pourtant si la vitesse est faible on
assimile en premire approximation les mouvements rels des mouvements rectilignes
uniformment varis : skieur descendant la piste en schuss, cycliste descendant une cte sans
pdaler, corps glissant vers le bas le long d'une surface incline,
6) Exprience: Etude de la chute libre d'un corps (voir TP 4)
* Un corps lch avec ou avec0v =r
r
0 0vr
vertical, soumis uniquement son poids, effectue
un mouvement rectiligne uniformment vari: c'est le mouvement de chute libre.
* L'acclration des corps en chute libre est la mme pour tous les corps: a = g = 9,8 m/s
2
.Elle est appele acclration de la pesanteur.
* Si l'axe Ox est dirig verticalement vers le bas, les formules s'crivent:
2 2 2
x x 0x 0x 0 x 0x 0
1a g v gt v x gt v t x v v 2g(x x )
2= = + = + + =
* Certains corps tombent avec a < 9,8 m/s2: ils sont freins par la rsistance de l'air.
* Si la rsistance de l'air quilibre exactement le poids, l'acclration est nulle et le
mouvement est rectiligne et uniforme.
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6) Exercices
Exercice 1: Distances de scurit sur route
La vitesse est limite 50 km/h en ville, 90 km/h sur route et 130 km/h sur autoroute. On
suppose que l'acclration est constante de valeur 6 m/s2
, lors d'un freinage (sur routerectiligne), et en admettant que le conducteur a un temps de raction de 1 s la vue d'un
obstacle, calculer dans chaque cas la distance de scurit conserver.
Exercice 2: Temps de freinage
Une voiture lance 90 km/h stoppe sur une distance de 37,5 m. En supposant que le
mouvement de freinage est rectiligne et uniformment vari, dterminer l'acclration et la
dure de freinage. Mme question pour une distance de 75 m et une vitesse initiale de
130 km/h.
Exercice 3: Chute libre
a) Une pomme met 0,5 s pour tomber d'un arbre. Quelle est la hauteur de chute? Quelle serait
la hauteur si la dure tait de 1 s?
b) Une pomme tombe d'une hauteur de 10 m. Quelle est sa vitesse juste avant de toucher le
sol? Quelle serait sa vitesse si la hauteur tait de 20 m? Quelles sont les dures de chute?
On donne: L'acclration de la pesanteur vaut 9,8 m/s2.
(Solutions: 1,23 m; 4,90 m; 14,0 m/s; 19,8 m/s; 1,43 s; 2,02 s)
Exercice 4: Chute libre
Un homme se trouve au bord du toit d'un gratte-ciel de hauteur h. Il lance une balle
verticalement vers le haut, de sorte que celle-ci s'immobilise aprs 0,8 s, puis tombe au sol,
devant l'entre du btiment.
a) Calculer la vitesse initiale vo de la balle !
b) Calculer la hauteur h du btiment, sachant que la balle met 5 s au total pour arriver au sol.
c) Calculer la vitesse avec laquelle la balle touche le sol.
d) Maintenant, on lance la balle verticalement vers le bas, avec une vitesse initiale de mme
intensit que prcdemment. Calculer nouveau la vitesse avec laquelle la balle touche le
sol. Comparer au cas prcdent. Conclusion !
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Exercice 4: Rencontre de deux mobiles
Une automobile se trouvant 5 m devant un feu rouge, dmarre lorsque le feu passe au vert
avec une acclration a = 2,5 m/s2.
Lorsque le feu passe au vert un camion roulant la vitesse v = 45 km/h, se trouve unedistance d = 25 m du feu devant celui-ci. Il maintient sa vitesse constante. Dans un premier
temps, le camion va doubler l'automobile, puis celui-ci va dpasser le camion.
On choisit comme origine des dates l'instant o le feu passe au vert, et comme origine des
espaces, la position du feu tricolore.
a) Faire un croquis de la situation linstant initial : reprsenter le repre, les vecteurs
vitesse et acclration de la voiture et du camion, les abscisses du camion et de la voiture.
b) Etablir les quations horaires du camion et de lautomobile. Reprsenter sur un mme
graphique ces deux fonctions du temps.
c) Etablir les expressions des vitesses vx du camion et de lautomobile en fonction du temps.
Reprsenter sur un mme graphique ces deux fonctions du temps.
d) Dterminer les dates des dpassements, les abscisses du camion et de lautomobile ces
dates et les vitesses du camion et de lautomobile ces dates.
e) Faire un croquis de la situation linstant o le camion double lautomobile :
reprsenter le repre, les vecteurs vitesse et acclration de la voiture et du camion, les
abscisses du camion et de la voiture.
f) Faire un croquis de la situation linstant o lautomobile double le camion :
reprsenter le repre, les vecteurs vitesse et acclration de la voiture et du camion, les
abscisses du camion et de la voiture.
Exercice 5: Rencontre de deux mobiles
Un voyageur arrive sur le quai de la gare l'instant o son train dmarre; le voyageur, qui se
trouve une distance d = 25 m de la portire, court la vitesse constante v1 = 24 km/h.
Le train est anim d'un mouvement rectiligne d'acclration constante a = 1,2 m/s2.
a) Le voyageur pourra-t-il rattraper le train?
b) Dans le cas contraire, quelle distance minimale de la portire parviendra-t-il?