فصل چهارم

وی ژاکوبین باز-سینماتیک سرعت

مکانیکی ماهر

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 1

بهنام میری پور فرد

استادیار گروه مهندسی رباتیک دانشگاه صنعتی همدان

همدان، ایران

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 2

(ارتباط فضای مفصلی و فضای دکارتی شامل موقعیت و جهت گیری)سینماتیک مستقیم

در اين فصل

.شودمیبررسیمفصلیهایسرعتبانهاییمجریخطیوایزاویهسرعتروابط

.رابطه بین این سرعتها با ژاکوبین نشان داده می شود

)()(

)(qf

q

qdX

qqJd

X

)(

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 3

.ماتریس ژاکوبین را می توان صورت برداری مشتق معمولی یک تابع اسکالر تصور کرد

مولفه سرعت خطی و زاویه ای مجری نهایی6سرعت مفصلی و nتبدیل لحظه ای بین •

n×6یک ماتریس •

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 4

سرعت زاویه ای

:اگر جسم صلب حول محور ثابتی دوران ناب انجام دهد

سرعت هر نقطه بر روی جسم صلب

سرعتنمایش.استدوارچارچوبیکایزاویهسرعتωامااستنقطهیکسرعتvباالرابطهدر

رایبترکلیروشیکبنابراین.استمشکلثابتغیرمحورهایحولبعدیسهحالتدرایزاویه

(پادمتقارنماتریسازاستفادهبا).دهیممیتوسعهآننمایش

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 5

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 6

:پادمتقارن است اگر و تنها اگرSماتریس

نمایش می دهیمSo(3)را با 3×3مجموعه همه ماتریس های پادمتقارن

:خواهیم داشت4.3عضو این مجموعه باشد، از معادله Sاگر ماتریس

jiij

iiiiiiii

SS

SSSSji

0020

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 7

× S 3می توان دریافت که ماتریس 4.4از معادله فقط سه درایه مستقل دارد و می توان آن 3

:را به صورت زیر نشان داد

a = (ax, ay, az)اگر T یک بردار سه مولفه ای باشد، ماتریس پادمتقارنS(a) به صورت زیر تعریف

:می شود

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 8

:مثال

: نمایش می دهیمkو jو iسه بردار پایه یکه را با

ماتریس های پادمتقارن

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 9

:ویژگی های ماتریس های پادمتقارن

خطی استSعملگر . 1

در فضای سه بعدی bو aبرای بردارهای

در فضای سه بعدی pو aبرای بردارهای . 2

برای . 3

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 10

nRxبرای هر بردار . 4

0SXX T

:مشتق ماتریس دوران

θباشد، بنابراین برای هر θتنها تابعی از Rبا فرض اینکه ماتریس دوران

:متعامد استθبرای هر Rچون

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 11

مشتقگیری از رابطه باال

به صورت زیرSبا تعریف

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 12

بیانگر این است که4.11بنابراین معادله

بنابراین ماتریس تعریف شده به صورت زیر یک ماتریس پاد متقارن است

Rبا ضرب دو طرف معادله فوق در

در آن استSمعادل ضرب ماتریس پادمتقارن Rمشتق

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 13

ماتریس دوران پایه: مثال

بنابراین

به طور مشابه می توان نشان داد که

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 14

:سرعت زاویه ای در حالت کلی

.حول محور دورانی که می تواند متحرک هم باشد

:به صورت پیوسته مشتق پذیر باشدRبا فرض اینکه

می توان آن را به صورت زیر نشان ω(t)یک ماتریس پادمتقارن است برای بردار یکتای S(t)چون

داد

استtسرعت زاویه ای چارچوب دوار نسبت به چارچوب ثابت در زمان ω(t)بردار

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 15

R1اگر جهت گیری لحظه ای چارچوی یک به صفر باشد، بر اساس معادالت باال سرعت زاویه ای0

R1چارچوب یک مستقیما به مشتق.وابسته است 0

Rjمشتقبامتناظرایزاویهسرعتدادننشانبرایωi,jنوشتاراززداییابهامبرایiکنیممیاستفاده.

باالازکرد،توصیفدلخواهچارچوبهربهنسبتتوانمیراآناستآزادبردارωکهآنجاازهمچنین

:مثالکنیممیاستفادهدلخواهچارچوبدادننشانبراینویس

R2سرعت زاویه ای متناظر با .است که در چارچوب صفر توصیف شده است1

صفرنویسزیرباشد،صفرچارچوببهنسبتدورانبامتناظرایزاویهسرعتاگراختصاربرای

:مثالنویسیمنمیرا

ω2بامتناظرایزاویهسرعتR20

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 16

مثال

با استفاده ار قاعده زنجیری

که در آن

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 17

افزودن سرعتهای زاویه ای

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 18

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 19

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 20

Sویژگی سوم ماتریس

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 21

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 22

سرعت خطی نقطه متصل به چارچوب متحرک

P به صورت صلب متصل است1به چارچوب

0

p

1

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 23

0

1pp1

p0

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 24

استخراج ژاکوبین

لینکnبازوی مکانیکی ماهر با

یافتن ارتباط بین سرعت خطی و زاویه ای مجری نهایی با بردار سرعت مفصل ها : هدف

سرعت زاویه ای مجری نهایی

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 25

سرعت خطی مجری نهایی

:در جستجوی روابطی به صورت زیر هستیم

Jv وJω ماتریسهایn×3دو معادله فوق را می توان ترکیب کرد و به صورت یک معادله .هستند

نوشت، با فرض

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 26

سرعت جسم برابر ژاکوبین ضرب در سرعت های مفصلی

.تعداد لینکها استn.استn×6ماتریس ژاکوبین یک ماتریس

Jωسرعت زاویه ای . 4.6.1Zi-1

امiمفصل

امiلینک

ام که در چار iام ناشی از دوران مفصل iسرعت زاویه ای لینک

ام توصیف شده استi-1چوب

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 27

:ام کشویی باشدiاگر مفصل

:( 4.31)سرعت زاویه ای کلی مجری نهایی با استفاده از رابطه

ρi=1و اگر دورانی باشد ρi=0ام کشویی باشد iاگر مفصل

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 28

: بنابراین نیمه پایینی ژاکوبین به صورت زیر خواهد بود

Jv=?

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 29

سرعت خطی مجری نهایی برابر است با

با مشتق گیری زنجیری

Jvام jستون

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 30

در مفاصل کشویی

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 31

هارتتبرگ-بر اساس قرار داد دناویت

بنابراین برای مفصل کشویی

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 32

در مفاصل دورانی

Riچون ثابت نیستθiبه نسبت0

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 33

.به صورت زیر به دست می آید4.66جمله دوم معادله

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 34

بنابراین برای مفصل دورانی

4.75یک تفسیر برای معادله

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 35

ترکیب ژاکوبین های زاویه ای و خطی

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 36

دورانی باشدiاگر مفصل

کشویی باشدiاگر مفصل

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 37

مثالها

بازوی دولینکی صفحه ای4.5مثال

هر دو مفصل دورانی

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 38

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 39

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 40

ژاکوبین یک نقطه اختیاری4.6مثال

در بازوی سه لینکی صفحه ای می خواهیم سرعت خطی و زاویه ای مرکز لینک دوم را بیابیم

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 41

بازوی استنفورد4.7مثال

o3=o4=o5=o

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 42

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 43

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 44

بازوی اسکارا4.7مثال

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 45

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 46

ژاکوبین تحلیلی

.ماتریسهای ژاکوبین به دست آمده تا اینجا، ژاکوبین های هندسی نامیده می شوند

نشان داده می شود و در آن جهت گیری مجری نهایی به صورت فشرده Ja(q)ژاکوبین تحلیلی به صورت

نشان داده می شود

d(q)بردار از مبدا چارچوب پایه به مبدا چارچوب متصل به مجری نهایی است

زوایای اویلر

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 47

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 48

بنابراین ژاکوبین تحلیلی را می توان از ژاکوبین هندسی محاسبه کرد

تکین های نمایشی

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 49

تکين ها

همه سرعت های ممکن مجری نهایی ترکیب های خطی از ستون های ماتریس ژاکوبین اند

در تکین ها مجری نهایی نمی تواند در جهت معینی حرکت کند و یا حول محور

.معینی دوران کند

J(q)6×n

2

1

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 50

دلخواه الزم است که ژاکوبین شش ستون خطی مستقل داشته باشد تا مجری نهایی بتواند به هر سرعت

.برسد

Rank (رتبه )مستقل ماتریس( یا ستونهای)تعداد سطرها : ماتریس

2Rبرای بازوی

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 51

Rank ماتریس به پیکربندیqوابسته است و بنابراین ثابت نیست.

یا به ماتریس کمتر از بیشترین مقدار آن است، پیکربندی های تکینRankپیکربندی هایی که در آن

.نامیده می شوندتکین ها اختصار

اهمیت شناسایی تکین ها•

عدم امکان حرکت در برخی امتدادها در پیکربندی های تکین•

ای در تکین ها تغییر سرعت کوچک در مجری نهایی متناظر با سرعت های خیلی زیاد در متغیره•

مفصلی باشد

اد در ممکن است نیروها و گشتاورهای محدود در مفصل ها باعث ایجاد نیروها و گشتاورهای بسیار زی•

مجری نهایی شود

( حداکثر برد)تکین ها نقاط مرزی فضای کاری را مشخص می کند •

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 52

تعیین تکین ها

اما حل . ن استاگر ماتریس مربعی دترمینانش به ازای برخی پیکر بندی ها صفر شود، آن پیکر بندی تکی

.مشکل استdet(J(q))=0غیر خطی معادله

دی کوپله سازی تکین ها

برای بازوهایی که مچ کروی دارند این روش قابل اعمال است

تکین ها

تکین های بازو

تکین های مچ

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 53

تکین است اگر و فقط اگرqپیکربندی 6×6، ژاکوبین n=6حالت

در سه مفصل آخر

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 54

مجموع پيکربندی های J11(q)|=0|بازو به شرط

ه مجموع پيکربندی های مچ بJ22|شرط (q)|=0

دی مجموع پيکر بنهای تکين بازویمکانيکی ماهر

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 55

را نمی این گونه ژاکوبین ها لزوما ارتباط درست بین سرعتهای مجری نهایی و سرعت مفصل ها: توجه مهم.دهد و فقط راهی ساده برای تعیین تکین ها است

حالت به صورت خطی وابسته باشند، مچ در پیکربندی تکین قرار دارد، اینz3, z4, z5اگر بردارهای

همراستا باشند، یعنیz3, z5زمانی اتفاق می افتد که

θ5=0 یاᴨ

تکین های مچ

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 56

تکین های بازو

detبرای بررسی تکین های بازو تنها الزم است J11(q) با در نظر گرفتن مرکز مچ به جایon بررسی

شود

بازوی آرنجی

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 57

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 58

بازوی مکانیکی ماهر کروی

را مطابق شکل قطع کرده z0مرکز مچ،

ه است زیرا این نقطه با هر دوران حول پای

ثابت می ماند

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 59

بازوی مکانیکی ماهر اسکارا

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 60

Rank(J11(q)<3

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 61

نیروی استاتیکی/روابط گشتاور

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 62

Fn

2

1

z

y

x

z

y

x

n

n

n

F

F

F

casa

cacasasa

1000

1000

122122

1221112211

2

1

FqJ T )(

مثال

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 63

سرعت و شتاب معکوس

؟(یعنی تعداد لینکها کمتر از شش باشد)n<6مربعی نباشد و Jاگر

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 64

. ژاکوبین قرار گیردRange Spaceدر این حالت یک راه حل وجود دارد اگر و تنها اگر در

تعلق دارد اگر و تنها اگر ( J)ژاکوبین Range Spaceبردار به

Augmented)افزودهماتریسرتبهکه(qdotبرای)داردحلزمانی4.125معادلهبنابراین

matrix)حلبرایتوانمیراگوسحذفروشمانندمتعددیروشهای.باشدژاکوبینرتبهبرابر

کرداستفادهمعادالتیچنین

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 65

می توان از شبه معکوس راست برای حل مساله استفاده کردn>6اگر

: قضیه

Jشبه معکوس راست

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 66

یک بردار دلخواه

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 67

در فضای b(I-J+J)مخالف صفر، بردارهایی به فرم (I-J+J)و m<nدر حالت کلی برای

قرار داردJپوچی

بردار سرعت مفاصل باشد آنگاه زمانی که مفاصل با این =’bq(I-J+J)یعنی اگر برداری مانند

Jq’=0سرعت حرکت می کنند، مجری نهایی ثابت می ماند چون

بنابراین اگر جواب معادله باشد هم جواب معادله است که در آن

b=0اگر هدف به دست اوردن سرعت های مفصلی می نیمم باشد، آنگاه

. به دست آوردSVDشبه معکوس راست را می توان از روش

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 68

(Manipulability)مهارت

خروجی-ورودی

پاسخ به ورودی واحد

mاین معادله یک بیضی گون rank(J)=mاگر

بعدی است که بیضی مهارت نامیده می شود

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 69

اگر ربات درجات آزادی اضافی نداشته باشد

مهارت

کامل نباشدJمهارت زمانی صفر می شود که رتبه

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 70

فقط -ربات دو لینکی صفحه ای

جابجایی

22

ماکزیمم مهارت

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 71

استفاده از مفهوم مهارت در طراحی

ل طراحی بازوی دو لینکی به گونه ای که طو: مثال

مجموع لینکها معلوم است

اگر هدف طراحی ماکزیمم مهارت باشد عبارت زیر باید ماکزیمم شود

22