Post on 11-Aug-2020
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
7
Διαγώνισμα 1
Θέμα Α
Α1. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f x x x ln , ,( ) = ∈ ∗ είναι παραγωγίσιμη στο∗
και ισχύει f xx1 .( )′ = Μονάδες 7
Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5
Α3. Πότε λέμε ότι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει πλάγια ασύμπτωτητην ευθεία με εξίσωση = +λ βy x ; Μονάδες 3
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.α) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x ,0 ∈ Α όταν f x f x0( ) ( )≥ για κάθε x .∈ Α
β) Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει f x > 0( )′ για κάθε πραγματικό αριθμό x.
γ) Η εικόνα f Δ( ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα.
δ) Αν f g g , , ′ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα , α β , τότε:
( ) ( ) ( ) ( )′ = ⋅ ′⌠⌡
⌠⌡
⌠⌡α
β
α
β
α
βf x g x dx f x dx g x dx.
ε) Αν > 1,α τότε lim 0.x
x =α→ −∞
Μονάδες 10
Θέμα Β
Δίνεται η συνάρτηση f : ,→ με τύπο f x x x 1.2( ) = + +B1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες 8
Β2. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f . Μονάδες 8
B3. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f 1− της συνάρτησης f . Μονάδες 9
Θέμα Γ
Γ1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x x2ln 22+ = έχει μοναδική ρίζα, η οποία
περιέχεται στο διάστημα 1,2 .( ) Μονάδες 5
02 prosomthem sel.indd 7 8/5/18 2:56 μμ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
8
Δίνονται οι συναρτήσεις f xx
x x1 ln 1 12
( ) ( )= − + + και g x x2
.2
( ) = −
Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός θετικός αριθμός x0 τέτοιος ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο x f x,0 0( )( )Α να είναι κάθετη στην εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της g στο σημείο x g x, .0 0( )( )Β Μονάδες 5
Γ3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα. Μονάδες 4
Γ4. Να βρείτε όλους τους θετικούς αριθμούς ,α β για τους οποίους ισχύειe
ln ln 1 .2 2+ =α
αβ
β Μονάδες 6
Γ5. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι =+ −⌠
⌡
x x xx
dx2ln2
.e 2 3
21
Μονάδες 5
Θέμα Δ
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ,→ η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:• f 0 1( ) = .
• f x > 0( ) για κάθε x ∈ .
• f xe x
x
1 f
f1
x( )( ) ( )( )′ =
+
+για κάθε x ∈ .
Δ1. Να αποδείξετε ότι f x e ,x( ) = x .∈ Μονάδες 6
Δ2. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g x xfx1 ,( ) =
x .∈
Μονάδες 6
Δ3. Να αποδείξετε ότι +<
+
α β α βe e23
ln 23
για κάθε , ∈α β , με < .α β Μονάδες 6
Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράστασητης συνάρτησης f , την παραβολή y x 12= + και την ευθεία με εξίσωση x 1.= Μονάδες 7
02 prosomthem sel.indd 8 8/5/18 2:56 μμ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
9
Διαγώνισμα 2
Θέμα Α
Α1. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα , ,( )α β με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x ,0 στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f ′ διατηρεί πρόσημο στο x x, , ,0 0( ) ( )α β τότε να αποδείξετε ότι το f x0( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο , .( )α β Μονάδες 7
Α2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3
Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να γράψετε τη γεωμετρική του ερμηνεία. Μονάδες 5
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.α) Κάθε συνάρτηση f που είναι1 1− στο πεδίο ορισμού της είναι γνησίως μονότονη.β) Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο x ,0 τότε και οι συναρτήσεις f g fg ,+ και ν f είναι συνεχείς στο x .0
γ) Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x ,0 τότε είναι και συνεχής στο ση-μείο αυτό.
δ) Η συνάρτηση f με f x x( ) = είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.ε) Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f x < 0( )′ σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.
Μονάδες 10
Θέμα Β
Δίνεται η συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής στο 0,1 και ισχύει ότι f f0 1( ) ( )= και
f f23
1 .( )
≠
Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με g x f x f x13
( ) ( )= +
− είναι συνεχής στο 0, 23
.
Μονάδες 8
Β2. Να αποδείξετε ότι ισχύει g g g0 13
23
0.( ) +
+
= Μονάδες 5
Β3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g x 0( ) = έχει μία τουλάχιστον λύση στο 0, 23
.
Μονάδες 6
Β4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι1 1− στο 0,1 .) Είναι η συνάρτηση fγνησίως μονότονη στο 0,1 ;) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 6
02 prosomthem sel.indd 9 8/5/18 2:56 μμ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
10
Θέμα Γ
Δίνεται συνάρτηση f : → δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει ( ) ( ) ( )− ≥f x f x 2 1 13 2 για κάθε x .∈
Γ1. Να δείξετε ότι ηCf διέρχεται από τα σημεία ( ) ( )Α Β −1,1 , 1,1 και 0,1( )Γ και ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία τηςCf με τετμημένες x x, 1,11 2 ( )∈ − στα οποία ηCf δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. Μονάδες 9
Γ2. Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( )′ − = ′ = ′f f f1 0 1 . Μονάδες 5
Γ3. Να δείξετε ότι η f έχει τέσσερα πιθανά σημεία καμπής. Μονάδες 5
Γ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση g x xe f x x, 1, .x( ) ( ) )= + ∈ − +∞ Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της Cg με τετμημένη x 0,10 ( )∈ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cg στο σημείο αυτό να είναι παράλληλη στην ευθεία ( ) − − =ε ex y e: 0. Μονάδες 6
Θέμα Δ
Α. Θεωρούμε συνάρτηση f : 0,1 → , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0,1 , η γραφική της παράσταση εφάπτεται στον άξονα x x′ στην αρχή των αξόνων και η εφαπτομένη της στο σημείο f1, 1( )( )Β είναι παράλληλη προς τον άξονα x x.′ Να αποδείξετε ότι:
α) f x dx x f x dx1 .0
1
0
1
∫ ∫( ) ( ) ( )= − ′ Μονάδες 4
β) Υπάρχει x 0,10 ∈ τέτοιο ώστε f x f x dx2 .0 0
1
∫( ) ( )′ = Μονάδες 6
Β. Δίνεται συνάρτηση f : ,→ η οποία είναι παραγωγίσιμη με f xx
112( )′ =
+για κάθε x ∈
και η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων. α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες 4
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f εϕx( )− x = 0 έχει άπειρες στο πλήθος λύσεις στο
διάστημα2
,2
−
π π και να υπολογίσετε το f 1 .( ) Μονάδες 6
γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση τηςf , τον άξονα ′x x και τις ευθείες με εξισώσεις x 0= και x 1.= Μονάδες 5
02 prosomthem sel.indd 10 8/5/18 2:56 μμ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
11
Διαγώνισμα 3
Θέμα Α
Α1. Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ.Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό,
τότε να δείξετε ότι f x 0.0( )′ = Μονάδες 7
Α2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f : Α → είναι συνάρτηση −1 1; Μονάδες 4
Α3. Να γράψετε ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.α) Κάθε συνάρτηση f η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ,( )α β έχει σύνολο
τιμών το διάστημα f x f xlim , lim .x x
( ) ( )
→ →α β+ −
β) Αν οι συναρτήσεις f g, είναι συνεχείς στο x ,0 τότε και η συνάρτηση f g είναι συνεχής στο x .0
γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α ,β ,γ ∈Δ, τότε ισχύει
( ) ( ) ( )= +⌠⌡
⌠⌡
⌠⌡α
β
α
γ
γ
βf x dx f x dx x dx.
δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα , α β και υπάρχει x ,0 ( )∈ α β τέτοιο
ώστε f x 0,0( ) = τότε θα ισχύει ( ) ( ) <α βf f 0.ε) Αν η συνάρτηση Δ είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f x 0( )′ > σε κάθε
εσωτερικό σημείο του Δ , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.Μονάδες 10
Θέμα Β
Δίνεται η συνάρτηση f , με f x e xln 1 , .x( )( ) = + ∈Β1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 7
Β2. Αν ϕ x( ) = f −1 x( ) = ln ex −1( ), x ∈ f Α( ), όπου f ( )Α είναι το σύνολο τιμών της f , να μελετή-σετε τη συνάρτηση ϕ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
Μονάδες 5
Β3. Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας της γραφικής παράστασης της ϕστο σημείο τομής της με τον άξονα x x′ και να αποδείξετε ότι ( )− ≤ −e xln 1 2 ln4x για κάθεx 0, .( )∈ +∞ Μονάδες 6
02 prosomthem sel.indd 11 8/5/18 2:56 μμ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
12
Β4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της ϕ και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της ϕ . Μονάδες 7
Θέμα Γ
Δίνεται η συνάρτηση → f : , για την οποία ισχύουν τα εξής:α) Eίναι δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο.β) f f0 0 0( ) ( )= ′ = .γ) f x0 1( )< ′′ < για κάθε x 0,2 .( )∈
δ) ( ) ( ) ( )− ′′ −
= −⌠
⌡x f x f x dx4 2 8.2
0
2
Γ1. Να αποδείξετε ότι: α) f 2 2( ) = και β) f x 0( ) ≥ για κάθε x 0,2 .∈ Μονάδες 8
Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ( ) ∈ξ ξ, 0,2 ,1 2 με < ξ ξ ,1 2 έτσι ώστε να ισχύει:f f f2 2 1 .2 1( ) ( ) ( )′ − ′ = −ξ ξ Μονάδες 6
Γ3. Να αποδείξετε ότι ( )< <f0 1 1. Μονάδες 5
Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x x x x f x2 1 3 62 2( ) ( )− + + = − έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο διάστημα 0,2 .( ) Μονάδες 6
Θέμα Δ
Δίνεται η συνάρτηση → f : , για την οποία ισχύουν τα εξής:α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο.
β) f f1 1 0( ) ( )+ − = και γ) f x f x16 2( ) ( )′ = + για κάθε x .∈
Δ1. Να αποδείξετε ότι:α) f x f x x,( ) ( )′′ = ∈ . Μονάδες 2
β) Η συνάρτηση ( )( ) ( ) ( )= ′ + ∈−g x f x f x e x, ,x είναι σταθερή στο. Μονάδες 4
Δ2. Να αποδείξετε ότι f x dx 0.1
1 ( ) =⌠⌡−
Μονάδες 4
Δ3. Αν επιπλέον ισχύει f 0 0,( ) = τότε:
α) Να αποδείξετε ότι f x e e x2 ,x x( )( ) = − ∈− . Μονάδες 4
β) Nα δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f . Μονάδες 5
Δ4. Να υπολογίσετε το + +⌠
⌡
x x dxln 164
.2
0
3
Μονάδες 6
02 prosomthem sel.indd 12 8/5/18 2:56 μμ
∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
13
Διαγώνισμα 4
Θέμα Α
Α1. Αν μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ είναι συνεχής στο Δ και για κάθεεσωτερικό σημείο x του Δ ισχύει ότι f x 0,( )′ = τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 7
Α2. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι f xlim 0,x
( ) =→ +∞
ποια είναι η σχέση του ημιάξονα xΟ με τη γραφική παράσταση της f και τι σημαίνει αυτό; Μονάδες 4
Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα κλειστό διάστημα, α β και με τη βοήθεια σχήματος να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος.
Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Για κάθε ∈κ ισχύει ότι x x .1( )′ = κ −κ κ
β) Αν μία συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο
g Δ( ), τότε και η f g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει ότι f g x f g x g x .( )( ) ( )( ) ( ) ( )′ = ′ ′γ) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε η παράγωγός της εί-
ναι θετική στο εσωτερικό του διαστήματος Δ.δ) Αν μία συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά
μέγιστα.ε) Το ορισμένο ολοκλήρωμα f x dx( )⌠
⌡α
βδίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από
τη γραφική παράσταση της f , τον άξονα x x′ και τις ευθείες x = α και x .= βΜονάδες 10
Θέμα Β
Στο διπλανό σχήμα απεικονίζεται η γραφική παράσταση της παραγώγου συνάρτησης f ′ μιας συνάρτησης f , η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή πρώτη παράγωγο στο διάστημα
0,3 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Β1. Αν2
3,1 23( ) ( ) ( )
Ε Ω = Ε Ω =Ε Ω
= να υπολογίσετε τις
τιμές f f f0 , 1 , 2( ) ( ) ( ) και f 3 .( ) Μονάδες 6
Β2. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησηςf και τα ακρότατά της. Μονάδες 7
Β3. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα ση-μεία καμπής της. Μονάδες 6
1 2 3-1-1
-2
-3
-4
1
2
Ο
-5
-6
x΄ x
y΄
y
Ω1 Ω2
Ω3
02 prosomthem sel.indd 13 8/5/18 2:57 μμ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
14
Β4. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα 0,3 . Μονάδες 6
Θέμα Γ
Δίνεται η συνάρτηση f , με ( ) =+
∈f x xe
x1
, .x
2
Γ1. Να αποδείξετε ότι f x f x x 0,2( ) ( )+ − − = για κάθε x .∈ Μονάδες 4
Γ2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφικήπαράσταση της f , τον άξονα x x′ και τις ευθείες με εξισώσεις x 2= − και x 2.= Μονάδες 6
Γ3. Να αποδείξετε ότι ≤+
≤+
⌠
⌡
xedx
e0
18
1.x
2
0
2
2 Μονάδες 8
Γ4. Να αποδείξετε ότιe
exedx
8 2
3 1 183
.x
2
2
2
2
0( )( )
−
+≤
+≤
⌠
⌡
−
Μονάδες 7
Θέμα Δ
Δ1. Δίνεται η συνάρτηση g 0, ): +∞ → με g x x e1 .x2( ) = − − −
α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 3
β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g έχει με τον άξονα x x′ ακριβώς δύο κοινά σημεία. (Δίνεται ότι ln2 0,6932≈ .) Μονάδες 3
Δ2. Θεωρούμε τη συνάρτηση f 0, ( ): +∞ → με f x x e 1 .x2
12
( ) = −
α) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0,( )+∞ και να εκφράσετε την f ′ως συνάρτηση της g. Μονάδες 3
β) Να βρείτε το πρόσημο της gx1
και να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία
και τα ακρότατα. Μονάδες 3
γ) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( )= + + −
∈ +∞
−f x
xx x e xln 1 1 ln 1
2ln 1 , 0,x
2
, και να
υπολογίσετε το f xlim .x 0
( )→ +
Μονάδες 3
Δ3. Να αποδείξετε ότι:α) e ex0 1 ,x≤ − ≤ για κάθε x 0,1 .∈ Μονάδες 2
β) u e u e u1 12
,u 2+ ≤ ≤ + + για κάθε u 0,1 .∈ Μονάδες 2
γ) f x x e0 2 2 ,2( )≤ − ≤ για κάθε x 2.≥ Μονάδες 2
Δ4. Να υπολογίσετε τα f x xlim 2x ( )( ) −
→ +∞και f xlim .
x( )
→ +∞ Μονάδες 4
02 prosomthem sel.indd 14 9/5/18 5:54 μμ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
15
Διαγώνισμα 5
Θέμα Α
Α1. Έστω μία συνάρτηση f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα , . α β Αν η fείναι συνεχής στο , α β και f f ,( ) ( )≠α β τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f ( )α και f ( )β υπάρχει ένας τουλάχιστον x ,0 ( )∈ α β τέτοιος ώστε ( ) = ηf x .0 Μονάδες 7
Α2. Ποια σημεία ενός διαστήματος Δ λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ; Μονάδες 4
Α3. Να γράψετε ποιες είναι οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακρότατων μιας συνάρτησηςf σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Η συνάρτηση f με τύπο ( ) = ≠f x xx
x, 0,2
είναι σταθερή συνάρτηση.
β) Αν υπάρχει το f xlimx x0
( )→
και f xlim 0,x x0
( ) =→
τότε f xlim 0.x x0
( ) =→
γ) Αν f x dx 0,( ) ≥⌠⌡α
βτότε θα ισχύει πάντα ότι f x 0( ) ≥ για κάθε x , .∈ α β
δ) Αν μία συνάρτηση είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παρά-στασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.
ε) Έστω f g, δύο συναρτήσεις ορισμένες και συνεχείς σε ένα διάστημα Δ τέτοιες ώστεf x g x( ) ( )′ = ′ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. Τότε ισχύει ότι f x g x( ) ( )= για κάθεx ∈Δ.
Μονάδες 10
Θέμα Β
Α. Έστω η συνεχής συνάρτηση → f : , για την οποία ισχύει:f xx
f xx
lim lim 0,x x
( ) ( )= =
→ +∞ → −∞ν νμε .∈ν ∗
α) Να υπολογίσετε: i. το f x xlimx
( )( ) +→ +∞
ν και ii. το f x xlim .x
( )( ) +→ −∞
ν Μονάδες 8
β) Αν ο ν είναι περιττός, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x x 0( ) + =ν έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. Μονάδες 7
Β. Δίνεται συνάρτηση f , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο x 0,0 = η γραφική της παράσταση δι-έρχεται από την αρχή των αξόνων και επιπλέον ισχύει ότι f x x f x x x x3 ,3 2 2 3( ) ( )− ⋅ − ≤ηµ ηµγια κάθε x .∈ Να υπολογίσετε τον παράγωγο αριθμό της f στο x 0.0 = Μονάδες 10
02 prosomthem sel.indd 15 8/5/18 2:57 μμ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
16
Θέμα Γ
Α. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο x 0,0 = με f 0 0( ) = και f 0 1.( )′ =
Να υπολογίσετε τοxf xx xe
lim .x x0
( )−ηµ→
Μονάδες 10
Β. Δίνεται συνάρτηση h παραγωγίσιμη στο , με ( ) ( )= ′ =h h0 0 0, η οποία είναι δύο φορές
παραγωγίσιμη στο =x 0,0 με ( )′′ =h 0 2. Ορίζουμε τη συνάρτηση g, με ( )( )
= ≠
=
g xh xx
x
x
, 0
0 , 0.
α) Να βρείτε τον g 0 .( )′ Μονάδες 7
β) Να αποδείξετε ότι η g x( )′ είναι συνεχής στο x 0.0 = Μονάδες 8
Θέμα Δ
Έστω συνάρτηση )+∞ → f : 0, , για την οποία ισχύουν:α) ( ) =f 0 1.β) H f είναι παραγωγίσιμη στο 0, .)+∞γ) ( ) ( ) ( )′ + = f x f x e 1 ,x για κάθε x 0, .)∈ +∞
Δ1. Να αποδείξετε ότιf xx
lim10
x 0
( ) −=
→και να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γρα-
φικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη x 0.0 = Μονάδες 5
Δ2. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f και να δείξετε ότι f x f x( ) ( )′′ = για κάθε x 0, .)∈ +∞ Μονάδες 5
Δ3.α)Να αποδείξετε ότι xx1 2+ ≥ για κάθε x 0.> Μονάδα 1
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g x e e x x, 0,x x( ) = − − ≥ηµ− ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 4
γ) Να λύσετε την εξίσωση f x x12
.( )′ = ηµ Μονάδες 4
Δ4. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f ,
τον άξονα y y′ και την ευθεία y 54
.= Μονάδες 6
02 prosomthem sel.indd 16 8/5/18 2:57 μμ
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ
73
1
Θέμα Α
Α3. α. Σ, β. Λ, γ. Λ, δ. Λ, ε. Σ.
Θέμα Β
Β1. ( )′ = =+ +
+
+
+≥f x x x
x
x x
x>... 1
1 10,
2
2 2 αφού ≥ −x x, για κάθε ∈x .
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο .
Β2. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο , το σύνολο τιμών της είναι τοf f x f xlim , lim .
x x ( )( ) ( ) ( )=
→ −∞ → +∞
Είναι ( ) ( )( ) = + + =− +
− +=
−
+ +
=( )
→ −∞ → −∞
−∞ + ∞
→ −∞ → −∞f x x x
x x
x x xx
lim lim 1 lim1
1lim 1
1 1 10.
x x x x
22 2
2
2
Eπίσης ( )( ) = + + = + +
= +∞→ +∞ → +∞ → +∞
f x x x xx
lim lim 1 lim 1 1 1 .x x x
22
Οπότε το σύνολο τιμών της f είναι το ( ) ( )= +∞f 0, .
B3. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και −1 1, επομένως ορίζεται η −f .1
Θέτουμε y = f x( )⇔ ...⇔ x = y2 −12y
. Άρα ( )+∞ →−f : 0, ,1 με ( ) =−−f x xx
12
.12
Θέμα Γ
Γ1. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) = + − >h x x x x x2ln 2 , 0.2 H h είναι παραγωγίσιμη στο ( )+∞0, ,
με ( )′ = + − = + −
+ = −
+h xx
xxx x
x>2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 0,
2
για κάθε ( )∈ +∞x 0, , άρα η h
είναι γνησίως αύξουσα στο ( )+∞0, , οπότε η εξίσωση ( ) =h x 0 θα έχει το πολύ μία θετική ρίζα.Είναι ( ) = −h 1 1και ( ) =h >2 2ln2 0.Οπότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( )1,2 , η οποία είναι μοναδική.
Γ2. ( )′ = = +f xx
x... 1 ln 12,2 ( )′ = −g x x. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μοναδικός θετικός x0
τέτοιος ώστε ( ) ( )′ ′ = −f x g x 1,0 0 δηλαδή ότι η εξίσωση ( ) ( )+
− = −x
x x 1 ln 12
1 12 έχει ακρι-
==
05 prosomapan sel.indd 73 8/5/18 3:00 μμ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
74
βώς μία θετική ρίζα. Είναι 1x2ln x + 1
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−x( ) = −1⇔ 2ln x + x2 = 2x⇔ 2ln x + x2 − 2x = 0,
δηλαδή ( ) =h x 0, που από το (Γ1) έχει ακριβώς μία θετική ρίζα.
Γ3. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, με ( )′′ = =−f x ... .xx
1 2 ln3
Είναι ′′f x( ) = 0⇔ 1− 2ln xx3
= 0⇔1− 2ln x = 0⇔ ln x = 12⇔ x = e και
′′f x( ) > 0⇔ 1− 2ln xx 3
> 0⇔x>0
1− 2ln x > 0⇔ x < e.
Άρα η f είναι κυρτή στο ( e0, και είναι κοίλη στο )+∞
e, .
Παρουσιάζει καμπή στο =x e,0 με σημείο καμπής το ( )( )Α e f e, .
Γ4. Από το (Γ3) έχουμε ότι η ′f είναι γνησίως αύξουσα στο ( e0, και είναι γνησίως φθίνουσα
στο )+∞ e, , άρα η ′f παρουσιάζει ολικό μέγιστο για =x e το ( )′ = + = +f e e
e eln 1
212
12,
και συνεπώς έχουμε ′f α( ) < ′f e( )⇔ lnαα 2 + 1
2≤ 12e
+ 12⇔ lnα
α 2 ≤ 12e.
Ομοίως ′f β( ) < ′f e( )⇔ lnββ 2
+ 12≤ 12e
+ 12⇔ lnβ
β 2≤ 12e, οπότε με πρόσθεση των δύο
σχέσεων κατά μέλη έχουμε + ≤α
αβ
β e1.ln ln
2 2Το =« » ισχύει για = =α β e.
Γ5. ( ) ( )Ι =+ −
= + −
= ′ + ′
=⌠
⌡
⌠
⌡
⌠
⌡
x x xx
dx xx
x dx f x g x dx2ln2
ln 12 2
12
e e e2 3
21
21 1
( ) ( ) ( )= +
= − + + −
=
− + + −f x g xx
x x x e e ee
12
1 ln 1 12 4
2 3 84
.e e
1
2
1
3 2
Θέμα Δ
Δ1. Για κάθε ∈x είναι ′f x( ) = 1+ ex( ) f x( )1+ f x( ) ⇔ ′f x( ) 1+ f x( )⎡⎣ ⎤⎦ = 1+ e
x( ) f x( )⇔
⇔f x( )>0 ′f x( )
f x( ) +′f x( ) f x( )f x( ) = 1+ ex ⇒ ln f x( )+ f x( )⎡⎣ ⎤⎦
′ = x + ex( )′ .Άρα υπάρχει ∈c τέτοιο ώστε να ισχύει ( ) ( )+ = + +f x f x x e cln ,x για κάθε ∈x . Για =x 0 έχουμε ( ) ( )+ = +f f cln 0 0 1 και επειδή ( ) =f 0 1, προκύπτει =c 0. Άρα ln f x( )+ f x( ) = x + ex ⇔ ln f x( )+ f x( ) = x lne+ ex ⇔
( ) ( )+ = +f x f x e eln ln ,x x ( )∈x . 1 .Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με ( ) = +h t t tln , με t > 0.
05 prosomapan sel.indd 74 9/5/18 6:23 μμ
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ
75
H h είναι παραγωγίσιμη στο ( )+∞0, , με ( )′ = +h tt
>1 1 0, άρα η h είναι
γνησίως αύξουσα στο ( )+∞0, , οπότε είναι και −1 1.
Έτσι, από τη σχέση ( )1 έχουμε ( ) ( )( ) =h f x h e ,x άρα ( ) = ∈f x e x , .x
Δ2. Είναι ( ) =
=g x xfx
xe1 ,x1
∈ ∗x .
( ) = =
→ → →+ + +g x xe e
x
lim lim lim1.
x x
x
x
x
0 0
1
0
1
Θέτουμε =ux1 και έχουμε = = +∞
→ →+ +u
xlim lim 1 ,x x0 0
οπότε
( )( )( )
= = = =′
′= = +∞
→ → → → +∞
+∞+∞
→ +∞ → +∞+ + +g x xe e
x
eu
e
uelim lim lim
1lim lim lim .
x x
x
x
x
u
u
u
u
u
u
0 0
1
0
1
Άρα η ευθεία =x 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C .g Επειδή η g είναι συνεχής στα δια-
στήματα ( )−∞,0 και ( )+∞0, , δεν υπάρχουν άλλες κατακόρυφες ασύμπτωτες.
Επίσης είναι
( )= =
=
→ ± ∞ → ± ∞ → ± ∞
g xx
xex
elim lim lim 0x x
x
xx
11
και
( ) − = −
= −
=−
=
( )( )
→ ± ∞ → ± ∞ → ± ∞
±∞ ⋅
→ ± ∞
g x x xe x x ee
x
lim lim lim 1 lim1
1x xx
xx
x
x1 1 0
100
=
−
′
′=
⋅
′
′=
=
→ ± ∞ → ± ∞ → ± ∞
e
x
ex
x
elim1
1lim
1
1lim 1.
x
x
x
x
xx
1 1
1
Άρα η ευθεία = +y x 1 είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cg στο +∞ και στο −∞.
Δ3. Ισχύει ότι +α
α ββ< <3
3. Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα
+
α
α β, 23
και +
α ββ
23
, , επομένως υπάρχουν ∈+
ξ α
α β, 231 και ∈
+
ξ
α ββ
23
,2
τέτοιοι ώστε ( )( )
( )′ =
+
−
−ξ
α βα
β αf
f f23
23
1 και ( )( )
′ =− +
−ξ
βα β
β αf
f f 23
3
.2
Έχουμε ( )′′ =f x e > 0,x για κάθε ∈x , άρα η ′f είναι γνησίως αύξουσα στο , οπότε έχουμε
==
05 prosomapan sel.indd 75 8/5/18 3:00 μμ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
76
για ξ1 < ξ2 ⇒ ′f ξ1( ) < ′f ξ2( ), δηλαδή f α + 2β3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟<f α( )+ 2 f β( )
3⇔
eα+2β3 < e
α + 2eβ
3⇔ α + 2β
3< ln e
α + 2eβ
3.
Δ4. Θεωρούμε ( )Φ = − − ∈x e x x 1, .x 2 Είναι ( )′Φ = − ∈x e x x 2 ,x , και
( )′′Φ = − ∈x e x 2, .x Έχουμε ′′Φ x( ) > 0⇔ ex − 2 > 0⇔ x > ln2.Η ′Φ παρουσιάζει ελάχιστο για =x ln2 το ( ) ( )′Φ = − >ln2 2 1 ln2 0, άρα ( ) ( )′Φ ≥ ′Φx >ln2 0για κάθε ∈x , οπότε η Φ είναι γνησίως αύξουσα στο .Ακόμη ( )Φ =0 0, άρα η =x 0 είναι μοναδική ρίζα της ( )Φ =x 0, και επειδή
( )Φ = − e0,1 0, 2 , έχουμε ( )Φ ≥x 0, για κάθε ∈ x 0,1 .
Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ( )( )Ε = Φ = − − = − − = − −
= −⌠
⌡⌠⌡
⌠⌡
x dx e x dx e x e x x e1 13
73.
x x x
0
1 2
0
1 2
0
1 3
0
1
( )( )Ε = Φ = − − = − − = − −
= −⌠
⌡⌠⌡
⌠⌡
x dx e x dx e x e x x e1 13
73.
x x x
0
1 2
0
1 2
0
1 3
0
1
2
Θέμα Α
Α4. α. Λ, β. Σ, γ. Σ, δ. Λ, ε. Σ.
Θέμα Β
Β1. Η συνάρτηση g1, με ( ) = +
g x f x 131 , είναι σύνθεση της ϕ x( ) = x + 13, Dϕ
= !, με την f ,
η οποία είναι συνεχής στο 0,1 , δηλαδή g1 x( ) = f ϕ x( )( ).Άρα Dg1 = x ∈D
ϕ/ϕ x( )∈Df = x ∈! / x + 1
3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟∈ 0,1⎡⎣ ⎤⎦
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭.
Είναι 0 ≤ x + 13≤1⇔ 0 ≤ 3x +1≤ 3⇔− 1
3≤ x ≤ 2
3. Άρα = −
D 1
3, 23
.g1
Η συνάρτηση g είναι άθροισμα των g f, ,1 οπότε = = −
=
D D D 0,1 1
3, 23
0, 23
.g f g1
Τελικά η συνάρτηση g είναι συνεχής στο
0, 2
3ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.
Β2. Στη σχέση ( ) ( )= +
−g x f x f x13
θέτουμε διαδοχικά = =x x0, 13
και =x 23
και έχουμε
/ /
05 prosomapan sel.indd 76 8/5/18 3:00 μμ
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ
77
( ) ( ) ( ) ( )=
−
=
−
g f f g f f0 13
0 1 , 13
23
13
2 και ( ) ( )
= −
g f f23
1 23
3 .
Προσθέτουμε τις τρεις σχέσεις κατά μέλη και προκύπτει ότι ( ) +
+
=g g g0 13
23
0.
Β3. Αν ( )
=f f13
0 , τότε ( ) =g 0 0, δηλαδή η εξίσωση ( ) =g x 0 έχει λύση τη =x 0.
Είναι f 23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟≠ f 1( )⇔ f 2
3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− f 1( ) ≠ 0, άρα
≠g 23
0.
Συνεπώς από τη σχέση ( ) +
+
=g g g0 13
23
0 έχουμε ότι δύο από τους αριθμούς
( )
g g g0 , 13
, 23
είναι ετερόσημοι. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο αντίστοιχο
διάστημα των τιμών της μεταβλητής και έχουμε ότι η εξίσωση ( ) =g x 0 έχει μία τουλάχιστον
λύση στο
0, 23
. Τελικά η εξίσωση ( ) =g x 0 έχει μία τουλάχιστον λύση ∈
x 0, 23
.0
Β4. Από το (Β3) έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ∈
x 0, 230 έτσι ώστε
g x0( ) = 0⇔ f x0 +13
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− f x0( ) = 0⇔ f x0 +
13
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= f x0( ).Επειδή ∈
x 0, 23
,0 έχουμε
0 ≤ x0 <23⇔ 13≤ x0 +
13<1.Άρα η f δεν είναι −1 1 στο )0,1 .
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο )0,1 , οπότε, αν ήταν γνησίως μονότονη, θα ήταν και −1 1.
Θέμα Γ
Γ1. Για =x 1 από ( )1 έχουμε 2 f 1( )− f 2 1( ) ≥1⇔ f 2 1( )− 2 f 1( )+1≤ 0⇔ f 1( )−1⎡⎣ ⎤⎦2≤ 0, άρα
( ) − =f 1 1 0,2
οπότε ( ) =f 1 1. Άρα το σημείο ( )Α ∈C1,1 .f Ομοίως για = −x 1 από ( )1 έχουμε
( )− =f 1 1 και για =x 0 έχουμε ( ) =f 0 1. Άρα τα σημεία ( )Β − ∈C1,1 f και ( )Γ ∈C0,1 .fΗ συνάρτηση f πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στα διαστήματα − 1,0 και 0,1 , οπότε υπάρχουν ( )∈ −x 1,01 και ( )∈x 0,1 ,2 έτσι ώστε ( ) ( )′ = ′ =f x f x 0.1 2 Άρα υπάρ-χουν δύο τουλάχιστον σημεία της Cf με τετμημένες ( )∈ −x x, 1,11 2 στα οποία η Cf δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.
Γ2. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )( ) ( )= − − ∈h x f x f x x2 1, .3 2 Είναι ( )( ) ( ) ( )′ = ′ ⋅ − ′h x f x x f x f x2 3 2 ,3 2 για κάθε ∈x . Από την ( )1 έχουμε ( ) ≥h x 0 για κάθε ∈x . Έχουμε ( )− =h 1 0, άρα ( ) ( )≥ −h x h 1 , για κάθε ∈x , δηλαδή η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο
05 prosomapan sel.indd 77 8/5/18 3:00 μμ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
78
στο = −x 1.1 Άρα από το θεώρημα Fermat ισχύει ότι′h −1( ) = 0⇔ 6 ′f −1( )− 2 f −1( ) ′f −1( ) = 0 και επειδή ( )− =f 1 1, προκύπτει ( )′ − =f 1 0.
Ομοίως έχουμε ( ) ( )≥ =h x h0 0 για κάθε ∈x , δηλαδή η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο=x 0.0
Άρα από το θεώρημα Fermat ισχύει ότι ′h 0( ) = 0⇔ 6 ′f 0( )− 2 f 0( ) ′f 0( ) = 0.Είναι όμως ( ) =f 0 1, οπότε ( )′ =f 0 0. Επίσης έχουμε ( ) ( )≥ =h x h0 1 για κάθε ∈x , δηλαδή η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο
=x 1.2 Άρα από το θεώρημα Fermat ισχύει ότι ′h 1( ) = 0⇔ 6 ′f 1( )− 2 f 1( ) ⋅ ′f 1( ) = 0. Είναι όμως ( ) =f 1 1, οπότε ( )′ =f 1 0.Τελικά ισχύει ( ) ( ) ( )′ − = ′ = ′ =f f f1 0 1 0.
Γ3. Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ − = ′ = ′ = ′ = ′ =f f x f f x f1 0 1 01 2 και επειδή η f είναι δύο φορές παρα- γωγίσιμη, έχουμε ότι η ′f ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος Rolle σε καθένα από τα διαστήματα − x x x 1, , ,0 , 0,1 1 2 και x ,1 .2
Άρα υπάρχουν ( ) ( ) ( )∈ − ∈ ∈ξ ξ ξx x x 1, , ,0 , 0,1 1 2 1 3 2 και ξ ( )∈ x ,1 ,4 2 τέτοια ώστε
( ) ( ) ( ) ( )′′ = ′′ = ′′ = ′′ =ξ ξ ξ ξf f f f 0,1 2 3 4 δηλαδή η f έχει τέσσερα πιθανά σημεία καμπής.
Γ4. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ( ) − − =ε ex y e: 0 είναι =λε
e, οπότε αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση ( )′ − =g x e 0 έχει μία τουλάχιστον λύση ( )∈ξ 0,1 . Θεωρούμε τη συνάρτηση
( ) ( )= − ∈ h x g x ex x, 0,1 . Η h είναι παραγωγίσιμη στο 0,1 , με ( ) ( )′ = ′ − ∈ h x g x e x, 0,1και ισχύουν ( ) ( ) ( )= − = =h g f0 0 0 0 1 και ( ) ( ) ( ) ( )= − = + − = =h g e e f e f1 1 1 1 1, άρα
( ) ( )=h h0 1 , οπότε από το θεώρημα Rolle υπάρχει ( )∈ξ 0,1 τέτοιο ώστε ′h ξ( ) = 0⇔ ′g ξ( ) = e.
Θέμα Δ
A. Η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στον άξονα ′x x, στην αρχή των αξόνων, άρα έχουμε( ) =f 0 0 και ( )′ =f 0 0. Επίσης, επειδή η εφαπτομένη της Cf στο σημείο ( )( )Β f1, 1 είναι πα-
ράλληλη προς τον άξονα ′x x, έχουμε ( )′ =f 1 0.
α) Είναι ∫ ∫⌠⌡( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − ′ = − − − ′ =f x dx x f x dx x f x x f x dx1 1 1
0
1
0
1
0
1
0
1
∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − ′ = − ′f x f x dx x f x dx0 1 1 ,0
1
0
1αφού ( ) =f 0 0.
β) Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0,1 , άρα η ′f είναι συνεχής στο 0,1 , οπότε παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Αν Μm , είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της ′fστο 0,1 , τότε έχουμε ότι για κάθε ∈ x 0,1 , ισχύει ( ) ( )≤ ′ ≤ Μm f x 1 . Για κάθε ∈ x 0,1 είναι − ≥x1 0, οπότε από την ( )1 έχουμε:
1− x( )m ≤ 1− x( ) ′f x( ) ≤ 1− x( )Μ⇔ m 1− x( )dx0
1
∫ ≤ 1− x( ) ′f x( )dx ≤Μ 1− x( ) ′f 1− x( )dx0
1
∫0
1⌠⌡ .
05 prosomapan sel.indd 78 8/5/18 3:00 μμ
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ
79
Είναι ∫ ( )− = −
= − =x dx x x1
21 1
212
,0
1 2
0
1
οπότε από την παραπάνω σχέση έχουμε ότι:
12m ≤ 1− x( )
0
1
∫ ′f x( )dx ≤ 12Μ⇔ m ≤ 2 1− x( )0
1
∫ ′f x( )dx ≤Μ, και επειδή από (α) έχουμε
∫ ∫( ) ( ) ( )= − ′f x dx x f x dx1 ,0
1
0
1συμπεραίνουμε ότι ∫ ( )≤ ≤ Μm f x dx2 ,
0
1δηλαδή ότι η τιμή
∫ ( )f x dx20
1είναι τιμή που μπορεί να πάρει η συνάρτηση ′f , άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον
∈ x 0,1 ,0 τέτοιο ώστε ∫( ) ( )′ =f x f x dx20 0
1(θεώρημα ενδιάμεσων τιμών).
B. α) Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων, άρα ( ) =f 0 0.
Η ′f είναι παραγωγίσιμη στο, με( )
( )′′ =+
′= −
+f x
xx
x
11
2
1.2 2 2
Είναι ′′f x( ) = 0⇔− 2x
x2 +1( )2= 0⇔ x = 0 και ′′f x( ) > 0⇔− 2x
x2 +1( )2> 0⇔ x < 0.
Άρα η f είναι κυρτή στο (−∞ ,0 και είναι κοίλη στο )+∞0, .
Παρουσιάζει καμπή στο σημείο ( )( )Ο f0, 0 , δηλαδή στο ( )Ο 0,0 .
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h x( ) = f εϕx( )− x, με ∈ −
π πx2
,2
.
Η h είναι παραγωγίσιμη στο −
π π,22
με ′h x( ) = f εϕx( )− x( )′ = 11+ εϕ 2x
⋅ εϕx( )′ −1= συν 2x ⋅ 1συν 2x
−1= 0, για κάθε π π∈ −
x2
,2
,
άρα η h είναι σταθερή συνάρτηση, δηλαδή υπάρχει ∈c τέτοιο ώστε
h x( ) = c⇔ f εϕx( )− x = c για κάθε ∈ −
π πx2
, .2
Για =x 0 έχουμε f εϕ0( )− 0 = c, δηλαδή ( ) =f c0 , και επειδή ( ) =f 0 0, έχουμε =c 0, άρα
f εϕx( )− x = 0, για κάθε ∈ −
π πx2
,2
, οπότε η εξίσωση f εϕx( )− x = 0⇔ f εϕx( ) = x 1( ) έχει
άπειρες στο πλήθος λύσεις στο διάστημα −
π π2
,2
.
Για =πx4
από την ( )1 έχουμε f εϕπ4
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= π4⇔ f 1( ) = π
4.
γ) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ∫ ( )Ε = f x dx.0
1 Έχουμε ότι ( )′ =
+f x
x>1
102 για κάθε
∈x , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Οπότε για x > 0⇔f ↑
f x( ) > f 0( ) = 0.Άρα↑
05 prosomapan sel.indd 79 8/5/18 3:01 μμ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
80
∫ ∫ ∫ ∫ ⌠⌡
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ε = = = ′ = − ′ = −+
=f x dx f x dx x f x dx xf x xf x dx f xx
dx110
1
0
1
0
1
0
1
0
1
20
1
⌠
⌡
⌠⌡ ( )( ) ( ) ( )= −
+ ′
+= − + ′ = − +
= −
π π π πx
xdx x dx x
412
1
1 412
ln 14
12ln 1
412ln2.
2
2
0
1
2
0
12
0
1
3
Θέμα Α
Α4. α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ.
Θέμα Β
Β1. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στοως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με
( )( )( )′ = + ′ =+
> 0f x e ee
ln 11
xx
x για κάθε ∈x , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο και
συνεπώς είναι και 1 1− . Άρα η f αντιστρέφεται.Το πεδίο ορισμού της −f 1 είναι το σύνολο τιμών της f . Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α = , οπότε το σύνολο τιμών της f είναι το ( )( ) ( ) ( )Α =
→ −∞ → +∞f f x f xlim , lim .
x x
Είναι ( )( )( ) = + =→ −∞ → −∞
f x elim lim ln 1 0,x x
x διότι ( )+ =→ −∞
elim 1 1,x
x οπότε
( )( )( ) ( )= + = =→ −∞ → −∞
= +
→f x e ulim lim ln 1 lim ln 0
x x
xu e
u
1
1
x
και ( )( )( ) = + = +∞→ +∞ → +∞
f x elim lim ln 1 ,x x
x διότι
( )+ = +∞→= ∞
elim 1 ,x
x οπότε ( )( )( ) ( )= + = = +∞→ +∞ → +∞
= +
→ +∞f x e ulim lim ln 1 lim ln .
x x
xu e
u
1 x
Άρα ( ) ( )Α = +∞f 0, .
Θέτουμε y = f x( )⇔ y = ln ex +1( )⇔ ex +1= ey ⇔ ex = ey −1⇔ x = ln ey −1( ), y > 0. Η αντίστροφη συνάρτηση της f ορίζεται ως εξής:
( ): +∞ →−f 0,1 με τύπο ( )( ) = −−f x eln 1 .x1
Β2. Η συνάρτησηϕ είναι παραγωγίσιμη στο ( )+∞0, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων
με ′ϕ x( ) = ln ex −1( )( )′ = ex
ex −1> 0, για κάθε ( )∈ +∞x 0, , άρα η ϕ είναι γνησίως αύξουσα στο
( )+∞0, , οπότε δεν υπάρχουν ακρότατα.
Η ′ϕ είναι παραγωγίσιμη στο ( )+∞0, , με ′′ϕ x( ) = ex
ex −1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟′= −ex
ex −1( )2< 0 για κάθε ( )∈ +∞x 0, ,
άρα ηϕ είναι κοίλη στο ( )+∞0, , οπότε δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
===
===
05 prosomapan sel.indd 80 8/5/18 3:01 μμ
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ
81
Β3. Είναιϕ x( ) = 0⇔ ln ex −1( ) = 0⇔ ex −1= 1⇔ x = ln2. Άρα η Cϕ
τέμνει τον άξονα ′x x στο
σημείο ( )Μ ln2,0 . Η εφαπτομένη ( )ε της Cϕ
στο ( )Μ ln2,0 έχει εξίσωση
ε( ) : y −ϕ ln2( ) = ′ϕ ln2( ) x − ln2( ). Είναι ′ϕ ln2( ) = eln2
eln2 −1= 2.
Άρα ε( ) : y = 2 x − ln2( )⇔ y = 2x − 2ln2⇔ y = 2x − ln4. Έχουμε ότι η ϕ είναι κοίλη στο ( )+∞0, , οπότε η C
ϕ βρίσκεται «κάτω» από την εφαπτομένη
σε οποιοδήποτε σημείο της, με εξαίρεση το σημείο επαφής. Άρα θα ισχύει ότιϕ x( ) ≤ 2x − ln4⇔ ln ex −1( ) ≤ 2x − ln4, για κάθε ( )∈ +∞x 0, .
Β4. Είναι limx→0+
ϕ x( ) = limx→0+
ln ex −1( )( ) =u=ex−1
limu→0+
lnu( ) = −∞, άρα η ευθεία με εξίσωση =x 0 είναι
κατακόρυφη ασύμπτωτη τηςCϕ.
Η ϕ είναι συνεχής στο ( )+∞0, , άρα δεν υπάρχουν άλλες κατακόρυφες ασύμπτωτες της Cϕ.
Είναι limx→+∞
ϕ x( )x
= limx→+∞
ln ex −1( )x
=
+∞+∞
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
limx→+∞
ln ex −1( )( )′′x
= limx→+∞
ex
ex −1= 1 και
limx→+∞
ϕ x( )− x⎡⎣ ⎤⎦ = limx→+∞ln ex −1( )− x⎡⎣
⎤⎦ =
+∞−∞( )limx→+∞
ln ex −1( )− lnex⎡⎣
⎤⎦ ==
−
=→ +∞
ee
lim ln 1 0,x
x
x αφού
−=
→ +∞
ee
lim 1 1.x
x
x Άρα η ευθεία ( ) : =η y x είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cϕ
στο +∞.
Η γραφική παράσταση της ϕ είναι:
Θέμα Γ
Γ1. α) x2 − 4( ) ′′f x( )− 2 f x( )⎡⎣
⎤⎦0
2
∫ dx = −8⇔ x2 − 4( ) ′′f x( )0
2
∫ dx − 2 f x( )0
2
∫ dx = −8⇔
x2 − 4( ) ′f x( )⎡⎣
⎤⎦02− 2x ′f x( )
0
2
∫ dx − 2 f x( )0
2
∫ dx = −8⇔
4 ′f 0( )− 2xf x( )⎡⎣ ⎤⎦02+ 2 f x( )
0
2
∫ dx − 2 f x( )0
2
∫ dx = −8⇔−4 f 2( ) = −8⇔ f 2( ) = 2.β) Είναι ( )′′ >f x 0 για κάθε ( )∈x 0,2 , άρα η ′f είναι γνησίως αύξουσα στο ∈ x 0,2 , οπότε για x ≥ 0⇒ ′f x( ) ≥ ′f 0( ) = 0. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,2 , συνεπώςγια x ≥ 0⇒ f x( ) ≥ f 0( ) = 0.
x΄ x
y΄
y
Οln2
=y x
===
05 prosomapan sel.indd 81 8/5/18 3:01 μμ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
82
Γ2. H f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα 0,1 και 1,2 , άρα υπάρχουν
( )∈ξ 0,11 και ( )∈ξ 1,22 έτσι ώστε:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ =−−
= −ξff f
f f1 01 0
1 01 και ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ =−−
= −ξff f
f f2 12 1
2 1 .2
Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ − ′ = − +ξ ξf f f f f2 2 1 02 1 και επειδή ( ) =f 0 0 και ( ) =f 2 2, έχουμε
( ) ( ) ( )′ − ′ = −ξ ξf f f2 2 1 .2 1
Γ3. Έχουμε < ξ ξ1 2 και επειδή η ′f είναι γνησίως αύξουσα, ισχύει′f ξ1( ) < ′f ξ2( )⇔ ′f ξ2( )− ′f ξ1( ) > 0. Από (Γ2) έχουμε ( ) ( ) ( )′ − ′ = −ξ ξf f f2 2 1 ,2 1
άρα 2− 2 f 1( ) > 0⇔ f 1( ) <1.Επίσης επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε ότι
( ) ( )> =f f1 0 0. Τελικά ισχύει ( )< <f0 1 1.
Γ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )( ) ( )= − + + − + ∈g x f x x x x f x x2 1 3 6 , .2 2 Η g είναι συνεχής
στο 0,1 ως παράσταση συνεχών συναρτήσεων. Είναι ( ) ( ) ( ) ( )= + = >g f f f0 1 0 1 0 από (Γ3)
και ( ) ( ) ( ) ( )= + − + = − +( )=
g f f f1 2 3 6 1 1 1 <0,f 2 2
αφού ( ) <f 1 1. Άρα ( ) ( ) <g g0 1 0, οπότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )∈x 0,11 τέτοιο ώστε ( ) =g x 0.1
Ομοίως με εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα 1,2 , έχουμε
( ) ( ) ( ) ( )= + = +( )=
g f f f2 1 2 2 1 >0,f 2 2
άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )∈x 1,22 τέτοιο ώστε
( ) =g x 0.2 Τελικά η εξίσωση ( ) ( )− + + = −f x x x x f x2 1 3 62 2 έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο διάστημα ( )0,2 .
Θέμα Δ
Δ1. α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και η ( ) ( )′ = +f x f x16 2 είναι παραγωγίσιμη στο
με ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )′′ =
′
+=
′
′=f x
f x f x
f x
f x f xf x
f x2
2 161 .
2
β) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο , ως παράσταση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ = ′′ + ′ − ′ − = ′′ − ∈− −g x e f x f x f x f x e f x f x x,x x
και επειδή από (α) έχουμε ( ) ( )′′ =f x f x , προκύπτει ότι ( )′ =g x 0 για κάθε ∈x , άρα υπάρχει∈c τέτοιο ώστε ( ) = ∈g x c x, .
Δ2. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ′′ = ′ = + − + −− − −f x dx f x dx f x f f16 1 16 1 .
1
1
1
1
1
1 2 2
Eίναι όμως f 1( )+ f −1( ) = 0⇔ f −1( ) = − f 1( ),οπότε ∫ ( ) =−f x dx 0.
1
1
===
===
05 prosomapan sel.indd 82 8/5/18 3:01 μμ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
228
Παράγωγος βασικών – σύνθετων συναρτήσεων
f ′′ f g(( ))′′
( ) ′ = ∈ −ν νν −νx x , 0,11 ( ) ( ) ( )
′= ′ ∈ν ν
− ∗ν νg x g x g x ,
1
( )′ =xx
12
,
) ( )= +∞ = +∞′D D0, , 0,f f
( )( ) ( )( )
( )′=
′ >g x
g x
g xg x
2, 0
( )′ =ηµ συνx x ( ) ( )( ) ( ) ( )
′ = ′ηµ συνg x g x g x
( )′ = −συν ηµx x ( ) ( )( ) ( ) ( )
′ = − ′συν ηµg x g x g x
( )′ =e ex x ( ) ( )′ = ′( ) ( )e e g xg x g x
( )′ = >xx
xln 1 , 0 ( )( ) ( )( ) ( )
′ =′
>g xg xg x
g xln , 0
( )′ = ∈ ∗xx
xln 1 , ( )( ) ( )( ) ( )′ =
′ ∈ ∗g x
g xg x
g xln ,
εϕx( )′ = 1συν 2x εϕ g x( )( )⎡
⎣⎤⎦′ =
′g x( )συν 2g x( )
σϕx( )′ = − 1ηµ2x σϕ g x( )( )⎡
⎣⎤⎦′ = −
′g x( )ηµ2g x( )
( )′ = >α α α αln , 0x x ( ) ( ) ( )′ = ′ = ⋅ ⋅ ′ 0 < ≠α α α α( ) ( ) ( )αe g xln , 1g x g x g xln
09 Parartima teliko sel.indd 228 8/5/18 3:34 μμ
Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α
229
ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
Κάθε συνάρτηση f συνεχής στο α β, είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα αυτό.
Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι σταθερός αριθμός, οπότε ∫ ( )
′=
α
βf x dx 0.
Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος
Αν f g, είναι συνεχείς συναρτήσεις στο α β, και ∈λ , τότε ισχύουν:
• ∫ ∫( ) ( )=λ λα
β
α
βf x dx f x dx.
• ∫ ∫ ∫( )( ) ( ) ( ) ( )+ = +α
β
α
β
α
βf x g x dx f x dx g x dx.
Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α ,β ,γ ∈Δ, τότε ισχύει:
∫ ∫ ∫( ) ( ) ( )= +α
β
α
γ
γ
βf x dx f x dx f x dx.
Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα α β, . Αν ( ) ≥f x 0 για κάθε ∈ α βx ,
και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε ∫ ( ) >α
βf x dx 0.
• ∫ ∫( ) ( )= −α
β
β
αf x dx f x dx.
• ∫ ( ) =α
αf x dx 0.
Βασικά ορισμένα ολοκληρώματα
∫ ( )= = −β αα
β
α
βcdx c x c x dx x
11
1, 1v
11 1∫ ν ( )=
+
=
+− ≠ −
νβ α ν
α
βν
α
β
ν ν+
+ +
∫ ( ) ( )= −
ηµ κσυν κ
κα
β
α
β
x dxx
∫ ( ) ( )=
συν κηµ κ
κα
β
α
β
x dxx
1συν 2 κ x( ) dxα
β⌠
⌡⎮ =
εϕ κ x( )κ
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥α
β
1ηµ2 κ x( ) dxα
β⌠
⌡⎮ = −
σϕ κ x( )κ
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥α
β
∫ =
κ
κ
α
βκ
α
β
e dx exx
∫ α=
< ≠α
ααα
β
α
β
dxln
, 0 1xx
⌠⌡
= α
β
α
β
xdx x1 ln ⌠
⌡ −= − κ
κα
β
α
β
xdx x1 ln
09 Parartima teliko sel.indd 229 8/5/18 3:34 μμ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
230
ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ
Παραγοντική ολοκλήρωση
f x g x dx f x g x f x g x dx,∫∫ ∫∫(( )) (( )) (( )) (( )) (( )) (( ))′′ == −− ′′αα
ββ
αα
ββ
αα
ββ
f g,′′ ′′ συνεχείς συναρτήσεις
∫⌠
⌡( ) ( )Ρ = Ρ
′
κκ
α
βκ
α
β
x e dx x e dxxx
∫⌠
⌡
( ) ( ) ( ) ( )Ρ = Ρ −
′ηµ κ
συν κ
κα
β
α
β
x x dx xx
dx
∫ ⌠⌡( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )Ρ = Η ′
α
β
α
β
x f x dx x f x dxln ln ∫⌠
⌡
( ) ( ) ( ) ( )Ρ = Ρ
′συν κ
ηµ κ
κα
β
α
β
x x dx xx
dx
∫⌠
⌡( ) ( )=
′ηµ λ ηµ λ
κκ
α
βκ
α
β
e x dx x e dxxx
∫⌠
⌡( ) ( )=
′συν λ συν λ
κκ
α
βκ
α
β
e x dx x e dxxx
Όπου ( )Ρ x είναι πολυωνυμική συνάρτηση και ( )Η x μία αρχική συνάρτηση της ( )Ρ x .
Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής
∫∫ (( ))(( )) (( ))ΙΙ == ′′αα
ββ
f g x g x dx
Θέτουμε ( )=u g x , τότε ( )= ′du g x dx. Νέα όρια ολοκλήρωσης: Για = αx είναι
( )= αu g1 και για = βx είναι ( )= βu g .2 Οπότε ∫ ( )Ι = f u duu
u
1
2 .
Συνήθεις περιπτώσεις
1. ∫ ( )( ) ( ) ( ) ′ =+
∈ν
ν+ ∗ν
α
β ν
α
β
f x f x dx f x11
,1
2. ⌠
⌡ ( )
( )( ) ( )
′
= −
−
∈ −ν
ν−∗
ν
α
β
ν
α
β
f x
f xdx
f x
11
1 , 11
3. ∫ ( )( ) ( ) ( ) ′ =+
∈ − −κ
κ+ ∗κ
α
β κ
α
β
f x f x dx f x11
, 11
∫ ( )( ) ( ) ( ) ′ =+
∈ − −κ
κ+ ∗κ
α
β κ
α
β
f x f x dx f x11
, 11
4. ⌠
⌡
( )( ) ( )′
=
α
β
α
βf xf x
dx f xln
5. ⌠
⌡
( )( )
( )′=
α
β
α
βf x
f xdx f x
2
6. ∫ ( )′ =
( ) ( )α
β
α
β
e f x dx ef x f x
7. ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )′ = −
ηµ συν
α
β
α
β
f x f x dx f x
8. ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )′ =
συν ηµ
α
β
α
β
f x f x dx f x
9. ′f x( )
συν 2 f x( ) dxα
β⌠
⌡⎮ = εϕ f x( )⎡⎣ ⎤⎦α
β
10. ′f x( )
ηµ2 f x( ) dxα
β⌠
⌡⎮ = −σϕ f x( )⎡⎣ ⎤⎦α
β
09 Parartima teliko sel.indd 230 9/5/18 10:56 μμ